Penjumlahan Vektor
Materi lengkap, contoh soal & latihan
1. Penjumlahan Vektor dengan Metode Segitiga
Pengertian
Metode segitiga adalah cara menjumlahkan dua vektor dengan menempatkan pangkal vektor kedua di ujung vektor pertama. Vektor resultan (hasil penjumlahan) ditarik dari pangkal vektor pertama ke ujung vektor kedua.
Jika a dan b adalah dua vektor, maka:
a + b = R
Langkah-langkah:
- Gambar vektor a dari titik O.
- Dari ujung vektor a , gambar vektor b .
- Hubungkan titik O ke ujung vektor b . Garis ini adalah vektor resultan R .
Besar Resultan
Jika |a | dan |b | diketahui besarannya dan sudut antara keduanya α, maka besar resultan dihitung dengan:
dengan α = sudut antara vektor a dan b (saat pangkal berhimpit).
🔍 Mengamati
Perhatikan diagram segitiga di atas. Amati bagaimana vektor b ditempatkan di ujung vektor a , dan resultan menghubungkan pangkal a ke ujung b .
❓ Menanya
Apa yang terjadi pada besar resultan jika sudut α = 0° (searah)? Bagaimana jika α = 180° (berlawanan)?
💡 Menalar
Saat α = 0°: cos 0° = 1 → R = a + b (maksimum). Saat α = 180°: cos 180° = −1 → R = |a − b| (minimum). Jadi resultan terbesar saat searah dan terkecil saat berlawanan arah.
🧪 Mencoba
Coba gambar dua vektor dengan panjang 3 cm dan 4 cm yang membentuk sudut 90°. Ukur panjang resultannya. Apakah hasilnya mendekati 5 cm?
📢 Mengkomunikasikan
Tuliskan kesimpulanmu tentang hubungan sudut antara dua vektor dengan besar resultan. Diskusikan dengan teman sekelasmu.
2. Penjumlahan Vektor dengan Metode Jajargenjang
Pengertian
Metode jajargenjang (parallelogram) dilakukan dengan menempatkan pangkal kedua vektor pada titik yang sama, lalu melengkapi bentuk jajargenjang. Diagonal jajargenjang dari titik pangkal merupakan vektor resultan.
Langkah-langkah:
- Gambar vektor a dan b dengan pangkal yang sama di titik O.
- Dari ujung masing-masing vektor, tarik garis sejajar vektor lainnya sehingga terbentuk jajargenjang.
- Diagonal dari titik O adalah vektor resultan R .
Rumus Besar Resultan
Rumus yang digunakan sama dengan metode segitiga:
Arah Resultan
Sudut β yang dibentuk resultan terhadap vektor a dapat dicari dengan:
🔍 Mengamati
Bandingkan diagram jajargenjang dengan diagram segitiga. Perhatikan bahwa resultan yang dihasilkan sama besarnya.
❓ Menanya
Mengapa hasil metode segitiga dan jajargenjang selalu sama? Apakah ada hubungannya dengan sifat jajargenjang?
💡 Menalar
Pada jajargenjang, sisi-sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang. Diagonal jajargenjang yang ditarik dari pangkal kedua vektor secara geometris sama dengan menghubungkan pangkal vektor pertama ke ujung vektor kedua (metode segitiga).
🧪 Mencoba
Gambar dua vektor: a = 5 N dan b = 8 N dengan sudut 60°. Lengkapi jajargenjangnya dan ukur diagonalnya. Bandingkan dengan hasil rumus.
📢 Mengkomunikasikan
Presentasikan perbandingan metode segitiga dan jajargenjang. Kapan masing-masing metode lebih mudah digunakan?
3. Penjumlahan Vektor dengan Metode Komponen (Analitis)
Pengertian
Metode komponen menguraikan setiap vektor menjadi komponen-komponen pada sumbu-x dan sumbu-y, kemudian menjumlahkan komponen-komponen tersebut secara terpisah.
Langkah-langkah:
- Uraikan setiap vektor ke komponen x dan y:
Fx = F cos θ ; Fy = F sin θ
- Jumlahkan semua komponen x dan semua komponen y:
ΣFx = F1x + F2x + … ; ΣFy = F1y + F2y + …
- Hitung besar resultan:
R = √( (ΣFx)² + (ΣFy)² )
- Tentukan arah resultan:
tan θR = ΣFy / ΣFx
Tabel Penguraian Komponen (Contoh)
| Vektor | Besar | θ | Fx = F cos θ | Fy = F sin θ |
|---|---|---|---|---|
| F₁ | 10 N | 30° | 8,66 N | 5,00 N |
| F₂ | 8 N | 120° | −4,00 N | 6,93 N |
| Jumlah (Σ) | 4,66 N | 11,93 N | ||
R = √(4,66² + 11,93²) = √(21,72 + 142,32) = √164,04 ≈ 12,81 N
🔍 Mengamati
Perhatikan tabel di atas. Amati bahwa komponen x dari F₂ bernilai negatif karena cos 120° negatif (vektor mengarah ke kiri).
❓ Menanya
Mengapa metode komponen lebih cocok untuk menjumlahkan tiga vektor atau lebih? Bisakah metode segitiga dipakai untuk tiga vektor?
💡 Menalar
Metode segitiga hanya praktis untuk dua vektor. Untuk tiga vektor atau lebih, kita harus mengulangi prosesnya berkali-kali. Metode komponen dapat menangani berapapun jumlah vektor sekaligus karena cukup menjumlahkan komponen x dan y secara terpisah.
🧪 Mencoba
Hitung resultan dari tiga vektor berikut menggunakan metode komponen: F₁ = 6 N (θ = 0°), F₂ = 8 N (θ = 90°), F₃ = 4 N (θ = 225°).
📢 Mengkomunikasikan
Buatlah tabel penguraian komponen untuk soal di atas dan presentasikan hasilnya kepada teman sekelasmu.
4. Penjumlahan Vektor dengan Metode Poligon
Pengertian
Metode poligon merupakan perluasan dari metode segitiga untuk menjumlahkan tiga vektor atau lebih. Setiap vektor digambar berurutan dengan pangkal vektor berikutnya di ujung vektor sebelumnya. Resultan diperoleh dari pangkal vektor pertama ke ujung vektor terakhir.
Langkah-langkah:
- Gambar vektor pertama dari titik awal O.
- Dari ujung vektor pertama, gambar vektor kedua.
- Dari ujung vektor kedua, gambar vektor ketiga, dan seterusnya.
- Vektor resultan ditarik dari titik O ke ujung vektor terakhir.
📌 Catatan Penting
Urutan penggambaran vektor tidak mempengaruhi resultan (sifat komutatif dan asosiatif penjumlahan vektor).
a + b + c = b + c + a = c + a + b
🔍 Mengamati
Perhatikan bahwa metode poligon sama dengan metode segitiga yang diulang. Setiap pasangan vektor membentuk “segitiga parsial”.
❓ Menanya
Jika ketiga vektor membentuk segitiga tertutup (ujung vektor terakhir kembali ke titik O), berapakah besar resultannya?
💡 Menalar
Jika poligon tertutup, maka resultan = 0 (vektor nol). Ini berarti sistem vektor tersebut dalam kesetimbangan.
🧪 Mencoba
Gambar empat vektor secara berurutan dan tentukan resultannya menggunakan metode poligon.
📢 Mengkomunikasikan
Jelaskan kepada teman mengapa urutan penggambaran vektor pada metode poligon tidak mempengaruhi hasil resultan.
Ringkasan Rumus
| Rumus | Keterangan |
|---|---|
| R = √(a² + b² + 2ab cos α) | Besar resultan dua vektor (sudut α antara keduanya) |
| tan β = (b sin α)/(a + b cos α) | Arah resultan terhadap vektor a |
| Fx = F cos θ | Komponen x vektor F |
| Fy = F sin θ | Komponen y vektor F |
| R = √((ΣFx)² + (ΣFy)²) | Resultan metode komponen |
| tan θR = ΣFy / ΣFx | Arah resultan metode komponen |
Kasus Khusus:
- α = 0° (searah): R = a + b
- α = 90° (tegak lurus): R = √(a² + b²)
- α = 180° (berlawanan): R = |a − b|
Contoh Soal & Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
Soal 1
Dua vektor gaya masing-masing 3 N dan 4 N bekerja searah. Tentukan besar resultan kedua vektor tersebut.
Pembahasan:
Karena kedua vektor searah, α = 0°.
R = √(a² + b² + 2ab cos α)
R = √(3² + 4² + 2·3·4·cos 0°)
R = √(9 + 16 + 24·1)
R = √49 = 7 N
Atau langsung: R = 3 + 4 = 7 N (karena searah)
Soal 2
Dua vektor gaya masing-masing 5 N dan 5 N berlawanan arah. Tentukan besar resultannya.
Pembahasan:
Berlawanan arah berarti α = 180°, cos 180° = −1.
R = √(5² + 5² + 2·5·5·(−1))
R = √(25 + 25 − 50)
R = √0 = 0 N
Kedua vektor saling menghapus karena besarnya sama dan berlawanan arah.
Soal 3
Dua vektor gaya 6 N dan 8 N saling tegak lurus. Tentukan besar resultannya.
Pembahasan:
Tegak lurus berarti α = 90°, cos 90° = 0.
R = √(6² + 8² + 2·6·8·0)
R = √(36 + 64) = √100 = 10 N
Soal 4
Vektor F = 10 N membentuk sudut 30° terhadap sumbu-x positif. Tentukan komponen Fx dan Fy.
Pembahasan:
Fx = F cos θ = 10 cos 30° = 10 × (½√3) = 10 × 0,866 = 8,66 N
Fy = F sin θ = 10 sin 30° = 10 × 0,5 = 5 N
Soal 5
Vektor perpindahan 12 m ke timur dijumlahkan dengan 5 m ke utara. Tentukan besar perpindahan resultan.
Pembahasan:
Timur dan utara saling tegak lurus (α = 90°).
R = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13 m
🟡 Tingkat Sedang
Soal 1
Dua gaya F₁ = 10 N dan F₂ = 10 N membentuk sudut 60° satu sama lain. Tentukan besar dan arah resultan.
Pembahasan:
R = √(10² + 10² + 2·10·10·cos 60°)
R = √(100 + 100 + 200·0,5)
R = √(100 + 100 + 100) = √300 = 10√3 ≈ 17,32 N
Arah: tan β = (10 sin 60°)/(10 + 10 cos 60°) = (10·0,866)/(10 + 5) = 8,66/15 = 0,577
β = arctan(0,577) = 30° terhadap F₁.
Karena kedua vektor sama besar, resultan membagi sudut sama besar (30° + 30° = 60°).
Soal 2
Gaya F₁ = 12 N membentuk sudut 0° dan F₂ = 5 N membentuk sudut 90° terhadap sumbu-x. Tentukan resultan menggunakan metode komponen.
Pembahasan:
F₁: F₁ₓ = 12 cos 0° = 12 N ; F₁ᵧ = 12 sin 0° = 0 N
F₂: F₂ₓ = 5 cos 90° = 0 N ; F₂ᵧ = 5 sin 90° = 5 N
ΣFₓ = 12 + 0 = 12 N
ΣFᵧ = 0 + 5 = 5 N
R = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13 N
θ = arctan(5/12) ≈ 22,6° terhadap sumbu-x.
Soal 3
Dua vektor gaya F₁ = 8 N dan F₂ = 6 N menghasilkan resultan 10 N. Tentukan sudut antara kedua vektor tersebut.
Pembahasan:
R² = a² + b² + 2ab cos α
10² = 8² + 6² + 2·8·6·cos α
100 = 64 + 36 + 96 cos α
100 = 100 + 96 cos α
96 cos α = 0
cos α = 0 → α = 90°
Soal 4
Tiga gaya bekerja pada satu titik: F₁ = 10 N (θ = 0°), F₂ = 10 N (θ = 120°), F₃ = 10 N (θ = 240°). Tentukan besar resultan.
Pembahasan:
ΣFₓ = 10 cos 0° + 10 cos 120° + 10 cos 240°
= 10(1) + 10(−0,5) + 10(−0,5) = 10 − 5 − 5 = 0
ΣFᵧ = 10 sin 0° + 10 sin 120° + 10 sin 240°
= 10(0) + 10(0,866) + 10(−0,866) = 0 + 8,66 − 8,66 = 0
R = √(0² + 0²) = 0 N
Tiga vektor sama besar yang membentuk sudut 120° satu sama lain selalu menghasilkan resultan nol (kesetimbangan).
Soal 5
Dua gaya F₁ = 15 N dan F₂ = 20 N membentuk sudut 120°. Tentukan besar dan arah resultan terhadap F₁.
Pembahasan:
R = √(15² + 20² + 2·15·20·cos 120°)
= √(225 + 400 + 600·(−0,5))
= √(225 + 400 − 300) = √325 ≈ 18,03 N
tan β = (20 sin 120°)/(15 + 20 cos 120°)
= (20·0,866)/(15 + 20·(−0,5))
= 17,32/(15 − 10) = 17,32/5 = 3,464
β = arctan(3,464) ≈ 73,9° terhadap F₁.
🔴 Tingkat Sulit
Soal 1
Empat gaya bekerja pada satu titik: F₁ = 10 N (θ = 30°), F₂ = 8 N (θ = 135°), F₃ = 12 N (θ = 210°), F₄ = 6 N (θ = 330°). Tentukan besar dan arah resultan.
Pembahasan:
| Vektor | F (N) | θ | Fₓ = F cos θ | Fᵧ = F sin θ |
|---|---|---|---|---|
| F₁ | 10 | 30° | 10·0,866 = 8,66 | 10·0,5 = 5,00 |
| F₂ | 8 | 135° | 8·(−0,707) = −5,66 | 8·0,707 = 5,66 |
| F₃ | 12 | 210° | 12·(−0,866) = −10,39 | 12·(−0,5) = −6,00 |
| F₄ | 6 | 330° | 6·0,866 = 5,20 | 6·(−0,5) = −3,00 |
| Σ | −2,19 | 1,66 | ||
R = √((−2,19)² + 1,66²) = √(4,80 + 2,76) = √7,56 ≈ 2,75 N
tan θ = 1,66/(−2,19) = −0,758
Karena ΣFₓ < 0 dan ΣFᵧ > 0 → kuadran II
θ = 180° − arctan(0,758) = 180° − 37,2° = 142,8° terhadap sumbu-x positif.
Soal 2
Resultan dua vektor F₁ dan F₂ yang membentuk sudut 60° adalah 7 N. Jika F₁ = 3 N, tentukan besar F₂.
Pembahasan:
R² = F₁² + F₂² + 2·F₁·F₂·cos α
7² = 3² + F₂² + 2·3·F₂·cos 60°
49 = 9 + F₂² + 6F₂·0,5
49 = 9 + F₂² + 3F₂
F₂² + 3F₂ − 40 = 0
Menggunakan rumus kuadrat:
F₂ = (−3 ± √(9 + 160))/2 = (−3 ± √169)/2 = (−3 ± 13)/2
F₂ = (−3 + 13)/2 = 10/2 = 5 N (ambil nilai positif)
Soal 3
Tiga gaya: F₁ = 20 N (θ = 0°), F₂ = 30 N (θ = 60°), F₃ = 15 N (θ = 150°). Tentukan besar dan arah resultan menggunakan metode komponen.
Pembahasan:
| Vektor | F | θ | Fₓ | Fᵧ |
|---|---|---|---|---|
| F₁ | 20 | 0° | 20,00 | 0,00 |
| F₂ | 30 | 60° | 15,00 | 25,98 |
| F₃ | 15 | 150° | −12,99 | 7,50 |
| Σ | 22,01 | 33,48 | ||
R = √(22,01² + 33,48²) = √(484,44 + 1120,91) = √1605,35 ≈ 40,07 N
θ = arctan(33,48/22,01) = arctan(1,522) ≈ 56,7° terhadap sumbu-x.
Soal 4
Dua vektor F₁ dan F₂ sama besar. Saat sudut antara keduanya 60°, resultan = R₁. Saat sudut menjadi 120°, resultan = R₂. Tentukan perbandingan R₁ : R₂.
Pembahasan:
Misalkan F₁ = F₂ = F.
Untuk α = 60°:
R₁ = √(F² + F² + 2F² cos 60°) = √(2F² + 2F²·0,5) = √(3F²) = F√3
Untuk α = 120°:
R₂ = √(F² + F² + 2F² cos 120°) = √(2F² + 2F²·(−0,5)) = √(F²) = F
R₁ : R₂ = F√3 : F = √3 : 1
Soal 5
Seorang pelaut berlayar 50 km ke arah N30°T, lalu 80 km ke arah N60°B. Tentukan perpindahan total dan arahnya dari titik awal.
Pembahasan:
Konversi ke sudut terhadap sumbu-x (Timur):
• N30°T = 90° − 30° = 60° dari sumbu-x
• N60°B = 90° + 60° = 150° dari sumbu-x
Komponen:
d₁: x₁ = 50 cos 60° = 25 ; y₁ = 50 sin 60° = 43,30
d₂: x₂ = 80 cos 150° = −69,28 ; y₂ = 80 sin 150° = 40,00
Σx = 25 + (−69,28) = −44,28
Σy = 43,30 + 40,00 = 83,30
R = √(44,28² + 83,30²) = √(1960,72 + 6938,89) = √8899,61 ≈ 94,34 km
θ = arctan(83,30/44,28) ≈ 62,0° dari sumbu-x negatif → kuadran II
= 180° − 62° = 118° dari sumbu-x = N28°B (arah dari utara 28° ke barat).
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri untuk menguji pemahamanmu.