Definisi Vektor
Matematika Peminatan — Kelas X
📘 Materi: Definisi Vektor
Apa Itu Vektor?
Perhatikan dua besaran berikut:
| Besaran Skalar | Besaran Vektor |
|---|---|
| Suhu: 30°C | Kecepatan: 60 km/jam ke utara |
| Massa: 5 kg | Gaya: 10 N ke kanan |
| Waktu: 2 jam | Perpindahan: 3 m ke timur |
Pengamatan: Besaran skalar hanya memiliki besar (nilai), sedangkan besaran vektor memiliki besar dan arah.
Definisi Vektor
Definisi:
Vektor adalah besaran yang memiliki besar (magnitudo) dan arah.
Secara geometris, vektor digambarkan sebagai ruas garis berarah (anak panah):
- Titik pangkal (A): titik awal vektor
- Titik ujung (B): titik akhir vektor (ditandai anak panah)
- Panjang anak panah: menyatakan besar/magnitudo vektor
- Arah anak panah: menyatakan arah vektor
Notasi Vektor
Vektor dapat ditulis dengan beberapa notasi:
| Notasi | Penulisan | Keterangan |
|---|---|---|
| Huruf kecil tebal | a | Dicetak tebal (bold) |
| Huruf dengan anak panah | a→ | Anak panah di atas huruf |
| Huruf dengan garis atas | a | Garis di atas huruf |
| Dua huruf besar | AB→ | Dari titik A ke titik B |
⚠️ Penting:
- Besar (magnitudo) vektor a ditulis: |a| atau a (huruf biasa tanpa tebal)
- Besar vektor selalu bernilai positif atau nol
Pertanyaan Kunci
- Apa perbedaan antara besaran skalar dan besaran vektor?
- Mengapa kecepatan disebut vektor tetapi kelajuan disebut skalar?
- Bagaimana cara menentukan dua vektor yang sama?
- Apa yang dimaksud dengan vektor nol?
- Kapan dua vektor dikatakan berlawanan?
Jenis-Jenis Vektor Berdasarkan Definisi
1. Vektor Sama
Dua vektor dikatakan sama jika memiliki besar yang sama dan arah yang sama.
2. Vektor Negatif (Berlawanan)
Vektor −a adalah vektor yang sama besar dengan a tetapi berlawanan arah.
3. Vektor Nol
Vektor nol (ditulis 0) adalah vektor yang besar/magnitudonya = 0. Vektor nol tidak memiliki arah tertentu.
Artinya: titik pangkal dan titik ujung berimpit.
4. Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang memiliki besar (magnitudo) = 1.
Vektor satuan dari a ditulis: â = a / |a|
Aktivitas: Menggambar Vektor
Cobalah aktivitas berikut pada kertas berpetak:
- Gambarlah vektor a dari titik (0,0) ke titik (3,4). Tentukan panjangnya!
- Gambarlah vektor b dari titik (1,1) ke titik (4,5). Apakah a = b?
- Gambarlah vektor −a. Dari mana ke mana vektor tersebut?
Diskusi & Presentasi
Diskusikan dengan teman sekelompokmu:
- Jelaskan dengan kata-katamu sendiri, apa itu vektor?
- Berikan 3 contoh besaran vektor dalam kehidupan sehari-hari dan jelaskan besar serta arahnya.
- Mengapa jarak termasuk skalar tetapi perpindahan termasuk vektor? Presentasikan jawabanmu!
✏️ Contoh Soal & Pembahasan
🟢 Contoh Soal Mudah
1. Manakah yang termasuk besaran vektor: massa, gaya, suhu, perpindahan, waktu?
Pembahasan:
Besaran vektor memiliki besar DAN arah. Dari pilihan tersebut:
- Massa → skalar (hanya besar)
- Gaya → vektor (memiliki besar dan arah)
- Suhu → skalar
- Perpindahan → vektor (memiliki besar dan arah)
- Waktu → skalar
Jawaban: Gaya dan Perpindahan
2. Sebuah vektor digambar dari titik P ke titik Q. Tentukan titik pangkal dan titik ujungnya!
Pembahasan:
Berdasarkan definisi vektor sebagai ruas garis berarah:
- Titik pangkal = P (titik awal/mula)
- Titik ujung = Q (titik akhir, ditandai anak panah)
Jawaban: Titik pangkal = P, Titik ujung = Q
3. Tuliskan notasi vektor dari titik A ke titik B!
Pembahasan:
Vektor dari titik A ke titik B ditulis dengan notasi: AB→
Huruf pertama (A) = titik pangkal, huruf kedua (B) = titik ujung.
Jawaban: AB→
4. Apa syarat dua vektor dikatakan sama?
Pembahasan:
Dua vektor dikatakan sama jika dan hanya jika memenuhi DUA syarat:
- Besar (magnitudo/panjang) kedua vektor sama
- Arah kedua vektor sama
Catatan: posisi vektor TIDAK harus sama (vektor bebas).
Jawaban: Besar sama dan arah sama
5. Jika |a| = 5, apa artinya?
Pembahasan:
Notasi |a| menyatakan besar/magnitudo/panjang dari vektor a.
Jadi |a| = 5 berarti panjang (besar) vektor a adalah 5 satuan.
Jawaban: Besar/panjang vektor a adalah 5 satuan
🟡 Contoh Soal Sedang
1. Vektor a digambar dari titik (1, 2) ke titik (4, 6). Tentukan besar vektor a!
Pembahasan:
Diketahui: Titik pangkal (1, 2), Titik ujung (4, 6)
Besar vektor = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]
= √[(4−1)² + (6−2)²]
= √[3² + 4²]
= √[9 + 16]
= √25 = 5
Jawaban: |a| = 5 satuan
2. Diketahui vektor AB→ dari A(2, 3) ke B(5, 7). Tentukan vektor negatifnya dan gambarkan arahnya!
Pembahasan:
Vektor AB→ berarah dari A ke B.
Vektor negatifnya = BA→ berarah dari B ke A.
Artinya: dari titik (5, 7) ke titik (2, 3).
Besar tetap sama, arah berlawanan (180°).
Jawaban: −AB→ = BA→, berarah dari B(5,7) ke A(2,3)
3. Vektor p memiliki titik pangkal (0, 0) dan titik ujung (3, 4). Tentukan vektor satuan dari p!
Pembahasan:
Langkah 1: Hitung |p| = √(3² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5
Langkah 2: Vektor satuan p̂ = p / |p|
= (3/5, 4/5) = (0.6, 0.8)
Verifikasi: |p̂| = √(0.6² + 0.8²) = √(0.36 + 0.64) = √1 = 1 ✓
Jawaban: Vektor satuan p̂ = (3/5, 4/5)
4. Perhatikan vektor-vektor berikut: a dari (0,0) ke (3,2), b dari (1,1) ke (4,3), c dari (0,0) ke (2,3). Vektor mana yang sama?
Pembahasan:
Untuk menentukan kesamaan, cek komponen (selisih koordinat):
- a = (3−0, 2−0) = (3, 2), |a| = √(9+4) = √13
- b = (4−1, 3−1) = (3, 2), |b| = √(9+4) = √13
- c = (2−0, 3−0) = (2, 3), |c| = √(4+9) = √13
a dan b memiliki komponen sama (3,2) → besar sama, arah sama → a = b
c memiliki komponen berbeda (2,3) → meskipun panjangnya sama, arahnya berbeda → c ≠ a
Jawaban: a = b (vektor yang sama)
5. Sebuah mobil bergerak 5 km ke timur lalu 5 km ke utara. Jelaskan mengapa perpindahan total bukan 10 km! Kaitkan dengan definisi vektor.
Pembahasan:
Perpindahan adalah besaran VEKTOR (memiliki arah), bukan skalar.
Jarak tempuh (skalar) = 5 + 5 = 10 km
Perpindahan (vektor) = hasil penjumlahan vektor:
|perpindahan| = √(5² + 5²) = √50 = 5√2 ≈ 7,07 km
Arah: 45° dari timur ke utara (timur laut)
Karena vektor memiliki ARAH, dua perpindahan yang tidak searah tidak bisa dijumlahkan secara biasa (skalar).
Jawaban: Perpindahan total = 5√2 km ke arah timur laut, bukan 10 km, karena perpindahan adalah vektor yang memiliki arah.
🔴 Contoh Soal Sulit
1. Buktikan bahwa vektor a dari A(1, 2, 3) ke B(4, 6, 3) dan vektor b dari C(0, 0, 1) ke D(3, 4, 1) adalah vektor yang tidak sama meskipun panjangnya sama!
Pembahasan:
Komponen vektor:
- a = (4−1, 6−2, 3−3) = (3, 4, 0)
- b = (3−0, 4−0, 1−1) = (3, 4, 0)
|a| = √(9+16+0) = √25 = 5
|b| = √(9+16+0) = √25 = 5
Ternyata komponen a = komponen b = (3, 4, 0)
Maka a = b (vektor sama), karena besar sama DAN arah sama.
Koreksi soal: Ternyata kedua vektor SAMA. Agar tidak sama, misalkan D(3, 4, 2) maka b = (3, 4, 1). Sekarang |b| = √(9+16+1) = √26 ≠ 5. Untuk panjang sama tapi arah beda, ubah D menjadi (4, 3, 1) → b = (4, 3, 0), |b| = 5. Komponen berbeda (4,3,0) ≠ (3,4,0) → arah berbeda → a ≠ b.
Jawaban: Meskipun |a| = |b| = 5, vektor a = (3,4,0) dan b = (4,3,0) memiliki arah berbeda, sehingga a ≠ b. Terbukti bahwa panjang sama saja tidak cukup untuk menyatakan dua vektor sama.
2. Diketahui vektor u dari titik asal ke titik (a, b) dengan |u| = 13 dan vektor satuan û = (5/13, b/13). Tentukan nilai a dan b!
Pembahasan:
Vektor satuan: û = u/|u| = (a/13, b/13)
Dari soal: û = (5/13, b/13)
Maka a/13 = 5/13 → a = 5
Gunakan |u| = 13:
√(a² + b²) = 13
√(25 + b²) = 13
25 + b² = 169
b² = 144
b = ±12
Verifikasi: |û| = √((5/13)² + (12/13)²) = √(25/169 + 144/169) = √(169/169) = 1 ✓
Jawaban: a = 5, b = 12 atau b = −12
3. Vektor v memiliki besar 10 satuan dan membentuk sudut 60° terhadap sumbu-x positif. Nyatakan vektor v dalam komponen dan tentukan vektor satuannya!
Pembahasan:
Jika vektor membentuk sudut θ terhadap sumbu-x:
Komponen-x = |v| cos θ = 10 cos 60° = 10 × ½ = 5
Komponen-y = |v| sin θ = 10 sin 60° = 10 × (√3/2) = 5√3
v = (5, 5√3)
Vektor satuan:
v̂ = v/|v| = (5/10, 5√3/10) = (1/2, √3/2)
Verifikasi: |v̂| = √(1/4 + 3/4) = √1 = 1 ✓
Jawaban: v = (5, 5√3), vektor satuan v̂ = (1/2, √3/2)
4. Tentukan semua vektor satuan yang tegak lurus terhadap vektor a = (3, 4) pada bidang datar!
Pembahasan:
Misal vektor tegak lurus: n = (x, y)
Syarat tegak lurus (dot product = 0): a · n = 0
3x + 4y = 0 → x = −4y/3
Pilih y = 3 → x = −4, maka n = (−4, 3)
|n| = √(16 + 9) = 5
Vektor satuan: n̂ = (−4/5, 3/5)
Vektor satuan berlawanan: −n̂ = (4/5, −3/5)
Jawaban: Ada dua vektor satuan yang tegak lurus terhadap a: (−4/5, 3/5) dan (4/5, −3/5)
5. Diketahui tiga titik A(1,1), B(4,5), dan C(7,9). Tunjukkan apakah vektor AB→ dan vektor AC→ searah atau tidak! Jelaskan kaitannya dengan definisi vektor.
Pembahasan:
Komponen vektor:
- AB→ = (4−1, 5−1) = (3, 4)
- AC→ = (7−1, 9−1) = (6, 8)
Periksa apakah searah: AC→ = k × AB→ untuk suatu k > 0?
(6, 8) = k(3, 4) → 6 = 3k → k = 2, dan 8 = 4k → k = 2 ✓
Karena k = 2 > 0, maka AC→ = 2AB→
Kedua vektor SEARAH (k positif), tetapi TIDAK SAMA karena besarnya berbeda:
|AB→| = 5, |AC→| = 10
Jawaban: Vektor AB dan AC searah (karena AC = 2·AB dengan k > 0) tetapi tidak sama (besar berbeda). Ini menunjukkan bahwa searah saja tidak cukup — dua vektor baru dikatakan sama jika besar DAN arah keduanya sama.
📝 Latihan Soal (Tanpa Pembahasan)
🟢 Latihan Mudah
1. Sebutkan 3 contoh besaran vektor dan 3 contoh besaran skalar!
2. Gambarlah vektor dari titik M ke titik N. Tentukan titik pangkal dan titik ujungnya!
3. Jika |b| = 0, vektor apakah b? Jelaskan sifatnya!
4. Tuliskan notasi untuk besar (magnitudo) vektor c!
5. Apakah dua vektor yang memiliki panjang sama pasti merupakan vektor yang sama? Jelaskan!
🟡 Latihan Sedang
1. Tentukan besar vektor dari titik P(2, 1) ke titik Q(5, 5)!
2. Diketahui vektor a dari (0,0) ke (6, 8). Tentukan vektor satuannya!
3. Vektor m dari A(1,3) ke B(4,7) dan vektor n dari C(2,0) ke D(5,4). Apakah m = n?
4. Tentukan vektor negatif dari vektor PQ→ jika P(3, 2) dan Q(7, 5). Tuliskan titik pangkal dan ujungnya!
5. Sebuah kapal berlayar 12 km ke timur. Nyatakan perpindahan kapal sebagai vektor dengan menentukan besar dan arahnya. Mengapa ini bukan besaran skalar?
🔴 Latihan Sulit
1. Vektor w memiliki besar 8 satuan dan membentuk sudut 135° terhadap sumbu-x positif. Nyatakan w dalam bentuk komponen dan tentukan vektor satuannya!
2. Diketahui |p| = 10 dan vektor satuan p̂ = (a/10, 6/10). Tentukan semua kemungkinan nilai a dan nyatakan vektor p!
3. Tentukan semua vektor satuan yang searah dengan vektor r = (5, 12) dan yang berlawanan arah dengan r!
4. Tiga titik A(0,0), B(2,3), C(4,6). Tunjukkan bahwa A, B, C segaris menggunakan konsep vektor searah. Apakah AB→ = BC→? Jelaskan!
5. Vektor a = (3, 4) dan vektor b tegak lurus terhadap a dengan |b| = 10. Tentukan semua kemungkinan vektor b!
[…] Definisi Vektor […]