Epres Math – Diferensial (Turunan) – Penetapan Turunan Fungsi

📘 Materi: Penetapan Turunan Fungsi

1. Pengertian Turunan

Turunan (derivatif) dari fungsi \( f(x) \) terhadap \( x \) didefinisikan sebagai limit berikut:

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}

Notasi turunan dapat ditulis sebagai:

f'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[f(x)] = Df(x)

2. Aturan-Aturan Turunan

a. Turunan Fungsi Konstan

\frac{d}{dx}[c] = 0

b. Turunan Fungsi Pangkat

\frac{d}{dx}[x^n] = n \cdot x^{n-1}

c. Turunan Perkalian Konstanta

\frac{d}{dx}[c \cdot f(x)] = c \cdot f'(x)

d. Turunan Penjumlahan dan Pengurangan

\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)

e. Aturan Perkalian (Product Rule)

\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

f. Aturan Pembagian (Quotient Rule)

\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x) \cdot g(x) – f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}

g. Aturan Rantai (Chain Rule)

\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

3. Tabel Turunan Fungsi Dasar

Fungsi \( f(x) \)	Turunan \( f'(x) \)
\( c \)	\( 0 \)
\( x^n \)	\( nx^{n-1} \)
\( \sin x \)	\( \cos x \)
\( \cos x \)	\( -\sin x \)
\( e^x \)	\( e^x \)
\( \ln x \)	\( \frac{1}{x} \)
\( \tan x \)	\( \sec^2 x \)

📝 Contoh Soal dan Pembahasan

Tingkat Mudah

Mudah

1. Tentukan turunan dari \( f(x) = 3x^2 \)

Lihat Pembahasan

Gunakan aturan pangkat: \( \frac{d}{dx}[ax^n] = a \cdot n \cdot x^{n-1} \)

f'(x) = 3 \cdot 2 \cdot x^{2-1} = 6x

Jawaban: \( f'(x) = 6x \)

Mudah

2. Tentukan turunan dari \( f(x) = 5x^3 + 2x \)

Lihat Pembahasan

Turunkan tiap suku:

f'(x) = 5 \cdot 3x^2 + 2 \cdot 1 = 15x^2 + 2

Jawaban: \( f'(x) = 15x^2 + 2 \)

Mudah

3. Tentukan turunan dari \( f(x) = 7 \)

Lihat Pembahasan

Turunan fungsi konstan selalu 0.

\[ f'(x) = 0 \]

Jawaban: \( f'(x) = 0 \)

Mudah

4. Tentukan turunan dari \( f(x) = 4x^5 \)

Lihat Pembahasan

f'(x) = 4 \cdot 5 \cdot x^{4} = 20x^4

Jawaban: \( f'(x) = 20x^4 \)

Mudah

5. Tentukan turunan dari \( f(x) = x^2 – 4x + 1 \)

Lihat Pembahasan

\[ f'(x) = 2x - 4 \]

Jawaban: \( f'(x) = 2x – 4 \)

Tingkat Sedang

Sedang

1. Tentukan turunan dari \( f(x) = (2x+1)(x^2-3) \)

Lihat Pembahasan

Gunakan aturan perkalian: \( (uv)’ = u’v + uv’ \)

Misal \( u = 2x+1 \), \( v = x^2-3 \)

\( u’ = 2 \), \( v’ = 2x \)

\[ f'(x) = 2(x^2-3) + (2x+1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6 \]

Jawaban: \( f'(x) = 6x^2 + 2x – 6 \)

Sedang

2. Tentukan turunan dari \( f(x) = \frac{x^2+1}{x-1} \)

Lihat Pembahasan

Gunakan aturan pembagian:

\( u = x^2+1 \), \( v = x-1 \), \( u’ = 2x \), \( v’ = 1 \)

f'(x) = \frac{2x(x-1) – (x^2+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2-2x-x^2-1}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}

Jawaban: \( f'(x) = \frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2} \)

Sedang

3. Tentukan turunan dari \( f(x) = (3x^2+1)^4 \)

Lihat Pembahasan

Gunakan aturan rantai. Misal \( u = 3x^2+1 \), maka \( f = u^4 \)

f'(x) = 4(3x^2+1)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2+1)^3

Jawaban: \( f'(x) = 24x(3x^2+1)^3 \)

Sedang

4. Tentukan turunan dari \( f(x) = x\sqrt{x} = x^{3/2} \)

Lihat Pembahasan

Tulis sebagai pangkat: \( f(x) = x^{3/2} \)

f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{x}

Jawaban: \( f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x} \)

Sedang

5. Tentukan turunan dari \( f(x) = \sin(2x) \)

Lihat Pembahasan

Gunakan aturan rantai: turunan luar × turunan dalam

f'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)

Jawaban: \( f'(x) = 2\cos(2x) \)

Tingkat Sulit

Sulit

1. Tentukan turunan dari \( f(x) = \frac{\sin x}{1+\cos x} \)

Lihat Pembahasan

Gunakan aturan pembagian:

\( u = \sin x,\ u’ = \cos x \)

\( v = 1+\cos x,\ v’ = -\sin x \)

f'(x) = \frac{\cos x(1+\cos x) – \sin x(-\sin x)}{(1+\cos x)^2} = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1+\cos x)^2}

Karena \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\):

f'(x) = \frac{\cos x + 1}{(1+\cos x)^2} = \frac{1}{1+\cos x}

Jawaban: \( f'(x) = \frac{1}{1+\cos x} \)

Sulit

2. Tentukan turunan dari \( f(x) = e^{x^2} \cdot \ln x \)

Lihat Pembahasan

Gunakan aturan perkalian dan rantai:

\( u = e^{x^2},\ u’ = 2x \cdot e^{x^2} \) (aturan rantai)

\( v = \ln x,\ v’ = \frac{1}{x} \)

f'(x) = 2x \cdot e^{x^2} \cdot \ln x + e^{x^2} \cdot \frac{1}{x} = e^{x^2}\left(2x\ln x + \frac{1}{x}\right)

Jawaban: \( f'(x) = e^{x^2}\left(2x\ln x + \frac{1}{x}\right) \)

Sulit

3. Tentukan turunan dari \( f(x) = \left(\frac{x^2+1}{x-2}\right)^3 \)

Lihat Pembahasan

Misal \( u = \frac{x^2+1}{x-2} \), maka \( f = u^3 \)

Cari \( u’ \) dengan aturan pembagian:

u’ = \frac{2x(x-2)-(x^2+1)(1)}{(x-2)^2} = \frac{x^2-4x-1}{(x-2)^2}

Maka:

f'(x) = 3\left(\frac{x^2+1}{x-2}\right)^2 \cdot \frac{x^2-4x-1}{(x-2)^2} = \frac{3(x^2+1)^2(x^2-4x-1)}{(x-2)^4}

Jawaban: \( f'(x) = \frac{3(x^2+1)^2(x^2-4x-1)}{(x-2)^4} \)

Sulit

4. Tentukan turunan dari \( f(x) = x^x \) untuk \( x > 0 \)

Lihat Pembahasan

Gunakan logaritma natural: \( \ln f = x \ln x \)

Diferensiasi kedua ruas:

\frac{f’}{f} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1

f'(x) = x^x(\ln x + 1)

Jawaban: \( f'(x) = x^x(\ln x + 1) \)

Sulit

5. Tentukan turunan dari \( f(x) = \arctan\left(\frac{2x}{1-x^2}\right) \)

Lihat Pembahasan

Ingat bahwa \( \arctan\left(\frac{2x}{1-x^2}\right) = 2\arctan x \) untuk \( |x| < 1 \)

Maka:

f'(x) = \frac{2}{1+x^2}

Verifikasi dengan aturan rantai:

Misal \( u = \frac{2x}{1-x^2} \), maka \( f = \arctan u \) dan \( f’ = \frac{u’}{1+u^2} \)

u’ = \frac{2(1-x^2)-2x(-2x)}{(1-x^2)^2} = \frac{2+2x^2}{(1-x^2)^2}

1+u^2 = 1+\frac{4x^2}{(1-x^2)^2} = \frac{(1+x^2)^2}{(1-x^2)^2}

f'(x) = \frac{2(1+x^2)}{(1-x^2)^2} \cdot \frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2}{1+x^2}

Jawaban: \( f'(x) = \frac{2}{1+x^2} \)

✏️ Latihan Soal

Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan aturan turunan yang telah dipelajari.

Tingkat Mudah

1. Tentukan \( f'(x) \) jika \( f(x) = 8x^4 \)

2. Tentukan \( f'(x) \) jika \( f(x) = 3x^2 + 7x – 5 \)

3. Tentukan \( f'(x) \) jika \( f(x) = -2x^6 \)

4. Tentukan \( f'(x) \) jika \( f(x) = x^3 – 9x + 4 \)

5. Tentukan \( f'(x) \) jika \( f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x \)

Tingkat Sedang

1. Tentukan \( f'(x) \) jika \( f(x) = (x^2+3)(2x-1) \)

2. Tentukan \( f'(x) \) jika \( f(x) = \frac{3x+2}{x^2+1} \)

3. Tentukan \( f'(x) \) jika \( f(x) = (2x^3-1)^5 \)

4. Tentukan \( f'(x) \) jika \( f(x) = \sqrt{4x+1} \)

5. Tentukan \( f'(x) \) jika \( f(x) = \cos(3x^2) \)

Tingkat Sulit

1. Tentukan \( f'(x) \) jika \( f(x) = \frac{e^{2x}}{x^2+1} \)

2. Tentukan \( f'(x) \) jika \( f(x) = \ln(\sin x) \)

3. Tentukan \( f'(x) \) jika \( f(x) = (x^2+1)^{\sin x} \)

4. Tentukan \( f'(x) \) jika \( f(x) = \frac{x \cdot e^x}{\sqrt{x^2+1}} \)

5. Tentukan \( f'(x) \) jika \( f(x) = \arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) \)

Epres Math – Diferensial (Turunan) – Penetapan Turunan Fungsi

Diferensial

📘 Materi: Penetapan Turunan Fungsi

1. Pengertian Turunan

2. Aturan-Aturan Turunan

a. Turunan Fungsi Konstan

b. Turunan Fungsi Pangkat

c. Turunan Perkalian Konstanta

d. Turunan Penjumlahan dan Pengurangan

e. Aturan Perkalian (Product Rule)

f. Aturan Pembagian (Quotient Rule)

g. Aturan Rantai (Chain Rule)

3. Tabel Turunan Fungsi Dasar

📝 Contoh Soal dan Pembahasan

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

✏️ Latihan Soal

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

By admin

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed

Perangkat Pertama OpenAI Berupa Speaker AI Tanpa Layar

Terungkap! Begini Wujud Gadget AI Pertama OpenAI yang Disebut Bakal Saingi Apple

Lingkungan Belajar Aman, Nyaman, dan Menggembirakan (LBANM)

Eksplorasi Diri : Mengenali Potensi yang Ada (Analisis SWOT)

📘 Materi: Penetapan Turunan Fungsi

1. Pengertian Turunan

2. Aturan-Aturan Turunan

a. Turunan Fungsi Konstan

b. Turunan Fungsi Pangkat

c. Turunan Perkalian Konstanta

d. Turunan Penjumlahan dan Pengurangan

e. Aturan Perkalian (Product Rule)

f. Aturan Pembagian (Quotient Rule)

g. Aturan Rantai (Chain Rule)

3. Tabel Turunan Fungsi Dasar

📝 Contoh Soal dan Pembahasan

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

✏️ Latihan Soal

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed