Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor
Materi Matematika Peminatan — Kelas XII SMA
1. Pengertian Proyeksi Ortogonal
Proyeksi ortogonal adalah bayangan suatu vektor terhadap vektor lain yang membentuk sudut tertentu. Konsep ini sangat penting dalam fisika (gaya, perpindahan) dan geometri analitik.
Misalkan terdapat dua vektor a dan b yang membentuk sudut θ. Proyeksi ortogonal vektor a pada b adalah komponen vektor a yang searah dengan b.
Dari gambar di atas terlihat bahwa proyeksi ortogonal vektor a pada b (garis hijau) merupakan “bayangan” tegak lurus vektor a ke arah vektor b.
- Proyeksi Skalar — hasilnya berupa bilangan (skalar).
- Proyeksi Vektor — hasilnya berupa vektor.
2. Proyeksi Skalar Ortogonal
Proyeksi skalar ortogonal vektor a pada b adalah panjang (besar) dari proyeksi vektor a pada arah vektor b. Dilambangkan dengan:
projb |a| = |a| cos θ = a · b|b|
Keterangan:
- a · b = dot product (perkalian titik) vektor a dan b
- |b| = panjang (modulus) vektor b
- θ = sudut antara vektor a dan b
Menghitung Dot Product (Perkalian Titik)
Jika a = (a₁, a₂) dan b = (b₁, b₂) di ℝ², maka:
Jika a = (a₁, a₂, a₃) dan b = (b₁, b₂, b₃) di ℝ³, maka:
Menghitung Panjang Vektor
|b| = √(b₁² + b₂² + b₃²) (di ℝ³)
Tabel Ringkasan Rumus Proyeksi Skalar
| Ruang | Vektor a | Vektor b | a · b | |b| | Proyeksi Skalar |
|---|---|---|---|---|---|
| ℝ² | (a₁, a₂) | (b₁, b₂) | a₁b₁ + a₂b₂ | √(b₁²+b₂²) | (a₁b₁+a₂b₂) / √(b₁²+b₂²) |
| ℝ³ | (a₁, a₂, a₃) | (b₁, b₂, b₃) | a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃ | √(b₁²+b₂²+b₃²) | (a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃) / √(b₁²+b₂²+b₃²) |
3. Proyeksi Vektor Ortogonal
Proyeksi vektor ortogonal vektor a pada b adalah vektor yang searah dengan b dan memiliki panjang sama dengan proyeksi skalar. Rumusnya:
projb a = a · b|b|² b = a · bb · b b
Langkah-langkah menghitung proyeksi vektor:
- Hitung dot product a · b
- Hitung |b|² = b · b
- Bagi hasil langkah 1 dengan langkah 2, sehingga diperoleh skalar k = (a · b) / |b|²
- Kalikan skalar k dengan vektor b
Hubungan Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor
| Aspek | Proyeksi Skalar | Proyeksi Vektor |
|---|---|---|
| Hasil | Bilangan (skalar) | Vektor |
| Rumus | (a·b) / |b| | [(a·b) / |b|²] b |
| Arti Geometris | Panjang bayangan | Vektor bayangan itu sendiri |
| Bisa Negatif? | Ya (jika θ > 90°) | Ya (berlawanan arah b) |
4. Kegiatan Pembelajaran (Pendekatan Saintifik 5M)
🔍 Mengamati
Perhatikan diagram berikut. Sebuah benda ditarik dengan gaya F yang membentuk sudut 30° terhadap lantai horizontal. Komponen gaya yang menggerakkan benda ke depan (searah lantai) merupakan proyeksi ortogonal gaya F pada arah horizontal.
Amati: Mengapa benda tidak bergerak ke atas? Karena hanya komponen gaya yang searah lantai (proyeksi ortogonal) yang menyebabkan perpindahan horizontal.
❓ Menanya
Setelah mengamati, jawablah pertanyaan berikut:
- Apa perbedaan antara proyeksi skalar dan proyeksi vektor?
- Bagaimana jika sudut antara dua vektor = 0°? Berapa proyeksinya?
- Bagaimana jika sudut antara dua vektor = 90°? Berapa proyeksinya?
- Kapan proyeksi skalar bernilai negatif? Apa artinya secara geometris?
- Apakah proyeksi a pada b sama dengan proyeksi b pada a?
🧠 Menalar
Mari kita analisis beberapa kasus khusus:
| Sudut θ | cos θ | Proyeksi Skalar | Interpretasi |
|---|---|---|---|
| 0° | 1 | |a| | Searah penuh, proyeksi = vektor a sendiri |
| 60° | 0,5 | 0,5 |a| | Setengah panjang a |
| 90° | 0 | 0 | Tegak lurus → proyeksi nol |
| 120° | −0,5 | −0,5 |a| | Berlawanan arah, negatif |
| 180° | −1 | −|a| | Berlawanan arah penuh |
Kesimpulan: Semakin kecil sudut θ, semakin besar proyeksi. Saat tegak lurus (90°), proyeksi = 0. Saat tumpul (>90°), proyeksi negatif.
✏️ Mencoba
Cobalah hitung sendiri proyeksi berikut:
Soal: Diketahui a = (3, 4) dan b = (1, 0).
- Hitung a · b
- Hitung |b|
- Tentukan proyeksi skalar a pada b
- Tentukan proyeksi vektor a pada b
- a · b = (3)(1) + (4)(0) = 3
- |b| = √(1² + 0²) = 1
- Proyeksi skalar = 3 / 1 = 3
- Proyeksi vektor = (3/1²)(1, 0) = (3, 0)
Artinya: komponen vektor a yang searah sumbu-x adalah 3 satuan.
📢 Mengkomunikasikan
Tulislah kesimpulan dari pembelajaran ini dengan bahasa sendiri. Pastikan mencakup:
- Definisi proyeksi ortogonal dengan kata-katamu sendiri
- Perbedaan proyeksi skalar dan proyeksi vektor
- Langkah-langkah menghitung proyeksi vektor ortogonal
- Minimal satu contoh penerapan dalam kehidupan sehari-hari
Presentasikan hasilmu di depan kelas atau diskusikan dengan teman kelompokmu.
5. Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah Contoh Soal 1–5
Contoh 1. Diketahui a = (4, 3) dan b = (1, 0). Tentukan proyeksi skalar ortogonal a pada b.
Langkah 1: Hitung dot product
a · b = (4)(1) + (3)(0) = 4
Langkah 2: Hitung |b|
|b| = √(1² + 0²) = 1
Langkah 3: Proyeksi skalar = 4 / 1 = 4
Contoh 2. Diketahui a = (6, 0) dan b = (0, 5). Tentukan proyeksi skalar ortogonal a pada b.
a · b = (6)(0) + (0)(5) = 0
|b| = √(0² + 5²) = 5
Proyeksi skalar = 0 / 5 = 0
Catatan: Kedua vektor tegak lurus sehingga proyeksi = 0.
Contoh 3. Diketahui a = (2, 2) dan b = (4, 0). Tentukan proyeksi vektor ortogonal a pada b.
a · b = (2)(4) + (2)(0) = 8
|b|² = 4² + 0² = 16
k = 8/16 = 1/2
Proyeksi vektor = (1/2)(4, 0) = (2, 0)
Contoh 4. Diketahui a = (3, 4) dan b = (3, 4). Tentukan proyeksi skalar ortogonal a pada b.
a · b = 9 + 16 = 25
|b| = √(9 + 16) = 5
Proyeksi skalar = 25 / 5 = 5
Karena vektor sama arah dan sama besar, proyeksi = panjang vektor itu sendiri.
Contoh 5. Diketahui a = (−2, 0) dan b = (5, 0). Tentukan proyeksi vektor ortogonal a pada b.
a · b = (−2)(5) + (0)(0) = −10
|b|² = 25
k = −10/25 = −2/5
Proyeksi vektor = (−2/5)(5, 0) = (−2, 0)
Negatif karena berlawanan arah.
Sedang Contoh Soal 6–10
Contoh 6. Diketahui a = (1, 2, 2) dan b = (3, 0, 4). Tentukan proyeksi skalar ortogonal a pada b.
a · b = (1)(3) + (2)(0) + (2)(4) = 3 + 0 + 8 = 11
|b| = √(9 + 0 + 16) = √25 = 5
Proyeksi skalar = 11/5 = 2,2
Contoh 7. Diketahui a = (2, −1, 3) dan b = (1, 1, 1). Tentukan proyeksi vektor ortogonal a pada b.
a · b = 2 + (−1) + 3 = 4
|b|² = 1 + 1 + 1 = 3
k = 4/3
Proyeksi vektor = (4/3)(1, 1, 1) = (4/3, 4/3, 4/3)
Contoh 8. Diketahui a = (5, −3) dan b = (2, 1). Tentukan proyeksi skalar dan proyeksi vektor a pada b.
a · b = 10 + (−3) = 7
|b| = √(4 + 1) = √5
|b|² = 5
Proyeksi skalar = 7/√5 = 7√5/5 ≈ 3,13
Proyeksi vektor = (7/5)(2, 1) = (14/5, 7/5) = (2,8 ; 1,4)
Contoh 9. Diketahui p = (4, −2, 1) dan q = (2, 1, −2). Tentukan proyeksi vektor ortogonal p pada q.
p · q = 8 + (−2) + (−2) = 4
|q|² = 4 + 1 + 4 = 9
k = 4/9
Proyeksi vektor = (4/9)(2, 1, −2) = (8/9, 4/9, −8/9)
Contoh 10. Diketahui a = (−1, 3) dan b = (4, 2). Tentukan panjang proyeksi vektor a pada b.
a · b = −4 + 6 = 2
|b| = √(16 + 4) = √20 = 2√5
Proyeksi skalar (= panjang proyeksi) = 2 / (2√5) = 1/√5 = √5/5 ≈ 0,447
Sulit Contoh Soal 11–15
Contoh 11. Diketahui a = (2, 1, −1) dan b = (1, −1, 2). Tentukan vektor komponen a yang tegak lurus terhadap b.
Konsep: a = projba + a⊥
Maka a⊥ = a − projba
Langkah 1: Hitung proyeksi vektor
a · b = 2 − 1 − 2 = −1
|b|² = 1 + 1 + 4 = 6
projba = (−1/6)(1, −1, 2) = (−1/6, 1/6, −1/3)
Langkah 2: Hitung komponen tegak lurus
a⊥ = (2, 1, −1) − (−1/6, 1/6, −1/3)
= (2 + 1/6, 1 − 1/6, −1 + 1/3)
= (13/6, 5/6, −2/3)
Verifikasi: a⊥ · b = 13/6 − 5/6 − 4/3 = 13/6 − 5/6 − 8/6 = 0 ✓
Contoh 12. Diketahui u = (3, −1, 2) dan v = (1, 2, −1). Tentukan proyeksi vektor u pada v dan proyeksi vektor v pada u. Apakah keduanya sama?
u · v = 3 − 2 − 2 = −1
Proyeksi u pada v:
|v|² = 1 + 4 + 1 = 6
projvu = (−1/6)(1, 2, −1) = (−1/6, −1/3, 1/6)
Proyeksi v pada u:
|u|² = 9 + 1 + 4 = 14
projuv = (−1/14)(3, −1, 2) = (−3/14, 1/14, −1/7)
Kesimpulan: Keduanya tidak sama. Proyeksi u pada v ≠ proyeksi v pada u.
Contoh 13. Diketahui a = (2, k, 1) dan b = (1, 3, −2). Jika proyeksi skalar ortogonal a pada b adalah √14, tentukan nilai k.
a · b = 2 + 3k − 2 = 3k
|b| = √(1 + 9 + 4) = √14
Proyeksi skalar = 3k / √14 = √14
3k = √14 × √14 = 14
k = 14/3
Contoh 14. Titik A(1, 2, 3), B(4, 6, 3), dan C(2, 0, 5). Tentukan proyeksi vektor AB pada vektor AC.
AB = B − A = (3, 4, 0)
AC = C − A = (1, −2, 2)
AB · AC = 3 − 8 + 0 = −5
|AC|² = 1 + 4 + 4 = 9
k = −5/9
Proyeksi vektor = (−5/9)(1, −2, 2) = (−5/9, 10/9, −10/9)
Contoh 15. Diketahui a = (1, 2, −2) dan b = (4, −4, 2). Tentukan vektor a⊥ (komponen a tegak lurus b) dan buktikan bahwa a⊥ tegak lurus b.
a · b = 4 − 8 − 4 = −8
|b|² = 16 + 16 + 4 = 36
projba = (−8/36)(4, −4, 2) = (−2/9)(4, −4, 2) = (−8/9, 8/9, −4/9)
a⊥ = a − projba
= (1 + 8/9, 2 − 8/9, −2 + 4/9)
= (17/9, 10/9, −14/9)
Bukti: a⊥ · b = (17/9)(4) + (10/9)(−4) + (−14/9)(2)
= 68/9 − 40/9 − 28/9 = 0/9 = 0 ✓ Terbukti tegak lurus.
6. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Tidak disertai pembahasan.
Mudah Latihan 1–5
1. Diketahui a = (5, 0) dan b = (0, 3). Tentukan proyeksi skalar ortogonal a pada b.
2. Diketahui a = (6, 8) dan b = (1, 0). Tentukan proyeksi vektor ortogonal a pada b.
3. Diketahui a = (3, 3) dan b = (3, 3). Tentukan proyeksi skalar ortogonal a pada b.
4. Diketahui a = (−4, 0) dan b = (2, 0). Tentukan proyeksi vektor ortogonal a pada b.
5. Diketahui a = (1, 1) dan b = (0, 4). Tentukan proyeksi skalar dan proyeksi vektor a pada b.
Sedang Latihan 6–10
6. Diketahui a = (2, 3, −1) dan b = (1, −1, 2). Tentukan proyeksi vektor ortogonal a pada b.
7. Diketahui a = (4, −2) dan b = (1, 3). Tentukan proyeksi skalar dan proyeksi vektor a pada b.
8. Diketahui u = (1, 0, 3) dan v = (2, 2, 1). Tentukan panjang proyeksi vektor u pada v.
9. Titik P(2, 1) dan Q(5, 5). Jika b = (1, 0), tentukan proyeksi vektor PQ pada b.
10. Diketahui a = (−1, 2, 4) dan b = (3, 0, −1). Tentukan proyeksi vektor b pada a.
Sulit Latihan 11–15
11. Diketahui a = (3, −1, 2) dan b = (2, 1, −3). Tentukan komponen vektor a yang tegak lurus terhadap b, lalu buktikan keduanya tegak lurus.
12. Diketahui a = (1, m, 3) dan b = (2, −1, 1). Jika proyeksi skalar ortogonal a pada b = √6, tentukan nilai m.
13. Titik A(1, 0, 2), B(3, 1, −1), C(0, 4, 3). Tentukan proyeksi vektor AB pada AC dan sebaliknya. Apakah sama?
14. Diketahui a = (2, 1, −2) dan b = (1, −2, 2). Tunjukkan bahwa |a|² = |projba|² + |a⊥|² (Teorema Pythagoras pada dekomposisi vektor).
15. Sebuah gaya F = (6, 3, −2) Newton bekerja pada benda yang berpindah sejauh vektor d = (2, −1, 4). Tentukan: (a) proyeksi vektor F pada arah perpindahan, (b) usaha yang dilakukan gaya tersebut.