Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) – Metode Eliminasi

📖 Materi: Metode Eliminasi Bertahap pada SPLTV

A. Pengertian SPLTV

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah kumpulan tiga persamaan linear yang masing-masing memuat tiga variabel (biasanya x, y, z) dengan pangkat tertinggi 1.

Bentuk umum SPLTV:
a₁x + b₁y + c₁z = d₁   … (1)
a₂x + b₂y + c₂z = d₂   … (2)
a₃x + b₃y + c₃z = d₃   … (3)

dengan a, b, c adalah koefisien dan d adalah konstanta, semuanya bilangan real.

🔍 Kegiatan: Mengamati

Perhatikan sistem persamaan berikut:

x + y + z = 6   … (1)
2x + y − z = 1   … (2)
x − y + 2z = 5   … (3)

Amati bahwa setiap persamaan memiliki tiga variabel yang sama. Tujuan kita adalah menemukan nilai x, y, z yang memenuhi ketiga persamaan secara bersamaan.

B. Pengertian Metode Eliminasi

Eliminasi berarti menghilangkan. Pada metode eliminasi, kita menghilangkan satu variabel dari dua persamaan sehingga diperoleh persamaan baru yang memuat dua variabel saja.

❓ Kegiatan: Menanya

Bagaimana cara menghilangkan variabel dari SPLTV?
Mengapa disebut “bertahap”?
Berapa kali kita perlu melakukan eliminasi?

C. Langkah-Langkah Eliminasi Bertahap

Metode eliminasi bertahap dilakukan secara sistematis dalam tiga tahap utama:

📋 Tahap-Tahap Eliminasi Bertahap

Tahap 1: Eliminasi variabel pertama

Pilih satu variabel (misalnya x) untuk dieliminasi. Gunakan dua pasang persamaan untuk menghasilkan dua persamaan baru yang hanya memuat dua variabel (y dan z).

Pasangan 1: Persamaan (1) dan (2) → Persamaan baru (4)
Pasangan 2: Persamaan (1) dan (3) → Persamaan baru (5)

Tahap 2: Eliminasi variabel kedua

Dari dua persamaan baru (4) dan (5), eliminasi satu variabel lagi (misalnya y) sehingga diperoleh satu persamaan dengan satu variabel (z). Selesaikan untuk mendapatkan nilai variabel tersebut.

Tahap 3: Substitusi balik

Masukkan nilai yang sudah ditemukan ke persamaan sebelumnya secara bertahap untuk menemukan nilai dua variabel lainnya.

🧠 Kegiatan: Menalar

Untuk mengeliminasi variabel, kita perlu menyamakan koefisien variabel yang ingin dihilangkan pada dua persamaan, lalu menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan tersebut.

Aturan penting:

Jika koefisien sama tanda → kurangkan kedua persamaan
Jika koefisien beda tanda → jumlahkan kedua persamaan
Jika koefisien belum sama → kalikan salah satu/kedua persamaan dengan bilangan tertentu agar koefisien menjadi sama

D. Contoh Penerapan Langkah Demi Langkah

🧪 Kegiatan: Mencoba

Mari kita selesaikan sistem berikut menggunakan eliminasi bertahap:

x + y + z = 6   … (1)
2x + y − z = 1   … (2)
x − y + 2z = 5   … (3)

Tahap 1a: Eliminasi x dari pers.(1) dan (2)

Kalikan pers.(1) dengan 2:

2x + 2y + 2z = 12   … (1)×2
2x + y − z = 1    … (2)
────────────────── −
y + 3z = 11   … (4)

Tahap 1b: Eliminasi x dari pers.(1) dan (3)

x + y + z = 6   … (1)
x − y + 2z = 5   … (3)
────────────────── −
2y − z = 1   … (5)

Tahap 2: Eliminasi y dari pers.(4) dan (5)

Kalikan pers.(4) dengan 2:

2y + 6z = 22 … (4)×2
2y − z = 1 … (5)
────────────────── −
7z = 21
z = 3

Tahap 3: Substitusi balik

Substitusi z = 3 ke pers.(4):

y + 3(3) = 11
y + 9 = 11
y = 2

Substitusi y = 2, z = 3 ke pers.(1):

x + 2 + 3 = 6
x = 1

✅ Himpunan Penyelesaian: {(x, y, z)} = {(1, 2, 3)}

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Dari penyelesaian di atas, kita dapat menyimpulkan:

Eliminasi bertahap mengurangi jumlah variabel secara bertahap: 3 → 2 → 1.
Pada Tahap 1, kita harus menghasilkan dua persamaan baru (bukan satu).
Pemilihan variabel yang dieliminasi pertama sebaiknya variabel yang koefisiennya paling mudah disamakan.
Verifikasi: masukkan x=1, y=2, z=3 ke ketiga persamaan awal untuk memastikan jawaban benar.

E. Tips Penting

Pilih variabel dengan koefisien terkecil/termudah untuk dieliminasi pertama.
Pastikan menghasilkan dua persamaan baru pada tahap pertama (bukan satu).
Perhatikan tanda (+/−) saat menjumlahkan atau mengurangkan.
Selalu periksa jawaban dengan substitusi ke ketiga persamaan awal.
Jika ada variabel yang tidak muncul di salah satu persamaan (koefisien 0), manfaatkan hal tersebut untuk mempercepat proses.

MUDAH Contoh Soal Mudah (10 Soal)

Soal 1

x + y + z = 10 … (1)
x + y − z = 4 … (2)
x − y + z = 6 … (3)

Pembahasan:

Tahap 1a: Eliminasi z dari (1) dan (2):

(1) + (2): 2x + 2y = 14 → x + y = 7 … (4)

Tahap 1b: Eliminasi y dari (1) dan (3):

(1) + (3): 2x + 2z = 16 → x + z = 8 … (5)

Tahap 2: Dari (4): y = 7 − x. Dari (5): z = 8 − x.
Substitusi ke (1): x + (7−x) + (8−x) = 10 → 15 − x = 10 → x = 5
y = 7 − 5 = 2, z = 8 − 5 = 3

HP = {(5, 2, 3)}

Soal 2

x + y + z = 9 … (1)
2x + y + z = 12 … (2)
x + 2y + z = 11 … (3)

Pembahasan:

Tahap 1a: (2)−(1): x = 3 … (4)
Tahap 1b: (3)−(1): y = 2 … (5)
Tahap 2: Substitusi ke (1): 3 + 2 + z = 9 → z = 4

HP = {(3, 2, 4)}

Soal 3

x + y + z = 6 … (1)
x − y + z = 2 … (2)
x + y − z = 4 … (3)

Pembahasan:

(1)−(2): 2y = 4 → y = 2
(1)−(3): 2z = 2 → z = 1
Ke (1): x + 2 + 1 = 6 → x = 3

HP = {(3, 2, 1)}

Soal 4

2x + y + z = 11 … (1)
x + y + z = 8 … (2)
x + y + 2z = 10 … (3)

Pembahasan:

(1)−(2): x = 3 … (4)
(3)−(2): z = 2 … (5)
Ke (2): 3 + y + 2 = 8 → y = 3

HP = {(3, 3, 2)}

Soal 5

x + 2y + z = 8 … (1)
x + y + z = 6 … (2)
x + y + 2z = 7 … (3)

Pembahasan:

(1)−(2): y = 2 … (4)
(3)−(2): z = 1 … (5)
Ke (2): x + 2 + 1 = 6 → x = 3

HP = {(3, 2, 1)}

Soal 6

x + y + z = 12 … (1)
x − y + z = 6 … (2)
x + y − z = 8 … (3)

Pembahasan:

(1)−(2): 2y = 6 → y = 3
(1)−(3): 2z = 4 → z = 2
Ke (1): x + 3 + 2 = 12 → x = 7

HP = {(7, 3, 2)}

Soal 7

3x + y + z = 14 … (1)
x + y + z = 8 … (2)
x + y + 3z = 14 … (3)

Pembahasan:

(1)−(2): 2x = 6 → x = 3
(3)−(2): 2z = 6 → z = 3
Ke (2): 3 + y + 3 = 8 → y = 2

HP = {(3, 2, 3)}

Soal 8

x + y + z = 15 … (1)
2x + y + z = 20 … (2)
x + 3y + z = 21 … (3)

Pembahasan:

(2)−(1): x = 5 … (4)
(3)−(1): 2y = 6 → y = 3
Ke (1): 5 + 3 + z = 15 → z = 7

HP = {(5, 3, 7)}

Soal 9

x + y + z = 10 … (1)
x − y + z = 4 … (2)
2x + y + z = 13 … (3)

Pembahasan:

(1)−(2): 2y = 6 → y = 3
(3)−(1): x = 3
Ke (1): 3 + 3 + z = 10 → z = 4

HP = {(3, 3, 4)}

Soal 10

x + y + z = 7 … (1)
x + y − z = 3 … (2)
x − y + z = 5 … (3)

Pembahasan:

(1)+(2): 2x + 2y = 10 → x + y = 5 … (4)
(1)−(2): 2z = 4 → z = 2
(1)−(3): 2y = 2 → y = 1
Dari (4): x = 5 − 1 = 4

HP = {(4, 1, 2)}

SEDANG Contoh Soal Sedang (5 Soal)

Soal 1

2x + 3y + z = 16 … (1)
x + 2y + 3z = 14 … (2)
3x + y + 2z = 13 … (3)

Pembahasan:

Tahap 1a: Eliminasi x dari (1) dan (2). (1)−2×(2):

2x + 3y + z = 16
2x + 4y + 6z = 28 (×2)
────────────── −
−y − 5z = −12 → y + 5z = 12 … (4)

Tahap 1b: Eliminasi x dari (2) dan (3). 3×(2)−(3):

3x + 6y + 9z = 42
3x + y + 2z = 13
────────────── −
5y + 7z = 29 … (5)

Tahap 2: Eliminasi y. 5×(4)−(5):

5y + 25z = 60
5y + 7z = 29
────────── −
18z = 31…

Koreksi — mari hitung ulang dengan teliti:
(1)×1 dan (2)×2: 2x+3y+z=16 dan 2x+4y+6z=28 → −y−5z=−12 → y+5z=12 ✓
(2)×3: 3x+6y+9z=42; (3): 3x+y+2z=13 → 5y+7z=29 ✓
5×(4): 5y+25z=60; (5): 5y+7z=29 → 18z=31 → z=31/18… Ini pecahan, mari periksa soal.

Koreksi soal agar jawaban bilangan bulat:

2x + 3y + z = 17 … (1)
x + 2y + 3z = 15 … (2)
3x + y + 2z = 14 … (3)

(1)−2×(2): −y−5z = −13 → y+5z=13 … (4)
3×(2)−(3): 5y+7z=31 … (5)
5×(4): 5y+25z=65; (5): 5y+7z=31 → 18z=34… masih pecahan.

Gunakan soal berikut:

2x + y + z = 9 … (1)
x + 2y + z = 8 … (2)
x + y + 2z = 7 … (3)

(1)−(2): x − y = 1 … (4)
(2)−(3): y − z = 1 … (5)
(1)−(3): x − z = 2 … (6)
Dari (4): x = y+1. Dari (5): z = y−1.
Ke (2): (y+1)+2y+(y−1) = 8 → 4y = 8 → y = 2
x = 3, z = 1

HP = {(3, 2, 1)}

Soal 2

3x + 2y − z = 8 … (1)
x − y + 2z = 3 … (2)
2x + y + z = 7 … (3)

Pembahasan:

Tahap 1a: Eliminasi x. (1)−3×(2):
3x+2y−z=8 dan 3x−3y+6z=9 → 5y−7z=−1 … (4)
Tahap 1b: (3)−2×(2):
2x+y+z=7 dan 2x−2y+4z=6 → 3y−3z=1 … (5)
Tahap 2: 3×(5): 9y−9z=3; 5×(4) tidak cocok. Gunakan: dari (5): 3y−3z=1 → y = (1+3z)/3
Ke (4): 5·(1+3z)/3 − 7z = −1 → (5+15z)/3 − 7z = −1 → 5+15z−21z = −3 → −6z = −8 → z = 4/3
y = (1+4)/3 = 5/3; Ke (2): x − 5/3 + 8/3 = 3 → x = 3 − 3/3 = 3−1 = 2

HP = {(2, 5/3, 4/3)}

Soal 3

Soal cerita: Harga 2 buku, 3 pensil, dan 1 penghapus adalah Rp15.000. Harga 1 buku, 1 pensil, dan 2 penghapus adalah Rp9.000. Harga 3 buku, 1 pensil, dan 1 penghapus adalah Rp14.000. Tentukan harga masing-masing!

Misalkan: b = buku, p = pensil, h = penghapus

2b + 3p + h = 15000 … (1)
b + p + 2h = 9000 … (2)
3b + p + h = 14000 … (3)

Pembahasan:

(1)−2×(2): 2b+3p+h − 2b−2p−4h = 15000−18000 → p−3h = −3000 … (4)
(3)−3×(2): 3b+p+h − 3b−3p−6h = 14000−27000 → −2p−5h = −13000 → 2p+5h = 13000 … (5)
2×(4): 2p−6h=−6000; (5): 2p+5h=13000 → (5)−2×(4): 11h = 19000… hmm.

Mari koreksi: 2×(4)+( 5): (2p−6h)+(2p+5h) = −6000+13000 → 4p−h = 7000 … kurang tepat.
(5)−2×(4): 2p+5h−2p+6h = 13000+6000 → 11h = 19000… tidak bulat.

Koreksi soal: Harga 2 buku, 3 pensil, dan 1 penghapus = Rp16.000; 1 buku, 1 pensil, 2 penghapus = Rp9.000; 3 buku, 1 pensil, 1 penghapus = Rp16.000.

2b + 3p + h = 16000 … (1)
b + p + 2h = 9000 … (2)
3b + p + h = 16000 … (3)

(1)−2×(2): p−3h = −2000 … (4)
(3)−3×(2): −2p−5h = −11000 → 2p+5h = 11000 … (5)
2×(4): 2p−6h=−4000; (5)−ini: 11h = 15000… masih tidak bulat.

Soal yang bersih:

2b + p + h = 13000 … (1)
b + 2p + h = 11000 … (2)
b + p + 2h = 8000 … (3)

(1)−(2): b−p = 2000 … (4)
(2)−(3): p−h = 3000 … (5)
(1)−(3): b−h = 5000 … (6) → cocok: (4)+(5) = b−h=5000 ✓
Dari (4): b = p+2000. Dari (5): h = p−3000.
Ke (2): (p+2000)+2p+(p−3000) = 11000 → 4p−1000 = 11000 → 4p = 12000 → p = 3000
b = 5000, h = 0… tidak realistis.

Soal final:

b + p + h = 10000 … (1)
2b + p + h = 14000 … (2)
b + 2p + h = 12000 … (3)

(2)−(1): b = 4000
(3)−(1): p = 2000
Ke (1): 4000+2000+h = 10000 → h = 4000

Buku = Rp4.000, Pensil = Rp2.000, Penghapus = Rp4.000

Soal 4

x + 3y + 2z = 17 … (1)
2x − y + z = 4 … (2)
3x + 2y − z = 8 … (3)

Pembahasan:

Eliminasi x. (1)×2−(2)×1 salah, lebih baik: (2)×3−(3)×2:
6x−3y+3z=12 dan 6x+4y−2z=16 → −7y+5z=−4 … (4)
(1)×2−(2): 2x+6y+4z−2x+y−z = 34−4 → 7y+3z=30 … (5)
(4)+(5): 8z=26 → z=13/4. Pecahan — mari pakai soal lain.

Soal:

x + 2y − z = 3 … (1)
2x − y + z = 5 … (2)
3x + y − 2z = 4 … (3)

(1)+(2): 3x + y = 8 … (4)
2×(1)+(2)×1 bukan — eliminasi z: 1×(1)+1×(2):
(1)+(2): 3x+y = 8 … (4) ✓ (z dieliminasi)
2×(2)+(1)×1: atau (3)+2×(1): 3x+y−2z+2x+4y−2z… hmm, gunakan:
(1)×2+(2): 2x+4y−2z+2x−y+z = 6+5 → 4x+3y−z=11. Belum hilang z.
(2)+(1): sudah dapat (4). Sekarang eliminasi z dari (1) dan (3):
2×(1)+(3): 2x+4y−2z+3x+y−2z=6+4 → 5x+5y−4z=10. z belum hilang.
(1)×2: 2x+4y−2z=6; (3): 3x+y−2z=4 → (1×2)−(3): −x+3y=2 … (5)
Dari (4): y = 8−3x. Ke (5): −x+3(8−3x) = 2 → −x+24−9x=2 → −10x=−22 → x=11/5… pecahan lagi.

Soal bersih:

x + 2y + z = 10 … (1)
2x + y − z = 5 … (2)
x − y + 2z = 7 … (3)

(1)+(2): 3x+3y = 15 → x+y=5 … (4)
2×(3)+(2): 2x−2y+4z+2x+y−z = 14+5 → 4x−y+3z=19. Masih ada z.
Eliminasi z dari (1)+(2): sudah. Dari (2)+2×(1): 2x+y−z+2x+4y+2z=5+20 → 4x+5y+z=25. Masih ada z.
(1)×1+(2)×1: 3x+3y=15 ✓ → x+y=5 … (4)
(1)×2−(3): 2x+4y+2z−x+y−2z = 20−7 → x+5y=13 … (5)
(5)−(4): 4y=8 → y=2. x=3. Ke(1): 3+4+z=10 → z=3.

HP = {(3, 2, 3)}

Soal 5

Soal cerita: Umur Ani, Budi, dan Cici berjumlah 48 tahun. Umur Ani ditambah Budi sama dengan 33 tahun. Umur Budi ditambah Cici sama dengan 30 tahun. Tentukan umur masing-masing!

a + b + c = 48 … (1)
a + b = 33 … (2)
b + c = 30 … (3)

Pembahasan:

Dari (2) ke (1): 33 + c = 48 → c = 15
Dari (3): b + 15 = 30 → b = 15
Dari (2): a + 15 = 33 → a = 18

Ani = 18, Budi = 15, Cici = 15 tahun

SULIT Contoh Soal Sulit (5 Soal)

Soal 1

3x + 2y + z = 16 … (1)
2x − 3y + 4z = 7 … (2)
x + 4y − 2z = 9 … (3)

Pembahasan:

Eliminasi x. (1)−3×(3): 3x+2y+z−3x−12y+6z = 16−27 → −10y+7z=−11 → 10y−7z=11 … (4)
(2)−2×(3): 2x−3y+4z−2x−8y+4z = 7−18 → −11y+8z=−11 → 11y−8z=11 … (5)
11×(4): 110y−77z=121; 10×(5): 110y−80z=110 → (11×4)−(10×5): 3z=11 → z=11/3… pecahan.

Soal diperbaiki:

3x + 2y − z = 7 … (1)
2x − y + 3z = 11 … (2)
x + 3y + 2z = 12 … (3)

Eliminasi x. (1)−3×(3): 3x+2y−z−3x−9y−6z=7−36 → −7y−7z=−29… pecahan.

Soal bersih:

4x + 2y + z = 14 … (1)
2x − y + 3z = 11 … (2)
x + 3y − 2z = −1 … (3)

(1)−2×(2): 4x+2y+z−4x+2y−6z=14−22 → 4y−5z=−8 … (4)
(2)−2×(3): 2x−y+3z−2x−6y+4z=11+2 → −7y+7z=13… pecahan.

Saya akan menyajikan soal yang sudah terverifikasi:

2x + 3y − z = 9 … (1)
x − 2y + 3z = 6 … (2)
3x + y + 2z = 16 … (3)

Eliminasi x. 2×(2)−(1): 2x−4y+6z−2x−3y+z=12−9 → −7y+7z=3… pecahan lagi.

Soal terverifikasi (solusi bulat):

2x + y − z = 3 … (1)
x − 2y + 3z = 10 … (2)
3x + 2y − 2z = 1 … (3)

Verifikasi x=1, y=2, z=3: (1) 2+2−3=1≠3. x=2,y=1,z=2: 4+1−2=3✓; 2−2+6=6≠10.
x=3,y=1,z=2: 6+1−2=5≠3.

Soal FINAL terverifikasi:

x + 2y + 3z = 14 … (1)
2x + y + z = 7 … (2)
3x + 3y + z = 14 … (3)

Verifikasi x=1, y=2, z=3: (1) 1+4+9=14✓ (2) 2+2+3=7✓ (3) 3+6+3=12≠14.
x=1,y=3,z=2: (1)1+6+6=13≠14. x=2,y=1,z=3: (1)2+2+9=13≠14.
x=1,y=2,z=3 → (3)=12. Coba (3)=12 instead: Pakai soal:

x + 2y + 3z = 14 … (1)
2x + y + z = 7 … (2)
3x + 3y + z = 12 … (3)

x=1,y=2,z=3: (1)14✓ (2)7✓ (3)12✓ ✅

Penyelesaian:
2×(1)−(2): 2x+4y+6z−2x−y−z=28−7 → 3y+5z=21 … (4)
3×(1)−(3): 3x+6y+9z−3x−3y−z=42−12 → 3y+8z=30 … (5)
(5)−(4): 3z=9 → z=3
Ke (4): 3y+15=21 → y=2
Ke (1): x+4+9=14 → x=1

HP = {(1, 2, 3)}

Soal 2

3x − y + 2z = 12 … (1)
x + 2y + z = 9 … (2)
2x + y − 3z = 1 … (3)

Verifikasi: x=2,y=1,z=3: (1)6−1+6=11≠12. x=3,y=1,z=2: 9−1+4=12✓; 3+2+2=7≠9. x=2,y=2,z=3: 6−2+6=10≠12. x=1,y=3,z=4: 3−3+8=8≠12. x=3,y=2,z=1.5→pecahan. Mari ganti:

3x + y − 2z = 4 … (1)
x + 2y + z = 10 … (2)
2x − y + 3z = 11 … (3)

x=1,y=3,z=2: (1)3+3−4=2≠4. x=2,y=2,z=2: 6+2−4=4✓; 2+4+2=8≠10. x=1,y=2,z=3: 3+2−6=−1≠4. x=3,y=1,z=2: 9+1−4=6≠4. x=2,y=3,z=1: 6+3−2=7≠4. x=1,y=4,z=3: 3+4−6=1≠4. Solusi: elim langsung.

Pembahasan:

3×(2)−(1): 3x+6y+3z−3x−y+2z=30−4 → 5y+5z=26… pecahan. Ganti soal:

2x + 3y − z = 8 … (1)
x − y + 2z = 3 … (2)
3x + y + z = 10 … (3)

x=2,y=1,z=1: (1)4+3−1=6≠8. x=1,y=2,z=0: 2+6−0=8✓; 1−2+0=−1≠3. x=2,y=2,z=1: 4+6−1=9≠8. x=1,y=3,z=1: 2+9−1=10≠8. x=3,y=1,z=1: 6+3−1=8✓; 3−1+2=4≠3. x=2,y=1,z=½→pecahan.

Soal terverifikasi:

x + 3y + 2z = 17 … (1)
2x + y − z = 3 … (2)
3x − y + z = 8 … (3)

x=1,y=2,z=4: 1+6+8=15≠17. x=2,y=3,z=2: 2+9+4=15≠17. x=1,y=4,z=2: 1+12+4=17✓; 2+4−2=4≠3. x=2,y=1,z=5: 2+3+10=15≠17. x=1,y=3,z=3: 1+9+6=16≠17.
Pecahkan langsung:
(2)+(3): 5x=11→pecahan. Ganti:

x + y + 3z = 14 … (1)
2x + 3y + z = 13 … (2)
3x + 2y + z = 13 … (3)

(3)−(2): x−y=0 → x=y … (4). Ke (2): 2x+3x+z=13 → 5x+z=13 … (5). Ke(1): x+x+3z=14 → 2x+3z=14 … (6). Dari (5): z=13−5x. Ke(6): 2x+39−15x=14 → −13x=−25 → pecahan.

Soal FINAL:

4x − y + 2z = 15 … (1)
x + 2y − z = 1 … (2)
2x + y + z = 9 … (3)

x=2,y=1,z=4: 8−1+8=15✓; 2+2−4=0≠1. x=3,y=1,z=2: 12−1+4=15✓; 3+2−2=3≠1. x=2,y=3,z=2: 8−3+4=9≠15.
(2)+(3): 3x+3y=10→pecahan.

Saya akan gunakan soal yang pasti bulat:

5x + y + z = 16 … (1)
x + 5y + z = 16 … (2)
x + y + 5z = 16 … (3)

Simetris! (1)−(2): 4x−4y=0 → x=y. (2)−(3): 4y−4z=0 → y=z. Jadi x=y=z. Ke(1): 7x=16→pecahan.

Ubah: sum=14 → 7x=14 → x=y=z=2 ✅

5x + y + z = 14 … (1)
x + 5y + z = 14 … (2)
x + y + 5z = 14 … (3)

Penyelesaian:
(1)−(2): 4x−4y=0 → x = y … (4)
(2)−(3): 4y−4z=0 → y = z … (5)
Jadi x = y = z. Ke (1): 5x+x+x = 14 → 7x = 14 → x = 2

HP = {(2, 2, 2)}

Soal 3

Soal cerita: Sebuah toko menjual 3 jenis buah. 4 kg apel + 2 kg jeruk + 1 kg mangga = Rp62.000. 1 kg apel + 3 kg jeruk + 2 kg mangga = Rp43.000. 2 kg apel + 1 kg jeruk + 4 kg mangga = Rp52.000. Tentukan harga per kg masing-masing!

4a + 2j + m = 62000 … (1)
a + 3j + 2m = 43000 … (2)
2a + j + 4m = 52000 … (3)

Verifikasi a=10000,j=5000,m=6000: (1)40+10+6=56≠62. a=12000,j=4000,m=2000: 48+8+2=58≠62. Pecahkan langsung.

Pembahasan:

(1)−4×(2): 4a+2j+m−4a−12j−8m = 62000−172000 → −10j−7m=−110000 → 10j+7m=110000 … (4)
(3)−2×(2): 2a+j+4m−2a−6j−4m = 52000−86000 → −5j=−34000 → j = 6800
Ke (4): 68000+7m=110000 → 7m=42000 → m = 6000
Ke (2): a+20400+12000=43000 → a=10600
Verifikasi (1): 42400+13600+6000=62000✓ (2): 10600+20400+12000=43000✓ (3): 21200+6800+24000=52000✓ ✅

Apel = Rp10.600/kg, Jeruk = Rp6.800/kg, Mangga = Rp6.000/kg

Soal 4

2x + 3y + 4z = 29 … (1)
x + y + z = 9 … (2)
3x + 2y + z = 16 … (3)

Verifikasi x=2,y=3,z=4: (1)4+9+16=29✓ (2)2+3+4=9✓ (3)6+6+4=16✓ ✅

Pembahasan:

Eliminasi x. (1)−2×(2): 2x+3y+4z−2x−2y−2z=29−18 → y+2z=11 … (4)
(3)−3×(2): 3x+2y+z−3x−3y−3z=16−27 → −y−2z=−11 → y+2z=11 … (5)
(4) dan (5) sama! Artinya kita butuh pendekatan lain.
Dari (4): y = 11−2z. Ke (2): x + (11−2z) + z = 9 → x = z−2 … (6)
Ke (3): 3(z−2) + 2(11−2z) + z = 16 → 3z−6+22−4z+z=16 → 16=16 ✓ (identitas)
Ini berarti ada tak hingga banyak solusi yang bergantung pada z.
Contoh: z=4 → x=2, y=3 → HP = {(z−2, 11−2z, z) | z ∈ ℝ}
Untuk jawaban tunggal, ambil z bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi: z=4 → (2,3,4)

HP = {(z−2, 11−2z, z) | z ∈ ℝ}, salah satu: (2, 3, 4)

Soal 5

Soal cerita: Tiga bilangan memiliki sifat: jumlah ketiganya 20; bilangan pertama dikurangi bilangan kedua ditambah dua kali bilangan ketiga sama dengan 23; dua kali bilangan pertama ditambah tiga kali bilangan kedua dikurangi bilangan ketiga sama dengan 10. Tentukan ketiga bilangan tersebut!

x + y + z = 20     … (1)
x − y + 2z = 23    … (2)
2x + 3y − z = 10   … (3)

Verifikasi x=5,y=6,z=9: (1)20✓ (2)5−6+18=17≠23. x=3,y=8,z=9: 3−8+18=13≠23. x=8,y=3,z=9: 8−3+18=23✓; 16+9−9=16≠10. x=7,y=4,z=9: 7−4+18=21≠23. x=6,y=4,z=10: 6−4+20=22≠23. x=7,y=2,z=11: 7−2+22=27≠23. Pecahkan:

Pembahasan:

(1)+(2): 2x+3z=43 … (4) — mengeliminasi y salah: (1)−(2): 2y−z=−3 … (4′)
(1)+(2): x+y+z+x−y+2z=20+23 → 2x+3z=43 … (4)
3×(1)+(3): 3x+3y+3z+2x+3y−z = 60+10 → 5x+6y+2z=70 … — terlalu rumit.
Eliminasi y. (1)+(2): 2x+3z=43 … (4) ✓
3×(2)+(3): 3x−3y+6z+2x+3y−z=69+10 → 5x+5z=79… tidak bulat.
Hmm. Dari (4): 2x+3z=43. Eliminasi y dari (1) dan (3): ×3(1): 3x+3y+3z=60; (3): 2x+3y−z=10 → x+4z=50 … (5)
Dari (4): x=(43−3z)/2. Ke (5): (43−3z)/2 +4z=50 → 43−3z+8z=100 → 5z=57 → z=57/5… pecahan.

Soal diperbaiki:

x + y + z = 20 … (1)
x − y + 2z = 15 … (2)
2x + 3y − z = 15 … (3)

(1)+(2): 2x+3z=35 … (4). 3×(1)+(3)− salah. 3(1): 3x+3y+3z=60; (3): 2x+3y−z=15. Kurangkan: x+4z=45 … (5)
(4): x=(35−3z)/2. Ke (5): (35−3z)/2+4z=45 → 35−3z+8z=90 → 5z=55 → z=11
x=(35−33)/2 = 1. Ke(1): 1+y+11=20 → y=8
Verifikasi: (1)20✓ (2)1−8+22=15✓ (3)2+24−11=15✓ ✅

HP = {(1, 8, 11)}

MUDAH Latihan Soal Mudah (10 Soal)

Selesaikan menggunakan metode eliminasi bertahap. Tanpa pembahasan.

1.
x + y + z = 9, x + y − z = 3, x − y + z = 5

2.
x + y + z = 12, 2x + y + z = 16, x + 2y + z = 14

3.
x + y + z = 10, x − y + z = 4, x + y − z = 6

4.
2x + y + z = 13, x + y + z = 9, x + y + 2z = 12

5.
x + 2y + z = 11, x + y + z = 8, x + y + 2z = 10

6.
x + y + z = 15, x − y + z = 7, x + y − z = 9

7.
3x + y + z = 20, x + y + z = 12, x + y + 3z = 18

8.
x + y + z = 14, 2x + y + z = 18, x + 3y + z = 20

9.
x + y + z = 11, x − y + z = 5, 2x + y + z = 15

10.
x + y + z = 8, x + y − z = 2, x − y + z = 4

SEDANG Latihan Soal Sedang (5 Soal)

1.
2x + y + z = 11, x + 2y + z = 10, x + y + 2z = 9

2.
x + 2y + 3z = 14, 2x + y + z = 7, 3x + 3y + z = 12

3. Harga 2 buku + 1 pensil + 1 penghapus = Rp12.000. Harga 1 buku + 2 pensil + 1 penghapus = Rp10.000. Harga 1 buku + 1 pensil + 2 penghapus = Rp8.000. Tentukan harga masing-masing!

4.
x + 2y − z = 5, 2x + y + z = 8, x − y + 2z = 3

5. Umur A + B + C = 60 tahun. A + B = 42 tahun. B + C = 38 tahun. Tentukan umur masing-masing!

SULIT Latihan Soal Sulit (5 Soal)

1.
5x + y + z = 14, x + 5y + z = 14, x + y + 5z = 14

2.
2x + 3y + 4z = 29, x + y + z = 9, 4x + 2y + 3z = 25

3. 4 kg apel + 2 kg jeruk + 1 kg mangga = Rp55.000. 1 kg apel + 3 kg jeruk + 2 kg mangga = Rp35.000. 2 kg apel + 1 kg jeruk + 3 kg mangga = Rp40.000. Tentukan harga per kg!

4.
3x + 2y − z = 10, x − y + 2z = 5, 2x + y + 3z = 17

5. Tiga bilangan: jumlahnya 30; bilangan pertama dikurangi kedua ditambah dua kali ketiga = 25; dua kali pertama ditambah tiga kali kedua dikurangi ketiga = 25. Tentukan ketiga bilangan!

📖 Materi: Metode Eliminasi Bertahap pada SPLTV

A. Pengertian SPLTV

B. Pengertian Metode Eliminasi

C. Langkah-Langkah Eliminasi Bertahap

📋 Tahap-Tahap Eliminasi Bertahap

D. Contoh Penerapan Langkah Demi Langkah

E. Tips Penting

MUDAH Contoh Soal Mudah (10 Soal)

Pembahasan:

Pembahasan:

Pembahasan:

Pembahasan:

Pembahasan:

Pembahasan:

Pembahasan:

Pembahasan:

Pembahasan:

Pembahasan:

SEDANG Contoh Soal Sedang (5 Soal)

Pembahasan:

Pembahasan:

Pembahasan:

Pembahasan:

Pembahasan:

SULIT Contoh Soal Sulit (5 Soal)

Pembahasan:

Pembahasan:

Pembahasan:

Pembahasan:

MUDAH Latihan Soal Mudah (10 Soal)

SEDANG Latihan Soal Sedang (5 Soal)

SULIT Latihan Soal Sulit (5 Soal)

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed