📐 Pengertian Turunan
Matematika Kelas XI — Materi Lengkap, Contoh Soal & Latihan
📑 Daftar Isi
1. Pengertian Turunan
Perhatikan situasi berikut ini:
Situasi: Sebuah mobil bergerak dengan posisi yang berubah-ubah terhadap waktu. Pada detik ke-2 posisinya di km ke-4, pada detik ke-3 posisinya di km ke-9.
Kecepatan rata-rata mobil antara detik ke-2 dan ke-3 adalah:
Namun, bagaimana jika kita ingin mengetahui kecepatan sesaat tepat pada detik ke-2? Di sinilah konsep turunan berperan.
Amati bahwa ketika selang waktu Δt dibuat semakin kecil (mendekati nol), kecepatan rata-rata akan mendekati kecepatan sesaat. Proses “mendekati nol” inilah yang disebut limit, dan hasilnya disebut turunan.
Pertanyaan kunci:
- Apa yang dimaksud dengan turunan suatu fungsi?
- Bagaimana cara menghitung turunan menggunakan definisi (limit)?
- Apa makna geometris dari turunan?
- Apa hubungan antara turunan dengan kecepatan sesaat?
Definisi Formal Turunan
Jika f(x) adalah suatu fungsi, maka turunan dari f(x) terhadap x didefinisikan sebagai:
dengan syarat limit tersebut ada (terdefinisi).
Penjelasan setiap bagian:
- f′(x) → dibaca “f aksen x” atau “turunan f terhadap x“
- f(x + h) → nilai fungsi di titik (x + h)
- f(x) → nilai fungsi di titik x
- h → perubahan kecil pada x yang mendekati 0
- Pecahan f(x + h) − f(x)h disebut hasil bagi diferensi
Definisi Alternatif
Turunan juga dapat ditulis dengan bentuk lain. Jika kita ganti h dengan (a − x), maka:
Makna Turunan
Secara sederhana, turunan mengukur laju perubahan suatu fungsi. Turunan menjawab pertanyaan:
“Seberapa cepat nilai f(x) berubah ketika x berubah sedikit saja?”
| Konteks | Fungsi | Turunan Berarti |
|---|---|---|
| Posisi terhadap waktu | s(t) | Kecepatan sesaat |
| Kecepatan terhadap waktu | v(t) | Percepatan sesaat |
| Biaya terhadap jumlah produksi | C(x) | Biaya marginal |
| Populasi terhadap waktu | P(t) | Laju pertumbuhan |
2. Notasi Turunan
🔍 MengamatiAda beberapa cara menuliskan turunan. Semua notasi berikut bermakna sama:
| Notasi | Dibaca | Pencetus |
|---|---|---|
| f ′(x) | f aksen x | Lagrange |
| dydx | dy per dx | Leibniz |
| dfdx | df per dx | Leibniz |
| y′ | y aksen | Lagrange |
| Df(x) | D f x | Euler |
Catatan Penting:
- Notasi dydx bukan pecahan biasa! Ini adalah satu simbol utuh yang berarti “turunan y terhadap x“.
- Tanda ′ (prime/aksen) berarti “turunan pertama”.
- Notasi Lagrange (f ′) paling sering digunakan di tingkat SMA.
Turunan di Titik Tertentu
Jika kita ingin mengetahui nilai turunan di titik x = a, notasinya:
Artinya, kita menghitung laju perubahan fungsi tepat di titik x = a.
3. Turunan Sebagai Limit — Langkah demi Langkah
🧪 MencobaContoh Proses Menghitung Turunan dengan Definisi
Tentukan turunan dari f(x) = x2 menggunakan definisi limit.
Langkah 1: Tulis definisi turunan
Langkah 2: Hitung f(x + h)
Langkah 3: Substitusi ke rumus
Langkah 4: Sederhanakan
Langkah 5: Substitusi h = 0
Kesimpulan: Turunan dari f(x) = x2 adalah f ′(x) = 2x
Tabel Proses Menghitung Turunan dengan Definisi
| Langkah | Proses |
|---|---|
| 1 | Tulis definisi turunan (rumus limit) |
| 2 | Hitung f(x + h) |
| 3 | Substitusi ke rumus limit |
| 4 | Sederhanakan (faktorkan h, coret h) |
| 5 | Substitusi h = 0 |
4. Interpretasi Geometris Turunan
🔍 MengamatiSecara geometris, turunan di suatu titik sama dengan kemiringan (gradien) garis singgung kurva di titik tersebut.
Hubungan Geometris:
- Garis potong (secant) melalui dua titik pada kurva memiliki gradien = f(a+h) − f(a)h
- Ketika h → 0, garis potong berubah menjadi garis singgung.
- Gradien garis singgung di titik x = a = f ′(a)
Rangkuman konsep turunan:
Turunan f ′(a) adalah limit dari gradien garis potong ketika dua titik pada kurva saling berdekatan. Secara fisika, turunan menunjukkan laju perubahan sesaat. Secara geometri, turunan menunjukkan kemiringan garis singgung.
5. Contoh Soal & Pembahasan
MUDAH Contoh Soal Tingkat Mudah
Soal 1. Dengan menggunakan definisi limit, tentukan turunan dari f(x) = 3x.
Soal 2. Tentukan turunan dari f(x) = 5 menggunakan definisi.
Soal 3. Tentukan turunan dari f(x) = 2x + 1 menggunakan definisi.
Soal 4. Tentukan turunan dari f(x) = x2 di titik x = 3.
Soal 5. Tentukan turunan dari f(x) = −4x + 7 menggunakan definisi.
SEDANG Contoh Soal Tingkat Sedang
Soal 6. Tentukan turunan dari f(x) = x2 − 3x + 2 menggunakan definisi.
Soal 7. Tentukan turunan dari f(x) = x3 menggunakan definisi.
Soal 8. Tentukan turunan dari f(x) = 1x menggunakan definisi.
Soal 9. Tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = x2 + 2x di titik x = 1.
Soal 10. Tentukan turunan dari f(x) = 2x2 + 5x − 1 menggunakan definisi.
SULIT Contoh Soal Tingkat Sulit
Soal 11. Tentukan turunan dari f(x) = √x menggunakan definisi.
Soal 12. Tentukan turunan dari f(x) = 1√x menggunakan definisi.
Soal 13. Tentukan turunan dari f(x) = x3 − 2x2 + x menggunakan definisi, lalu hitung f ′(2).
Soal 14. Tentukan turunan dari f(x) = xx + 1 menggunakan definisi.
Soal 15. Tentukan persamaan garis singgung kurva f(x) = x2 − 4x + 3 di titik x = 1 menggunakan definisi turunan.
6. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan definisi turunan (limit).
MUDAH
1. Tentukan turunan dari f(x) = 7x menggunakan definisi.
2. Tentukan turunan dari f(x) = −10 menggunakan definisi.
3. Tentukan turunan dari f(x) = 3x − 5 menggunakan definisi.
4. Tentukan f ′(2) jika f(x) = x2.
5. Tentukan turunan dari f(x) = 12x + 4 menggunakan definisi.
SEDANG
6. Tentukan turunan dari f(x) = 3x2 − 2x + 1 menggunakan definisi.
7. Tentukan turunan dari f(x) = x2 + 4x menggunakan definisi, lalu hitung f ′(−1).
8. Tentukan turunan dari f(x) = 2x menggunakan definisi.
9. Tentukan gradien garis singgung kurva y = x2 − 5x di titik x = 3.
10. Tentukan turunan dari f(x) = −x2 + 6x − 8 menggunakan definisi.
SULIT
11. Tentukan turunan dari f(x) = √(2x + 1) menggunakan definisi.
12. Tentukan turunan dari f(x) = x3 + x menggunakan definisi, lalu hitung f ′(−1).
13. Tentukan turunan dari f(x) = x2x − 1 menggunakan definisi.
14. Tentukan persamaan garis singgung kurva f(x) = x2 + 2 di titik x = −1.
15. Tentukan turunan dari f(x) = 1x2 menggunakan definisi.
[…] Pengertian Turunan […]