Menggambar Grafik Turunan Fungsi
Matematika
📘 Materi
A. Pengertian Grafik Turunan Fungsi
Jika kita memiliki fungsi \( f(x) \), maka turunan pertamanya \( f'(x) \) juga merupakan fungsi. Grafik dari \( f'(x) \) disebut grafik turunan fungsi.
Menggambar grafik turunan fungsi berarti kita menggambar grafik \( y = f'(x) \) berdasarkan informasi yang kita peroleh dari grafik \( y = f(x) \), atau sebaliknya.
Hubungan penting:
- \( f'(x) \) menyatakan gradien garis singgung pada grafik \( f(x) \) di titik \( x \).
- Jika \( f'(x) > 0 \), maka \( f(x) \) naik (monoton naik).
- Jika \( f'(x) < 0 \), maka \( f(x) \) turun (monoton turun).
- Jika \( f'(x) = 0 \), maka \( f(x) \) memiliki titik stasioner (puncak/lembah).
Perhatikan grafik fungsi \( f(x) = x^2 – 4x + 3 \) berikut:
Amati bahwa:
- Pada interval \( x < 2 \), grafik \( f(x) \) turun → maka \( f'(x) < 0 \)
- Pada \( x = 2 \), grafik memiliki titik minimum → maka \( f'(2) = 0 \)
- Pada interval \( x > 2 \), grafik \( f(x) \) naik → maka \( f'(x) > 0 \)
Turunannya: \( f'(x) = 2x – 4 \), yang merupakan garis lurus melalui titik \( (2, 0) \).
B. Langkah-Langkah Menggambar Grafik Turunan dari Grafik Fungsi
- Identifikasi titik stasioner pada grafik \( f(x) \). Di titik-titik ini, \( f'(x) = 0 \), sehingga grafik \( f'(x) \) memotong sumbu-\( x \).
- Tentukan interval naik dan turun:
- Interval naik → \( f'(x) > 0 \) (grafik \( f'(x) \) di atas sumbu-\( x \))
- Interval turun → \( f'(x) < 0 \) (grafik \( f'(x) \) di bawah sumbu-\( x \))
- Perhatikan kecuraman (kemiringan):
- Semakin curam grafik \( f(x) \), semakin besar nilai \( |f'(x)| \)
- Semakin landai grafik \( f(x) \), semakin kecil nilai \( |f'(x)| \)
- Tentukan titik belok pada \( f(x) \). Di titik belok, \( f”(x) = 0 \), yang berarti \( f'(x) \) memiliki titik stasioner (maks/min lokal).
- Hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva mulus.
Setelah mengamati hubungan antara grafik fungsi dan turunannya, ajukan pertanyaan:
- Bagaimana bentuk grafik turunan jika grafik fungsi aslinya adalah parabola?
- Bagaimana bentuk grafik turunan jika grafik fungsi aslinya adalah kubik?
- Apa yang terjadi pada grafik turunan ketika grafik fungsi memiliki titik belok?
- Bisakah kita menentukan grafik fungsi asli dari grafik turunannya?
C. Hubungan Derajat Fungsi dan Turunannya
Jika \( f(x) \) adalah polinom berderajat \( n \), maka \( f'(x) \) adalah polinom berderajat \( n-1 \).
| Fungsi \( f(x) \) | Derajat | Turunan \( f'(x) \) | Derajat | Bentuk Grafik \( f'(x) \) |
|---|---|---|---|---|
| Linear \( ax + b \) | 1 | \( a \) | 0 | Garis horizontal |
| Kuadrat \( ax^2+bx+c \) | 2 | \( 2ax+b \) | 1 | Garis lurus |
| Kubik \( ax^3+… \) | 3 | \( 3ax^2+… \) | 2 | Parabola |
| Kuartik \( ax^4+… \) | 4 | \( 4ax^3+… \) | 3 | Kubik |
Berdasarkan tabel di atas, kita dapat menyimpulkan:
- Turunan dari fungsi linear adalah konstanta, sehingga grafik turunannya berupa garis horizontal.
- Turunan dari fungsi kuadrat adalah linear, sehingga grafik turunannya berupa garis lurus.
- Turunan dari fungsi kubik adalah kuadrat, sehingga grafik turunannya berupa parabola.
- Jumlah titik stasioner pada \( f(x) \) = jumlah akar (titik potong sumbu-x) pada \( f'(x) \).
D. Menggambar Grafik Turunan Berdasarkan Tabel Tanda
Metode tabel tanda membantu kita menentukan di mana \( f'(x) \) positif, negatif, atau nol.
Contoh: Untuk \( f(x) = x^3 – 3x \), maka \( f'(x) = 3x^2 – 3 = 3(x-1)(x+1) \).
| Interval | \( x < -1 \) | \( x = -1 \) | \( -1 < x < 1 \) | \( x = 1 \) | \( x > 1 \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( f'(x) \) | \( + \) | \( 0 \) | \( – \) | \( 0 \) | \( + \) |
| \( f(x) \) | Naik ↗ | Maks lokal | Turun ↘ | Min lokal | Naik ↗ |
Cobalah menggambar grafik turunan dari fungsi berikut:
- Diberikan \( f(x) = x^2 + 2x – 3 \). Tentukan \( f'(x) \) dan gambar grafiknya.
- Diberikan \( f(x) = -x^3 + 3x^2 \). Tentukan \( f'(x) \), cari titik stasioner, dan gambar grafik \( f'(x) \).
- Dari grafik fungsi yang memiliki titik puncak di \( (1, 5) \) dan titik lembah di \( (3, 1) \), sketsa grafik turunannya.
E. Menggambar Grafik Fungsi dari Grafik Turunannya
Proses kebalikan juga penting: dari grafik \( f'(x) \), kita dapat menyimpulkan sifat grafik \( f(x) \).
- Di mana \( f'(x) \) memotong sumbu-\( x \) → \( f(x) \) memiliki titik stasioner
- Di mana \( f'(x) > 0 \) → \( f(x) \) naik
- Di mana \( f'(x) < 0 \) → \( f(x) \) turun
- Titik maks/min pada \( f'(x) \) → titik belok pada \( f(x) \)
- Jika \( f'(x) \) berubah dari positif ke negatif di \( x = a \) → \( f(a) \) adalah maksimum lokal
- Jika \( f'(x) \) berubah dari negatif ke positif di \( x = a \) → \( f(a) \) adalah minimum lokal
Komunikasikan pemahamanmu:
- Jelaskan kepada temanmu hubungan antara titik stasioner pada \( f(x) \) dengan akar-akar \( f'(x) \).
- Buat poster atau infografis yang menunjukkan langkah-langkah menggambar grafik turunan.
- Presentasikan bagaimana perubahan kemiringan grafik \( f(x) \) memengaruhi nilai \( f'(x) \).
- Diskusikan: apakah mungkin \( f'(x) \) selalu positif? Apa artinya bagi \( f(x) \)?
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Contoh Soal Mudah (1–5)
Soal 1. Tentukan turunan dari \( f(x) = 3x^2 – 2x + 1 \) dan gambar sketsa grafiknya.
Pembahasan:
\( f'(x) = 6x – 2 \)
Ini adalah fungsi linear dengan gradien 6 dan memotong sumbu-\( x \) di \( x = \frac{1}{3} \).
Grafik \( f'(x) \) berupa garis lurus naik yang melewati titik \( \left(\frac{1}{3}, 0\right) \) dan \( (0, -2) \).
Interpretasi: \( f(x) \) turun untuk \( x < \frac{1}{3} \) dan naik untuk \( x > \frac{1}{3} \).
Soal 2. Diketahui \( f(x) = x^2 – 6x + 8 \). Tentukan \( f'(x) \) dan tentukan di mana grafik turunan memotong sumbu-\( x \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 2x – 6 \)
Grafik \( f'(x) \) memotong sumbu-\( x \) ketika \( f'(x) = 0 \):
\( 2x – 6 = 0 \Rightarrow x = 3 \)
Grafik \( f'(x) \) adalah garis lurus melalui \( (3, 0) \) dengan gradien positif 2.
Soal 3. Jika grafik \( f(x) \) adalah garis lurus \( f(x) = 4x + 7 \), gambarkan grafik \( f'(x) \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 4 \) (konstanta)
Grafik \( f'(x) \) adalah garis horizontal di \( y = 4 \). Ini menunjukkan bahwa kemiringan grafik \( f(x) \) selalu sama (konstan) di setiap titik.
Soal 4. Tentukan \( f'(x) \) dari \( f(x) = -2x^2 + 8x \) dan tentukan titik di mana \( f'(x) = 0 \).
Pembahasan:
\( f'(x) = -4x + 8 \)
\( f'(x) = 0 \Rightarrow -4x + 8 = 0 \Rightarrow x = 2 \)
Grafik \( f'(x) \) berupa garis lurus turun (gradien negatif) yang memotong sumbu-\( x \) di \( x = 2 \).
Artinya \( f(x) \) memiliki titik puncak (maksimum) di \( x = 2 \).
Soal 5. Diketahui \( f(x) = 5 \) (fungsi konstan). Gambarkan grafik \( f'(x) \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 0 \) untuk semua \( x \).
Grafik \( f'(x) \) adalah sumbu-\( x \) itu sendiri (garis \( y = 0 \)). Ini menunjukkan bahwa fungsi konstan tidak memiliki perubahan kemiringan — grafik aslinya adalah garis horizontal.
🟡 Contoh Soal Sedang (6–10)
Soal 6. Tentukan \( f'(x) \) dari \( f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 2 \), cari titik stasioner, dan sketsa grafik \( f'(x) \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x^2 – 4x + 3) = 3(x-1)(x-3) \)
Titik stasioner: \( f'(x) = 0 \Rightarrow x = 1 \) atau \( x = 3 \)
Grafik \( f'(x) \) adalah parabola terbuka ke atas (koefisien \( x^2 \) positif) yang memotong sumbu-\( x \) di \( x = 1 \) dan \( x = 3 \).
Titik minimum parabola di \( x = 2 \): \( f'(2) = 3(4) – 12(2) + 9 = -3 \).
Tabel tanda:
- \( x < 1 \): \( f'(x) > 0 \) → \( f(x) \) naik
- \( 1 < x < 3 \): \( f'(x) < 0 \) → \( f(x) \) turun
- \( x > 3 \): \( f'(x) > 0 \) → \( f(x) \) naik
Soal 7. Dari grafik fungsi \( f(x) \) yang memiliki titik maksimum di \( (-2, 4) \) dan titik minimum di \( (1, -1) \), sketsa grafik \( f'(x) \).
Pembahasan:
Karena \( f(x) \) memiliki 2 titik stasioner, maka \( f(x) \) berderajat minimal 3, dan \( f'(x) \) berderajat minimal 2 (parabola).
Informasi untuk grafik \( f'(x) \):
- \( f'(-2) = 0 \) dan \( f'(1) = 0 \) → parabola memotong sumbu-x di \( x = -2 \) dan \( x = 1 \)
- Dari maks ke min: \( f(x) \) turun di \( (-2, 1) \) → \( f'(x) < 0 \) di interval ini
- \( f(x) \) naik di \( x < -2 \) dan \( x > 1 \) → \( f'(x) > 0 \)
- Parabola terbuka ke atas dengan titik minimum di \( x = -\frac{1}{2} \)
Soal 8. Tentukan \( f'(x) \) dari \( f(x) = 2x^3 + 3x^2 – 12x + 1 \) dan buat tabel tanda.
Pembahasan:
\( f'(x) = 6x^2 + 6x – 12 = 6(x^2 + x – 2) = 6(x+2)(x-1) \)
\( f'(x) = 0 \Rightarrow x = -2 \) atau \( x = 1 \)
| Interval | \( x < -2 \) | \( x = -2 \) | \( -2 < x < 1 \) | \( x = 1 \) | \( x > 1 \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( (x+2) \) | − | 0 | + | + | + |
| \( (x-1) \) | − | − | − | 0 | + |
| \( f'(x) \) | + | 0 | − | 0 | + |
| \( f(x) \) | Naik | Maks | Turun | Min | Naik |
Grafik \( f'(x) \) adalah parabola terbuka ke atas, memotong sumbu-x di \( x = -2 \) dan \( x = 1 \).
Soal 9. Diketahui \( f(x) = \frac{1}{4}x^4 – 2x^2 \). Tentukan \( f'(x) \), cari semua titik stasioner, dan gambar grafik \( f'(x) \).
Pembahasan:
\( f'(x) = x^3 – 4x = x(x^2 – 4) = x(x-2)(x+2) \)
\( f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0, \; x = 2, \; x = -2 \)
Grafik \( f'(x) \) adalah kubik (berderajat 3) yang memotong sumbu-x di tiga titik: \( x = -2, 0, 2 \).
Tabel tanda:
- \( x < -2 \): \( f'(x) < 0 \) (turun)
- \( -2 < x < 0 \): \( f'(x) > 0 \) (naik)
- \( 0 < x < 2 \): \( f'(x) < 0 \) (turun)
- \( x > 2 \): \( f'(x) > 0 \) (naik)
Koefisien utama positif → kubik naik dari kiri bawah ke kanan atas.
Soal 10. Diketahui grafik \( f'(x) \) adalah garis lurus \( y = 2x – 6 \). Tentukan sifat grafik \( f(x) \).
Pembahasan:
Karena \( f'(x) = 2x – 6 \) linear, maka \( f(x) \) berderajat 2 (kuadrat).
\( f'(x) = 0 \Rightarrow x = 3 \) → titik stasioner di \( x = 3 \)
Karena koefisien \( x \) pada \( f'(x) \) positif (yaitu 2), maka \( f'(x) \) berubah dari negatif ke positif → titik stasioner di \( x = 3 \) adalah minimum.
Kesimpulan: \( f(x) \) adalah parabola terbuka ke atas dengan titik minimum di \( x = 3 \).
🔴 Contoh Soal Sulit (11–15)
Soal 11. Diketahui \( f(x) = x^4 – 4x^3 + 4x^2 \). Tentukan \( f'(x) \), cari semua titik stasioner beserta jenisnya, dan gambar sketsa grafik \( f'(x) \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 4x^3 – 12x^2 + 8x = 4x(x^2 – 3x + 2) = 4x(x-1)(x-2) \)
\( f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0, \; x = 1, \; x = 2 \)
Tabel tanda:
| \( x \) | \( <0 \) | 0 | \( (0,1) \) | 1 | \( (1,2) \) | 2 | \( >2 \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( f'(x) \) | − | 0 | + | 0 | − | 0 | + |
| \( f(x) \) | ↘ | min | ↗ | maks | ↘ | min | ↗ |
Grafik \( f'(x) = 4x^3 – 12x^2 + 8x \) adalah kubik dengan koefisien utama positif, memotong sumbu-x di 0, 1, dan 2.
\( f”(x) = 12x^2 – 24x + 8 = 0 \Rightarrow x = \frac{24 \pm \sqrt{576-384}}{24} = \frac{24 \pm \sqrt{192}}{24} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \)
Titik belok \( f'(x) \) di \( x \approx 0.42 \) dan \( x \approx 1.58 \).
Soal 12. Diketahui \( f(x) = x \cdot e^{-x} \). Tentukan \( f'(x) \), tentukan titik stasioner, dan gambar grafik \( f'(x) \).
Pembahasan:
Menggunakan aturan perkalian: \( f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1-x) \)
\( f'(x) = 0 \Rightarrow e^{-x}(1-x) = 0 \)
Karena \( e^{-x} > 0 \) untuk semua \( x \), maka \( 1 – x = 0 \Rightarrow x = 1 \)
Tabel tanda:
- \( x < 1 \): \( (1-x) > 0 \) → \( f'(x) > 0 \) → \( f(x) \) naik
- \( x > 1 \): \( (1-x) < 0 \) → \( f'(x) < 0 \) → \( f(x) \) turun
Grafik \( f'(x) = e^{-x}(1-x) \): bernilai positif di kiri \( x=1 \), nol di \( x=1 \), negatif di kanan. Saat \( x \to -\infty \), \( f'(x) \to +\infty \); saat \( x \to +\infty \), \( f'(x) \to 0^- \). Kurva menurun, memotong sumbu-x di \( x = 1 \), lalu mendekati 0 dari bawah.
Soal 13. Diketahui \( f(x) = \sin(x) + \frac{1}{2}\sin(2x) \) pada interval \( [0, 2\pi] \). Tentukan \( f'(x) \) dan titik-titik stasionernya.
Pembahasan:
\( f'(x) = \cos(x) + \cos(2x) \)
Gunakan identitas: \( \cos(2x) = 2\cos^2(x) – 1 \)
\( f'(x) = \cos(x) + 2\cos^2(x) – 1 \)
Misalkan \( u = \cos(x) \): \( 2u^2 + u – 1 = 0 \Rightarrow (2u – 1)(u + 1) = 0 \)
\( u = \frac{1}{2} \) atau \( u = -1 \)
\( \cos(x) = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \)
\( \cos(x) = -1 \Rightarrow x = \pi \)
Titik stasioner di \( x = \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3} \).
Grafik \( f'(x) = \cos(x) + \cos(2x) \) adalah fungsi periodik yang memotong sumbu-x di titik-titik tersebut.
Soal 14. Diketahui \( f(x) = x^3 – 3x^2 – 9x + 5 \). Tentukan interval di mana grafik \( f'(x) \) berada di bawah sumbu-x, dan tentukan titik belok \( f(x) \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 3x^2 – 6x – 9 = 3(x^2 – 2x – 3) = 3(x-3)(x+1) \)
\( f'(x) < 0 \) ketika \( (x-3)(x+1) < 0 \Rightarrow -1 < x < 3 \)
Grafik \( f'(x) \) berada di bawah sumbu-x pada interval \( (-1, 3) \).
Titik belok: \( f”(x) = 6x – 6 = 0 \Rightarrow x = 1 \)
\( f(1) = 1 – 3 – 9 + 5 = -6 \), jadi titik belok di \( (1, -6) \).
Pada grafik \( f'(x) \), titik \( x = 1 \) adalah titik minimum parabola: \( f'(1) = 3(1-3)(1+1) = 3(-2)(2) = -12 \). Jadi titik minimum \( f'(x) \) di \( (1, -12) \).
Soal 15. Diberikan grafik \( f'(x) \) berupa parabola terbuka ke bawah dengan puncak di \( (2, 4) \) dan memotong sumbu-x di \( x = 0 \) dan \( x = 4 \). Tentukan sifat-sifat grafik \( f(x) \) secara lengkap.
Pembahasan:
Dari informasi: \( f'(x) = a(x)(x-4) \) dengan \( a < 0 \) (terbuka ke bawah).
Puncak di \( x = 2 \): \( f'(2) = a(2)(2-4) = a(2)(-2) = -4a = 4 \Rightarrow a = -1 \)
Jadi \( f'(x) = -x(x-4) = -x^2 + 4x \)
Sifat \( f(x) \):
- \( f'(0) = 0 \) → titik stasioner di \( x = 0 \). Karena \( f'(x) \) berubah dari negatif (\( x<0 \)) ke positif (\( 0
<4 \)) → minimum lokal di \( x = 0 \) - \( f'(4) = 0 \) → titik stasioner di \( x = 4 \). Karena \( f'(x) \) berubah dari positif ke negatif (\( x>4 \)) → maksimum lokal di \( x = 4 \)
- Interval naik: \( 0 < x < 4 \)
- Interval turun: \( x < 0 \) dan \( x > 4 \)
- Titik belok: di mana \( f'(x) \) mencapai puncak, yaitu \( x = 2 \). Di sini perubahan kecekungan \( f(x) \).
- \( f(x) \) berderajat 3 (kubik) karena \( f'(x) \) berderajat 2.
🏋️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan langkah-langkah yang telah dipelajari.
🟢 Latihan Mudah (1–5)
1. Tentukan \( f'(x) \) dari \( f(x) = 2x^2 + 5x – 3 \) dan gambar sketsa grafik turunannya.
2. Diketahui \( f(x) = -x^2 + 4x + 1 \). Tentukan \( f'(x) \), tentukan di mana \( f'(x) = 0 \), dan gambar grafik \( f'(x) \).
3. Jika \( f(x) = 7x – 2 \), gambarkan grafik \( f'(x) \).
4. Diketahui \( f(x) = x^2 + 1 \). Tentukan \( f'(x) \) dan jelaskan arti grafik turunannya terhadap grafik fungsi asli.
5. Gambar grafik \( f'(x) \) jika diketahui \( f(x) = -3x^2 + 12x – 5 \).
🟡 Latihan Sedang (6–10)
6. Tentukan \( f'(x) \) dari \( f(x) = x^3 – 3x + 2 \). Cari titik stasioner dan buat sketsa grafik \( f'(x) \).
7. Diketahui \( f(x) = -x^3 + 6x^2 – 9x + 4 \). Tentukan \( f'(x) \), tentukan interval naik dan turun \( f(x) \), serta gambar grafik \( f'(x) \).
8. Dari grafik fungsi \( f(x) \) yang memiliki titik minimum di \( (0, -2) \) dan titik maksimum di \( (4, 6) \), sketsa grafik \( f'(x) \).
9. Tentukan \( f'(x) \) dari \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 – x^2 – 3x + 5 \) dan gambar grafiknya beserta tabel tanda.
10. Diketahui grafik \( f'(x) \) adalah parabola terbuka ke atas yang memotong sumbu-x di \( x = -1 \) dan \( x = 5 \). Tentukan interval di mana \( f(x) \) naik dan turun, serta letak titik stasioner.
🔴 Latihan Sulit (11–15)
11. Diketahui \( f(x) = x^4 – 8x^2 + 16 \). Tentukan \( f'(x) \), cari semua titik stasioner, tentukan jenisnya, dan gambar grafik \( f'(x) \).
12. Diberikan \( f(x) = x^2 \cdot e^{-x} \). Tentukan \( f'(x) \), cari titik stasioner, dan sketsa grafik turunannya.
13. Diketahui grafik \( f'(x) \) adalah kubik yang memotong sumbu-x di \( x = -3, 0, 2 \) dengan koefisien utama positif. Tentukan secara lengkap sifat grafik \( f(x) \) termasuk interval naik/turun dan jenis titik stasioner.
14. Tentukan \( f'(x) \) dari \( f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1} \). Cari titik stasioner dan gambar sketsa grafik \( f'(x) \).
15. Diberikan \( f(x) = 2\sin(x) – \sin(2x) \) pada \( [0, 2\pi] \). Tentukan \( f'(x) \), semua titik stasioner pada interval tersebut, dan gambar grafik \( f'(x) \).