Menyelesaikan Persamaan Logaritma dengan Perubahan Basis
Matematika
Materi: Perubahan Basis Logaritma
Tujuan Pembelajaran
- Memahami rumus perubahan basis logaritma
- Menerapkan rumus perubahan basis untuk menyelesaikan persamaan logaritma
- Menyelesaikan berbagai bentuk persamaan logaritma menggunakan perubahan basis
🔍 Kegiatan 1: Mengamati
Perhatikan persamaan-persamaan berikut:
1. \( \log_2 x = 3 \) → Basis sama, mudah diselesaikan: \( x = 2^3 = 8 \)
2. \( \log_2 x + \log_4 x = 6 \) → Basis berbeda! Bagaimana menyelesaikannya?
3. \( \log_3 x \cdot \log_9 x = 2 \) → Basis berbeda lagi!
Amati bahwa pada persamaan 2 dan 3, basis logaritmanya berbeda-beda. Kita membutuhkan cara untuk menyamakan basis agar persamaan bisa diselesaikan.
❓ Kegiatan 2: Menanya
Dari pengamatan di atas, muncul pertanyaan:
- Bagaimana cara mengubah basis suatu logaritma ke basis lain?
- Apakah ada rumus khusus untuk perubahan basis?
- Bagaimana langkah-langkah menyelesaikan persamaan logaritma yang memiliki basis berbeda?
💡 Kegiatan 3: Menalar
Mari kita turunkan rumus perubahan basis secara logis.
Penurunan Rumus:
Misalkan \( \log_a b = x \), maka \( a^x = b \).
Ambil logaritma basis \( c \) pada kedua ruas:
\( \log_c (a^x) = \log_c b \)
\( x \cdot \log_c a = \log_c b \)
\( x = \dfrac{\log_c b}{\log_c a} \)
Karena \( x = \log_a b \), maka diperoleh:
Rumus Perubahan Basis Logaritma
\[ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \]
dengan \( a > 0, a \neq 1, b > 0, c > 0, c \neq 1 \)
Rumus Turunan Penting:
1. Perubahan ke basis 10 (logaritma umum):
\( \log_a b = \dfrac{\log b}{\log a} \)
2. Perubahan ke basis \(e\) (logaritma natural):
\( \log_a b = \dfrac{\ln b}{\ln a} \)
3. Hubungan kebalikan (reciprocal):
\( \log_a b = \dfrac{1}{\log_b a} \)
4. Rantai logaritma:
\( \log_a b \cdot \log_b c = \log_a c \)
5. Perubahan basis dengan pangkat:
\( \log_{a^m} b^n = \dfrac{n}{m} \cdot \log_a b \)
✏️ Kegiatan 4: Mencoba
Mari kita coba menerapkan rumus perubahan basis:
Percobaan 1: Ubah \( \log_4 8 \) ke basis 2
\( \log_4 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 4} = \dfrac{3}{2} \)
Percobaan 2: Ubah \( \log_9 27 \) ke basis 3
\( \log_9 27 = \dfrac{\log_3 27}{\log_3 9} = \dfrac{3}{2} \)
Percobaan 3: Selesaikan \( \log_2 x + \log_4 x = 6 \)
Ubah \( \log_4 x \) ke basis 2:
\( \log_4 x = \dfrac{\log_2 x}{\log_2 4} = \dfrac{\log_2 x}{2} \)
Substitusi: \( \log_2 x + \dfrac{\log_2 x}{2} = 6 \)
Misalkan \( p = \log_2 x \): \( p + \dfrac{p}{2} = 6 \) → \( \dfrac{3p}{2} = 6 \) → \( p = 4 \)
Maka \( \log_2 x = 4 \) → \( x = 2^4 = 16 \)
📢 Kegiatan 5: Mengkomunikasikan
Kesimpulan yang dapat kita komunikasikan:
- Rumus perubahan basis memungkinkan kita mengubah logaritma dari satu basis ke basis lainnya.
- Langkah penyelesaian: Ubah semua logaritma ke basis yang sama → sederhanakan → selesaikan persamaan.
- Pilihan basis: Pilih basis yang membuat perhitungan paling sederhana (biasanya basis terkecil yang merupakan faktor dari semua basis lain).
- Syarat: Selalu periksa syarat logaritma: bilangan pokok > 0, basis > 0, basis ≠ 1.
📋 Strategi Menyelesaikan Persamaan Logaritma dengan Perubahan Basis
- Identifikasi semua basis logaritma dalam persamaan
- Tentukan basis yang paling tepat untuk penyamaan (biasanya basis terkecil)
- Ubah semua logaritma ke basis yang sama menggunakan rumus perubahan basis
- Lakukan pemisalan jika diperlukan (misalnya \( p = \log_a x \))
- Selesaikan persamaan aljabar yang terbentuk
- Kembalikan pemisalan untuk mendapatkan nilai \( x \)
- Periksa apakah solusi memenuhi syarat logaritma
Contoh Soal dan Pembahasan
Tingkat Mudah
Contoh 1:
Tentukan nilai dari \( \log_4 8 \) menggunakan perubahan basis.
Ubah ke basis 2:
\( \log_4 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 4} = \dfrac{3}{2} \)
Jadi, \( \log_4 8 = \dfrac{3}{2} \)
Contoh 2:
Tentukan nilai dari \( \log_9 27 \) menggunakan perubahan basis.
Ubah ke basis 3:
\( \log_9 27 = \dfrac{\log_3 27}{\log_3 9} = \dfrac{3}{2} \)
Jadi, \( \log_9 27 = \dfrac{3}{2} \)
Contoh 3:
Tentukan nilai dari \( \log_{25} 5 \) menggunakan perubahan basis.
Ubah ke basis 5:
\( \log_{25} 5 = \dfrac{\log_5 5}{\log_5 25} = \dfrac{1}{2} \)
Jadi, \( \log_{25} 5 = \dfrac{1}{2} \)
Contoh 4:
Selesaikan \( \log_2 x + \log_4 x = 9 \)
Ubah \( \log_4 x \) ke basis 2:
\( \log_4 x = \dfrac{\log_2 x}{\log_2 4} = \dfrac{\log_2 x}{2} \)
Misalkan \( p = \log_2 x \):
\( p + \dfrac{p}{2} = 9 \)
\( \dfrac{3p}{2} = 9 \)
\( p = 6 \)
\( \log_2 x = 6 \) → \( x = 2^6 = 64 \)
Jadi, \( x = 64 \)
Contoh 5:
Selesaikan \( \log_3 x + \log_9 x = 6 \)
Ubah \( \log_9 x \) ke basis 3:
\( \log_9 x = \dfrac{\log_3 x}{\log_3 9} = \dfrac{\log_3 x}{2} \)
Misalkan \( p = \log_3 x \):
\( p + \dfrac{p}{2} = 6 \) → \( \dfrac{3p}{2} = 6 \) → \( p = 4 \)
\( \log_3 x = 4 \) → \( x = 3^4 = 81 \)
Jadi, \( x = 81 \)
Tingkat Sedang
Contoh 6:
Selesaikan \( \log_2 x + \log_4 x + \log_8 x = 11 \)
Ubah semua ke basis 2:
\( \log_4 x = \dfrac{\log_2 x}{2}, \quad \log_8 x = \dfrac{\log_2 x}{3} \)
Misalkan \( p = \log_2 x \):
\( p + \dfrac{p}{2} + \dfrac{p}{3} = 11 \)
\( \dfrac{6p + 3p + 2p}{6} = 11 \)
\( \dfrac{11p}{6} = 11 \) → \( p = 6 \)
\( x = 2^6 = 64 \)
Jadi, \( x = 64 \)
Contoh 7:
Selesaikan \( \log_3 x \cdot \log_9 x = 8 \)
Ubah \( \log_9 x \) ke basis 3:
\( \log_9 x = \dfrac{\log_3 x}{2} \)
Misalkan \( p = \log_3 x \):
\( p \cdot \dfrac{p}{2} = 8 \)
\( \dfrac{p^2}{2} = 8 \) → \( p^2 = 16 \) → \( p = 4 \) atau \( p = -4 \)
Untuk \( p = 4 \): \( x = 3^4 = 81 \)
Untuk \( p = -4 \): \( x = 3^{-4} = \dfrac{1}{81} \)
Cek syarat: \( x > 0 \) ✓ (keduanya memenuhi)
Jadi, \( x = 81 \) atau \( x = \dfrac{1}{81} \)
Contoh 8:
Selesaikan \( \log_4 x – \log_{16} x = 1 \)
Ubah semua ke basis 2. Karena \( 4 = 2^2 \) dan \( 16 = 2^4 \):
\( \log_4 x = \dfrac{\log_2 x}{2}, \quad \log_{16} x = \dfrac{\log_2 x}{4} \)
Misalkan \( p = \log_2 x \):
\( \dfrac{p}{2} – \dfrac{p}{4} = 1 \)
\( \dfrac{2p – p}{4} = 1 \) → \( \dfrac{p}{4} = 1 \) → \( p = 4 \)
\( x = 2^4 = 16 \)
Jadi, \( x = 16 \)
Contoh 9:
Selesaikan \( \log_x 4 + \log_{x^2} 4 = 3 \)
Gunakan rumus \( \log_{a^n} b = \dfrac{1}{n} \log_a b \):
\( \log_{x^2} 4 = \dfrac{1}{2} \log_x 4 \)
Misalkan \( p = \log_x 4 \):
\( p + \dfrac{p}{2} = 3 \) → \( \dfrac{3p}{2} = 3 \) → \( p = 2 \)
\( \log_x 4 = 2 \) → \( x^2 = 4 \) → \( x = 2 \)
Cek: \( x > 0, x \neq 1 \) → \( x = 2 \) ✓
Jadi, \( x = 2 \)
Contoh 10:
Selesaikan \( \log_5 x + \log_{25} (x-4) = 1 \)
Ubah \( \log_{25}(x-4) \) ke basis 5:
\( \log_{25}(x-4) = \dfrac{\log_5(x-4)}{2} \)
\( \log_5 x + \dfrac{\log_5(x-4)}{2} = 1 \)
Kalikan 2: \( 2\log_5 x + \log_5(x-4) = 2 \)
\( \log_5 x^2 + \log_5(x-4) = 2 \)
\( \log_5 [x^2(x-4)] = 2 \)
\( x^2(x-4) = 25 \)
\( x^3 – 4x^2 – 25 = 0 \)
Coba \( x = 5 \): \( 125 – 100 – 25 = 0 \) ✓
Cek syarat: \( x > 0 \) dan \( x – 4 > 0 \) → \( x > 4 \). Karena \( x = 5 > 4 \) ✓
Jadi, \( x = 5 \)
Tingkat Sulit
Contoh 11:
Selesaikan \( \log_2 x + \log_4 x + \log_{16} x = 7 \)
Ubah semua ke basis 2:
\( \log_4 x = \dfrac{\log_2 x}{2}, \quad \log_{16} x = \dfrac{\log_2 x}{4} \)
Misalkan \( p = \log_2 x \):
\( p + \dfrac{p}{2} + \dfrac{p}{4} = 7 \)
\( \dfrac{4p + 2p + p}{4} = 7 \)
\( \dfrac{7p}{4} = 7 \) → \( p = 4 \)
\( x = 2^4 = 16 \)
Jadi, \( x = 16 \)
Contoh 12:
Selesaikan \( (\log_2 x)^2 + \log_4 x^3 = 10 \)
Ubah \( \log_4 x^3 \) ke basis 2:
\( \log_4 x^3 = \dfrac{\log_2 x^3}{\log_2 4} = \dfrac{3\log_2 x}{2} \)
Misalkan \( p = \log_2 x \):
\( p^2 + \dfrac{3p}{2} = 10 \)
Kalikan 2: \( 2p^2 + 3p – 20 = 0 \)
Faktorkan: \( (2p – 5)(p + 4) = 0 \)
\( p = \dfrac{5}{2} \) atau \( p = -4 \)
Untuk \( p = \dfrac{5}{2} \): \( x = 2^{5/2} = 4\sqrt{2} \)
Untuk \( p = -4 \): \( x = 2^{-4} = \dfrac{1}{16} \)
Jadi, \( x = 4\sqrt{2} \) atau \( x = \dfrac{1}{16} \)
Contoh 13:
Selesaikan \( \log_x 2 \cdot \log_{2x} 2 = 1 \)
Ubah ke basis 2 menggunakan rumus kebalikan:
\( \log_x 2 = \dfrac{1}{\log_2 x} \) dan \( \log_{2x} 2 = \dfrac{1}{\log_2 (2x)} = \dfrac{1}{1 + \log_2 x} \)
Misalkan \( p = \log_2 x \):
\( \dfrac{1}{p} \cdot \dfrac{1}{1+p} = 1 \)
\( \dfrac{1}{p(1+p)} = 1 \)
\( p(1+p) = 1 \) → \( p^2 + p – 1 = 0 \)
\( p = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \)
Cek syarat: \( x > 0, x \neq 1 \) → \( p \neq 0 \), dan \( 2x > 0, 2x \neq 1 \) → \( p \neq -1 \)
Kedua nilai \( p \) memenuhi syarat.
\( x = 2^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} \) atau \( x = 2^{\frac{-1-\sqrt{5}}{2}} \)
Jadi, \( x = 2^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} \) atau \( x = 2^{\frac{-1-\sqrt{5}}{2}} \)
Contoh 14:
Selesaikan \( \log_3 x + 2\log_x 3 = 3 \)
Gunakan hubungan kebalikan: \( \log_x 3 = \dfrac{1}{\log_3 x} \)
Misalkan \( p = \log_3 x \):
\( p + \dfrac{2}{p} = 3 \)
Kalikan \( p \): \( p^2 + 2 = 3p \)
\( p^2 – 3p + 2 = 0 \)
\( (p-1)(p-2) = 0 \)
\( p = 1 \) → \( x = 3^1 = 3 \)
\( p = 2 \) → \( x = 3^2 = 9 \)
Cek syarat: \( x > 0, x \neq 1 \) → keduanya memenuhi ✓
Jadi, \( x = 3 \) atau \( x = 9 \)
Contoh 15:
Selesaikan \( \log_2 x \cdot \log_3 x + \log_2 x + \log_3 x = 5 \) (Petunjuk: gunakan pemisalan ganda)
Misalkan \( a = \log_2 x \) dan \( b = \log_3 x \)
Persamaan menjadi: \( ab + a + b = 5 \)
Tambahkan 1 kedua ruas: \( ab + a + b + 1 = 6 \)
Faktorkan: \( (a+1)(b+1) = 6 \)
Hubungan antara \( a \) dan \( b \): \( b = \log_3 x = \dfrac{\log_2 x}{\log_2 3} = \dfrac{a}{\log_2 3} \)
Substitusi: \( (a+1)\left(\dfrac{a}{\log_2 3}+1\right) = 6 \)
\( (a+1) \cdot \dfrac{a + \log_2 3}{\log_2 3} = 6 \)
Misalkan \( k = \log_2 3 \approx 1.585 \):
\( (a+1)(a+k) = 6k \)
\( a^2 + (1+k)a + k – 6k = 0 \)
\( a^2 + (1+k)a – 5k = 0 \)
Dengan \( k = \log_2 3 \), coba \( a = 2 \): \( 4 + 2(1 + \log_2 3) – 5\log_2 3 = 4 + 2 + 2\log_2 3 – 5\log_2 3 = 6 – 3\log_2 3 \neq 0 \)
Cara lain: Coba \( x = 6 \): \( \log_2 6 \cdot \log_3 6 + \log_2 6 + \log_3 6 \)
\( = (\log_2 2 + \log_2 3)(\log_3 2 + \log_3 3) + (\log_2 2 + \log_2 3) + (\log_3 2 + 1) \)
\( = (1 + \log_2 3)(\ \log_3 2 + 1) + 1 + \log_2 3 + \log_3 2 + 1 \)
\( = \log_3 2 + 1 + \log_2 3 \cdot \log_3 2 + \log_2 3 + 2 + \log_2 3 + \log_3 2 \)
Karena \( \log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1 \):
\( = \log_3 2 + 1 + 1 + \log_2 3 + 2 + \log_2 3 + \log_3 2 = 4 + 2\log_3 2 + 2\log_2 3 \)
Ini rumit. Gunakan pendekatan: dari \( (a+1)(b+1) = 6 \) dan \( b = a/k \):
Jika \( a+1 = 2 \) dan \( b+1 = 3 \): maka \( a = 1, b = 2 \) → cek: \( b = a/k \) → \( 2 = 1/\log_2 3 \) → \( \log_2 3 = 0.5 \) ✗
Jika \( a+1 = 3 \) dan \( b+1 = 2 \): maka \( a = 2, b = 1 \) → cek: \( 1 = 2/\log_2 3 \) → \( \log_2 3 = 2 \) ✗
Solusi numerik: \( x \approx 4.56 \) (gunakan kalkulator).
Atau gunakan rumus kuadrat untuk mendapatkan nilai eksak.
Jadi, \( x = 2^a \) dengan \( a = \dfrac{-(1+\log_2 3) + \sqrt{(1+\log_2 3)^2 + 20\log_2 3}}{2} \)
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri tanpa melihat pembahasan.
Tingkat Mudah
1. Tentukan nilai dari \( \log_8 4 \) menggunakan perubahan basis ke basis 2.
2. Tentukan nilai dari \( \log_{27} 9 \) menggunakan perubahan basis ke basis 3.
3. Selesaikan \( \log_5 x + \log_{25} x = 3 \)
4. Selesaikan \( \log_2 x – \log_4 x = 2 \)
5. Tentukan nilai dari \( \log_4 2 + \log_8 2 + \log_{16} 2 \)
Tingkat Sedang
6. Selesaikan \( \log_3 x + \log_9 x + \log_{27} x = \dfrac{11}{3} \)
7. Selesaikan \( \log_2 x \cdot \log_4 x = 8 \)
8. Selesaikan \( \log_x 9 + \log_{x^3} 9 = 4 \)
9. Selesaikan \( 2\log_4 x + \log_2 (x+3) = 2 \)
10. Selesaikan \( \log_5 x – \log_{25} (2x-1) = \dfrac{1}{2} \)
Tingkat Sulit
11. Selesaikan \( \log_2 x + 3\log_x 2 = 4 \)
12. Selesaikan \( (\log_3 x)^2 + \log_9 x^5 = 6 \)
13. Selesaikan \( \log_x 3 \cdot \log_{3x} 3 = \dfrac{1}{2} \)
14. Selesaikan \( \log_4 (x^2 – 1) + \log_{16} (x+1)^2 = 1 \)
15. Selesaikan \( \log_2 x \cdot \log_4 x \cdot \log_8 x = 24 \)