Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Pengertian dan Notasi Suatu Matriks
A. Pengertian Matriks
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan data berikut tentang jumlah siswa di suatu sekolah:
| Kelas | Laki-laki | Perempuan |
|---|---|---|
| X | 20 | 25 |
| XI | 18 | 22 |
| XII | 15 | 30 |
Data di atas dapat disusun dalam bentuk susunan bilangan yang teratur dalam baris dan kolom, yang disebut matriks:
| 20 | 25 |
| 18 | 22 |
| 15 | 30 |
❓ Kegiatan: Menanya
- Apa yang dimaksud dengan matriks?
- Bagaimana cara menyusun data ke dalam bentuk matriks?
- Apa saja komponen yang terdapat dalam matriks?
💡 Kegiatan: Menalar
Definisi Matriks
Matriks adalah susunan bilangan-bilangan (atau elemen-elemen) yang disusun dalam baris dan kolom sehingga membentuk susunan persegi panjang, dan ditulis di antara dua tanda kurung siku [ ] atau tanda kurung biasa ( ).
Komponen Matriks
- Elemen (entri): Bilangan-bilangan yang menyusun matriks.
- Baris: Susunan elemen yang mendatar (horizontal).
- Kolom: Susunan elemen yang tegak (vertikal).
- Ordo (ukuran): Menyatakan banyaknya baris × banyaknya kolom, ditulis m × n.
Contoh matriks berordo 2 × 3 (2 baris, 3 kolom):
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
Matriks di atas memiliki 2 baris dan 3 kolom, sehingga berordo 2 × 3.
B. Notasi Suatu Matriks
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan penulisan matriks berikut:
A =
| a11 | a12 | a13 |
| a21 | a22 | a23 |
Notasi aij menunjukkan elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j.
❓ Kegiatan: Menanya
- Bagaimana cara menuliskan notasi suatu matriks?
- Apa arti dari simbol aij?
- Bagaimana menentukan letak suatu elemen dalam matriks?
💡 Kegiatan: Menalar
Notasi Umum Matriks
Matriks biasanya dilambangkan dengan huruf kapital seperti A, B, C, dst. Secara umum, matriks A berordo m × n ditulis:
A = [aij]m×n
atau secara lengkap:
| a11 | a12 | … | a1n |
| a21 | a22 | … | a2n |
| ⋮ | ⋮ | ⋱ | ⋮ |
| am1 | am2 | … | amn |
Keterangan:
- A = nama matriks (huruf kapital)
- aij = elemen matriks A yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j
- i = indeks baris (i = 1, 2, 3, …, m)
- j = indeks kolom (j = 1, 2, 3, …, n)
- m × n = ordo matriks (m baris dan n kolom)
Contoh Membaca Notasi:
Jika A =
| 3 | 7 |
| 5 | 9 |
- a11 = 3 (baris 1, kolom 1)
- a12 = 7 (baris 1, kolom 2)
- a21 = 5 (baris 2, kolom 1)
- a22 = 9 (baris 2, kolom 2)
🖊️ Kegiatan: Mencoba
Diberikan matriks B =
| 2 | −1 | 4 |
| 0 | 6 | −3 |
| 8 | 5 | 7 |
Tentukan:
- Ordo matriks B
- Nilai b12, b23, dan b31
- Elemen pada baris ke-3 kolom ke-2
Jawaban:
- Ordo matriks B = 3 × 3 (3 baris dan 3 kolom)
- b12 = −1, b23 = −3, b31 = 8
- Elemen pada baris ke-3 kolom ke-2 = b32 = 5
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Kesimpulan:
- Matriks adalah susunan bilangan dalam baris dan kolom yang diapit oleh kurung siku.
- Matriks dilambangkan dengan huruf kapital (A, B, C, …).
- Elemen matriks dilambangkan dengan huruf kecil dan dua indeks: aij (baris ke-i, kolom ke-j).
- Ordo matriks m × n berarti matriks memiliki m baris dan n kolom.
- Jumlah total elemen dalam matriks berordo m × n adalah m × n.
C. Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Contoh Soal Mudah
Soal 1. Tentukan ordo matriks P =
| 4 | 7 |
| 1 | 3 |
Pembahasan:
Matriks P memiliki 2 baris dan 2 kolom, sehingga ordo matriks P adalah 2 × 2.
Soal 2. Diketahui matriks Q =
| 5 | −2 | 8 |
| 3 | 0 | 1 |
Pembahasan:
q12 = elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-2 = −2.
Soal 3. Berapa jumlah elemen dalam matriks berordo 3 × 4?
Pembahasan:
Jumlah elemen = m × n = 3 × 4 = 12 elemen.
Soal 4. Diketahui matriks R =
| 9 |
| 4 |
| 7 |
Pembahasan:
Matriks R memiliki 3 baris dan 1 kolom, sehingga ordo matriks R adalah 3 × 1 (matriks kolom).
Soal 5. Diketahui matriks S =
| 2 | 6 | 1 | 8 |
Pembahasan:
Matriks S memiliki 1 baris dan 4 kolom → ordo = 1 × 4 (matriks baris).
s13 = elemen baris ke-1, kolom ke-3 = 1.
📙 Contoh Soal Sedang
Soal 1. Diketahui matriks A =
| 2 | x+1 |
| 3y | 7 |
Pembahasan:
a12 = elemen baris 1, kolom 2 = x + 1
x + 1 = 5
x = 4
Soal 2. Diketahui matriks B = [bij]2×3 dengan bij = 2i − j. Tentukan semua elemen matriks B.
Pembahasan:
b11 = 2(1)−1 = 1, b12 = 2(1)−2 = 0, b13 = 2(1)−3 = −1
b21 = 2(2)−1 = 3, b22 = 2(2)−2 = 2, b23 = 2(2)−3 = 1
Jadi B =
| 1 | 0 | −1 |
| 3 | 2 | 1 |
Soal 3. Diketahui matriks C =
| 3 | −1 | 4 |
| 0 | 2 | −5 |
| 7 | 8 | 1 |
Pembahasan:
Diagonal utama terdiri dari elemen c11, c22, c33.
c11 = 3, c22 = 2, c33 = 1
Jumlah = 3 + 2 + 1 = 6
Soal 4. Diketahui matriks D = [dij]3×2 dengan dij = i² + j. Tentukan elemen d32.
Pembahasan:
d32 = (3)² + 2 = 9 + 2 = 11
Soal 5. Matriks E berordo 2 × 2 dengan eij = i + 2j. Tuliskan matriks E secara lengkap.
Pembahasan:
e11 = 1+2(1) = 3, e12 = 1+2(2) = 5
e21 = 2+2(1) = 4, e22 = 2+2(2) = 6
E =
| 3 | 5 |
| 4 | 6 |
📕 Contoh Soal Sulit
Soal 1. Diketahui matriks F =
| 2x−1 | 3 |
| y+2 | x+y |
| 5 | 3 |
| 4 | 7 |
Pembahasan:
Dua matriks sama jika ordo sama dan elemen-elemen pada posisi yang sama bernilai sama.
Dari f11 = g11: 2x − 1 = 5 → 2x = 6 → x = 3
Dari f21 = g21: y + 2 = 4 → y = 2
Verifikasi: f22 = x + y = 3 + 2 = 5 ≠ 7 ???
Karena f22 ≠ g22, maka tidak ada nilai x dan y yang memenuhi F = G.
Soal 2. Diketahui matriks H = [hij]3×3 dengan hij = |i − j|. Tuliskan matriks H dan tentukan jumlah seluruh elemennya.
Pembahasan:
h11=|1−1|=0, h12=|1−2|=1, h13=|1−3|=2
h21=|2−1|=1, h22=|2−2|=0, h23=|2−3|=1
h31=|3−1|=2, h32=|3−2|=1, h33=|3−3|=0
H =
| 0 | 1 | 2 |
| 1 | 0 | 1 |
| 2 | 1 | 0 |
Jumlah seluruh elemen = 0+1+2+1+0+1+2+1+0 = 8
Soal 3. Matriks K = [kij]3×3 dengan kij = i × j − 2. Tentukan selisih antara jumlah elemen baris ke-3 dan jumlah elemen kolom ke-1.
Pembahasan:
Elemen baris ke-3: k31=3(1)−2=1, k32=3(2)−2=4, k33=3(3)−2=7
Jumlah baris ke-3 = 1 + 4 + 7 = 12
Elemen kolom ke-1: k11=1(1)−2=−1, k21=2(1)−2=0, k31=1
Jumlah kolom ke-1 = −1 + 0 + 1 = 0
Selisih = 12 − 0 = 12
Soal 4. Diketahui matriks M =
| a+b | 2 |
| 3 | a−b |
| 7 | 2 |
| 3 | 1 |
Pembahasan:
Dari kesamaan matriks:
a + b = 7 … (1)
a − b = 1 … (2)
Dari (1) + (2): 2a = 8 → a = 4
Substitusi ke (1): 4 + b = 7 → b = 3
a² + b² = 16 + 9 = 25
Soal 5. Matriks N = [nij]4×4 dengan nij = min(i, j). Tentukan jumlah elemen-elemen diagonal utama dan jumlah seluruh elemen matriks N.
Pembahasan:
Diagonal utama: nii = min(i,i) = i
Jumlah diagonal = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
Matriks N lengkap:
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 2 | 2 |
| 1 | 2 | 3 | 3 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
Jumlah seluruh elemen = 4(1)+3(2)+2(3)+1(4) = 4+6+6+4 = …
Hitung langsung: 1+1+1+1 + 1+2+2+2 + 1+2+3+3 + 1+2+3+4 = 4+7+9+10 = 30
D. Latihan Soal
📗 Latihan Soal Mudah
1. Tentukan ordo matriks T =
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
2. Diketahui matriks U =
| 8 | −3 |
| 2 | 5 |
| 0 | 7 |
3. Berapa jumlah elemen dalam matriks berordo 4 × 5?
4. Tentukan ordo matriks V =
| 3 | 1 | 0 | 7 |
5. Diketahui matriks W =
| 6 |
| 2 |
📙 Latihan Soal Sedang
1. Matriks A = [aij]2×3 dengan aij = 3i − 2j. Tuliskan matriks A secara lengkap.
2. Diketahui matriks B =
| 2x | 6 |
| 4 | y+3 |
| 10 | 6 |
| 4 | 8 |
3. Matriks C = [cij]3×3 dengan cij = i + j. Tentukan jumlah elemen diagonal utama.
4. Diketahui matriks D =
| 1 | −2 | 3 |
| 4 | 5 | −6 |
| 7 | 0 | 8 |
5. Matriks E = [eij]2×4 dengan eij = (−1)i+j × (i+j). Tentukan e24.
📕 Latihan Soal Sulit
1. Diketahui matriks F =
| a+2b | 3 |
| −1 | 2a−b |
| 7 | 3 |
| −1 | 5 |
2. Matriks G = [gij]4×4 dengan gij = max(i, j). Tentukan jumlah seluruh elemen matriks G.
3. Matriks H = [hij]3×3 dengan hij = i² − 2ij + j². Tunjukkan bahwa H adalah matriks simetris (hij = hji).
4. Diketahui matriks K =
| p+q | p−q |
| 2p | 3q |
5. Matriks L = [lij]n×n dengan lij = 1 jika i = j dan lij = 0 jika i ≠ j. Jika n = 5, tentukan jumlah seluruh elemen matriks L dan jelaskan jenis matriks ini.