Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif
Materi Statistika — Panduan Lengkap
A. Pengertian Distribusi Frekuensi Kumulatif
Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut yang menyajikan data nilai ulangan 40 siswa:
| Kelas Interval | Frekuensi (f) |
|---|---|
| 41 – 50 | 4 |
| 51 – 60 | 7 |
| 61 – 70 | 12 |
| 71 – 80 | 10 |
| 81 – 90 | 5 |
| 91 – 100 | 2 |
| Jumlah | 40 |
Dari tabel di atas, kita bisa bertanya: “Berapa banyak siswa yang mendapat nilai kurang dari atau sama dengan 70?” atau “Berapa banyak siswa yang mendapat nilai lebih dari atau sama dengan 61?”
Untuk menjawab pertanyaan semacam ini, kita membutuhkan Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif.
- Apa yang dimaksud frekuensi kumulatif?
- Apa perbedaan frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari?
- Bagaimana cara menyusun tabel distribusi frekuensi kumulatif?
Distribusi Frekuensi Kumulatif adalah tabel yang menunjukkan jumlah frekuensi yang terakumulasi (bertambah secara berurutan) dari kelas terendah ke kelas tertinggi, atau sebaliknya.
Terdapat dua jenis distribusi frekuensi kumulatif:
1. Frekuensi Kumulatif Kurang Dari (fk ≤)
Frekuensi kumulatif yang diperoleh dengan menjumlahkan frekuensi dari kelas paling bawah ke atas. Dinyatakan terhadap tepi atas kelas.
Artinya: banyaknya data yang nilainya kurang dari tepi atas kelas tersebut.
2. Frekuensi Kumulatif Lebih Dari (fk ≥)
Frekuensi kumulatif yang diperoleh dengan menjumlahkan frekuensi dari kelas paling atas ke bawah. Dinyatakan terhadap tepi bawah kelas.
Artinya: banyaknya data yang nilainya lebih dari atau sama dengan tepi bawah kelas tersebut.
B. Tepi Kelas (Batas Nyata Kelas)
Sebelum menyusun tabel kumulatif, kita perlu memahami tepi kelas:
Tepi Atas = Batas Atas + 0,5
Contoh: Untuk kelas interval 41 – 50:
- Tepi bawah = 41 − 0,5 = 40,5
- Tepi atas = 50 + 0,5 = 50,5
C. Langkah-Langkah Penyusunan
Dari data nilai 40 siswa di atas, mari kita susun tabel frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari.
Langkah 1: Tentukan Tepi Kelas
| Kelas | Tepi Bawah | Tepi Atas | f |
|---|---|---|---|
| 41–50 | 40,5 | 50,5 | 4 |
| 51–60 | 50,5 | 60,5 | 7 |
| 61–70 | 60,5 | 70,5 | 12 |
| 71–80 | 70,5 | 80,5 | 10 |
| 81–90 | 80,5 | 90,5 | 5 |
| 91–100 | 90,5 | 100,5 | 2 |
Langkah 2: Tabel Frekuensi Kumulatif Kurang Dari (fk ≤)
| Kurang dari | fk ≤ | Cara menghitung |
|---|---|---|
| < 40,5 | 0 | Belum ada data |
| < 50,5 | 4 | 0 + 4 = 4 |
| < 60,5 | 11 | 4 + 7 = 11 |
| < 70,5 | 23 | 11 + 12 = 23 |
| < 80,5 | 33 | 23 + 10 = 33 |
| < 90,5 | 38 | 33 + 5 = 38 |
| < 100,5 | 40 | 38 + 2 = 40 |
Langkah 3: Tabel Frekuensi Kumulatif Lebih Dari (fk ≥)
| Lebih dari atau sama dengan | fk ≥ | Cara menghitung |
|---|---|---|
| ≥ 40,5 | 40 | Total semua data |
| ≥ 50,5 | 36 | 40 − 4 = 36 |
| ≥ 60,5 | 29 | 36 − 7 = 29 |
| ≥ 70,5 | 17 | 29 − 12 = 17 |
| ≥ 80,5 | 7 | 17 − 10 = 7 |
| ≥ 90,5 | 2 | 7 − 5 = 2 |
| ≥ 100,5 | 0 | 2 − 2 = 0 |
D. Ogive (Kurva Frekuensi Kumulatif)
Ogive adalah grafik garis yang menggambarkan frekuensi kumulatif. Ada dua jenis:
- Ogive positif (naik): grafik dari frekuensi kumulatif kurang dari → garis naik dari kiri ke kanan.
- Ogive negatif (turun): grafik dari frekuensi kumulatif lebih dari → garis turun dari kiri ke kanan.
Ogive Positif (fk ≤) — Data 40 Siswa:
Ogive Negatif (fk ≥) — Data 40 Siswa:
E. Sifat-Sifat Penting
- fk ≤ terakhir = fk ≥ pertama = jumlah seluruh data (N)
- Pada setiap tepi kelas berlaku: fk ≤ + fk ≥ = N
- fk ≤ selalu naik (non-decreasing) dari 0 ke N.
- fk ≥ selalu turun (non-increasing) dari N ke 0.
- Titik potong ogive positif dan ogive negatif menunjukkan median data.
- Frekuensi kumulatif relatif diperoleh dengan:
fk relatif = (fk / N) × 100%
📋 Rangkuman Materi
- Frekuensi kumulatif = penjumlahan frekuensi secara berturut-turut.
- fk kurang dari (≤): dijumlahkan dari bawah ke atas, dinyatakan terhadap tepi atas.
- fk lebih dari (≥): dijumlahkan dari atas ke bawah, dinyatakan terhadap tepi bawah.
- Ogive positif menggambarkan fk ≤ (garis naik).
- Ogive negatif menggambarkan fk ≥ (garis turun).
- Perpotongan dua ogive = letak median.
📝 Contoh Soal & Pembahasan
Data yang digunakan untuk contoh soal (kecuali disebutkan lain):
Data berat badan (kg) 50 siswa:
| Kelas Interval | Frekuensi (f) |
|---|---|
| 30 – 34 | 3 |
| 35 – 39 | 5 |
| 40 – 44 | 10 |
| 45 – 49 | 15 |
| 50 – 54 | 12 |
| 55 – 59 | 5 |
| Jumlah | 50 |
MUDAH Contoh Soal 1 – 5
Soal 1: Tentukan tepi bawah dan tepi atas untuk kelas 40 – 44!
Tepi bawah = 40 − 0,5 = 39,5
Tepi atas = 44 + 0,5 = 44,5
Soal 2: Berapa frekuensi kumulatif kurang dari 44,5?
fk ≤ 44,5 = f(30–34) + f(35–39) + f(40–44)
= 3 + 5 + 10 = 18
Artinya, 18 siswa memiliki berat badan kurang dari 44,5 kg.
Soal 3: Berapa frekuensi kumulatif lebih dari atau sama dengan 44,5?
fk ≥ 44,5 = f(45–49) + f(50–54) + f(55–59)
= 15 + 12 + 5 = 32
Atau: fk ≥ = N − fk ≤ = 50 − 18 = 32 ✓
Soal 4: Berapa frekuensi kumulatif kurang dari 34,5?
fk ≤ 34,5 = f(30–34) = 3
Hanya kelas pertama yang masuk.
Soal 5: Berapa frekuensi kumulatif kurang dari 59,5?
fk ≤ 59,5 = 3 + 5 + 10 + 15 + 12 + 5 = 50
Ini sama dengan jumlah seluruh data karena 59,5 adalah tepi atas kelas terakhir.
SEDANG Contoh Soal 6 – 10
Soal 6: Susunlah tabel frekuensi kumulatif kurang dari secara lengkap!
| Kurang dari | fk ≤ |
|---|---|
| < 29,5 | 0 |
| < 34,5 | 3 |
| < 39,5 | 8 |
| < 44,5 | 18 |
| < 49,5 | 33 |
| < 54,5 | 45 |
| < 59,5 | 50 |
Perhitungan: 0, 0+3=3, 3+5=8, 8+10=18, 18+15=33, 33+12=45, 45+5=50.
Soal 7: Susunlah tabel frekuensi kumulatif lebih dari secara lengkap!
| Lebih dari atau sama dengan | fk ≥ |
|---|---|
| ≥ 29,5 | 50 |
| ≥ 34,5 | 47 |
| ≥ 39,5 | 42 |
| ≥ 44,5 | 32 |
| ≥ 49,5 | 17 |
| ≥ 54,5 | 5 |
| ≥ 59,5 | 0 |
Perhitungan: 50, 50−3=47, 47−5=42, 42−10=32, 32−15=17, 17−12=5, 5−5=0.
Soal 8: Berapa persen siswa yang berat badannya kurang dari 49,5 kg?
fk ≤ 49,5 = 33
Jadi, 66% siswa memiliki berat badan kurang dari 49,5 kg.
Soal 9: Buktikan bahwa fk ≤ + fk ≥ = N pada tepi kelas 44,5!
Pada tepi 44,5:
- fk ≤ 44,5 = 3 + 5 + 10 = 18
- fk ≥ 44,5 = 15 + 12 + 5 = 32
fk ≤ + fk ≥ = 18 + 32 = 50 = N ✓ Terbukti.
Soal 10: Dari tabel fk ≤, tentukan berapa siswa yang berat badannya antara 39,5 kg dan 49,5 kg!
Siswa dengan berat antara 39,5 dan 49,5:
= fk ≤ 49,5 − fk ≤ 39,5
= 33 − 8 = 25 siswa
Ini sama dengan f(40–44) + f(45–49) = 10 + 15 = 25 ✓
SULIT Contoh Soal 11 – 15
Soal 11: Diketahui data berikut. Susunlah tabel fk ≤ dan fk ≥ secara lengkap, lalu tentukan berapa data yang nilainya antara 20,5 dan 40,5.
| Kelas | f |
|---|---|
| 11 – 20 | 6 |
| 21 – 30 | 14 |
| 31 – 40 | 20 |
| 41 – 50 | 10 |
Tabel fk ≤:
| Kurang dari | fk ≤ |
|---|---|
| < 10,5 | 0 |
| < 20,5 | 6 |
| < 30,5 | 20 |
| < 40,5 | 40 |
| < 50,5 | 50 |
Tabel fk ≥:
| ≥ | fk ≥ |
|---|---|
| ≥ 10,5 | 50 |
| ≥ 20,5 | 44 |
| ≥ 30,5 | 30 |
| ≥ 40,5 | 10 |
| ≥ 50,5 | 0 |
Data antara 20,5 dan 40,5:
= fk ≤ 40,5 − fk ≤ 20,5 = 40 − 6 = 34
Soal 12: Dari tabel berat badan 50 siswa, hitunglah frekuensi kumulatif relatif kurang dari untuk setiap tepi atas kelas!
| Kurang dari | fk ≤ | fk relatif (≤) |
|---|---|---|
| < 29,5 | 0 | 0% |
| < 34,5 | 3 | (3/50)×100% = 6% |
| < 39,5 | 8 | (8/50)×100% = 16% |
| < 44,5 | 18 | (18/50)×100% = 36% |
| < 49,5 | 33 | (33/50)×100% = 66% |
| < 54,5 | 45 | (45/50)×100% = 90% |
| < 59,5 | 50 | (50/50)×100% = 100% |
Soal 13: Jika diketahui fk ≤ 44,5 = 18 dan fk ≤ 49,5 = 33, tentukan frekuensi kelas 45–49. Kemudian jika total data N = 50, tentukan fk ≥ pada tepi 44,5.
Langkah 1: Frekuensi kelas 45–49:
f = fk ≤ 49,5 − fk ≤ 44,5 = 33 − 18 = 15
Langkah 2: fk ≥ pada tepi 44,5:
fk ≥ = N − fk ≤ = 50 − 18 = 32
Soal 14: Diketahui distribusi frekuensi kumulatif kurang dari berikut:
| Kurang dari | fk ≤ |
|---|---|
| < 10,5 | 0 |
| < 20,5 | 5 |
| < 30,5 | 15 |
| < 40,5 | 30 |
| < 50,5 | 40 |
Susunlah kembali tabel distribusi frekuensi biasa dan tabel fk ≥!
Tabel distribusi frekuensi biasa:
Frekuensi tiap kelas = selisih fk ≤ berturut-turut.
| Kelas | f |
|---|---|
| 11 – 20 | 5 − 0 = 5 |
| 21 – 30 | 15 − 5 = 10 |
| 31 – 40 | 30 − 15 = 15 |
| 41 – 50 | 40 − 30 = 10 |
Tabel fk ≥:
| ≥ | fk ≥ |
|---|---|
| ≥ 10,5 | 40 |
| ≥ 20,5 | 35 |
| ≥ 30,5 | 25 |
| ≥ 40,5 | 10 |
| ≥ 50,5 | 0 |
Soal 15: Dari tabel berat badan 50 siswa, tentukan kelas interval yang memuat median (data ke-25 dan ke-26) menggunakan frekuensi kumulatif!
Median berada pada data ke-(N/2) = ke-25 dan ke-26.
Lihat tabel fk ≤:
- fk ≤ 39,5 = 8 → data ke-1 sampai ke-8
- fk ≤ 44,5 = 18 → data ke-1 sampai ke-18
- fk ≤ 49,5 = 33 → data ke-1 sampai ke-33
Data ke-25 dan ke-26 berada di rentang data ke-19 sampai ke-33.
Ini masuk pada kelas 45 – 49 (tepi: 44,5 – 49,5).
Jadi, kelas median adalah 45 – 49.
✏️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan data berikut untuk soal 1–15 (kecuali disebutkan lain):
Data tinggi badan (cm) 60 siswa:
| Kelas Interval | Frekuensi (f) |
|---|---|
| 140 – 145 | 4 |
| 146 – 151 | 8 |
| 152 – 157 | 16 |
| 158 – 163 | 18 |
| 164 – 169 | 10 |
| 170 – 175 | 4 |
| Jumlah | 60 |
MUDAH Soal 1 – 5
1. Tentukan tepi bawah dan tepi atas untuk kelas 152 – 157!
2. Hitunglah frekuensi kumulatif kurang dari 151,5!
3. Hitunglah frekuensi kumulatif lebih dari atau sama dengan 157,5!
4. Berapa frekuensi kumulatif kurang dari 175,5?
5. Berapa frekuensi kumulatif lebih dari atau sama dengan 139,5?
SEDANG Soal 6 – 10
6. Susunlah tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari secara lengkap!
7. Susunlah tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari secara lengkap!
8. Berapa persen siswa yang tinggi badannya kurang dari 163,5 cm?
9. Buktikan bahwa fk ≤ + fk ≥ = N pada tepi kelas 157,5!
10. Berapa siswa yang tinggi badannya antara 151,5 cm dan 163,5 cm?
SULIT Soal 11 – 15
11. Hitunglah frekuensi kumulatif relatif kurang dari untuk setiap tepi atas kelas dan sajikan dalam tabel!
12. Diketahui distribusi frekuensi kumulatif kurang dari berikut:
| Kurang dari | fk ≤ |
|---|---|
| < 15,5 | 0 |
| < 25,5 | 8 |
| < 35,5 | 22 |
| < 45,5 | 38 |
| < 55,5 | 45 |
Susunlah tabel distribusi frekuensi biasa dan tabel fk ≥!
13. Dari data tinggi badan 60 siswa, tentukan kelas interval yang memuat median menggunakan frekuensi kumulatif!
14. Jika fk ≤ 157,5 = 28 dan fk ≤ 163,5 = 46, tentukan frekuensi kelas 158–163. Kemudian tentukan fk ≥ pada tepi 157,5.
15. Dari data tinggi badan 60 siswa, gambarkan sketsa ogive positif dan ogive negatif. Tentukan perkiraan titik potong kedua ogive dan jelaskan artinya!