Menentukan Nilai Varians (Ragam) Data Berkelompok
Materi Statistika — Ukuran Penyebaran Data
📘 Materi
Pengertian Varians Data Berkelompok
Varians (ragam) adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh nilai-nilai data menyebar dari rata-ratanya. Semakin besar varians, semakin tersebar data tersebut. Pada data berkelompok, data disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dengan kelas-kelas interval.
Perhatikan bahwa pada data berkelompok kita tidak mengetahui nilai data secara individu, sehingga kita menggunakan titik tengah kelas (xᵢ) sebagai wakil dari masing-masing kelas.
Rumus Varians Data Berkelompok:
S² = Σ fᵢ (xᵢ − x)²Σ fᵢ − 1
atau secara ekuivalen:
S² = n · Σ fᵢ xᵢ² − (Σ fᵢ xᵢ)²n (n − 1)
Keterangan:
- S² = varians (ragam)
- fᵢ = frekuensi kelas ke-i
- xᵢ = titik tengah kelas ke-i
- x = rata-rata (mean)
- n = Σfᵢ = jumlah seluruh frekuensi
Pertanyaan Kunci
- Bagaimana cara menentukan titik tengah kelas (xᵢ)?
- Mengapa kita menggunakan (n − 1) sebagai pembagi, bukan n?
- Apa perbedaan rumus pertama dan kedua?
Jawaban singkat:
• Titik tengah: xᵢ = (batas bawah + batas atas) / 2
• Pembagi (n − 1) digunakan untuk varians sampel (tidak bias). Jika data adalah populasi, pembaginya n.
• Kedua rumus menghasilkan nilai yang sama; rumus kedua lebih praktis karena tidak perlu menghitung rata-rata terlebih dahulu.
Langkah-Langkah Menghitung Varians Data Berkelompok
- Buat tabel distribusi frekuensi (jika belum ada).
- Tentukan titik tengah setiap kelas: xᵢ = (batas bawah + batas atas) / 2.
- Hitung fᵢ · xᵢ untuk setiap kelas.
- Hitung rata-rata: x = Σ fᵢ xᵢn
- Hitung (xᵢ − x)² untuk setiap kelas.
- Hitung fᵢ (xᵢ − x)² untuk setiap kelas.
- Jumlahkan semua fᵢ (xᵢ − x)².
- Bagi dengan (n − 1) untuk mendapatkan varians.
Ilustrasi Perhitungan
Diketahui data berat badan 40 siswa:
| Kelas Interval | fᵢ | xᵢ | fᵢ·xᵢ | xᵢ−x | (xᵢ−x)² | fᵢ(xᵢ−x)² |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 40–44 | 3 | 42 | 126 | −15 | 225 | 675 |
| 45–49 | 5 | 47 | 235 | −10 | 100 | 500 |
| 50–54 | 8 | 52 | 416 | −5 | 25 | 200 |
| 55–59 | 12 | 57 | 684 | 0 | 0 | 0 |
| 60–64 | 7 | 62 | 434 | 5 | 25 | 175 |
| 65–69 | 5 | 67 | 335 | 10 | 100 | 500 |
| Σ = 40 | 2230 | 2050 | ||||
x = 2230/40 = 55,75 ≈ 57 (pembulatan ke titik tengah terdekat untuk ilustrasi tabel di atas)
Menggunakan perhitungan tepat: x = 55,75
S² = 2050 / (40 − 1) = 2050 / 39 ≈ 52,56
Interpretasi Hasil
Nilai varians S² ≈ 52,56 menunjukkan tingkat penyebaran data berat badan siswa dari rata-rata. Simpangan baku (standar deviasi) adalah S = √52,56 ≈ 7,25 kg. Artinya, secara rata-rata berat badan siswa menyimpang sekitar 7,25 kg dari rata-rata 55,75 kg.
📝 Contoh Soal & Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah (1–5)
Contoh Soal 1
Diketahui data berikut:
| Kelas | fᵢ |
|---|---|
| 1–5 | 4 |
| 6–10 | 6 |
| 11–15 | 10 |
Tentukan varians data tersebut!
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Titik tengah: x₁=3, x₂=8, x₃=13
Langkah 2: n = 4+6+10 = 20
Langkah 3: Σfᵢxᵢ = 4(3)+6(8)+10(13) = 12+48+130 = 190
Langkah 4: x = 190/20 = 9,5
Langkah 5:
f₁(x₁−x)² = 4(3−9,5)² = 4(42,25) = 169
f₂(x₂−x)² = 6(8−9,5)² = 6(2,25) = 13,5
f₃(x₃−x)² = 10(13−9,5)² = 10(12,25) = 122,5
Langkah 6: Σfᵢ(xᵢ−x)² = 169+13,5+122,5 = 305
Langkah 7: S² = 305/(20−1) = 305/19 ≈ 16,05
Contoh Soal 2
Diketahui data:
| Kelas | fᵢ |
|---|---|
| 10–19 | 5 |
| 20–29 | 10 |
| 30–39 | 5 |
Hitunglah varians!
Lihat Pembahasan
xᵢ: 14,5 ; 24,5 ; 34,5
n = 20
Σfᵢxᵢ = 5(14,5)+10(24,5)+5(34,5) = 72,5+245+172,5 = 490
x = 490/20 = 24,5
f₁(x₁−24,5)² = 5(−10)² = 500
f₂(x₂−24,5)² = 10(0)² = 0
f₃(x₃−24,5)² = 5(10)² = 500
Σ = 1000
S² = 1000/19 ≈ 52,63
Contoh Soal 3
| Kelas | fᵢ |
|---|---|
| 0–4 | 2 |
| 5–9 | 8 |
| 10–14 | 10 |
Tentukan varians!
Lihat Pembahasan
xᵢ: 2, 7, 12; n=20
Σfᵢxᵢ = 4+56+120 = 180; x = 9
2(2−9)²=2(49)=98; 8(7−9)²=8(4)=32; 10(12−9)²=10(9)=90
Σ = 220
S² = 220/19 ≈ 11,58
Contoh Soal 4
| Kelas | fᵢ |
|---|---|
| 20–24 | 3 |
| 25–29 | 7 |
| 30–34 | 10 |
Hitunglah varians!
Lihat Pembahasan
xᵢ: 22, 27, 32; n=20
Σfᵢxᵢ = 66+189+320 = 575; x = 28,75
3(22−28,75)²=3(45,5625)=136,69
7(27−28,75)²=7(3,0625)=21,44
10(32−28,75)²=10(10,5625)=105,63
Σ = 263,76
S² = 263,76/19 ≈ 13,88
Contoh Soal 5
| Kelas | fᵢ |
|---|---|
| 50–54 | 6 |
| 55–59 | 9 |
| 60–64 | 5 |
Tentukan varians!
Lihat Pembahasan
xᵢ: 52, 57, 62; n=20
Σfᵢxᵢ = 312+513+310 = 1135; x = 56,75
6(52−56,75)²=6(22,5625)=135,38
9(57−56,75)²=9(0,0625)=0,56
5(62−56,75)²=5(27,5625)=137,81
Σ = 273,75
S² = 273,75/19 ≈ 14,41
🟡 Tingkat Sedang (6–10)
Contoh Soal 6
| Kelas | fᵢ |
|---|---|
| 30–39 | 4 |
| 40–49 | 8 |
| 50–59 | 12 |
| 60–69 | 10 |
| 70–79 | 6 |
Tentukan varians!
Lihat Pembahasan
xᵢ: 34,5; 44,5; 54,5; 64,5; 74,5; n=40
Σfᵢxᵢ = 138+356+654+645+447 = 2240
x = 2240/40 = 56
4(34,5−56)²=4(462,25)=1849
8(44,5−56)²=8(132,25)=1058
12(54,5−56)²=12(2,25)=27
10(64,5−56)²=10(72,25)=722,5
6(74,5−56)²=6(342,25)=2053,5
Σ = 5710
S² = 5710/39 ≈ 146,41
Contoh Soal 7
| Kelas | fᵢ |
|---|---|
| 100–109 | 3 |
| 110–119 | 7 |
| 120–129 | 15 |
| 130–139 | 10 |
| 140–149 | 5 |
Hitunglah varians!
Lihat Pembahasan
xᵢ: 104,5; 114,5; 124,5; 134,5; 144,5; n=40
Σfᵢxᵢ = 313,5+801,5+1867,5+1345+722,5 = 5050
x = 5050/40 = 126,25
3(104,5−126,25)²=3(473,0625)=1419,19
7(114,5−126,25)²=7(138,0625)=966,44
15(124,5−126,25)²=15(3,0625)=45,94
10(134,5−126,25)²=10(68,0625)=680,63
5(144,5−126,25)²=5(333,0625)=1665,31
Σ = 4777,51
S² = 4777,51/39 ≈ 122,50
Contoh Soal 8
Nilai ujian 50 siswa:
| Kelas | fᵢ |
|---|---|
| 40–49 | 5 |
| 50–59 | 8 |
| 60–69 | 15 |
| 70–79 | 14 |
| 80–89 | 8 |
Tentukan varians menggunakan rumus kedua (rumus komputasi)!
Lihat Pembahasan
xᵢ: 44,5; 54,5; 64,5; 74,5; 84,5; n=50
Σfᵢxᵢ = 222,5+436+967,5+1043+676 = 3345
Σfᵢxᵢ² = 222,5(44,5)+436(54,5)+967,5(64,5)+1043(74,5)+676(84,5)
= 9901,25+23762+62403,75+77703,5+57122 = 230892,5
Rumus: S² = [nΣfᵢxᵢ² − (Σfᵢxᵢ)²] / [n(n−1)]
= [50(230892,5) − (3345)²] / [50(49)]
= [11544625 − 11189025] / 2450
= 355600 / 2450 ≈ 145,14
Contoh Soal 9
| Kelas | fᵢ |
|---|---|
| 150–159 | 2 |
| 160–169 | 6 |
| 170–179 | 12 |
| 180–189 | 8 |
| 190–199 | 2 |
Hitunglah varians tinggi badan (dalam cm) dari 30 siswa!
Lihat Pembahasan
xᵢ: 154,5; 164,5; 174,5; 184,5; 194,5; n=30
Σfᵢxᵢ = 309+987+2094+1476+389 = 5255
x = 5255/30 = 175,17
2(154,5−175,17)²=2(427,04)=854,09
6(164,5−175,17)²=6(113,85)=683,07
12(174,5−175,17)²=12(0,45)=5,39
8(184,5−175,17)²=8(87,05)=696,37
2(194,5−175,17)²=2(373,65)=747,29
Σ = 2986,21
S² = 2986,21/29 ≈ 102,97
Contoh Soal 10
| Kelas | fᵢ |
|---|---|
| 1–10 | 5 |
| 11–20 | 9 |
| 21–30 | 14 |
| 31–40 | 8 |
| 41–50 | 4 |
Hitung varians!
Lihat Pembahasan
xᵢ: 5,5; 15,5; 25,5; 35,5; 45,5; n=40
Σfᵢxᵢ = 27,5+139,5+357+284+182 = 990
x = 990/40 = 24,75
5(5,5−24,75)²=5(370,5625)=1852,81
9(15,5−24,75)²=9(85,5625)=770,06
14(25,5−24,75)²=14(0,5625)=7,88
8(35,5−24,75)²=8(115,5625)=924,50
4(45,5−24,75)²=4(430,5625)=1722,25
Σ = 5277,5
S² = 5277,5/39 ≈ 135,32
🔴 Tingkat Sulit (11–15)
Contoh Soal 11
Data gaji (dalam ribuan rupiah) 60 karyawan:
| Kelas | fᵢ |
|---|---|
| 2000–2499 | 5 |
| 2500–2999 | 10 |
| 3000–3499 | 18 |
| 3500–3999 | 15 |
| 4000–4499 | 8 |
| 4500–4999 | 4 |
Tentukan varians dan simpangan baku!
Lihat Pembahasan
xᵢ: 2249,5; 2749,5; 3249,5; 3749,5; 4249,5; 4749,5; n=60
Σfᵢxᵢ = 11247,5+27495+58491+56242,5+33996+18998 = 206470
x = 206470/60 = 3441,17
5(2249,5−3441,17)²=5(1420101,48)=7100507,4
10(2749,5−3441,17)²=10(478237,39)=4782373,9
18(3249,5−3441,17)²=18(36698,79)=660578,2
15(3749,5−3441,17)²=15(95053,19)=1425797,9
8(4249,5−3441,17)²=8(653267,59)=5226140,7
4(4749,5−3441,17)²=4(1711481,99)=6845928,0
Σ = 26041326,1
S² = 26041326,1/59 ≈ 441378,41
S = √441378,41 ≈ 664,36 ribu rupiah
Contoh Soal 12
Data waktu penyelesaian tugas (menit) dari 80 siswa. Diketahui Σfᵢxᵢ = 4400, Σfᵢxᵢ² = 253000, dan n = 80. Hitunglah varians!
Lihat Pembahasan
Menggunakan rumus komputasi:
S² = [nΣfᵢxᵢ² − (Σfᵢxᵢ)²] / [n(n−1)]
= [80(253000) − (4400)²] / [80(79)]
= [20240000 − 19360000] / 6320
= 880000 / 6320 ≈ 139,24
Contoh Soal 13
Dua kelas memiliki data sebagai berikut:
Kelas A: n=30, x=72, S²=64
Kelas B memiliki distribusi frekuensi:
| Kelas | fᵢ |
|---|---|
| 60–64 | 4 |
| 65–69 | 6 |
| 70–74 | 10 |
| 75–79 | 7 |
| 80–84 | 3 |
Kelas mana yang datanya lebih bervariasi?
Lihat Pembahasan
Kelas B: xᵢ: 62, 67, 72, 77, 82; n=30
Σfᵢxᵢ = 248+402+720+539+246 = 2155
x = 2155/30 = 71,83
4(62−71,83)²=4(96,73)=386,93
6(67−71,83)²=6(23,35)=140,07
10(72−71,83)²=10(0,03)=0,29
7(77−71,83)²=7(26,73)=187,09
3(82−71,83)²=3(103,35)=310,04
Σ = 1024,42
S²_B = 1024,42/29 ≈ 35,32
Perbandingan: S²_A = 64, S²_B ≈ 35,32
Kelas A lebih bervariasi karena variansnya lebih besar.
Contoh Soal 14
Jika diketahui data berkelompok memiliki n=50, Σfᵢxᵢ²=125000, dan x = 48. Tentukan varians!
Lihat Pembahasan
Kita tahu: S² = [Σfᵢxᵢ² − n·x²] / (n−1)
n·x² = 50 × 48² = 50 × 2304 = 115200
S² = (125000 − 115200) / 49
= 9800 / 49 = 200
Contoh Soal 15
Data skor tes dari 100 peserta didik:
| Kelas | fᵢ |
|---|---|
| 20–29 | 5 |
| 30–39 | 12 |
| 40–49 | 20 |
| 50–59 | 28 |
| 60–69 | 18 |
| 70–79 | 12 |
| 80–89 | 5 |
Hitunglah varians dan tentukan apakah data tersebut cukup homogen (S² < 150 dianggap homogen)!
Lihat Pembahasan
xᵢ: 24,5; 34,5; 44,5; 54,5; 64,5; 74,5; 84,5; n=100
Σfᵢxᵢ = 122,5+414+890+1526+1161+894+422,5 = 5430
x = 5430/100 = 54,3
5(24,5−54,3)²=5(888,04)=4440,2
12(34,5−54,3)²=12(392,04)=4704,48
20(44,5−54,3)²=20(96,04)=1920,8
28(54,5−54,3)²=28(0,04)=1,12
18(64,5−54,3)²=18(104,04)=1872,72
12(74,5−54,3)²=12(408,04)=4896,48
5(84,5−54,3)²=5(912,04)=4560,2
Σ = 22396
S² = 22396/99 ≈ 226,22
Karena 226,22 > 150, maka data tidak homogen (cukup bervariasi).
🏋️ Latihan Soal
Kerjakan tanpa melihat pembahasan. Gunakan langkah-langkah yang telah dipelajari!
🟢 Mudah (1–5)
1. Hitunglah varians data berikut:
| Kelas | fᵢ |
|---|---|
| 1–5 | 3 |
| 6–10 | 7 |
| 11–15 | 10 |
2. Tentukan varians:
| Kelas | fᵢ |
|---|---|
| 20–29 | 4 |
| 30–39 | 6 |
| 40–49 | 10 |
3. Hitunglah varians:
| Kelas | fᵢ |
|---|---|
| 5–9 | 5 |
| 10–14 | 10 |
| 15–19 | 5 |
4. Diketahui data berkelompok dengan n=25, Σfᵢxᵢ=500, Σfᵢxᵢ²=11000. Hitung varians!
5. Tentukan varians:
| Kelas | fᵢ |
|---|---|
| 100–104 | 4 |
| 105–109 | 8 |
| 110–114 | 8 |
🟡 Sedang (6–10)
6. Hitunglah varians:
| Kelas | fᵢ |
|---|---|
| 50–59 | 6 |
| 60–69 | 10 |
| 70–79 | 14 |
| 80–89 | 8 |
| 90–99 | 2 |
7. Data berat badan 45 siswa:
| Kelas | fᵢ |
|---|---|
| 40–46 | 3 |
| 47–53 | 8 |
| 54–60 | 16 |
| 61–67 | 12 |
| 68–74 | 6 |
Tentukan varians dan simpangan baku!
8. Jika dari data berkelompok diperoleh n=40, Σfᵢxᵢ=2400, dan Σfᵢ(xᵢ−x)²=3900, tentukan varians dan simpangan baku!
9. Hitunglah varians menggunakan rumus komputasi:
| Kelas | fᵢ |
|---|---|
| 10–19 | 4 |
| 20–29 | 9 |
| 30–39 | 12 |
| 40–49 | 10 |
| 50–59 | 5 |
10. Dua set data memiliki n yang sama (n=30). Data A memiliki S²=80 dan Data B memiliki distribusi:
| Kelas | fᵢ |
|---|---|
| 0–9 | 3 |
| 10–19 | 7 |
| 20–29 | 10 |
| 30–39 | 6 |
| 40–49 | 4 |
Data mana yang lebih bervariasi?
🔴 Sulit (11–15)
11. Data penghasilan (juta) 75 pekerja:
| Kelas | fᵢ |
|---|---|
| 2,0–2,9 | 8 |
| 3,0–3,9 | 15 |
| 4,0–4,9 | 22 |
| 5,0–5,9 | 18 |
| 6,0–6,9 | 9 |
| 7,0–7,9 | 3 |
Hitung varians, simpangan baku, dan koefisien variasi (KV = S/x × 100%)!
12. Sebuah data berkelompok memiliki 7 kelas interval masing-masing berpanjang 5. Kelas pertama 10–14. Jika diketahui Σfᵢxᵢ² = 98500, Σfᵢxᵢ = 2100, dan n = 60, tentukan varians!
13. Dari 50 data berkelompok diperoleh rata-rata 65 dan varians 144. Jika setiap data ditambah 10, tentukan rata-rata dan varians yang baru! Jika setiap data dikalikan 2, tentukan rata-rata dan varians yang baru!
14. Gabungan dua kelompok data: Kelompok I (n₁=40, x₁=50, S₁²=100) dan Kelompok II (n₂=60, x₂=60, S₂²=144). Tentukan varians gabungan!
Petunjuk: S²_gab = [(n₁−1)S₁² + (n₂−1)S₂² + n₁n₂(x₁−x₂)²/(n₁+n₂)] / (n₁+n₂−1)
15. Suatu data berkelompok memiliki 6 kelas. Diketahui:
- Σfᵢ = 50
- Σfᵢxᵢ = 3500
- Σfᵢxᵢ² = 260000
Hitunglah: (a) Rata-rata, (b) Varians, (c) Simpangan baku, (d) Jika semua data dikurangi rata-rata lalu dikuadratkan dan dijumlahkan, berapa hasilnya?