Menentukan Nilai Rataan Gabungan Data Tunggal
Materi Statistika — Panduan Lengkap, Contoh Soal & Latihan
1. Pengertian Rataan Gabungan
🔍 MengamatiPerhatikan situasi berikut:
Kelas A terdiri dari 20 siswa dengan nilai rata-rata ulangan Matematika = 75.
Kelas B terdiri dari 30 siswa dengan nilai rata-rata ulangan Matematika = 80.
Berapa rata-rata nilai ulangan Matematika jika kedua kelas digabung?
Rataan gabungan (combined mean) adalah nilai rata-rata yang diperoleh dari penggabungan dua kelompok data atau lebih, di mana masing-masing kelompok sudah diketahui rata-rata dan banyak datanya.
⚠️ Penting: Rataan gabungan tidak sama dengan rata-rata dari rata-rata. Kita tidak bisa sekedar menjumlahkan rata-rata lalu membaginya, karena setiap kelompok bisa memiliki jumlah data yang berbeda.
Contoh kesalahan umum:
Salah: xgab = (75 + 80) / 2 = 77,5 ❌
Benar: Harus memperhitungkan jumlah data masing-masing kelompok ✅
2. Rumus Rataan Gabungan
🧠 MenalarA. Untuk Dua Kelompok Data
xgab = n1 · x1 + n2 · x2n1 + n2
B. Untuk k Kelompok Data (Umum)
xgab = Σ ni · xiΣ ni = n1x1 + n2x2 + … + nkxkn1 + n2 + … + nk
Keterangan Simbol
| Simbol | Keterangan |
|---|---|
| xgab | Rataan (mean) gabungan |
| ni | Banyak data pada kelompok ke-i |
| xi | Rata-rata kelompok ke-i |
| Σ | Sigma (jumlah total) |
| k | Banyak kelompok |
3. Langkah-Langkah Menentukan Rataan Gabungan
🧠 Menalar- Identifikasi banyak data (ni) dan rata-rata (xi) setiap kelompok.
- Hitung jumlah data × rata-rata untuk setiap kelompok: ni · xi
- Jumlahkan semua hasil perkalian pada langkah 2 → pembilang.
- Jumlahkan seluruh banyak data → penyebut.
- Bagi pembilang dengan penyebut untuk mendapatkan xgab.
Ilustrasi Langkah (dari contoh di atas):
n1 = 20, x1 = 75 → n1·x1 = 1.500
n2 = 30, x2 = 80 → n2·x2 = 2.400
xgab = 1.500 + 2.40020 + 30 = 3.90050 = 78
4. Kegiatan Pembelajaran (Pendekatan Saintifik 5M)
Amati data berikut:
| Kelompok | Banyak Siswa (n) | Rata-rata Nilai (x) |
|---|---|---|
| Kelompok 1 | 10 | 60 |
| Kelompok 2 | 15 | 70 |
| Kelompok 3 | 25 | 80 |
Perhatikan bahwa setiap kelompok memiliki jumlah anggota dan rata-rata yang berbeda. Jika ketiga kelompok digabung, berapa rata-rata gabungannya?
Dari pengamatan di atas, coba ajukan pertanyaan:
- Mengapa rata-rata gabungan tidak sama dengan (60+70+80)/3 = 70?
- Kelompok mana yang paling berpengaruh terhadap rata-rata gabungan? Mengapa?
- Bagaimana jika semua kelompok memiliki jumlah anggota yang sama?
Mari kita hitung:
xgab = (10×60) + (15×70) + (25×80)10 + 15 + 25
= 600 + 1.050 + 2.00050 = 3.65050 = 73
Kesimpulan: Rata-rata gabungan = 73, bukan 70. Kelompok 3 yang memiliki anggota terbanyak (25 siswa) dan rata-rata tertinggi (80) memberikan pengaruh paling besar, sehingga rata-rata gabungan lebih condong ke arah rata-rata kelompok 3.
Sekarang coba sendiri! Ubah jumlah siswa Kelompok 3 menjadi 5 (bukan 25). Hitung rata-rata gabungannya.
xgab = (10×60) + (15×70) + (5×80)10 + 15 + 5 = 600 + 1.050 + 40030 = 2.05030 ≈ 68,33
Perhatikan: Ketika jumlah anggota Kelompok 3 berkurang, pengaruhnya berkurang dan rata-rata gabungan menjadi lebih rendah.
Prinsip Penting yang Dapat Disimpulkan:
- Rataan gabungan adalah rata-rata berbobot, dengan bobot berupa jumlah data masing-masing kelompok.
- Kelompok dengan jumlah data lebih banyak memiliki pengaruh lebih besar terhadap rataan gabungan.
- Jika semua kelompok memiliki jumlah data yang sama, maka rataan gabungan = rata-rata dari rata-rata.
- Rataan gabungan selalu terletak di antara rata-rata terkecil dan rata-rata terbesar.
5. Contoh Soal & Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
Soal 1. Kelompok A: 10 siswa, rata-rata 70. Kelompok B: 10 siswa, rata-rata 80. Tentukan rataan gabungan!
xgab = (10×70)+(10×80)10+10 = 700+80020 = 1.50020 = 75
Karena n1=n2, rataan gabungan = rata-rata dari kedua rata-rata = (70+80)/2 = 75. ✅
Soal 2. Kelas X: 20 siswa, rata-rata 65. Kelas Y: 30 siswa, rata-rata 75. Tentukan rataan gabungan!
xgab = (20×65)+(30×75)20+30 = 1.300+2.25050 = 3.55050 = 71
Soal 3. Tim P: 8 orang, rata-rata skor 50. Tim Q: 12 orang, rata-rata skor 60. Hitung rataan gabungan!
xgab = (8×50)+(12×60)8+12 = 400+72020 = 1.12020 = 56
Soal 4. Kelompok I: 15 data, rata-rata 40. Kelompok II: 25 data, rata-rata 50. Tentukan rataan gabungan!
xgab = (15×40)+(25×50)15+25 = 600+1.25040 = 1.85040 = 46,25
Soal 5. Rombel A: 24 siswa, rata-rata 82. Rombel B: 36 siswa, rata-rata 78. Tentukan rataan gabungan!
xgab = (24×82)+(36×78)24+36 = 1.968+2.80860 = 4.77660 = 79,6
🟡 Tingkat Sedang
Soal 1. Tiga kelas memiliki data sebagai berikut:
| Kelas | n | x |
|---|---|---|
| A | 20 | 72 |
| B | 25 | 68 |
| C | 15 | 80 |
Tentukan rataan gabungan ketiga kelas!
xgab = (20×72)+(25×68)+(15×80)20+25+15
= 1.440+1.700+1.20060 = 4.34060 = 72,33 (dibulatkan 2 desimal)
Soal 2. Rata-rata berat badan 40 siswa putra adalah 55 kg. Rata-rata berat badan seluruh 70 siswa (putra dan putri) adalah 50 kg. Tentukan rata-rata berat badan siswa putri!
nputra = 40, xputra = 55, ntotal = 70, xgab = 50
nputri = 70 − 40 = 30
Gunakan rumus rataan gabungan:
50 = (40×55)+(30×xputri)70
3.500 = 2.200 + 30·xputri
30·xputri = 1.300
xputri = 1.30030 = 43,33 kg
Soal 3. Rata-rata nilai 25 siswa kelas A adalah 76. Setelah digabung dengan kelas B, rata-rata gabungan menjadi 72. Jika rata-rata kelas B adalah 68, berapa jumlah siswa kelas B?
nA=25, xA=76, xB=68, xgab=72
72 = (25×76)+(nB×68)25+nB
72(25+nB) = 1.900 + 68nB
1.800 + 72nB = 1.900 + 68nB
4nB = 100
nB = 25 siswa
Soal 4. Empat kelompok belajar memiliki data:
| Kelompok | n | x |
|---|---|---|
| 1 | 5 | 90 |
| 2 | 8 | 85 |
| 3 | 12 | 70 |
| 4 | 5 | 95 |
Tentukan rataan gabungan!
xgab = (5×90)+(8×85)+(12×70)+(5×95)5+8+12+5
= 450+680+840+47530 = 2.44530 = 81,5
Soal 5. Rata-rata gaji 10 karyawan divisi A adalah Rp4.000.000. Rata-rata gaji 15 karyawan divisi B adalah Rp5.000.000. Rata-rata gaji 5 karyawan divisi C adalah Rp7.000.000. Hitung rataan gaji gabungan!
xgab = (10×4jt)+(15×5jt)+(5×7jt)10+15+5
= 40jt+75jt+35jt30 = 150.000.00030 = Rp5.000.000
🔴 Tingkat Sulit
Soal 1. Rata-rata nilai 30 siswa kelas P adalah xP. Rata-rata 20 siswa kelas Q adalah 60. Rataan gabungan kedua kelas adalah 66. Tentukan xP!
66 = 30·xP + 20×6030+20
66 × 50 = 30·xP + 1.200
3.300 = 30·xP + 1.200
30·xP = 2.100
xP = 70
Soal 2. Rata-rata nilai n siswa kelas A adalah 80, dan rata-rata 2n siswa kelas B adalah 65. Tentukan rataan gabungan dalam bentuk paling sederhana!
xgab = n×80 + 2n×65n + 2n = 80n + 130n3n = 210n3n = 70
Variabel n habis dibagi, sehingga rataan gabungan = 70 untuk sembarang n > 0.
Soal 3. Tiga kelas digabung. Kelas A: 20 siswa, rata-rata 75. Kelas B: nB siswa, rata-rata 80. Kelas C: 10 siswa, rata-rata 85. Rataan gabungan ketiga kelas = 79. Berapa nB?
79 = (20×75)+(nB×80)+(10×85)20+nB+10
79(30 + nB) = 1.500 + 80nB + 850
2.370 + 79nB = 2.350 + 80nB
2.370 − 2.350 = 80nB − 79nB
nB = 20 siswa
Soal 4. Rata-rata tinggi badan 15 siswa laki-laki dan 10 siswa perempuan secara gabungan adalah 162 cm. Jika rata-rata tinggi badan siswa laki-laki 6 cm lebih dari siswa perempuan, tentukan rata-rata tinggi badan masing-masing!
Misal xP = rata-rata perempuan, maka xL = xP + 6
162 = 15(xP+6) + 10·xP25
4.050 = 15xP + 90 + 10xP
4.050 = 25xP + 90
25xP = 3.960
xP = 158,4 cm
xL = 158,4 + 6 = 164,4 cm
Soal 5. Lima kelas mengikuti ujian. Data masing-masing kelas:
| Kelas | n | x |
|---|---|---|
| X-1 | 32 | 74 |
| X-2 | 28 | 78 |
| X-3 | 35 | 71 |
| X-4 | 30 | 76 |
| X-5 | 25 | 82 |
Hitung rataan gabungan kelima kelas! Kelas mana yang paling berpengaruh?
Hitung ni·xi untuk setiap kelas:
| Kelas | ni×xi |
|---|---|
| X-1 | 32×74 = 2.368 |
| X-2 | 28×78 = 2.184 |
| X-3 | 35×71 = 2.485 |
| X-4 | 30×76 = 2.280 |
| X-5 | 25×82 = 2.050 |
Σni = 32+28+35+30+25 = 150
Σnixi = 2.368+2.184+2.485+2.280+2.050 = 11.367
xgab = 11.367150 = 75,78
Kelas X-3 paling berpengaruh karena memiliki jumlah siswa terbanyak (35 siswa), sehingga kontribusinya ke pembilang paling besar (2.485).
6. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri tanpa melihat pembahasan!
🟢 Mudah
1. Kelompok A: 12 siswa, rata-rata 60. Kelompok B: 18 siswa, rata-rata 70. Tentukan rataan gabungan!
2. Kelas P: 20 orang, rata-rata 85. Kelas Q: 20 orang, rata-rata 75. Hitung rataan gabungan!
3. Divisi X: 15 karyawan, rata-rata produksi 50 unit. Divisi Y: 25 karyawan, rata-rata produksi 40 unit. Tentukan rataan gabungan produksi!
4. Tim A: 6 orang, rata-rata skor 88. Tim B: 14 orang, rata-rata skor 72. Tentukan rataan gabungan!
5. Cabang I: 30 pegawai, rata-rata penjualan 100 unit. Cabang II: 10 pegawai, rata-rata penjualan 120 unit. Hitung rataan gabungan!
🟡 Sedang
1. Tiga kelompok: A (10 siswa, rata-rata 65), B (15 siswa, rata-rata 75), C (25 siswa, rata-rata 80). Hitung rataan gabungan!
2. Rata-rata nilai 35 siswa putra adalah 70. Rata-rata gabungan 55 siswa (putra dan putri) adalah 74. Berapa rata-rata nilai siswa putri?
3. Rata-rata 20 siswa kelas A adalah 78. Setelah digabung dengan kelas B yang rata-ratanya 70, rataan gabungan menjadi 73. Berapa jumlah siswa kelas B?
4. Empat divisi: D1 (8 orang, rata-rata 90), D2 (12 orang, rata-rata 80), D3 (10 orang, rata-rata 75), D4 (10 orang, rata-rata 85). Tentukan rataan gabungan!
5. Rata-rata berat 25 pria dan 15 wanita secara gabungan adalah 63 kg. Rata-rata berat pria 68 kg. Berapa rata-rata berat wanita?
🔴 Sulit
1. Rata-rata 2n siswa kelas A adalah 75, dan rata-rata 3n siswa kelas B adalah 85. Tentukan rataan gabungan (dalam bentuk paling sederhana, tanpa variabel n)!
2. Tiga kelas: A (30 siswa, rata-rata 70), B (nB siswa, rata-rata 85), C (20 siswa, rata-rata 60). Rataan gabungan = 72. Tentukan nB!
3. Rata-rata umur 20 anggota kelompok A dan 30 anggota kelompok B secara gabungan adalah 28 tahun. Jika rata-rata umur kelompok A 5 tahun lebih muda dari kelompok B, tentukan rata-rata umur masing-masing kelompok!
4. Lima kelas: X-1 (28 siswa, rata-rata 72), X-2 (32 siswa, rata-rata 68), X-3 (n siswa, rata-rata 80), X-4 (25 siswa, rata-rata 76), X-5 (30 siswa, rata-rata 74). Rataan gabungan seluruh kelas = 73,5. Tentukan n!
5. Rata-rata nilai kelas A (40 siswa) dan kelas B (n siswa) secara gabungan adalah 76. Jika 10 siswa dari kelas A dipindah ke kelas B (tanpa mengubah data), rataan gabungan tetap 76. Buktikan bahwa rata-rata kelas A sama dengan rata-rata kelas B!