Menentukan Nilai Persentil Data Tunggal Berbobot
Materi Statistika — Pembelajaran Berbasis Saintifik
📘 Materi: Persentil Data Tunggal Berbobot
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan data berikut yang menunjukkan nilai ujian siswa beserta bobotnya:
| Nilai (xᵢ) | 60 | 70 | 75 | 80 | 90 |
|---|---|---|---|---|---|
| Bobot (wᵢ) | 2 | 3 | 4 | 5 | 1 |
Amati bahwa setiap nilai data memiliki bobot (weight) yang berbeda. Bobot menunjukkan tingkat kepentingan atau frekuensi relatif dari suatu data. Bagaimana cara menentukan persentil ke-p dari data berbobot ini?
❓ Kegiatan: Menanya
- Apa perbedaan persentil data tunggal biasa dengan data tunggal berbobot?
- Bagaimana bobot mempengaruhi posisi persentil?
- Bagaimana rumus menentukan persentil data tunggal berbobot?
- Kapan kita menggunakan persentil berbobot dalam kehidupan sehari-hari?
💡 Kegiatan: Menalar
A. Pengertian Persentil Data Tunggal Berbobot
Persentil ke-p (Pₚ) dari data tunggal berbobot adalah nilai yang membagi data menjadi dua bagian, dimana p% dari total bobot berada di bawah atau sama dengan nilai tersebut.
Pada data berbobot, setiap datum xᵢ memiliki bobot wᵢ yang menunjukkan kontribusi relatifnya. Semakin besar bobot, semakin besar pengaruh datum tersebut terhadap ukuran posisi.
B. Langkah-Langkah Menentukan Persentil Berbobot
- Urutkan data dari yang terkecil ke terbesar: x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ xₙ
- Hitung total bobot: W = w₁ + w₂ + … + wₙ = Σwᵢ
- Hitung bobot kumulatif (Cᵢ) untuk setiap data:
C₁ = w₁, C₂ = w₁ + w₂, …, Cᵢ = w₁ + w₂ + … + wᵢ - Hitung posisi persentil:
Posisi Pₚ = p100 × W
- Tentukan nilai persentil:
- Cari data ke-i dimana bobot kumulatif Cᵢ ≥ posisi persentil
- Jika posisi persentil tepat berada di batas kumulatif, maka Pₚ = rata-rata dari xᵢ dan xᵢ₊₁
- Jika posisi persentil berada di dalam suatu interval kumulatif, maka Pₚ = xᵢ (data pada interval tersebut)
C. Rumus Interpolasi Persentil Berbobot
Jika diperlukan interpolasi, rumusnya:
Pₚ = xᵢ + (Posisi − Cᵢ₋₁)(Cᵢ − Cᵢ₋₁) × (xᵢ − xᵢ₋₁)
dengan:
• Posisi = (p/100) × W
• Cᵢ₋₁ = bobot kumulatif sebelum data ke-i
• Cᵢ = bobot kumulatif hingga data ke-i
• xᵢ = data pada posisi persentil
D. Metode Persentase Kumulatif
Alternatif lain menggunakan persentase kumulatif:
Persentase kumulatif ke-i = CᵢW × 100%
Persentil ke-p adalah nilai data pertama yang persentase kumulatifnya ≥ p%.
E. Contoh Penerapan Langkah Demi Langkah
Tentukan P₅₀ dari data berikut:
| xᵢ | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 |
|---|---|---|---|---|---|
| wᵢ | 1 | 3 | 4 | 2 | 2 |
Langkah 1: Data sudah terurut.
Langkah 2: W = 1 + 3 + 4 + 2 + 2 = 12
Langkah 3: Bobot kumulatif:
| xᵢ | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 |
|---|---|---|---|---|---|
| wᵢ | 1 | 3 | 4 | 2 | 2 |
| Cᵢ | 1 | 4 | 8 | 10 | 12 |
Langkah 4: Posisi P₅₀ = (50/100) × 12 = 6
Langkah 5: Cari Cᵢ ≥ 6. C₂ = 4 < 6, C₃ = 8 ≥ 6. Maka P₅₀ = x₃ = 70
🧪 Kegiatan: Mencoba
Cobalah tentukan P₂₅ dan P₇₅ dari data pada tabel berikut:
| xᵢ | 40 | 55 | 65 | 75 | 85 | 95 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| wᵢ | 2 | 3 | 5 | 4 | 3 | 3 |
Petunjuk: W = 20. Posisi P₂₅ = 5, Posisi P₇₅ = 15.
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Setelah memahami konsep persentil data tunggal berbobot, komunikasikan pemahamanmu:
- Jelaskan perbedaan utama persentil data biasa vs data berbobot.
- Berikan contoh penerapan dalam kehidupan (misal: penilaian akademik dengan bobot mata pelajaran).
- Diskusikan mengapa bobot penting dalam statistika deskriptif.
📌 Ringkasan Materi
- Persentil berbobot memperhitungkan kontribusi relatif setiap data melalui bobot.
- Posisi persentil ke-p = (p/100) × W, dengan W = total bobot.
- Nilai persentil ditentukan dari data yang bobot kumulatifnya mencakup posisi tersebut.
- Interpolasi digunakan jika posisi tepat berada di batas kumulatif.
📗 Contoh Soal & Pembahasan
🟢 Contoh Soal Mudah (1–5)
Soal 1: Tentukan P₅₀ dari data berbobot berikut:
| xᵢ | 10 | 20 | 30 | 40 |
|---|---|---|---|---|
| wᵢ | 2 | 3 | 3 | 2 |
Pembahasan:
W = 2+3+3+2 = 10
Kumulatif: C₁=2, C₂=5, C₃=8, C₄=10
Posisi P₅₀ = (50/100)×10 = 5
C₂ = 5 = posisi → tepat di batas, maka P₅₀ = (x₂+x₃)/2 = (20+30)/2 = 25
Soal 2: Tentukan P₂₅ dari data berbobot:
| xᵢ | 5 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|
| wᵢ | 1 | 2 | 4 | 1 |
Pembahasan:
W = 1+2+4+1 = 8
Kumulatif: C₁=1, C₂=3, C₃=7, C₄=8
Posisi P₂₅ = (25/100)×8 = 2
C₁=1 < 2, C₂=3 ≥ 2 → P₂₅ = x₂ = 10
Soal 3: Tentukan P₇₅ dari data berbobot:
| xᵢ | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
|---|---|---|---|---|---|
| wᵢ | 1 | 2 | 2 | 3 | 2 |
Pembahasan:
W = 1+2+2+3+2 = 10
Kumulatif: C₁=1, C₂=3, C₃=5, C₄=8, C₅=10
Posisi P₇₅ = (75/100)×10 = 7,5
C₃=5 < 7,5, C₄=8 ≥ 7,5 → P₇₅ = x₄ = 60
Soal 4: Tentukan P₁₀ dari data berbobot:
| xᵢ | 100 | 200 | 300 |
|---|---|---|---|
| wᵢ | 5 | 3 | 2 |
Pembahasan:
W = 5+3+2 = 10
Kumulatif: C₁=5, C₂=8, C₃=10
Posisi P₁₀ = (10/100)×10 = 1
C₁=5 ≥ 1 → P₁₀ = x₁ = 100
Soal 5: Tentukan P₉₀ dari data berbobot:
| xᵢ | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| wᵢ | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Pembahasan:
W = 5 (semua bobot sama = 1)
Kumulatif: C₁=1, C₂=2, C₃=3, C₄=4, C₅=5
Posisi P₉₀ = (90/100)×5 = 4,5
C₄=4 < 4,5, C₅=5 ≥ 4,5 → P₉₀ = x₅ = 10
🟡 Contoh Soal Sedang (6–10)
Soal 6: Tentukan P₄₀ dari data berbobot:
| xᵢ | 25 | 35 | 45 | 55 | 65 | 75 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| wᵢ | 3 | 5 | 7 | 4 | 3 | 3 |
Pembahasan:
W = 3+5+7+4+3+3 = 25
Kumulatif: C₁=3, C₂=8, C₃=15, C₄=19, C₅=22, C₆=25
Posisi P₄₀ = (40/100)×25 = 10
C₂=8 < 10, C₃=15 ≥ 10 → P₄₀ = x₃ = 45
Soal 7: Tentukan P₆₀ dari data berbobot:
| xᵢ | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| wᵢ | 2 | 4 | 6 | 5 | 2 | 1 |
Pembahasan:
W = 2+4+6+5+2+1 = 20
Kumulatif: C₁=2, C₂=6, C₃=12, C₄=17, C₅=19, C₆=20
Posisi P₆₀ = (60/100)×20 = 12
C₃ = 12 = posisi → tepat di batas, maka P₆₀ = (x₃+x₄)/2 = (24+30)/2 = 27
Soal 8: Tentukan P₃₀ dan P₇₀ dari data berbobot:
| xᵢ | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 |
|---|---|---|---|---|---|
| wᵢ | 4 | 6 | 8 | 5 | 2 |
Pembahasan:
W = 4+6+8+5+2 = 25
Kumulatif: C₁=4, C₂=10, C₃=18, C₄=23, C₅=25
P₃₀: Posisi = (30/100)×25 = 7,5. C₁=4 < 7,5, C₂=10 ≥ 7,5 → P₃₀ = x₂ = 60
P₇₀: Posisi = (70/100)×25 = 17,5. C₂=10 < 17,5, C₃=18 ≥ 17,5 → P₇₀ = x₃ = 70
Soal 9: Tentukan P₈₀ dari data berbobot berikut menggunakan interpolasi:
| xᵢ | 15 | 25 | 35 | 45 | 55 |
|---|---|---|---|---|---|
| wᵢ | 2 | 3 | 5 | 6 | 4 |
Pembahasan:
W = 2+3+5+6+4 = 20
Kumulatif: C₁=2, C₂=5, C₃=10, C₄=16, C₅=20
Posisi P₈₀ = (80/100)×20 = 16
C₄ = 16 = posisi → tepat di batas, maka P₈₀ = (x₄+x₅)/2 = (45+55)/2 = 50
Soal 10: Data nilai mahasiswa dengan bobot SKS:
| Nilai (xᵢ) | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| SKS (wᵢ) | 2 | 3 | 4 | 3 | 4 | 2 |
Tentukan P₅₅.
Pembahasan:
W = 2+3+4+3+4+2 = 18
Kumulatif: C₁=2, C₂=5, C₃=9, C₄=12, C₅=16, C₆=18
Posisi P₅₅ = (55/100)×18 = 9,9
C₃=9 < 9,9, C₄=12 ≥ 9,9 → P₅₅ = x₄ = 80
🔴 Contoh Soal Sulit (11–15)
Soal 11: Tentukan P₃₅ menggunakan interpolasi linear dari data berbobot:
| xᵢ | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| wᵢ | 1 | 2 | 4 | 6 | 5 | 3 | 1 |
Pembahasan:
W = 1+2+4+6+5+3+1 = 22
Kumulatif: C₁=1, C₂=3, C₃=7, C₄=13, C₅=18, C₆=21, C₇=22
Posisi P₃₅ = (35/100)×22 = 7,7
C₃=7 < 7,7, C₄=13 ≥ 7,7
Interpolasi: P₃₅ = x₄ + [(7,7 − C₃)/(C₄ − C₃)] × (x₄ − x₃)
= 50 + [(7,7−7)/(13−7)] × (50−40)
= 50 + [0,7/6] × 10
= 50 + 1,17 = 51,17
Catatan: Tanpa interpolasi, jawabannya cukup P₃₅ = 50. Interpolasi digunakan untuk hasil lebih presisi.
Soal 12: Tentukan rentang interkuartil berbobot (IQR) dari data:
| xᵢ | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| wᵢ | 1 | 3 | 5 | 7 | 6 | 4 | 2 | 2 |
Pembahasan:
W = 1+3+5+7+6+4+2+2 = 30
Kumulatif: C₁=1, C₂=4, C₃=9, C₄=16, C₅=22, C₆=26, C₇=28, C₈=30
P₂₅: Posisi = (25/100)×30 = 7,5. C₂=4 < 7,5, C₃=9 ≥ 7,5 → P₂₅ = 30
P₇₅: Posisi = (75/100)×30 = 22,5. C₅=22 < 22,5, C₆=26 ≥ 22,5 → P₇₅ = 60
IQR = P₇₅ − P₂₅ = 60 − 30 = 30
Soal 13: Skor kinerja karyawan di 3 departemen dengan bobot jumlah karyawan:
| Skor (xᵢ) | 55 | 62 | 68 | 74 | 79 | 83 | 88 | 92 | 96 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Jumlah (wᵢ) | 3 | 5 | 8 | 12 | 15 | 10 | 7 | 4 | 2 |
Tentukan P₉₀.
Pembahasan:
W = 3+5+8+12+15+10+7+4+2 = 66
Kumulatif: 3, 8, 16, 28, 43, 53, 60, 64, 66
Posisi P₉₀ = (90/100)×66 = 59,4
C₆=53 < 59,4, C₇=60 ≥ 59,4 → P₉₀ = x₇ = 88
Dengan interpolasi: P₉₀ = 88 + [(59,4−53)/(60−53)]×(88−83) = 88 + [6,4/7]×5 = 88 + 4,57 ≈ 92,57
Catatan: Tanpa interpolasi = 88, dengan interpolasi ≈ 92,57
Soal 14: Tentukan persentil ke berapa nilai x = 70 berada, dari data berbobot:
| xᵢ | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| wᵢ | 2 | 4 | 6 | 8 | 5 | 3 |
Pembahasan:
W = 2+4+6+8+5+3 = 28
Kumulatif: C₁=2, C₂=6, C₃=12, C₄=20, C₅=25, C₆=28
x = 70 berada pada posisi ke-4 dengan C₄ = 20
Persentil x=70: p = (C₄/W)×100 = (20/28)×100 = 71,43
Artinya nilai 70 berada pada persentil ke-71,43 (≈ P₇₁)
Soal 15: Data penghasilan (dalam juta) dengan bobot jumlah pekerja. Tentukan P₂₀, P₅₀, dan P₈₀, lalu interpretasikan hasilnya.
| Penghasilan (xᵢ) | 3 | 4,5 | 6 | 7,5 | 9 | 12 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Jumlah Pekerja (wᵢ) | 8 | 12 | 15 | 10 | 7 | 4 | 3 | 1 |
Pembahasan:
W = 8+12+15+10+7+4+3+1 = 60
Kumulatif: 8, 20, 35, 45, 52, 56, 59, 60
P₂₀: Posisi = (20/100)×60 = 12. C₁=8 < 12, C₂=20 ≥ 12 → P₂₀ = x₂ = 4,5 juta
P₅₀: Posisi = (50/100)×60 = 30. C₂=20 < 30, C₃=35 ≥ 30 → P₅₀ = x₃ = 6 juta
P₈₀: Posisi = (80/100)×60 = 48. C₃=35 < 48, C₄=45 < 48, C₅=52 ≥ 48 → P₈₀ = x₅ = 9 juta
Interpretasi:
- 20% pekerja berpenghasilan ≤ 4,5 juta
- 50% pekerja (median) berpenghasilan ≤ 6 juta
- 80% pekerja berpenghasilan ≤ 9 juta (hanya 20% di atasnya)
📙 Latihan Soal (Tanpa Pembahasan)
🟢 Latihan Mudah (1–5)
1. Tentukan P₅₀ dari data berbobot:
| xᵢ | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|
| wᵢ | 1 | 2 | 3 | 2 | 2 |
2. Tentukan P₂₅ dari data berbobot:
| xᵢ | 30 | 40 | 50 | 60 |
|---|---|---|---|---|
| wᵢ | 3 | 4 | 2 | 1 |
3. Tentukan P₇₅ dari data berbobot:
| xᵢ | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 |
|---|---|---|---|---|---|
| wᵢ | 2 | 2 | 4 | 1 | 1 |
4. Tentukan P₉₀ dari data berbobot:
| xᵢ | 8 | 12 | 16 | 20 |
|---|---|---|---|---|
| wᵢ | 3 | 5 | 4 | 3 |
5. Tentukan P₁₀ dari data berbobot:
| xᵢ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| wᵢ | 4 | 3 | 2 | 1 | 1 |
🟡 Latihan Sedang (6–10)
6. Tentukan P₃₃ dan P₆₇ dari data berbobot:
| xᵢ | 22 | 28 | 34 | 40 | 46 | 52 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| wᵢ | 3 | 5 | 7 | 6 | 4 | 2 |
7. Tentukan P₄₅ dari data berbobot berikut dan interpretasikan hasilnya:
| Nilai Ujian (xᵢ) | 55 | 63 | 71 | 78 | 85 | 92 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Jumlah Siswa (wᵢ) | 4 | 7 | 10 | 8 | 5 | 2 |
8. Tentukan P₆₀ menggunakan interpolasi dari data berbobot:
| xᵢ | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| wᵢ | 1 | 3 | 4 | 5 | 4 | 3 |
9. Tentukan pada persentil ke berapa nilai x=45 berada:
| xᵢ | 15 | 25 | 35 | 45 | 55 | 65 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| wᵢ | 2 | 4 | 6 | 5 | 3 | 1 |
10. Tentukan P₅₀ dan bandingkan dengan rata-rata berbobot dari data:
| xᵢ | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|
| wᵢ | 1 | 2 | 4 | 2 | 1 |
🔴 Latihan Sulit (11–15)
11. Tentukan P₂₅, P₅₀, P₇₅ dan IQR berbobot dari data:
| xᵢ | 5 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| wᵢ | 2 | 4 | 7 | 10 | 8 | 5 | 3 | 1 |
12. Data produksi pabrik (ton) dengan bobot hari kerja. Tentukan P₁₅, P₅₀, P₈₅ dengan interpolasi dan interpretasikan:
| Produksi (xᵢ) | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Hari (wᵢ) | 2 | 5 | 8 | 12 | 10 | 7 | 4 | 3 | 1 |
13. Tentukan nilai x sehingga x berada pada persentil ke-65 dari data berbobot:
| xᵢ | 30 | 45 | x | 75 | 90 |
|---|---|---|---|---|---|
| wᵢ | 3 | 5 | 7 | 4 | 1 |
Petunjuk: Asumsikan data terurut, sehingga 45 ≤ x ≤ 75
14. Dua kelompok data berbobot digabung. Tentukan P₄₀ dari gabungan:
Kelompok A:
| xᵢ | 10 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|
| wᵢ | 3 | 5 | 2 |
Kelompok B:
| xᵢ | 15 | 25 | 35 |
|---|---|---|---|
| wᵢ | 4 | 3 | 3 |
15. Tentukan desil ke-3 (D₃ = P₃₀), desil ke-7 (D₇ = P₇₀), dan persentil ke-95 dari data berbobot berikut. Gunakan interpolasi untuk hasil yang lebih presisi.
| xᵢ | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 | 220 | 240 | 260 | 280 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| wᵢ | 1 | 3 | 5 | 8 | 10 | 9 | 6 | 4 | 2 | 2 |