Statistika – Menentukan Nilai Jangkauan (Rentang) Data Tunggal

Materi Statistika — Data Tunggal

📘 Materi

A. Pengertian Jangkauan (Range)

Jangkauan (Range) adalah ukuran penyebaran data yang paling sederhana. Jangkauan menunjukkan selisih antara nilai data terbesar (maksimum) dengan nilai data terkecil (minimum) dalam suatu kumpulan data.

Jangkauan memberikan gambaran tentang seberapa lebar sebaran data. Semakin besar nilai jangkauan, maka data semakin tersebar luas. Sebaliknya, semakin kecil nilai jangkauan, maka data semakin mengumpul (homogen).

Rumus Jangkauan:

J = x_maks − x_min

Keterangan:

J = Jangkauan (Range)
x_maks = Nilai data terbesar (maksimum)
x_min = Nilai data terkecil (minimum)

B. Sifat-Sifat Jangkauan

Jangkauan selalu bernilai positif atau nol (J ≥ 0).
Jangkauan bernilai nol jika semua data bernilai sama.
Jangkauan hanya bergantung pada dua nilai: data terbesar dan data terkecil.
Jangkauan mudah dihitung tetapi sangat dipengaruhi oleh nilai ekstrem (outlier).
Satuan jangkauan sama dengan satuan data.

C. Langkah-Langkah Menentukan Jangkauan

Urutkan data dari yang terkecil ke terbesar (opsional, tetapi membantu).
Tentukan nilai maksimum (x_maks): data dengan nilai paling besar.
Tentukan nilai minimum (x_min): data dengan nilai paling kecil.
Hitung jangkauan: J = x_maks − x_min.

D. Kegunaan Jangkauan

Memberikan gambaran cepat tentang sebaran data.
Membandingkan variabilitas dua kelompok data.
Langkah awal dalam analisis ukuran penyebaran data.
Digunakan dalam pengendalian kualitas (quality control).

E. Kegiatan Pembelajaran (5M)

🔍 Mengamati

Perhatikan data nilai ulangan Matematika 10 siswa berikut:

65, 78, 82, 55, 90, 73, 88, 60, 95, 70

Amatilah: data manakah yang paling besar? Data manakah yang paling kecil? Berapa selisihnya?

❓ Menanya

Bagaimana cara mengukur sebaran data secara sederhana?
Apa yang terjadi jika selisih nilai terbesar dan terkecil sangat jauh?
Apakah jangkauan cukup untuk menggambarkan penyebaran data secara lengkap?

💡 Menalar

Dari data di atas:

Nilai terbesar (x_maks) = 95
Nilai terkecil (x_min) = 55
Jangkauan = 95 − 55 = 40

Artinya: sebaran nilai siswa memiliki rentang 40 poin. Ini menunjukkan adanya variasi yang cukup besar dalam kemampuan siswa.

🧪 Mencoba

Cobalah tentukan jangkauan dari data berikut:

Data A: 5, 5, 5, 5, 5 → J = ?

Data B: 2, 15, 8, 22, 3 → J = ?

Bandingkan kedua jangkauan tersebut. Apa kesimpulanmu?

📢 Mengkomunikasikan

Jelaskan dengan kata-katamu sendiri:

Data A memiliki jangkauan = 0 karena semua nilai sama (homogen).
Data B memiliki jangkauan = 22 − 2 = 20, artinya data lebih bervariasi.
Kesimpulan: Semakin besar jangkauan, semakin heterogen data tersebut.

📝 Contoh Soal dan Pembahasan

Tingkat Mudah

Mudah

Soal 1:

Tentukan jangkauan dari data: 3, 7, 5, 9, 2

▶ Klik untuk melihat pembahasan

Langkah 1: Urutkan data: 2, 3, 5, 7, 9

Langkah 2: x_maks = 9

Langkah 3: x_min = 2

Langkah 4: J = 9 − 2 = 7

Mudah

Soal 2:

Data tinggi badan 5 siswa (dalam cm): 150, 155, 160, 148, 162. Tentukan jangkauannya!

▶ Klik untuk melihat pembahasan

Langkah 1: Urutkan: 148, 150, 155, 160, 162

Langkah 2: x_maks = 162 cm

Langkah 3: x_min = 148 cm

Langkah 4: J = 162 − 148 = 14 cm

Mudah

Soal 3:

Nilai ulangan 6 siswa: 80, 75, 90, 85, 70, 95. Berapa jangkauannya?

▶ Klik untuk melihat pembahasan

Langkah 1: Urutkan: 70, 75, 80, 85, 90, 95

Langkah 2: x_maks = 95

Langkah 3: x_min = 70

Langkah 4: J = 95 − 70 = 25

Mudah

Soal 4:

Data berat badan (kg): 45, 50, 42, 55, 48. Tentukan jangkauannya!

▶ Klik untuk melihat pembahasan

Langkah 1: Urutkan: 42, 45, 48, 50, 55

Langkah 2: x_maks = 55 kg

Langkah 3: x_min = 42 kg

Langkah 4: J = 55 − 42 = 13 kg

Mudah

Soal 5:

Data: 10, 10, 10, 10, 10. Berapa jangkauannya?

▶ Klik untuk melihat pembahasan

Langkah 1: Semua data bernilai sama = 10

Langkah 2: x_maks = 10

Langkah 3: x_min = 10

Langkah 4: J = 10 − 10 = 0

Kesimpulan: Jika semua data sama, jangkauan = 0 (tidak ada variasi).

Tingkat Sedang

Sedang

Soal 1:

Diketahui data: 12, 15, 8, x, 20, 6. Jika jangkauan data tersebut adalah 18, tentukan nilai x yang mungkin!

▶ Klik untuk melihat pembahasan

Diketahui: J = 18

Data tanpa x: 6, 8, 12, 15, 20 → x_maks = 20, x_min = 6

Jangkauan tanpa x: 20 − 6 = 14 (belum 18)

Agar J = 18, maka x harus memperbesar jangkauan:

• Kemungkinan 1: x menjadi x_maks baru → x − 6 = 18 → x = 24

• Kemungkinan 2: x menjadi x_min baru → 20 − x = 18 → x = 2

Jawaban: x = 24 atau x = 2

Sedang

Soal 2:

Suhu harian (°C) selama seminggu: 28, 30, 27, 32, 29, 31, 26. Tentukan jangkauan suhu dan interpretasikan hasilnya!

▶ Klik untuk melihat pembahasan

Langkah 1: Urutkan: 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32

Langkah 2: x_maks = 32°C

Langkah 3: x_min = 26°C

Langkah 4: J = 32 − 26 = 6°C

Interpretasi: Selama seminggu, perbedaan suhu tertinggi dan terendah hanya 6°C, menunjukkan suhu relatif stabil.

Sedang

Soal 3:

Data nilai siswa disajikan dalam tabel berikut:

Nilai	60	65	70	75	80	85
Frekuensi	2	3	5	4	3	1

Tentukan jangkauan data tersebut!

▶ Klik untuk melihat pembahasan

Dari tabel:

• Nilai terkecil yang memiliki frekuensi > 0: x_min = 60

• Nilai terbesar yang memiliki frekuensi > 0: x_maks = 85

J = 85 − 60 = 25

Catatan: Frekuensi tidak memengaruhi perhitungan jangkauan, yang penting adalah nilai data itu ada (frekuensi ≥ 1).

Sedang

Soal 4:

Dua kelompok siswa memiliki data nilai sebagai berikut:

Kelompok A: 70, 72, 74, 76, 78

Kelompok B: 50, 60, 75, 85, 100

Bandingkan jangkauan kedua kelompok dan berikan kesimpulan!

▶ Klik untuk melihat pembahasan

Kelompok A: J = 78 − 70 = 8

Kelompok B: J = 100 − 50 = 50

Kesimpulan: Kelompok A memiliki jangkauan kecil (8), artinya kemampuan siswa relatif merata/homogen. Kelompok B memiliki jangkauan besar (50), artinya kemampuan siswa sangat bervariasi/heterogen.

Sedang

Soal 5:

Jangkauan suatu data adalah 15. Jika nilai minimumnya 23, tentukan nilai maksimum data tersebut!

▶ Klik untuk melihat pembahasan

Diketahui: J = 15, x_min = 23

Rumus: J = x_maks − x_min

15 = x_maks − 23

x_maks = 15 + 23 = 38

Tingkat Sulit

Sulit

Soal 1:

Diketahui data: 2x + 1, 3x − 2, x + 5, 4x − 1, 2x + 7. Jika jangkauan data tersebut adalah 12 dan x > 0, tentukan nilai x!

▶ Klik untuk melihat pembahasan

Langkah 1: Misalkan x > 0, tentukan mana yang terbesar dan terkecil.

Untuk x > 0, bandingkan koefisien x:

x + 5 (koefisien x = 1, terkecil)
2x + 1 (koefisien x = 2)
2x + 7 (koefisien x = 2)
3x − 2 (koefisien x = 3)
4x − 1 (koefisien x = 4, terbesar untuk x besar)

Langkah 2: Untuk x cukup besar: x_maks = 4x − 1, x_min = x + 5

Langkah 3: J = (4x − 1) − (x + 5) = 3x − 6 = 12

3x = 18

x = 6

Verifikasi: Data = 13, 16, 11, 23, 19 → J = 23 − 11 = 12 ✓

Sulit

Soal 2:

Rata-rata dari 8 data adalah 45. Jika data terkecil dihapus, rata-rata menjadi 48. Jika jangkauan data awal adalah 30, tentukan data terbesar!

▶ Klik untuk melihat pembahasan

Langkah 1: Jumlah 8 data = 8 × 45 = 360

Langkah 2: Jumlah 7 data (tanpa x_min) = 7 × 48 = 336

Langkah 3: x_min = 360 − 336 = 24

Langkah 4: J = x_maks − x_min

30 = x_maks − 24

x_maks = 54

Sulit

Soal 3:

Diketahui data: a, a+2, a+4, a+6, …, a+2n. Tunjukkan bahwa jangkauan data tersebut adalah 2n dan tentukan jangkauan jika ada 15 data!

▶ Klik untuk melihat pembahasan

Langkah 1: Data membentuk barisan aritmatika dengan beda = 2

Data: a, a+2, a+4, …, a+2n

Langkah 2: x_min = a (suku pertama)

x_maks = a + 2n (suku terakhir)

Langkah 3: J = (a + 2n) − a = 2n (terbukti)

Untuk 15 data:

Banyak data = n + 1 = 15 → n = 14

J = 2 × 14 = 28

Sulit

Soal 4:

Sepuluh data memiliki rata-rata 56 dan jangkauan 40. Jika setiap data dikalikan 2 kemudian ditambah 5, tentukan rata-rata dan jangkauan data yang baru!

▶ Klik untuk melihat pembahasan

Transformasi: y = 2x + 5

Rata-rata baru:

ȳ = 2x̄ + 5 = 2(56) + 5 = 112 + 5 = 117

Jangkauan baru:

J_baru = 2 × J_lama (penambahan konstanta tidak mengubah jangkauan, perkalian konstanta mengalikan jangkauan)

J_baru = 2 × 40 = 80

Catatan: Jika y = ax + b, maka J_y = |a| × J_x

Sulit

Soal 5:

Data: 3, 5, 7, 9, 11, 13, p, q memiliki rata-rata 9 dan jangkauan 14. Jika p < q, tentukan nilai p dan q!

▶ Klik untuk melihat pembahasan

Langkah 1: Rata-rata = 9, banyak data = 8

Jumlah seluruh data = 8 × 9 = 72

(3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) + p + q = 72

48 + p + q = 72

p + q = 24 … (persamaan 1)

Langkah 2: Jangkauan = 14

Tanpa p dan q: data = 3, 5, 7, 9, 11, 13

Jangkauan tanpa p,q = 13 − 3 = 10 (belum 14)

Maka p atau q harus memperbesar jangkauan.

Kasus: q menjadi x_maks baru

q − 3 = 14 → q = 17

p = 24 − 17 = 7

Cek: p < q → 7 < 17 ✓

Data: 3, 5, 7, 7, 9, 11, 13, 17 → J = 17 − 3 = 14 ✓

Kasus: p menjadi x_min baru

13 − p = 14 → p = −1

q = 24 − (−1) = 25

Cek: Data = −1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 25 → J = 25 − (−1) = 26 ≠ 14 ✗

Jawaban: p = 7, q = 17

✏️ Latihan Soal

Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Selamat mengerjakan!

Tingkat Mudah

1. Tentukan jangkauan dari data: 14, 8, 21, 17, 5

2. Data banyaknya buku yang dibaca 7 siswa: 3, 5, 2, 7, 4, 6, 1. Berapa jangkauannya?

3. Nilai ujian: 88, 92, 76, 84, 95, 80. Tentukan jangkauan!

4. Data waktu tempuh (menit): 25, 30, 22, 28, 35, 27, 20. Hitung jangkauannya!

5. Jika x_maks = 67 dan x_min = 34, berapa jangkauan data tersebut?

Tingkat Sedang

1. Data: 5, 9, x, 15, 20. Jika jangkauan = 18, tentukan nilai x yang mungkin!

2. Data nilai dalam tabel berikut:

Nilai	50	55	60	65	70	75	80
Frekuensi	1	3	4	6	5	2	1

Tentukan jangkauan data tersebut!

3. Jangkauan suatu data adalah 22. Jika setiap data ditambah 8, berapakah jangkauan data yang baru?

4. Dua kelas memiliki data nilai:

Kelas X: 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85

Kelas Y: 40, 55, 65, 70, 80, 90, 100

Bandingkan jangkauan kedua kelas dan berikan kesimpulan!

5. Rata-rata dari 6 data adalah 35. Jika data terbesar dihapus, rata-rata menjadi 32. Jika jangkauan data awal = 25, tentukan data terkecil!

Tingkat Sulit

1. Data: x+3, 2x−1, 3x+2, x−4, 2x+5. Jika jangkauannya 19 dan x > 2, tentukan nilai x!

2. Dua belas data memiliki rata-rata 40 dan jangkauan 24. Jika setiap data dikalikan 3 kemudian dikurangi 7, tentukan rata-rata dan jangkauan data yang baru!

3. Data: 4, 6, 8, a, b, 18, 20 (sudah urut). Jika rata-rata = 12 dan jangkauan = 16, tentukan nilai a dan b!

4. Suatu barisan aritmatika memiliki 20 suku dengan suku pertama 7 dan beda 3. Tentukan jangkauan data dari barisan tersebut!

5. Data A memiliki jangkauan 18. Data B diperoleh dari data A dengan transformasi y = −3x + 10. Tentukan jangkauan data B!

Statistika – Menentukan Nilai Jangkauan (Rentang) Data Tunggal

Menentukan Nilai Jangkauan (Rentang) Data Tunggal

📘 Materi

A. Pengertian Jangkauan (Range)

B. Sifat-Sifat Jangkauan

C. Langkah-Langkah Menentukan Jangkauan

D. Kegunaan Jangkauan

E. Kegiatan Pembelajaran (5M)

🔍 Mengamati

❓ Menanya

💡 Menalar

🧪 Mencoba

📢 Mengkomunikasikan

📝 Contoh Soal dan Pembahasan

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

✏️ Latihan Soal

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

By admin

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed

Pertidaksamaan – Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak (Modulus)

Pertidaksamaan – Pertidaksamaan Bentuk Akar

Pertidaksamaan – Pertidaksamaan Polinomial Berbentuk Hasil Bagi

Pertidaksamaan – Pertidaksamaan Polinomial

📘 Materi

A. Pengertian Jangkauan (Range)

B. Sifat-Sifat Jangkauan

C. Langkah-Langkah Menentukan Jangkauan

D. Kegunaan Jangkauan

E. Kegiatan Pembelajaran (5M)

🔍 Mengamati

❓ Menanya

💡 Menalar

🧪 Mencoba

📢 Mengkomunikasikan

📝 Contoh Soal dan Pembahasan

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

✏️ Latihan Soal

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed