Statistika – Menentukan Nilai Pagar Dalam dan Pagar Luar Data Tunggal Berbobot

Daftar Isi

1. Materi Lengkap 2. Contoh Soal & Pembahasan 3. Latihan Soal

Materi

Mengamati

Perhatikan data berikut. Seorang guru mencatat nilai ulangan 30 siswa dan menyajikannya dalam bentuk data tunggal berbobot (data frekuensi):

Nilai (xᵢ)	40	50	55	60	65	70	75	80	90	100
Frekuensi (fᵢ)	1	2	3	5	6	5	4	2	1	1

Dari data di atas, total frekuensi = 30. Data ini adalah data tunggal berbobot karena setiap nilai memiliki frekuensi (bobot) tertentu. Apakah ada nilai yang sangat jauh dari kelompok data lainnya (pencilan/outlier)?

Menanya

Bagaimana cara menentukan apakah suatu data merupakan pencilan (outlier)?
Apa itu Pagar Dalam (PD) dan Pagar Luar (PL)?
Bagaimana langkah-langkah menghitung PD dan PL pada data tunggal berbobot?

Menalar

A. Pengertian

Pagar Dalam (Inner Fence) dan Pagar Luar (Outer Fence) adalah batas-batas yang digunakan untuk mengidentifikasi pencilan (outlier) dalam suatu data.

Pencilan Ringan (Mild Outlier): data yang terletak di antara Pagar Dalam dan Pagar Luar.
Pencilan Berat (Extreme Outlier): data yang terletak di luar Pagar Luar.

B. Konsep Kuartil pada Data Tunggal Berbobot

Pada data tunggal berbobot, setiap nilai xᵢ memiliki frekuensi fᵢ. Total data:

n = Σfᵢ (jumlah seluruh frekuensi)

Untuk menentukan kuartil, kita perlu membentangkan data sesuai frekuensinya (seolah-olah ditulis satu per satu), kemudian menentukan posisi kuartil:

Letak Q₁ = data ke-¼(n+1)
Letak Q₂ (Median) = data ke-½(n+1)
Letak Q₃ = data ke-¾(n+1)

Jika letak kuartil jatuh di antara dua data, gunakan interpolasi linier (rata-rata dua data tersebut).

Frekuensi kumulatif (FK) sangat membantu menentukan posisi data:

xᵢ	fᵢ	FK
x₁	f₁	f₁
x₂	f₂	f₁+f₂
x₃	f₃	f₁+f₂+f₃
…	…	…

C. Jangkauan Antar Kuartil (IQR)

IQR = Q₃ − Q₁

IQR mengukur sebaran 50% data tengah.

D. Rumus Pagar Dalam dan Pagar Luar

Pagar Dalam Bawah (PDb) = Q₁ − 1,5 × IQR
Pagar Dalam Atas (PDa) = Q₃ + 1,5 × IQR

Pagar Luar Bawah (PLb) = Q₁ − 3 × IQR
Pagar Luar Atas (PLa) = Q₃ + 3 × IQR

E. Interpretasi

Diagram Klasifikasi Pencilan

Zona	Rentang	Keterangan
Normal	PDb ≤ x ≤ PDa	Bukan pencilan
Pencilan Ringan	PLb ≤ x < PDb atau PDa < x ≤ PLa	Mild Outlier
Pencilan Berat	x < PLb atau x > PLa	Extreme Outlier

F. Langkah-Langkah Penyelesaian (Ringkasan)

Susun data berbobot dalam tabel (xᵢ, fᵢ, FK).
Hitung n = Σfᵢ.
Tentukan letak Q₁, Q₂, Q₃.
Tentukan nilai Q₁, Q₂, Q₃ menggunakan FK.
Hitung IQR = Q₃ − Q₁.
Hitung PDb, PDa, PLb, PLa.
Identifikasi pencilan.

Mencoba

Mari kita terapkan langkah-langkah di atas pada data pengamatan awal:

xᵢ	40	50	55	60	65	70	75	80	90	100
fᵢ	1	2	3	5	6	5	4	2	1	1
FK	1	3	6	11	17	22	26	28	29	30

Langkah 1: n = 30

Langkah 2: Letak Q₁ = ¼(30+1) = 7,75 → antara data ke-7 dan ke-8

FK menunjukkan data ke-7 dan ke-8 berada di kelompok xᵢ = 60 (FK sebelumnya = 6, FK saat ini = 11). Jadi Q₁ = 60.

Langkah 3: Letak Q₃ = ¾(30+1) = 23,25 → antara data ke-23 dan ke-24

Data ke-23 dan ke-24 berada di kelompok xᵢ = 75 (FK sebelumnya = 22, FK saat ini = 26). Jadi Q₃ = 75.

Langkah 4: IQR = 75 − 60 = 15

Langkah 5: PDb = 60 − 1,5 × 15 = 60 − 22,5 = 37,5

PDa = 75 + 1,5 × 15 = 75 + 22,5 = 97,5

Langkah 6: PLb = 60 − 3 × 15 = 60 − 45 = 15

PLa = 75 + 3 × 15 = 75 + 45 = 120

Langkah 7: Semua nilai (40–100) berada dalam rentang PDb (37,5) ≤ x ≤ PDa (97,5), kecuali x = 100 (100 > 97,5). Maka 100 adalah pencilan ringan karena 97,5 < 100 ≤ 120.

Visualisasi pada Garis Bilangan

PLb=15

PDb=37,5

Q₁=60

Q₃=75

PDa=97,5

100★

PLa=120

🟢 Pagar 🔵 Kuartil 🔴 Pencilan Ringan (★)

Mengkomunikasikan

Kesimpulan:

Dari data berbobot tersebut diperoleh Q₁ = 60, Q₃ = 75, IQR = 15.
Pagar Dalam: [37,5 ; 97,5] dan Pagar Luar: [15 ; 120].
Nilai 100 adalah pencilan ringan karena berada di antara PDa dan PLa.
Tidak terdapat pencilan berat karena tidak ada data di luar pagar luar.

Contoh Soal & Pembahasan

Mudah

Contoh 1. Diberikan data tunggal berbobot:

xᵢ	10	20	30	40	50
fᵢ	2	4	6	4	2

Tentukan Q₁, Q₃, IQR, serta PDb dan PDa!

n = 2+4+6+4+2 = 18

FK: 2, 6, 12, 16, 18

Letak Q₁ = ¼(19) = 4,75 → data ke-4 dan ke-5. FK=2 → data ke-3 s.d. 6 ada di xᵢ=20. Jadi Q₁ = 20.

Letak Q₃ = ¾(19) = 14,25 → data ke-14 dan ke-15. FK=12→13 s.d. 16 di xᵢ=40. Jadi Q₃ = 40.

IQR = 40 − 20 = 20

PDb = 20 − 1,5(20) = 20 − 30 = −10

PDa = 40 + 1,5(20) = 40 + 30 = 70

Semua data (10–50) berada dalam [−10, 70]. Tidak ada pencilan.

Contoh 2. Data berbobot:

xᵢ	5	10	15	20
fᵢ	3	5	5	3

Tentukan PDb, PDa, PLb, dan PLa!

n = 16; FK: 3, 8, 13, 16

Q₁: letak = ¼(17) = 4,25 → data ke-4 dan ke-5 → keduanya di xᵢ=10 (FK 3→8). Q₁ = 10

Q₃: letak = ¾(17) = 12,75 → data ke-12 dan ke-13 → keduanya di xᵢ=15 (FK 8→13). Q₃ = 15

IQR = 15 − 10 = 5

PDb = 10 − 1,5(5) = 2,5; PDa = 15 + 1,5(5) = 22,5

PLb = 10 − 3(5) = −5; PLa = 15 + 3(5) = 30

Semua data dalam rentang pagar. Tidak ada pencilan.

Contoh 3. Data berbobot:

xᵢ	2	4	6	8	10
fᵢ	1	3	4	3	1

Hitunglah IQR dan tentukan pagar dalam!

n = 12; FK: 1, 4, 8, 11, 12

Q₁: letak = ¼(13) = 3,25 → data ke-3 dan ke-4 → keduanya di xᵢ=4 (FK 1→4). Q₁ = 4

Q₃: letak = ¾(13) = 9,75 → data ke-9 dan ke-10 → keduanya di xᵢ=8 (FK 8→11). Q₃ = 8

IQR = 8 − 4 = 4

PDb = 4 − 1,5(4) = −2; PDa = 8 + 1,5(4) = 14

Tidak ada pencilan (semua data 2–10 dalam [−2, 14]).

Contoh 4. Data berbobot:

xᵢ	30	35	40	45	50
fᵢ	2	5	8	3	2

Tentukan PDb, PDa, dan identifikasi pencilan!

n = 20; FK: 2, 7, 15, 18, 20

Q₁: ¼(21) = 5,25 → data ke-5 dan ke-6 → di xᵢ=35 (FK 2→7). Q₁ = 35

Q₃: ¾(21) = 15,75 → data ke-15 dan ke-16. Data ke-15 di xᵢ=40 (FK=15), data ke-16 di xᵢ=45 (FK=18). Q₃ = (40+45)/2 = 42,5

IQR = 42,5 − 35 = 7,5

PDb = 35 − 1,5(7,5) = 35 − 11,25 = 23,75

PDa = 42,5 + 1,5(7,5) = 42,5 + 11,25 = 53,75

Semua data (30–50) dalam [23,75 ; 53,75]. Tidak ada pencilan.

Contoh 5. Data berbobot:

xᵢ	100	200	300
fᵢ	4	8	4

Tentukan semua pagar!

n = 16; FK: 4, 12, 16

Q₁: ¼(17) = 4,25 → data ke-4 (xᵢ=100) dan ke-5 (xᵢ=200). Q₁ = (100+200)/2 = 150

Q₃: ¾(17) = 12,75 → data ke-12 (xᵢ=200) dan ke-13 (xᵢ=300). Q₃ = (200+300)/2 = 250

IQR = 250 − 150 = 100

PDb = 150 − 150 = 0; PDa = 250 + 150 = 400

PLb = 150 − 300 = −150; PLa = 250 + 300 = 550

Tidak ada pencilan.

Sedang

Contoh 6. Data berbobot:

xᵢ	3	5	7	9	11	25
fᵢ	2	4	6	5	2	1

Tentukan pagar dalam dan pagar luar, lalu identifikasi pencilan!

n = 20; FK: 2, 6, 12, 17, 19, 20

Q₁: ¼(21) = 5,25 → data ke-5 dan ke-6 → keduanya di xᵢ=5 (FK 2→6). Q₁ = 5

Q₃: ¾(21) = 15,75 → data ke-15 dan ke-16 → keduanya di xᵢ=9 (FK 12→17). Q₃ = 9

IQR = 9 − 5 = 4

PDb = 5 − 6 = −1; PDa = 9 + 6 = 15

PLb = 5 − 12 = −7; PLa = 9 + 12 = 21

xᵢ = 25 > PDa (15) → pencilan. 25 > PLa (21) → 25 adalah pencilan berat (extreme outlier).

Contoh 7. Data berbobot:

xᵢ	12	15	18	20	22	40
fᵢ	3	5	7	6	3	1

Tentukan jenis pencilan untuk xᵢ = 40!

n = 25; FK: 3, 8, 15, 21, 24, 25

Q₁: ¼(26) = 6,5 → data ke-6 dan ke-7 → keduanya di xᵢ=15 (FK 3→8). Q₁ = 15

Q₃: ¾(26) = 19,5 → data ke-19 dan ke-20 → keduanya di xᵢ=20 (FK 15→21). Q₃ = 20

IQR = 20 − 15 = 5

PDa = 20 + 7,5 = 27,5; PLa = 20 + 15 = 35

40 > 35 (PLa) → xᵢ = 40 adalah pencilan berat.

Contoh 8. Data berbobot:

xᵢ	1	50	55	60	65	70
fᵢ	1	4	6	5	3	1

Apakah xᵢ = 1 merupakan pencilan? Jika ya, jenis apa?

n = 20; FK: 1, 5, 11, 16, 19, 20

Q₁: ¼(21) = 5,25 → data ke-5 (xᵢ=50) dan ke-6 (xᵢ=55). Q₁ = (50+55)/2 = 52,5

Q₃: ¾(21) = 15,75 → data ke-15 dan ke-16 → keduanya di xᵢ=60 (FK 11→16). Q₃ = 60

IQR = 60 − 52,5 = 7,5

PDb = 52,5 − 11,25 = 41,25; PLb = 52,5 − 22,5 = 30

xᵢ = 1 < PDb (41,25) → pencilan. 1 < PLb (30) → pencilan berat.

Contoh 9. Data berbobot:

xᵢ	20	25	30	35	40	45	80
fᵢ	1	3	5	6	4	2	1

Tentukan semua pagar dan klasifikasikan setiap pencilan!

n = 22; FK: 1, 4, 9, 15, 19, 21, 22

Q₁: ¼(23) = 5,75 → data ke-5 dan ke-6 → keduanya di xᵢ=30 (FK 4→9). Q₁ = 30

Q₃: ¾(23) = 17,25 → data ke-17 dan ke-18 → keduanya di xᵢ=40 (FK 15→19). Q₃ = 40

IQR = 10; PDb = 30−15 = 15; PDa = 40+15 = 55

PLb = 30−30 = 0; PLa = 40+30 = 70

xᵢ=80: 80 > 70 → pencilan berat

xᵢ=20: 20 > 15 → dalam pagar dalam → bukan pencilan

Contoh 10. Data berbobot:

xᵢ	10	12	14	16	18	30
fᵢ	2	5	8	5	2	2

Tentukan pagar-pagar dan klasifikasikan xᵢ = 30!

n = 24; FK: 2, 7, 15, 20, 22, 24

Q₁: ¼(25) = 6,25 → data ke-6 dan ke-7 → keduanya di xᵢ=12 (FK 2→7). Q₁ = 12

Q₃: ¾(25) = 18,75 → data ke-18 dan ke-19 → keduanya di xᵢ=16 (FK 15→20). Q₃ = 16

IQR = 4; PDb = 12−6 = 6; PDa = 16+6 = 22

PLb = 12−12 = 0; PLa = 16+12 = 28

xᵢ=30: 30 > 28 (PLa) → pencilan berat

Sulit

Contoh 11. Data berbobot:

xᵢ	2	45	48	50	52	55	58	100
fᵢ	1	3	5	8	6	4	2	1

Tentukan semua pagar dan klasifikasikan semua pencilan!

n = 30; FK: 1, 4, 9, 17, 23, 27, 29, 30

Q₁: ¼(31) = 7,75 → data ke-7 dan ke-8 → keduanya di xᵢ=48 (FK 4→9). Q₁ = 48

Q₃: ¾(31) = 23,25 → data ke-23 (xᵢ=52, FK=23) dan ke-24 (xᵢ=55, FK=27). Q₃ = (52+55)/2 = 53,5

IQR = 53,5 − 48 = 5,5

PDb = 48 − 8,25 = 39,75; PDa = 53,5 + 8,25 = 61,75

PLb = 48 − 16,5 = 31,5; PLa = 53,5 + 16,5 = 70

xᵢ=2: 2 < 31,5 → pencilan berat

xᵢ=100: 100 > 70 → pencilan berat

Contoh 12. Data berbobot dengan n besar:

xᵢ	5	10	15	20	25	30	35	60
fᵢ	1	4	8	12	10	6	3	1

Tentukan semua pagar dan jenis pencilan!

n = 45; FK: 1, 5, 13, 25, 35, 41, 44, 45

Q₁: ¼(46) = 11,5 → data ke-11 dan ke-12 → keduanya di xᵢ=15 (FK 5→13). Q₁ = 15

Q₃: ¾(46) = 34,5 → data ke-34 dan ke-35 → keduanya di xᵢ=25 (FK 25→35). Q₃ = 25

IQR = 10; PDb = 15−15 = 0; PDa = 25+15 = 40

PLb = 15−30 = −15; PLa = 25+30 = 55

xᵢ=5: 5 > 0 → bukan pencilan

xᵢ=60: 60 > 55 → pencilan berat

Contoh 13. Data berbobot:

xᵢ	0	70	72	75	78	80	82	95	150
fᵢ	1	2	4	6	8	5	3	1	1

Klasifikasikan semua pencilan!

n = 31; FK: 1, 3, 7, 13, 21, 26, 29, 30, 31

Q₁: ¼(32) = 8 → data ke-8 → xᵢ=75 (FK 7→13). Q₁ = 75

Q₃: ¾(32) = 24 → data ke-24 → xᵢ=80 (FK 21→26). Q₃ = 80

IQR = 5; PDb = 75−7,5 = 67,5; PDa = 80+7,5 = 87,5

PLb = 75−15 = 60; PLa = 80+15 = 95

xᵢ=0: 0 < 60 → pencilan berat

xᵢ=95: 87,5 < 95 ≤ 95 → pencilan ringan

xᵢ=150: 150 > 95 → pencilan berat

Contoh 14. Data berbobot:

xᵢ	1	2	3	4	5	6	7	15	20
fᵢ	1	2	5	7	6	4	2	1	1

Tentukan ada berapa pencilan ringan dan berapa pencilan berat!

n = 29; FK: 1, 3, 8, 15, 21, 25, 27, 28, 29

Q₁: ¼(30) = 7,5 → data ke-7 dan ke-8 → keduanya di xᵢ=3 (FK 3→8). Q₁ = 3

Q₃: ¾(30) = 22,5 → data ke-22 dan ke-23 → keduanya di xᵢ=6 (FK 21→25). Q₃ = 6

IQR = 3; PDb = 3−4,5 = −1,5; PDa = 6+4,5 = 10,5

PLb = 3−9 = −6; PLa = 6+9 = 15

xᵢ=15: 10,5 < 15 ≤ 15 → pencilan ringan (1 data)

xᵢ=20: 20 > 15 → pencilan berat (1 data)

Jawaban: 1 pencilan ringan, 1 pencilan berat.

Contoh 15. Jika diketahui data berbobot memiliki Q₁ = 25, Q₃ = 45, dan terdapat nilai xᵢ = 5 (fᵢ=1) dan xᵢ = 90 (fᵢ=1). Klasifikasikan kedua nilai tersebut!

IQR = 45 − 25 = 20

PDb = 25 − 30 = −5; PDa = 45 + 30 = 75

PLb = 25 − 60 = −35; PLa = 45 + 60 = 105

xᵢ=5: −5 < 5 → 5 ≥ PDb → bukan pencilan (masih dalam pagar dalam)

xᵢ=90: 75 < 90 ≤ 105 → pencilan ringan

Latihan Soal

Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!

Mudah

1. Data berbobot:

xᵢ	8	10	12	14	16
fᵢ	3	5	7	4	1

Tentukan Q₁, Q₃, IQR, PDb, dan PDa!

2. Data berbobot:

xᵢ	20	30	40	50
fᵢ	2	6	6	2

Hitunglah pagar dalam bawah dan atas!

3. Data berbobot:

xᵢ	5	7	9	11	13
fᵢ	1	4	6	4	1

Tentukan IQR dan semua pagar!

4. Data berbobot:

xᵢ	50	60	70	80
fᵢ	3	7	5	3

Tentukan PDb, PDa, PLb, dan PLa!

5. Jika Q₁ = 15 dan Q₃ = 35, hitunglah semua nilai pagar!

Sedang

6. Data berbobot:

xᵢ	10	15	20	25	30	55
fᵢ	2	4	8	5	2	1

Apakah xᵢ = 55 merupakan pencilan? Jika ya, jenis apa?

7. Data berbobot:

xᵢ	3	40	42	44	46	48
fᵢ	1	5	7	6	4	2

Tentukan jenis pencilan untuk xᵢ = 3!

8. Data berbobot:

xᵢ	100	110	115	120	125	150
fᵢ	1	3	6	5	3	2

Tentukan semua pagar dan identifikasi setiap pencilan!

9. Data berbobot:

xᵢ	2	8	10	12	14	16	35
fᵢ	1	3	6	7	4	2	1

Ada berapa pencilan ringan dan berapa pencilan berat?

10. Data berbobot:

xᵢ	25	30	35	40	45	65
fᵢ	2	5	8	6	3	1

Klasifikasikan xᵢ = 25 dan xᵢ = 65!

Sulit

11. Data berbobot:

xᵢ	1	50	52	54	56	58	60	62	120
fᵢ	1	2	4	7	8	5	3	1	1

Tentukan semua pagar dan klasifikasikan semua pencilan!

12. Data berbobot mempunyai 40 data. Diketahui Q₁ = 32 dan Q₃ = 48. Jika terdapat xᵢ = 5 (fᵢ=1), xᵢ = 8 (fᵢ=1), xᵢ = 72 (fᵢ=1), dan xᵢ = 100 (fᵢ=1), klasifikasikan masing-masing!

13. Data berbobot:

xᵢ	0	3	60	62	64	66	68	70	90	130
fᵢ	1	1	3	5	8	6	4	2	1	1

Tentukan ada berapa pencilan ringan dan pencilan berat! Sebutkan nilainya!

14. Suatu data berbobot memiliki Q₁ = a dan Q₃ = 3a (dengan a > 0). Tentukan dalam variabel a: PDb, PDa, PLb, PLa. Jika a = 10, tentukan semua nilai pagar!

15. Data berbobot:

xᵢ	2	5	80	82	84	86	88	90	92	140	200
fᵢ	1	1	3	5	8	7	5	3	1	1	1

Tentukan semua pagar, lalu klasifikasikan setiap pencilan yang ada!

📊 Materi Statistika — Pagar Dalam & Pagar Luar Data Tunggal Berbobot

Statistika – Menentukan Nilai Pagar Dalam dan Pagar Luar Data Tunggal Berbobot

Menentukan Nilai Pagar Dalam dan Pagar Luar
Data Tunggal Berbobot

Daftar Isi

Materi

A. Pengertian

B. Konsep Kuartil pada Data Tunggal Berbobot

C. Jangkauan Antar Kuartil (IQR)

D. Rumus Pagar Dalam dan Pagar Luar

E. Interpretasi

F. Langkah-Langkah Penyelesaian (Ringkasan)

Contoh Soal & Pembahasan

Mudah

Sedang

Sulit

Latihan Soal

Mudah

Sedang

Sulit

By admin

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed

Perangkat Pertama OpenAI Berupa Speaker AI Tanpa Layar

Terungkap! Begini Wujud Gadget AI Pertama OpenAI yang Disebut Bakal Saingi Apple

Lingkungan Belajar Aman, Nyaman, dan Menggembirakan (LBANM)

Eksplorasi Diri : Mengenali Potensi yang Ada (Analisis SWOT)

Daftar Isi

Materi

A. Pengertian

B. Konsep Kuartil pada Data Tunggal Berbobot

C. Jangkauan Antar Kuartil (IQR)

D. Rumus Pagar Dalam dan Pagar Luar

E. Interpretasi

F. Langkah-Langkah Penyelesaian (Ringkasan)

Contoh Soal & Pembahasan

Mudah

Sedang

Sulit

Latihan Soal

Mudah

Sedang

Sulit

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed