Menentukan Nilai Langkah Data Tunggal Berbobot
Statistika — Ukuran Pemusatan Data
📚 Materi
Apa Itu Data Tunggal Berbobot?
Data tunggal berbobot adalah data yang setiap nilainya memiliki bobot (weight) tertentu. Bobot menunjukkan tingkat kepentingan atau frekuensi relatif dari masing-masing data.
Berbeda dengan data tunggal biasa di mana setiap data memiliki kedudukan sama, pada data berbobot setiap nilai memiliki pengaruh yang berbeda terhadap hasil perhitungan.
Contoh Situasi:
Seorang siswa mendapat nilai:
| Komponen | Nilai | Bobot |
|---|---|---|
| Tugas | 85 | 2 |
| UTS | 78 | 3 |
| UAS | 90 | 5 |
Di sini, UAS memiliki bobot lebih besar (5) artinya nilai UAS lebih berpengaruh terhadap nilai akhir.
Pertanyaan Kunci
- Bagaimana cara menghitung rata-rata jika setiap data memiliki bobot berbeda?
- Apa perbedaan rata-rata biasa dengan rata-rata berbobot?
- Bagaimana menentukan modus dan median pada data tunggal berbobot?
- Apa pengaruh bobot terhadap ukuran pemusatan data?
Rumus-Rumus Penting
1. Rata-rata Berbobot (Weighted Mean)
x̄w = (w₁·x₁ + w₂·x₂ + … + wₙ·xₙ) / (w₁ + w₂ + … + wₙ)
atau
x̄w = Σ(wᵢ · xᵢ) / Σwᵢ
Keterangan:
- x̄w = rata-rata berbobot
- xᵢ = nilai data ke-i
- wᵢ = bobot data ke-i
- n = banyak data
2. Modus Data Berbobot
Modus adalah nilai data yang memiliki bobot terbesar (jika bobot merepresentasikan frekuensi) atau frekuensi kemunculan terbanyak.
Pada data berbobot, modus ditentukan berdasarkan konteks:
- Jika bobot = frekuensi → Modus = data dengan bobot terbesar
- Jika bobot = kepentingan → Modus tetap data yang paling sering muncul
3. Median Data Berbobot
Untuk menentukan median data berbobot:
- Urutkan data dari terkecil ke terbesar
- Hitung total bobot: W = Σwᵢ
- Median terletak pada data ke-(W+1)/2 jika W ganjil
- Jika W genap, median = rata-rata data ke-W/2 dan ke-(W/2)+1
- Cari posisi median menggunakan frekuensi kumulatif bobot
4. Langkah-Langkah Penentuan Nilai Ukuran Pemusatan
Langkah Menghitung Rata-rata Berbobot:
- Identifikasi setiap nilai data (xᵢ) dan bobotnya (wᵢ)
- Kalikan setiap data dengan bobotnya: wᵢ · xᵢ
- Jumlahkan semua hasil perkalian: Σ(wᵢ · xᵢ)
- Jumlahkan semua bobot: Σwᵢ
- Bagi total hasil perkalian dengan total bobot
Ilustrasi Perhitungan
Diberikan data nilai siswa dengan bobotnya:
| Nilai (xᵢ) | Bobot (wᵢ) | wᵢ · xᵢ |
|---|---|---|
| 70 | 2 | 140 |
| 80 | 3 | 240 |
| 90 | 5 | 450 |
| Jumlah: Σwᵢ = 10 | Σ(wᵢ·xᵢ) = 830 | |
Rata-rata berbobot:
x̄w = 830 / 10 = 83
Bandingkan dengan rata-rata biasa: (70+80+90)/3 = 80
Perbedaan terjadi karena nilai 90 memiliki bobot terbesar.
Kesimpulan Materi
- Rata-rata berbobot memperhitungkan tingkat kepentingan setiap data.
- Data dengan bobot lebih besar memiliki pengaruh lebih besar terhadap rata-rata.
- Jika semua bobot sama, rata-rata berbobot = rata-rata biasa.
- Median berbobot ditentukan berdasarkan frekuensi kumulatif bobot.
- Modus berbobot bergantung pada konteks penggunaan bobot.
✏️ Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Soal Mudah (1–5)
Soal 1:
Tentukan rata-rata berbobot dari data berikut:
| Nilai | Bobot |
|---|---|
| 60 | 1 |
| 70 | 2 |
| 80 | 3 |
Langkah 1: Kalikan setiap nilai dengan bobotnya:
60×1 = 60, 70×2 = 140, 80×3 = 240
Langkah 2: Jumlahkan: Σ(wᵢ·xᵢ) = 60 + 140 + 240 = 440
Langkah 3: Total bobot: Σwᵢ = 1 + 2 + 3 = 6
Langkah 4: x̄w = 440/6 = 73,33
Soal 2:
Seorang mahasiswa memperoleh nilai mata kuliah berikut:
| Mata Kuliah | Nilai | SKS (Bobot) |
|---|---|---|
| Matematika | 80 | 3 |
| Fisika | 75 | 3 |
| Kimia | 85 | 2 |
Tentukan IPK (rata-rata berbobot)!
Langkah 1: wᵢ·xᵢ: 80×3=240, 75×3=225, 85×2=170
Langkah 2: Σ(wᵢ·xᵢ) = 240+225+170 = 635
Langkah 3: Σwᵢ = 3+3+2 = 8
Langkah 4: x̄w = 635/8 = 79,375
Soal 3:
Data berikut memiliki bobot yang sama (masing-masing 1). Tentukan rata-rata berbobot!
Data: 50, 60, 70, 80, 90
Langkah 1: Semua bobot = 1
Σ(wᵢ·xᵢ) = 50+60+70+80+90 = 350
Langkah 2: Σwᵢ = 5
Langkah 3: x̄w = 350/5 = 70
Catatan: Jika semua bobot sama, rata-rata berbobot = rata-rata biasa.
Soal 4:
Tentukan rata-rata berbobot dari data:
| Nilai | Bobot |
|---|---|
| 100 | 4 |
| 80 | 6 |
Σ(wᵢ·xᵢ) = 100×4 + 80×6 = 400 + 480 = 880
Σwᵢ = 4 + 6 = 10
x̄w = 880/10 = 88
Soal 5:
Tentukan median berbobot dari data berikut (bobot = frekuensi):
| Nilai | Bobot |
|---|---|
| 5 | 2 |
| 7 | 3 |
| 9 | 1 |
Langkah 1: Total bobot W = 2+3+1 = 6 (genap)
Langkah 2: Data urut: 5,5,7,7,7,9
Langkah 3: Median = rata-rata data ke-3 dan ke-4 = (7+7)/2 = 7
🟡 Soal Sedang (6–10)
Soal 6:
Nilai akhir siswa ditentukan dengan ketentuan:
| Komponen | Nilai | Bobot (%) |
|---|---|---|
| Tugas | 82 | 20% |
| Kuis | 76 | 15% |
| UTS | 70 | 25% |
| UAS | 88 | 40% |
Tentukan nilai akhir siswa tersebut!
Langkah 1: Ubah persen menjadi desimal:
w₁=0,20; w₂=0,15; w₃=0,25; w₄=0,40
Langkah 2: Kalikan:
82×0,20 = 16,4
76×0,15 = 11,4
70×0,25 = 17,5
88×0,40 = 35,2
Langkah 3: Total bobot = 0,20+0,15+0,25+0,40 = 1
Langkah 4: x̄w = (16,4+11,4+17,5+35,2)/1 = 80,5
Soal 7:
Rata-rata berbobot dari 4 data adalah 72. Jika diketahui:
| Nilai | Bobot |
|---|---|
| 60 | 2 |
| 70 | 3 |
| 80 | 4 |
| x | 1 |
Tentukan nilai x!
Diketahui: x̄w = 72, Σwᵢ = 2+3+4+1 = 10
Langkah 1: 72 = Σ(wᵢ·xᵢ)/10
720 = 60×2 + 70×3 + 80×4 + x×1
720 = 120 + 210 + 320 + x
720 = 650 + x
x = 70
Soal 8:
Tentukan median berbobot dari data berikut:
| Nilai | Bobot | FK |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 4 |
| 5 | 5 | 9 |
| 7 | 3 | 12 |
| 9 | 2 | 14 |
| 11 | 1 | 15 |
Langkah 1: Total bobot W = 15 (ganjil)
Langkah 2: Posisi median = (15+1)/2 = data ke-8
Langkah 3: Lihat FK: data ke-8 terletak pada nilai 5 (FK = 9 ≥ 8)
Median = 5
Soal 9:
Harga rata-rata berbobot 3 jenis barang yang dibeli pedagang:
| Barang | Harga/unit (Rp) | Jumlah (Bobot) |
|---|---|---|
| A | 5.000 | 10 |
| B | 8.000 | 5 |
| C | 12.000 | 3 |
Tentukan harga rata-rata per unit!
Σ(wᵢ·xᵢ) = 5.000×10 + 8.000×5 + 12.000×3
= 50.000 + 40.000 + 36.000 = 126.000
Σwᵢ = 10+5+3 = 18
x̄w = 126.000/18 = Rp7.000
Soal 10:
Diketahui rata-rata berbobot dari data berikut adalah 6,5. Tentukan nilai bobot p!
| Nilai | Bobot |
|---|---|
| 5 | 3 |
| 7 | p |
| 9 | 2 |
6,5 = (5×3 + 7×p + 9×2) / (3 + p + 2)
6,5 = (15 + 7p + 18) / (5 + p)
6,5(5 + p) = 33 + 7p
32,5 + 6,5p = 33 + 7p
32,5 – 33 = 7p – 6,5p
-0,5 = 0,5p
p = -1 (tidak valid, periksa ulang)
Cek: mungkin soal memiliki rata-rata 6,6:
6,6(5+p) = 33+7p → 33+6,6p = 33+7p → 0 = 0,4p → p=0 (juga tidak valid)
Koreksi: rata-rata = 6,5 dengan data tepat:
6,5 = (15+7p+18)/(5+p) → 6,5(5+p)=33+7p → 32,5+6,5p=33+7p → -0,5=0,5p → p = -1
Karena bobot harus positif, maka tidak ada bobot p yang memenuhi. Ini menunjukkan bahwa tidak semua rata-rata berbobot bisa dicapai dengan bobot positif.
Perbaikan soal: Jika rata-rata = 7:
7(5+p) = 33+7p → 35+7p = 33+7p → 35=33 (kontradiksi)
Jika rata-rata = 6: 6(5+p)=33+7p → 30+6p=33+7p → -3=p → tidak valid
Jika rata-rata = 8: 8(5+p)=33+7p → 40+8p=33+7p → 7=−p → p=−7
Koreksi soal valid: Rata-rata = 7, data = 5(bobot 2), 7(bobot p), 10(bobot 3)
7 = (10+7p+30)/(5+p) → 7(5+p)=40+7p → 35+7p=40+7p → tidak valid juga.
Soal yang valid: Rata-rata = 7, data: 5(3), 8(p), 9(2)
7 = (15+8p+18)/(5+p) → 7(5+p)=33+8p → 35+7p=33+8p → 2=p → p = 2 ✓
🔴 Soal Sulit (11–15)
Soal 11:
Rata-rata berbobot dari 5 data adalah 76. Jika data ke-5 dihilangkan, rata-rata berbobot 4 data sisanya menjadi 74. Tentukan nilai data ke-5 jika bobotnya 4 dan total bobot seluruhnya 20!
Diketahui:
x̄w(5 data) = 76, total bobot = 20
Bobot data ke-5 = 4, maka total bobot 4 data lain = 16
x̄w(4 data) = 74
Langkah 1: Σ(wᵢ·xᵢ) untuk 5 data = 76 × 20 = 1520
Langkah 2: Σ(wᵢ·xᵢ) untuk 4 data = 74 × 16 = 1184
Langkah 3: w₅·x₅ = 1520 – 1184 = 336
Langkah 4: x₅ = 336/4 = 84
Soal 12:
Dua kelompok data berbobot digabung:
Kelompok I: rata-rata berbobot = 65, total bobot = 12
Kelompok II: rata-rata berbobot = 80, total bobot = 8
Tentukan rata-rata berbobot gabungan!
Langkah 1: Σ(wᵢ·xᵢ) kelompok I = 65 × 12 = 780
Langkah 2: Σ(wᵢ·xᵢ) kelompok II = 80 × 8 = 640
Langkah 3: Total = 780 + 640 = 1420
Langkah 4: Total bobot = 12 + 8 = 20
Langkah 5: x̄w gabungan = 1420/20 = 71
Soal 13:
Data berbobot berikut memiliki rata-rata berbobot 7,2 dan median berbobot 7. Tentukan nilai a dan b!
| Nilai | Bobot |
|---|---|
| 5 | a |
| 7 | 4 |
| 9 | b |
Diketahui total bobot = 10.
Persamaan 1 (total bobot): a + 4 + b = 10 → a + b = 6
Persamaan 2 (rata-rata):
7,2 = (5a + 28 + 9b)/10
72 = 5a + 28 + 9b
5a + 9b = 44
Langkah 3: Dari pers.1: a = 6-b, substitusi:
5(6-b) + 9b = 44
30 – 5b + 9b = 44
4b = 14
b = 3,5 → karena bobot harus bilangan bulat, cek ulang.
Jika total bobot = 10 dan b harus bulat, maka soal perlu penyesuaian.
Dengan rata-rata = 7: 70 = 5a+28+9b → 5a+9b=42, a+b=6
5(6-b)+9b=42 → 30+4b=42 → 4b=12 → b=3, a=3 ✓
Verifikasi median: Data urut: 5,5,5,7,7,7,7,9,9,9
W=10 (genap), median = rata-rata data ke-5 dan ke-6 = (7+7)/2 = 7 ✓
Jawaban: a = 3, b = 3 (dengan rata-rata = 7)
Soal 14:
Perusahaan menghitung indeks kepuasan pelanggan berbobot:
| Aspek | Skor (1-10) | Bobot |
|---|---|---|
| Kualitas Produk | 8,5 | 5 |
| Harga | 6,0 | 3 |
| Pelayanan | 9,0 | 4 |
| Lokasi | 7,5 | 2 |
| Kebersihan | 8,0 | 3 |
Jika target indeks minimal 8,0, apakah perusahaan mencapai target? Aspek mana yang perlu ditingkatkan agar tercapai?
Langkah 1: Hitung Σ(wᵢ·xᵢ):
8,5×5 = 42,5
6,0×3 = 18,0
9,0×4 = 36,0
7,5×2 = 15,0
8,0×3 = 24,0
Total = 135,5
Langkah 2: Σwᵢ = 5+3+4+2+3 = 17
Langkah 3: Indeks = 135,5/17 = 7,97
Langkah 4: Belum mencapai target (7,97 < 8,0)
Langkah 5: Kekurangan = 8,0×17 – 135,5 = 136 – 135,5 = 0,5
Aspek Harga (bobot 3, skor 6,0) paling rendah dan berbobot cukup besar.
Jika harga naik 0,5/3 ≈ 0,17 menjadi 6,17 → target tercapai.
Atau aspek Lokasi dari 7,5 naik 0,25 menjadi 7,75.
Soal 15:
Tiga kelas memiliki rata-rata berbobot masing-masing. Rata-rata berbobot gabungan ketiga kelas = 75.
| Kelas | Rata-rata Berbobot | Total Bobot |
|---|---|---|
| A | 80 | 10 |
| B | 70 | x |
| C | 75 | 15 |
Tentukan total bobot kelas B!
Rata-rata gabungan:
75 = (80×10 + 70×x + 75×15) / (10 + x + 15)
75 = (800 + 70x + 1125) / (25 + x)
75(25 + x) = 1925 + 70x
1875 + 75x = 1925 + 70x
5x = 50
x = 10
📝 Latihan Soal
Kerjakan soal berikut tanpa melihat pembahasan untuk mengukur pemahamanmu!
🟢 Mudah (1–5)
1. Tentukan rata-rata berbobot dari data: nilai 50 (bobot 1), 60 (bobot 2), 70 (bobot 3), 80 (bobot 4).
2. Seorang siswa mendapat nilai Tugas = 75 (bobot 2), UTS = 80 (bobot 3), UAS = 85 (bobot 5). Berapa nilai rata-rata berbobot?
3. Data: 4(bobot 3), 6(bobot 2), 8(bobot 5). Tentukan rata-rata berbobot!
4. Tentukan median berbobot dari data (bobot = frekuensi): 10(bobot 2), 20(bobot 5), 30(bobot 3).
5. Data: 90(bobot 1), 85(bobot 2), 80(bobot 1). Tentukan modus dan rata-rata berbobot!
🟡 Sedang (6–10)
6. Nilai akhir dihitung: Kehadiran 90 (bobot 10%), Tugas 78 (bobot 20%), UTS 72 (bobot 30%), UAS 85 (bobot 40%). Hitunglah nilai akhir!
7. Rata-rata berbobot dari data 60(bobot 3), 75(bobot a), 90(bobot 2) adalah 72. Tentukan nilai a!
8. Tentukan median berbobot dari: 2(bobot 3), 4(bobot 6), 6(bobot 4), 8(bobot 2), 10(bobot 5).
9. Harga rata-rata berbobot 4 jenis barang: Rp2.000(20 unit), Rp3.500(15 unit), Rp5.000(10 unit), Rp7.000(5 unit). Tentukan harga rata-rata per unit!
10. Dua data berbobot digabung. Kelompok I: rata-rata 60, total bobot 8. Kelompok II: rata-rata 85, total bobot 12. Tentukan rata-rata gabungan!
🔴 Sulit (11–15)
11. Rata-rata berbobot 6 data = 82. Jika data ke-6 (bobot 5) dihilangkan, rata-rata berbobot 5 data sisanya = 80. Total bobot seluruhnya = 25. Tentukan nilai data ke-6!
12. Data berbobot memiliki rata-rata berbobot 6 dan median berbobot 5. Data: 3(bobot a), 5(bobot 5), 8(bobot b). Total bobot = 12. Tentukan a dan b!
13. Empat cabang toko memiliki rata-rata penjualan berbobot (bobot = jumlah karyawan): Cabang A: rata-rata 50jt, 8 karyawan. Cabang B: rata-rata 65jt, 12 karyawan. Cabang C: rata-rata 45jt, 6 karyawan. Cabang D: rata-rata x jt, 10 karyawan. Jika rata-rata gabungan = 55jt, tentukan x!
14. Seorang siswa ingin rata-rata berbobot minmal 80. Ia sudah memperoleh: Tugas 75(bobot 2), Kuis 82(bobot 1), UTS 78(bobot 3). Berapa nilai minimal UAS yang harus diperoleh jika bobot UAS = 4?
15. Data berbobot: 4(bobot 2), 6(bobot 3), x(bobot 4), 10(bobot 1). Rata-rata berbobot = 7 dan median berbobot = 6. Tentukan semua kemungkinan nilai x!