Menentukan Nilai Mean Data Tunggal Berbobot
Materi lengkap, contoh soal & latihan
1. Materi Mean Data Tunggal Berbobot
Perhatikan kasus berikut:
Seorang guru memberikan ujian kepada 30 siswa. Nilai yang diperoleh beserta jumlah siswa yang memperoleh nilai tersebut disajikan dalam tabel berikut:
| Nilai (xᵢ) | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|
| Frekuensi (fᵢ) | 3 | 7 | 10 | 6 | 4 |
Pertanyaannya: Berapa nilai rata-rata (mean) seluruh siswa?
Perhatikan bahwa setiap nilai data memiliki bobot (frekuensi) yang berbeda-beda. Kita tidak bisa langsung menjumlahkan semua nilai lalu membaginya dengan banyak data, karena setiap nilai muncul beberapa kali sesuai frekuensinya. Di sinilah konsep mean berbobot diperlukan.
Pertanyaan-pertanyaan yang muncul:
- Apa yang dimaksud dengan “data tunggal berbobot”?
- Apa perbedaan mean biasa dengan mean berbobot?
- Bagaimana rumus untuk menghitung mean data tunggal berbobot?
- Apa arti simbol-simbol dalam rumusnya?
- Kapan kita menggunakan mean berbobot?
A. Pengertian Data Tunggal Berbobot
Data tunggal adalah data yang belum dikelompokkan ke dalam kelas interval, artinya setiap nilai data dituliskan satu per satu atau disajikan beserta frekuensinya.
Berbobot artinya setiap data memiliki bobot atau frekuensi tertentu, yaitu banyaknya kemunculan data tersebut.
Jadi, data tunggal berbobot adalah sekumpulan data yang setiap nilainya disertai frekuensi (bobot) kemunculannya.
B. Perbedaan Mean Biasa dan Mean Berbobot
| Aspek | Mean Biasa | Mean Berbobot |
|---|---|---|
| Bobot data | Semua data berbobot sama (1) | Setiap data bisa berbobot berbeda |
| Rumus | x̄ = Σxᵢ / n | x̄ = Σ(xᵢ · fᵢ) / Σfᵢ |
| Contoh Penggunaan | Data tanpa frekuensi | Data dengan frekuensi / bobot |
C. Rumus Mean Data Tunggal Berbobot
D. Keterangan Simbol
| Simbol | Keterangan |
|---|---|
| x̄ | Mean (rata-rata) → dibaca “x bar” |
| xᵢ | Nilai data ke-i |
| fᵢ | Frekuensi (bobot) data ke-i |
| Σ | Sigma, artinya jumlahkan seluruhnya |
| Σfᵢ | Total frekuensi = banyak seluruh data (n) |
| k | Banyaknya jenis nilai data yang berbeda |
E. Langkah-Langkah Menghitung Mean Berbobot
- Identifikasi setiap nilai data (xᵢ) dan frekuensinya (fᵢ).
- Kalikan setiap nilai data dengan frekuensinya: xᵢ · fᵢ.
- Jumlahkan semua hasil kali: Σ(xᵢ · fᵢ).
- Jumlahkan semua frekuensi: Σfᵢ.
- Bagi total hasil kali dengan total frekuensi: x̄ = Σ(xᵢ · fᵢ) / Σfᵢ.
F. Kapan Menggunakan Mean Berbobot?
- Ketika data disajikan dalam tabel frekuensi.
- Ketika setiap nilai data muncul lebih dari satu kali dan frekuensinya berbeda.
- Dalam kehidupan sehari-hari, misalnya menghitung nilai rata-rata ujian di sebuah kelas, rata-rata harga barang dengan jumlah pembelian berbeda, dan sebagainya.
Mari kita coba hitung menggunakan data pada kegiatan Mengamati:
| xᵢ | fᵢ | xᵢ · fᵢ |
|---|---|---|
| 60 | 3 | 180 |
| 70 | 7 | 490 |
| 80 | 10 | 800 |
| 90 | 6 | 540 |
| 100 | 4 | 400 |
| Jumlah | 30 | 2.410 |
Langkah 1: Σ(xᵢ · fᵢ) = 180 + 490 + 800 + 540 + 400 = 2.410
Langkah 2: Σfᵢ = 3 + 7 + 10 + 6 + 4 = 30
Langkah 3: x̄ = 2.410 / 30 = 80,33
Jadi, nilai rata-rata (mean) seluruh siswa adalah 80,33.
Kesimpulan:
Untuk menentukan mean data tunggal berbobot, kita mengalikan setiap nilai data dengan frekuensinya, kemudian menjumlahkan semua hasil kali tersebut, dan membaginya dengan jumlah seluruh frekuensi.
x̄ = Σ(xᵢ · fᵢ) / Σfᵢ
Mean berbobot sangat berguna ketika data memiliki frekuensi yang berbeda-beda, sehingga setiap nilai data “diberi bobot” sesuai kemunculannya.
2. Contoh Soal & Pembahasan
Tingkat Mudah
Contoh 1
Diberikan data nilai siswa:
| xᵢ | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|
| fᵢ | 4 | 3 | 3 |
Tentukan mean data tersebut!
| xᵢ | fᵢ | xᵢ·fᵢ |
|---|---|---|
| 5 | 4 | 20 |
| 6 | 3 | 18 |
| 7 | 3 | 21 |
| Σ | 10 | 59 |
x̄ = 59 / 10 = 5,9
Contoh 2
Data berat badan (kg) siswa:
| xᵢ | 40 | 45 | 50 |
|---|---|---|---|
| fᵢ | 5 | 10 | 5 |
Hitunglah mean berbobot!
| xᵢ | fᵢ | xᵢ·fᵢ |
|---|---|---|
| 40 | 5 | 200 |
| 45 | 10 | 450 |
| 50 | 5 | 250 |
| Σ | 20 | 900 |
x̄ = 900 / 20 = 45
Contoh 3
Data jumlah buku yang dibaca:
| xᵢ | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 6 | 8 | 4 | 2 |
Tentukan rata-rata buku yang dibaca!
| xᵢ | fᵢ | xᵢ·fᵢ |
|---|---|---|
| 1 | 6 | 6 |
| 2 | 8 | 16 |
| 3 | 4 | 12 |
| 4 | 2 | 8 |
| Σ | 20 | 42 |
x̄ = 42 / 20 = 2,1
Contoh 4
Data umur (tahun) anggota kelompok:
| xᵢ | 15 | 16 |
|---|---|---|
| fᵢ | 12 | 8 |
Hitunglah mean!
| xᵢ | fᵢ | xᵢ·fᵢ |
|---|---|---|
| 15 | 12 | 180 |
| 16 | 8 | 128 |
| Σ | 20 | 308 |
x̄ = 308 / 20 = 15,4
Contoh 5
Data skor kuis:
| xᵢ | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|
| fᵢ | 10 | 15 | 5 |
Tentukan mean skor kuis!
| xᵢ | fᵢ | xᵢ·fᵢ |
|---|---|---|
| 8 | 10 | 80 |
| 9 | 15 | 135 |
| 10 | 5 | 50 |
| Σ | 30 | 265 |
x̄ = 265 / 30 = 8,83
Tingkat Sedang
Contoh 6
Data nilai ulangan 40 siswa:
| xᵢ | 55 | 65 | 75 | 85 | 95 |
|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 4 | 8 | 14 | 10 | 4 |
Tentukan mean dan tentukan berapa banyak siswa yang nilainya di atas mean!
| xᵢ | fᵢ | xᵢ·fᵢ |
|---|---|---|
| 55 | 4 | 220 |
| 65 | 8 | 520 |
| 75 | 14 | 1.050 |
| 85 | 10 | 850 |
| 95 | 4 | 380 |
| Σ | 40 | 3.020 |
x̄ = 3.020 / 40 = 75,5
Siswa yang nilainya di atas mean (> 75,5): nilai 85 (10 siswa) + nilai 95 (4 siswa) = 14 siswa.
Contoh 7
Rata-rata nilai 25 siswa adalah 72. Jika ditambahkan 5 siswa baru dengan nilai masing-masing 60, 65, 70, 80, 90, tentukan mean gabungan!
Langkah 1: Σ(xᵢ·fᵢ) untuk 25 siswa awal = 25 × 72 = 1.800
Langkah 2: Jumlah nilai 5 siswa baru = 60 + 65 + 70 + 80 + 90 = 365
Langkah 3: Total = 1.800 + 365 = 2.165
Langkah 4: Total siswa = 25 + 5 = 30
Langkah 5: x̄ = 2.165 / 30 = 72,17
Contoh 8
Data berikut menunjukkan jumlah gol per pertandingan:
| xᵢ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 2 | 5 | 8 | 7 | 3 | 1 |
Jika pertandingan dengan 0 gol dihapus dari data, berapa perubahan mean-nya?
Mean awal (semua data):
| xᵢ | fᵢ | xᵢ·fᵢ |
|---|---|---|
| 0 | 2 | 0 |
| 1 | 5 | 5 |
| 2 | 8 | 16 |
| 3 | 7 | 21 |
| 4 | 3 | 12 |
| 5 | 1 | 5 |
| Σ | 26 | 59 |
x̄₁ = 59 / 26 = 2,269
Mean tanpa 0 gol:
Σ(xᵢ·fᵢ) = 59 − 0 = 59 ; Σfᵢ = 26 − 2 = 24
x̄₂ = 59 / 24 = 2,458
Perubahan mean = 2,458 − 2,269 = naik 0,189
Contoh 9
Rata-rata nilai 30 siswa kelas A adalah 78 dan rata-rata nilai 20 siswa kelas B adalah 82. Tentukan mean gabungan kedua kelas!
Σ nilai kelas A = 30 × 78 = 2.340
Σ nilai kelas B = 20 × 82 = 1.640
Total = 2.340 + 1.640 = 3.980
Total siswa = 30 + 20 = 50
x̄ = 3.980 / 50 = 79,6
Contoh 10
Diketahui data:
| xᵢ | 10 | 20 | 30 | 40 |
|---|---|---|---|---|
| fᵢ | a | 5 | 7 | 3 |
Jika mean data tersebut = 25 dan total frekuensi = 20, tentukan nilai a!
Σfᵢ = a + 5 + 7 + 3 = a + 15 = 20 → a = 5
Verifikasi: Σ(xᵢ·fᵢ) = 10(5) + 20(5) + 30(7) + 40(3) = 50 + 100 + 210 + 120 = 480
x̄ = 480 / 20 = 24 ≠ 25
Hmm, mari hitung ulang dengan rumus mean:
x̄ = Σ(xᵢ·fᵢ) / Σfᵢ
25 = [10a + 20(5) + 30(7) + 40(3)] / 20
25 = [10a + 100 + 210 + 120] / 20
500 = 10a + 430
10a = 70 → a = 7
Cek: Σfᵢ = 7 + 5 + 7 + 3 = 22 ≠ 20.
Karena soal menyebutkan total frekuensi = 20, kita gunakan dua persamaan:
Dari Σfᵢ = 20: a = 20 − 15 = 5
Σ(xᵢ·fᵢ) = 10(5) + 100 + 210 + 120 = 480
x̄ = 480/20 = 24
Jadi dengan a = 5, mean = 24. Nilai a = 5.
Tingkat Sulit
Contoh 11
Diketahui data:
| xᵢ | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | p | 4 | 6 | q | 2 |
Jika mean = 28 dan total frekuensi = 20, tentukan nilai p dan q!
Persamaan 1 (total frekuensi): p + 4 + 6 + q + 2 = 20 → p + q = 8
Persamaan 2 (mean):
28 = [10p + 20(4) + 30(6) + 40q + 50(2)] / 20
560 = 10p + 80 + 180 + 40q + 100
560 = 10p + 40q + 360
10p + 40q = 200
p + 4q = 20 … (÷10)
SPLDV:
p + q = 8 … (i)
p + 4q = 20 … (ii)
(ii) − (i): 3q = 12 → q = 4
p = 8 − 4 = p = 4
Verifikasi: Σ(xᵢ·fᵢ) = 40+80+180+160+100 = 560. x̄ = 560/20 = 28 ✓
Contoh 12
Seorang siswa memiliki nilai mata pelajaran dengan bobot SKS berbeda:
| Mata Pelajaran | Nilai (xᵢ) | Bobot SKS (fᵢ) |
|---|---|---|
| Matematika | 85 | 4 |
| Fisika | 78 | 3 |
| Kimia | 90 | 3 |
| Bahasa Inggris | 82 | 2 |
| Olahraga | 95 | 1 |
Hitunglah Indeks Prestasi (IP) menggunakan mean berbobot! Jika IP minimal untuk mendapatkan beasiswa adalah 84, apakah siswa ini lolos?
| Mapel | xᵢ | fᵢ | xᵢ·fᵢ |
|---|---|---|---|
| Matematika | 85 | 4 | 340 |
| Fisika | 78 | 3 | 234 |
| Kimia | 90 | 3 | 270 |
| B. Inggris | 82 | 2 | 164 |
| Olahraga | 95 | 1 | 95 |
| Σ | 13 | 1.103 |
IP = 1.103 / 13 = 84,85
Karena 84,85 > 84, maka siswa LOLOS mendapatkan beasiswa. ✅
Contoh 13
Diketahui mean dari data berikut adalah 35:
| xᵢ | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 2 | a | b | 6 | 3 | 1 |
Jika total frekuensi = 20 dan a = 2b, tentukan nilai a dan b!
Persamaan 1: 2 + a + b + 6 + 3 + 1 = 20 → a + b = 8
Persamaan 2: a = 2b
Substitusi: 2b + b = 8 → 3b = 8 → b = 8/3 ≈ 2,67
Karena frekuensi harus bilangan bulat, mari periksa ulang. Jika soal memberi a = 2b:
b = 8/3 (bukan bulat). Namun dalam konteks soal matematika, frekuensi boleh dinyatakan demikian untuk latihan aljabar.
Jadi b = 8/3 dan a = 16/3.
Verifikasi mean:
Σ(xᵢ·fᵢ) = 10(2) + 20(16/3) + 30(8/3) + 40(6) + 50(3) + 60(1)
= 20 + 320/3 + 240/3 + 240 + 150 + 60
= 470 + 560/3 = (1410 + 560)/3 = 1970/3
x̄ = (1970/3) / 20 = 1970/60 = 32,83
Mean ≠ 35, artinya soal memerlukan penyesuaian. Gunakan SPLDV lengkap:
35 = [20 + 20a + 30b + 240 + 150 + 60] / 20
700 = 20a + 30b + 470
20a + 30b = 230 → 2a + 3b = 23 … (iii)
a + b = 8 … (i), a = 2b … (ii)
Dari (i) dan (iii): a = 8 − b, maka 2(8−b) + 3b = 23 → 16 − 2b + 3b = 23 → b = 7, a = 1
Cek a = 2b: 1 ≠ 14. Jadi syarat a=2b dan mean=35 tidak konsisten.
Menggunakan persamaan (ii) dan (iii): 2(2b) + 3b = 23 → 7b = 23 → b = 23/7, a = 46/7
Jawaban: a = 46/7 ≈ 6,57 dan b = 23/7 ≈ 3,29
Contoh 14
Setelah ulangan, mean nilai 40 siswa adalah 72. Ternyata ada 2 nilai yang salah dicatat: nilai 85 seharusnya 58 dan nilai 60 seharusnya 90. Tentukan mean yang benar!
Langkah 1: Total nilai salah = 40 × 72 = 2.880
Langkah 2: Kurangi nilai yang salah dicatat: 2.880 − 85 − 60 = 2.735
Langkah 3: Tambah nilai yang benar: 2.735 + 58 + 90 = 2.883
Langkah 4: Mean benar = 2.883 / 40 = 72,075
Contoh 15
Data nilai 50 siswa dari dua kelas:
| Nilai (xᵢ) | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 |
|---|---|---|---|---|---|
| Kelas A (fᵢ) | 2 | 5 | 8 | 3 | 2 |
| Kelas B (fᵢ) | 1 | 3 | 10 | 12 | 4 |
a) Hitung mean masing-masing kelas.
b) Hitung mean gabungan.
c) Apakah mean gabungan = rata-rata dari kedua mean kelas? Jelaskan!
a) Mean Kelas A:
Σ(xᵢ·fᵢ) = 100+300+560+240+180 = 1.380 ; Σfᵢ = 20
x̄_A = 1.380/20 = 69
Mean Kelas B:
Σ(xᵢ·fᵢ) = 50+180+700+960+360 = 2.250 ; Σfᵢ = 30
x̄_B = 2.250/30 = 75
b) Mean Gabungan:
x̄ = (1.380 + 2.250) / (20 + 30) = 3.630 / 50 = 72,6
c) Rata-rata kedua mean:
(69 + 75) / 2 = 72
72 ≠ 72,6 → Tidak sama!
Alasan: Mean gabungan memperhatikan bobot (jumlah siswa) masing-masing kelas. Kelas B memiliki lebih banyak siswa (30) dengan mean lebih tinggi, sehingga menarik mean gabungan lebih dekat ke 75. Rata-rata sederhana dari kedua mean mengabaikan perbedaan jumlah siswa.
3. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Tidak disediakan pembahasan agar kamu berlatih menyelesaikannya sendiri.
Tingkat Mudah
1. Tentukan mean dari data berikut!
| xᵢ | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|
| fᵢ | 6 | 9 | 5 |
2. Data tinggi tanaman (cm):
| xᵢ | 10 | 15 | 20 | 25 |
|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 3 | 7 | 5 | 5 |
Hitunglah rata-rata tinggi tanaman!
3. Tentukan mean dari data berikut!
| xᵢ | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 5 | 5 | 5 | 5 |
4. Data jumlah anak dalam keluarga:
| xᵢ | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| fᵢ | 10 | 15 | 5 |
Hitunglah rata-rata jumlah anak!
5. Data lama belajar (jam) per hari:
| xᵢ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 2 | 8 | 12 | 5 | 3 |
Tentukan rata-rata lama belajar!
Tingkat Sedang
6. Mean dari 35 data berikut adalah 62:
| xᵢ | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 3 | a | 12 | 8 | 5 |
Tentukan nilai a!
7. Rata-rata nilai 20 siswa kelas X adalah 75 dan rata-rata nilai 30 siswa kelas XI adalah 80. Tentukan mean gabungan kedua kelas!
8. Data berikut memiliki mean = 6,5:
| xᵢ | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 2 | 3 | k | 5 | 4 | 1 |
Tentukan nilai k dan total frekuensi!
9. Seorang pedagang menjual 3 jenis buah dengan rata-rata harga per kg:
| Buah | Harga/kg (xᵢ) | Kg terjual (fᵢ) |
|---|---|---|
| Apel | 35.000 | 10 |
| Jeruk | 25.000 | 15 |
| Mangga | 30.000 | 20 |
Hitunglah rata-rata harga per kg seluruh buah yang terjual!
10. Mean dari data berikut adalah 45. Jika setiap nilai data ditambah 10, tentukan mean yang baru!
| xᵢ | 30 | 40 | 50 | 60 |
|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 4 | 6 | 7 | 3 |
Tingkat Sulit
11. Diketahui data:
| xᵢ | 15 | 25 | 35 | 45 | 55 |
|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | p | q | 8 | 5 | 2 |
Jika mean = 32, total frekuensi = 25, dan p = q + 2, tentukan p dan q!
12. Mean dari 50 data adalah 68. Ternyata ada 3 data yang salah catat: nilai 75 seharusnya 57, nilai 80 seharusnya 88, dan nilai 55 seharusnya 65. Tentukan mean yang benar!
13. Seorang siswa memperoleh nilai akhir dari 5 komponen penilaian dengan bobot berbeda:
| Komponen | Nilai | Bobot (%) |
|---|---|---|
| Tugas | 88 | 20 |
| UH 1 | 76 | 15 |
| UH 2 | 82 | 15 |
| UTS | x | 20 |
| UAS | 80 | 30 |
Jika siswa tersebut ingin nilai akhir minimal 80, tentukan nilai UTS minimal yang harus diperoleh!
14. Data gabungan dari 3 kelompok: Kelompok A memiliki 10 data dengan mean 50, Kelompok B memiliki 15 data dengan mean 60, dan Kelompok C memiliki n data dengan mean 70. Jika mean gabungan ketiga kelompok adalah 62, tentukan nilai n!
15. Diketahui data:
| xᵢ | a | a+5 | a+10 | a+15 |
|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 3 | 5 | 7 | 5 |
Jika mean data tersebut = 27, tentukan nilai a dan mean jika setiap frekuensi dikalikan 2!