Menentukan Nilai Pagar Dalam dan Pagar Luar Data Tunggal
Materi Statistika – Data Tunggal
A. Pendahuluan
Dalam analisis data, kita sering menemui nilai-nilai yang sangat jauh dari kelompok data utama. Nilai-nilai tersebut disebut pencilan (outlier). Untuk mendeteksi pencilan, kita menggunakan konsep Pagar Dalam (Inner Fence) dan Pagar Luar (Outer Fence).
Pagar Dalam dan Pagar Luar merupakan batas-batas yang dihitung berdasarkan Kuartil Pertama (Q₁), Kuartil Ketiga (Q₃), dan Jangkauan Antarkuartil (IQR).
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan data nilai ujian berikut:
2, 45, 47, 49, 50, 52, 53, 55, 98
Amati bahwa nilai 2 dan 98 terlihat sangat berbeda dari data lainnya. Bagaimana cara kita menentukan secara matematis apakah nilai tersebut benar-benar pencilan?
❓ Kegiatan: Menanya
- Apa itu Pagar Dalam dan Pagar Luar?
- Bagaimana cara menghitung Pagar Dalam dan Pagar Luar?
- Apa perbedaan pencilan ringan dan pencilan berat?
- Mengapa kita perlu mendeteksi pencilan dalam data?
B. Konsep Dasar
1. Kuartil dan IQR (Jangkauan Antarkuartil)
Sebelum menghitung pagar, kita perlu memahami:
- Q₁ (Kuartil Pertama): Nilai yang membagi 25% data terbawah
- Q₂ (Median): Nilai tengah data
- Q₃ (Kuartil Ketiga): Nilai yang membagi 75% data terbawah
- IQR = Q₃ − Q₁: Jangkauan Antarkuartil
2. Rumus Pagar Dalam (Inner Fence)
Pagar Dalam Bawah (PDB):
PDB = Q₁ − 1,5 × IQR
Pagar Dalam Atas (PDA):
PDA = Q₃ + 1,5 × IQR
Data yang berada di luar Pagar Dalam tetapi masih di dalam Pagar Luar disebut pencilan ringan (mild outlier).
3. Rumus Pagar Luar (Outer Fence)
Pagar Luar Bawah (PLB):
PLB = Q₁ − 3 × IQR
Pagar Luar Atas (PLA):
PLA = Q₃ + 3 × IQR
Data yang berada di luar Pagar Luar disebut pencilan berat (extreme outlier).
4. Klasifikasi Data Berdasarkan Pagar
| Posisi Data (x) | Klasifikasi |
|---|---|
| PDB ≤ x ≤ PDA | Data Normal (bukan pencilan) |
| PLB ≤ x < PDB atau PDA < x ≤ PLA | Pencilan Ringan (Mild Outlier) |
| x < PLB atau x > PLA | Pencilan Berat (Extreme Outlier) |
💡 Kegiatan: Menalar
Perhatikan bahwa koefisien 1,5 dan 3 pada rumus pagar memiliki makna:
- Koefisien 1,5 memberikan batas yang cukup longgar → pencilan ringan
- Koefisien 3 memberikan batas yang sangat longgar → hanya data yang sangat ekstrem yang terdeteksi
- Semakin besar IQR, semakin lebar pagar → data yang tersebar memiliki toleransi lebih besar
C. Langkah-Langkah Menentukan Pagar
🧪 Kegiatan: Mencoba
Ikuti langkah-langkah berikut untuk menentukan Pagar Dalam dan Pagar Luar:
- Urutkan data dari yang terkecil ke terbesar.
- Tentukan Q₁ (kuartil pertama):
- Jika n data, posisi Q₁ = ¼(n+1)
- Tentukan Q₃ (kuartil ketiga):
- Posisi Q₃ = ¾(n+1)
- Hitung IQR = Q₃ − Q₁
- Hitung Pagar Dalam:
- PDB = Q₁ − 1,5 × IQR
- PDA = Q₃ + 1,5 × IQR
- Hitung Pagar Luar:
- PLB = Q₁ − 3 × IQR
- PLA = Q₃ + 3 × IQR
- Klasifikasikan setiap data berdasarkan posisinya terhadap pagar.
Contoh Penerapan Lengkap
Data: 3, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 22
Langkah 1: Data sudah terurut. n = 10
Langkah 2: Posisi Q₁ = ¼(10+1) = 2,75
Q₁ = data ke-2 + 0,75 × (data ke-3 − data ke-2) = 7 + 0,75 × (8−7) = 7,75
Langkah 3: Posisi Q₃ = ¾(10+1) = 8,25
Q₃ = data ke-8 + 0,25 × (data ke-9 − data ke-8) = 13 + 0,25 × (15−13) = 13,5
Langkah 4: IQR = 13,5 − 7,75 = 5,75
Langkah 5: Pagar Dalam:
PDB = 7,75 − 1,5 × 5,75 = 7,75 − 8,625 = −0,875
PDA = 13,5 + 1,5 × 5,75 = 13,5 + 8,625 = 22,125
Langkah 6: Pagar Luar:
PLB = 7,75 − 3 × 5,75 = 7,75 − 17,25 = −9,5
PLA = 13,5 + 3 × 5,75 = 13,5 + 17,25 = 30,75
Langkah 7: Semua data (3 sampai 22) berada dalam rentang PDB hingga PDA → Tidak ada pencilan
Visualisasi: Diagram Kotak Garis (Box Plot)
D. Contoh Soal dan Pembahasan
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Setelah mempelajari contoh soal berikut, cobalah jelaskan kembali langkah-langkah penyelesaiannya dengan bahasa sendiri kepada teman sebangku.
📗 Contoh Soal Mudah (1-5)
Soal 1:
Diketahui data: 4, 6, 7, 8, 9, 10, 12. Tentukan Pagar Dalam Bawah dan Pagar Dalam Atas!
Pembahasan:
n = 7, data sudah terurut.
Q₁ = data ke-¼(7+1) = data ke-2 = 6
Q₃ = data ke-¾(7+1) = data ke-6 = 10
IQR = 10 − 6 = 4
PDB = 6 − 1,5 × 4 = 6 − 6 = 0
PDA = 10 + 1,5 × 4 = 10 + 6 = 16
Soal 2:
Diketahui data: 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24. Tentukan Pagar Luar Bawah dan Pagar Luar Atas!
Pembahasan:
n = 8. Posisi Q₁ = ¼(9) = 2,25 → Q₁ = 12 + 0,25(14−12) = 12,5
Posisi Q₃ = ¾(9) = 6,75 → Q₃ = 20 + 0,75(22−20) = 21,5
IQR = 21,5 − 12,5 = 9
PLB = 12,5 − 3 × 9 = 12,5 − 27 = −14,5
PLA = 21,5 + 3 × 9 = 21,5 + 27 = 48,5
Soal 3:
Data: 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Tentukan apakah ada pencilan!
Pembahasan:
n = 7. Q₁ = data ke-2 = 5, Q₃ = data ke-6 = 9
IQR = 9 − 5 = 4
PDB = 5 − 1,5 × 4 = −1
PDA = 9 + 1,5 × 4 = 15
Semua data (5 s.d. 10) berada dalam rentang [−1, 15].
Kesimpulan: Tidak ada pencilan.
Soal 4:
Diketahui Q₁ = 20, Q₃ = 40. Tentukan Pagar Dalam dan Pagar Luar!
Pembahasan:
IQR = 40 − 20 = 20
PDB = 20 − 1,5 × 20 = 20 − 30 = −10
PDA = 40 + 1,5 × 20 = 40 + 30 = 70
PLB = 20 − 3 × 20 = 20 − 60 = −40
PLA = 40 + 3 × 20 = 40 + 60 = 100
Soal 5:
Data: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 30. Apakah nilai 30 merupakan pencilan?
Pembahasan:
n = 10. Posisi Q₁ = 2,75 → Q₁ = 3 + 0,75(4−3) = 3,75
Posisi Q₃ = 8,25 → Q₃ = 9 + 0,25(10−9) = 9,25
IQR = 9,25 − 3,75 = 5,5
PDA = 9,25 + 1,5 × 5,5 = 9,25 + 8,25 = 17,5
PLA = 9,25 + 3 × 5,5 = 9,25 + 16,5 = 25,75
Nilai 30 > PLA (25,75) → 30 adalah pencilan berat.
📙 Contoh Soal Sedang (6-10)
Soal 6:
Data tinggi badan (cm): 150, 155, 158, 160, 162, 163, 165, 168, 170, 172, 175, 195. Tentukan klasifikasi setiap pencilan!
Pembahasan:
n = 12. Posisi Q₁ = ¼(13) = 3,25 → Q₁ = 158 + 0,25(160−158) = 158,5
Posisi Q₃ = ¾(13) = 9,75 → Q₃ = 170 + 0,75(172−170) = 171,5
IQR = 171,5 − 158,5 = 13
PDB = 158,5 − 1,5 × 13 = 158,5 − 19,5 = 139
PDA = 171,5 + 1,5 × 13 = 171,5 + 19,5 = 191
PLB = 158,5 − 3 × 13 = 119,5
PLA = 171,5 + 3 × 13 = 210,5
Nilai 195: 191 < 195 ≤ 210,5 → 195 adalah pencilan ringan.
Semua data lain berada dalam Pagar Dalam → normal.
Soal 7:
Data gaji karyawan (juta): 3, 3.5, 4, 4, 4.5, 5, 5, 5.5, 6, 6, 7, 25. Tentukan jenis pencilan untuk nilai 25!
Pembahasan:
n = 12. Q₁ = posisi 3,25 → 4 + 0,25(4−4) = 4
Q₃ = posisi 9,75 → 6 + 0,75(6−6) = 6
IQR = 6 − 4 = 2
PDA = 6 + 1,5 × 2 = 9
PLA = 6 + 3 × 2 = 12
Nilai 25 > PLA (12) → 25 adalah pencilan berat (extreme outlier).
Soal 8:
Diketahui Q₁ = 35, Q₃ = 55. Nilai x = 10 dan y = 90. Klasifikasikan x dan y!
Pembahasan:
IQR = 55 − 35 = 20
PDB = 35 − 1,5 × 20 = 5
PDA = 55 + 1,5 × 20 = 85
PLB = 35 − 3 × 20 = −25
PLA = 55 + 3 × 20 = 115
x = 10: PDB(5) ≤ 10 → x = 10 bukan pencilan (data normal)
y = 90: PDA(85) < 90 ≤ PLA(115) → y = 90 adalah pencilan ringan
Soal 9:
Data: 1, 15, 18, 20, 22, 24, 25, 27, 30, 32, 35, 80. Tentukan berapa banyak pencilan dan jenisnya!
Pembahasan:
n = 12. Posisi Q₁ = 3,25 → Q₁ = 18 + 0,25(20−18) = 18,5
Posisi Q₃ = 9,75 → Q₃ = 30 + 0,75(32−30) = 31,5
IQR = 31,5 − 18,5 = 13
PDB = 18,5 − 1,5 × 13 = −1, PDA = 31,5 + 1,5 × 13 = 51
PLB = 18,5 − 3 × 13 = −20,5, PLA = 31,5 + 3 × 13 = 70,5
Nilai 1: PDB(−1) ≤ 1 → normal
Nilai 80: 80 > PLA(70,5) → pencilan berat
Kesimpulan: 1 pencilan berat (nilai 80)
Soal 10:
Tentukan nilai maksimum x agar x bukan pencilan jika Q₁ = 25 dan Q₃ = 45!
Pembahasan:
IQR = 45 − 25 = 20
PDA = 45 + 1,5 × 20 = 45 + 30 = 75
Agar x bukan pencilan, maka x ≤ PDA.
Nilai maksimum x = 75
📕 Contoh Soal Sulit (11-15)
Soal 11:
Data: 2, 5, 8, 10, 12, 14, 15, 17, 19, 20, 22, 25, 28, 30, 50, 75. Tentukan semua pencilan beserta jenisnya!
Pembahasan:
n = 16. Posisi Q₁ = ¼(17) = 4,25 → Q₁ = 10 + 0,25(12−10) = 10,5
Posisi Q₃ = ¾(17) = 12,75 → Q₃ = 25 + 0,75(28−25) = 27,25
IQR = 27,25 − 10,5 = 16,75
PDB = 10,5 − 1,5 × 16,75 = 10,5 − 25,125 = −14,625
PDA = 27,25 + 1,5 × 16,75 = 27,25 + 25,125 = 52,375
PLB = 10,5 − 3 × 16,75 = −39,75
PLA = 27,25 + 3 × 16,75 = 77,5
Nilai 50: PDA(52,375) > 50 → normal
Nilai 75: PDA(52,375) < 75 ≤ PLA(77,5) → pencilan ringan
Kesimpulan: 1 pencilan ringan (nilai 75)
Soal 12:
Diketahui Q₁ = a dan Q₃ = 3a. Jika PDA = 60, tentukan nilai a dan semua pagar!
Pembahasan:
IQR = 3a − a = 2a
PDA = Q₃ + 1,5 × IQR = 3a + 1,5 × 2a = 3a + 3a = 6a
6a = 60 → a = 10
Maka: Q₁ = 10, Q₃ = 30, IQR = 20
PDB = 10 − 1,5 × 20 = −20
PDA = 60
PLB = 10 − 3 × 20 = −50
PLA = 30 + 3 × 20 = 90
Soal 13:
Data hasil penjualan (unit): 5, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 28, 30, 55, 100. Klasifikasikan semua pencilan dan tentukan persentase data normal!
Pembahasan:
n = 17. Posisi Q₁ = ¼(18) = 4,5 → Q₁ = (15+16)/2 = 15,5
Posisi Q₃ = ¾(18) = 13,5 → Q₃ = (26+28)/2 = 27
IQR = 27 − 15,5 = 11,5
PDB = 15,5 − 1,5 × 11,5 = 15,5 − 17,25 = −1,75
PDA = 27 + 1,5 × 11,5 = 27 + 17,25 = 44,25
PLB = 15,5 − 3 × 11,5 = −19
PLA = 27 + 3 × 11,5 = 61,5
Nilai 5: −1,75 ≤ 5 → normal
Nilai 55: 44,25 < 55 ≤ 61,5 → pencilan ringan
Nilai 100: 100 > 61,5 → pencilan berat
Data normal: 15 dari 17 → Persentase = 15/17 × 100% ≈ 88,2%
Soal 14:
Jika ditambahkan data baru x ke kumpulan data dengan Q₁ = 30, Q₃ = 50, tentukan rentang nilai x agar x termasuk pencilan ringan atas!
Pembahasan:
IQR = 50 − 30 = 20
PDA = 50 + 1,5 × 20 = 80
PLA = 50 + 3 × 20 = 110
Pencilan ringan atas: PDA < x ≤ PLA
Rentang: 80 < x ≤ 110
Soal 15:
Data: 8, 12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 32, 35, 40. Jika data 40 diganti dengan nilai k sehingga k menjadi pencilan ringan, tentukan rentang nilai k!
Pembahasan:
n = 12, kita hitung dengan data asli (tanpa mempengaruhi Q₁ dan Q₃ secara signifikan karena k menggantikan data terakhir).
Posisi Q₁ = 3,25 → Q₁ = 15 + 0,25(18−15) = 15,75
Posisi Q₃ = 9,75 → Q₃ = 30 + 0,75(32−30) = 31,5
IQR = 31,5 − 15,75 = 15,75
PDA = 31,5 + 1,5 × 15,75 = 31,5 + 23,625 = 55,125
PLA = 31,5 + 3 × 15,75 = 31,5 + 47,25 = 78,75
PDB = 15,75 − 1,5 × 15,75 = −7,875
PLB = 15,75 − 3 × 15,75 = −31,5
Agar k pencilan ringan atas: 55,125 < k ≤ 78,75
Agar k pencilan ringan bawah: −31,5 ≤ k < −7,875
Rentang k: (55,125 ; 78,75] atau [−31,5 ; −7,875)
E. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Terapkan langkah-langkah yang telah dipelajari.
📗 Latihan Mudah (1-5)
1. Data: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Tentukan Pagar Dalam Bawah dan Pagar Dalam Atas!
2. Data: 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34. Tentukan Pagar Luar Bawah dan Pagar Luar Atas!
3. Diketahui Q₁ = 15 dan Q₃ = 35. Hitunglah IQR, PDB, PDA, PLB, dan PLA!
4. Data: 8, 10, 11, 12, 13, 14, 16. Apakah ada pencilan dalam data tersebut?
5. Data: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 40. Tentukan apakah nilai 40 merupakan pencilan!
📙 Latihan Sedang (6-10)
6. Data berat badan siswa (kg): 40, 42, 45, 48, 50, 52, 55, 58, 60, 62, 65, 90. Tentukan klasifikasi nilai 90!
7. Data: 1, 15, 17, 19, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 60. Tentukan berapa banyak pencilan, sebutkan nilainya dan jenisnya!
8. Diketahui Q₁ = 40 dan Q₃ = 70. Tentukan nilai minimum dan maksimum data agar data tersebut bukan pencilan!
9. Data suhu harian (°C): 25, 26, 27, 27, 28, 28, 29, 30, 30, 31, 32, 33, 38. Tentukan apakah suhu 38°C merupakan pencilan!
10. Data: 5, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 50. Tentukan persentase data yang termasuk pencilan!
📕 Latihan Sulit (11-15)
11. Diketahui Q₁ = 2a dan Q₃ = 5a. Jika PDB = −4, tentukan nilai a dan semua pagar!
12. Data: 3, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 24, 25, 27, 30, 45, 70, 120. Klasifikasikan setiap pencilan dan hitung persentase data normal!
13. Data memiliki Q₁ = 50 dan Q₃ = 80. Tentukan rentang nilai x agar x termasuk: (a) data normal, (b) pencilan ringan bawah, (c) pencilan berat atas!
14. Data: 10, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 35. Jika ditambahkan satu data baru k, tentukan rentang nilai k agar k menjadi pencilan berat atas (asumsi Q₁ dan Q₃ tidak berubah signifikan)!
15. Suatu data memiliki PDB = −5, PDA = 65, PLB = −40, dan PLA = 100. Tentukan nilai Q₁, Q₃, dan IQR dari data tersebut!
F. Ringkasan Materi
| Pagar | Rumus Bawah | Rumus Atas |
|---|---|---|
| Pagar Dalam | Q₁ − 1,5 × IQR | Q₃ + 1,5 × IQR |
| Pagar Luar | Q₁ − 3 × IQR | Q₃ + 3 × IQR |
Ingat:
- Data di luar Pagar Dalam → Pencilan Ringan
- Data di luar Pagar Luar → Pencilan Berat
- IQR = Q₃ − Q₁