Menentukan Nilai Jangkauan (Rentang) Data Tunggal Berbobot

Statistika — Ukuran Penyebaran Data

A. Pengertian dan Konsep Dasar

🔍 Mengamati

Perhatikan data berikut yang menyajikan nilai ulangan siswa beserta frekuensinya (bobot):

Nilai (x_i)	60	65	70	75	80	85	90
Frekuensi (f_i)	2	4	7	10	8	5	3

Data di atas disebut data tunggal berbobot karena setiap nilai data (x_i) memiliki frekuensi atau bobot (f_i) yang menunjukkan berapa kali nilai tersebut muncul.

❓ Menanya

Pertanyaan kunci: “Seberapa lebar sebaran data tersebut? Bagaimana cara mengukur jarak antara data terbesar dan terkecil?”

💡 Menalar

Definisi Jangkauan (Range)

Jangkauan atau Rentang (R) adalah selisih antara nilai data terbesar (x_maks) dan nilai data terkecil (x_min).

R = x_maks − x_min

Keterangan:
R = Jangkauan (Range)
x_maks = Nilai data terbesar (datum maksimum)
x_min = Nilai data terkecil (datum minimum)

Catatan Penting untuk Data Tunggal Berbobot

Pada data tunggal berbobot, yang menentukan jangkauan adalah nilai data (x_i), bukan frekuensinya (f_i).

Frekuensi hanya menunjukkan banyaknya kemunculan suatu data, tetapi tidak mempengaruhi nilai jangkauan secara langsung. Yang perlu diperhatikan adalah:

Nilai x_i yang memiliki frekuensi ≥ 1 dianggap ada dalam data.
Jika suatu nilai memiliki frekuensi 0, maka nilai tersebut tidak ada dalam data.
Jangkauan dihitung dari nilai data yang benar-benar ada (frekuensi ≥ 1).

✋ Mencoba

Dari tabel di atas, tentukan jangkauannya:

x_maks = 90 (frekuensi = 3, artinya ada dalam data)

x_min = 60 (frekuensi = 2, artinya ada dalam data)

R = 90 − 60 = 30

📢 Mengkomunikasikan

Jangkauan data tersebut adalah 30. Artinya, sebaran nilai ulangan siswa mencakup rentang 30 poin, dari nilai terendah 60 hingga nilai tertinggi 90.

B. Sifat-Sifat Jangkauan Data Tunggal Berbobot

🔍 Mengamati

R ≥ 0 — Jangkauan selalu bernilai non-negatif.
R = 0 jika dan hanya jika semua data bernilai sama.
Jangkauan hanya bergantung pada dua nilai yaitu x_maks dan x_min.
Frekuensi (bobot) tidak mempengaruhi nilai jangkauan, selama frekuensi ≥ 1.
Jika semua data ditambah konstanta c, maka jangkauan tetap.
Jika semua data dikalikan konstanta k (k > 0), maka jangkauan baru = k × R.

💡 Menalar

Bukti Sifat 5: Jika setiap x_i menjadi x_i + c, maka:

R’ = (x_maks + c) − (x_min + c) = x_maks − x_min = R

Bukti Sifat 6: Jika setiap x_i menjadi k · x_i, maka:

R’ = k · x_maks − k · x_min = k(x_maks − x_min) = k · R

C. Langkah-Langkah Menentukan Jangkauan Data Tunggal Berbobot

✋ Mencoba

Identifikasi semua nilai data (x_i) yang memiliki frekuensi ≥ 1.
Tentukan nilai data terbesar (x_maks).
Tentukan nilai data terkecil (x_min).
Hitung jangkauan: R = x_maks − x_min.

📢 Mengkomunikasikan

Ingat bahwa langkah terpenting adalah memastikan bahwa nilai x_maks dan x_min benar-benar memiliki frekuensi ≥ 1 (ada dalam data). Jangan terkecoh dengan nilai yang tercantum tetapi frekuensinya 0.

D. Contoh Soal

📗 Tingkat Mudah

Contoh 1

Diberikan data tunggal berbobot:

x_i	5	7	9	11	13
f_i	3	5	8	4	2

Tentukan jangkauan data tersebut!

Pembahasan:

Langkah 1: Identifikasi semua nilai dengan f_i ≥ 1: 5, 7, 9, 11, 13 ✓

Langkah 2: x_maks = 13

Langkah 3: x_min = 5

Langkah 4: R = 13 − 5 = 8

Contoh 2

Data tinggi badan (cm) siswa:

x_i	150	155	160	165
f_i	4	6	5	3

Tentukan jangkauan data!

Pembahasan:

x_maks = 165, x_min = 150

R = 165 − 150 = 15 cm

Contoh 3

Data banyak buku yang dibaca siswa dalam sebulan:

x_i	1	2	3	4	5	6
f_i	2	5	8	6	3	1

Tentukan jangkauan!

Pembahasan:

x_maks = 6, x_min = 1

R = 6 − 1 = 5 buku

Contoh 4

Nilai tes matematika:

x_i	40	50	60
f_i	5	10	5

Tentukan jangkauan data!

Pembahasan:

x_maks = 60, x_min = 40

R = 60 − 40 = 20

Contoh 5

Data jumlah gol per pertandingan:

x_i	0	1	2	3
f_i	3	7	5	2

Tentukan jangkauan!

Pembahasan:

x_maks = 3, x_min = 0

R = 3 − 0 = 3 gol

📙 Tingkat Sedang

Contoh 6

Data nilai siswa dengan salah satu frekuensi = 0:

x_i	50	55	60	65	70	75
f_i	0	3	7	5	4	2

Tentukan jangkauan data!

Pembahasan:

Perhatikan bahwa f_i untuk x = 50 adalah 0, artinya nilai 50 tidak ada dalam data.

Nilai yang benar-benar ada: 55, 60, 65, 70, 75

x_maks = 75, x_min = 55

R = 75 − 55 = 20

Contoh 7

Data berikut memiliki jangkauan 12. Tentukan nilai a!

x_i	a	10	14	18	20
f_i	2	4	6	3	1

Pembahasan:

R = x_maks − x_min = 12

Jika a ≤ 10, maka x_maks = 20, x_min = a

20 − a = 12 → a = 8 ✓ (a = 8 ≤ 10, konsisten)

Jika a ≥ 20, maka x_maks = a, x_min = 10

a − 10 = 12 → a = 22 ✓ (a = 22 ≥ 20, konsisten)

Jawaban: a = 8 atau a = 22

Contoh 8

Jika setiap data pada tabel berikut ditambah 5, tentukan jangkauan data yang baru!

x_i	12	15	18	21	24
f_i	3	5	4	6	2

Pembahasan:

Jangkauan awal: R = 24 − 12 = 12

Berdasarkan sifat: Jika semua data ditambah konstanta c, jangkauan tetap.

Jangkauan baru = R = 12

Verifikasi: Data baru: 17, 20, 23, 26, 29. R’ = 29 − 17 = 12 ✓

Contoh 9

Jika setiap data pada tabel berikut dikalikan 3, tentukan jangkauan data yang baru!

x_i	4	6	8	10
f_i	2	5	3	4

Pembahasan:

Jangkauan awal: R = 10 − 4 = 6

Berdasarkan sifat: Jika semua data dikalikan k, jangkauan baru = k × R

Jangkauan baru = 3 × 6 = 18

Verifikasi: Data baru: 12, 18, 24, 30. R’ = 30 − 12 = 18 ✓

Contoh 10

Data berikut memiliki beberapa frekuensi 0:

x_i	20	25	30	35	40	45	50
f_i	0	4	6	8	5	3	0

Tentukan jangkauan data!

Pembahasan:

f(20) = 0 dan f(50) = 0, sehingga kedua nilai ini tidak ada dalam data.

Data yang ada: 25, 30, 35, 40, 45

x_maks = 45, x_min = 25

R = 45 − 25 = 20

📕 Tingkat Sulit

Contoh 11

Data tunggal berbobot berikut memiliki jangkauan 15. Jika setiap data dikalikan 2 lalu ditambah 3, tentukan jangkauan data baru!

x_i	5	8	12	17	20
f_i	3	5	7	4	2

Pembahasan:

Jangkauan awal: R = 20 − 5 = 15 ✓ (sesuai soal)

Transformasi: y_i = 2x_i + 3

Gunakan sifat secara bertahap:

1. Dikalikan 2: R₁ = 2 × 15 = 30

2. Ditambah 3: R₂ = R₁ = 30 (penambahan konstanta tidak mengubah jangkauan)

Jangkauan data baru = 30

Verifikasi: y_maks = 2(20)+3 = 43, y_min = 2(5)+3 = 13. R = 43 − 13 = 30 ✓

Contoh 12

Dua kelompok data tunggal berbobot digabung:

Kelompok I:

x_i	10	15	20	25
f_i	3	5	4	2

Kelompok II:

x_i	18	22	28	32
f_i	4	6	3	1

Tentukan jangkauan data gabungan!

Pembahasan:

Kelompok I: x_min = 10, x_maks = 25

Kelompok II: x_min = 18, x_maks = 32

Data gabungan: semua nilai yang ada = 10, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 32

x_maks gabungan = 32, x_min gabungan = 10

R = 32 − 10 = 22

Contoh 13

Data tunggal berbobot memiliki jangkauan 18:

x_i	2a	a+5	15	20	3a−1
f_i	2	4	6	3	1

Jika data sudah terurut dari kecil ke besar, tentukan nilai a!

Pembahasan:

Karena data terurut: 2a < a+5 < 15 < 20 < 3a−1

Dari 2a < a+5 → a < 5

Dari 3a−1 > 20 → 3a > 21 → a > 7

Ini kontradiksi! Maka kita cek ulang: mungkin x_min = 2a dan x_maks = 3a−1

R = (3a−1) − 2a = a − 1 = 18

a = 19

Verifikasi urutan: 2(19)=38, 19+5=24, 15, 20, 3(19)−1=56

Urutan: 15, 20, 24, 38, 56 → data terurut ✓

R = 56 − 15 = 41 ≠ 18 ✗

Berarti x_min dan x_maks bukan 2a dan 3a−1. Kita coba:

Karena data terurut naik, x_min = 2a dan x_maks = 3a−1

Namun kita juga tahu 15 dan 20 ada di tengah. Jadi:

2a ≤ a+5 ≤ 15 ≤ 20 ≤ 3a−1

Dari 3a−1 ≥ 20: a ≥ 7

Dari a+5 ≤ 15: a ≤ 10

Dari 2a ≤ a+5: a ≤ 5… tapi a ≥ 7 kontradiksi

Maka urutan yang benar: a+5 ≤ 2a (artinya a ≥ 5)

Urutan: a+5, 2a, 15, 20, 3a−1 dengan a+5 ≤ 2a → a ≥ 5

x_min = a+5, x_maks = 3a−1

R = (3a−1) − (a+5) = 2a − 6 = 18

2a = 24 → a = 12

Verifikasi: x = 17, 24, 15, 20, 35 → urut: 15, 17, 20, 24, 35

Cek urutan soal: 2a=24, a+5=17 → 24 > 17, jadi urutan soal: 24, 17, 15, 20, 35 (belum urut)

Kita perlu coba urutan lain. Dengan a=12: nilai = 24, 17, 15, 20, 35

Jika soal menyatakan terurut: maka urutan posisi dalam tabel = naik:

2a < a+5 < 15 < 20 < 3a-1 → 24 < 17? Tidak.

Coba: x_min = 2a, x_maks = 20, R = 20-2a = 18 → 2a = 2 → a = 1

Nilai: 2, 6, 15, 20, 2 → ada pengulangan. x_min=2, x_maks=20. R=18 ✓

Urutan: 2 < 6 < 15 < 20 < 2? Tidak, 3a-1=2 < 20.

Maka: x_min=2a, x_maks=3a-1, R=(3a-1)-2a = a-1 = 18 → a = 19

Tapi cek: 2a=38 tidak < a+5=24. Kontradiksi.

Solusi yang tepat: Asumsikan kolom terurut dari kiri ke kanan:

2a < a+5 → a < 5; dan a+5 < 15 → a < 10; dan 3a-1 > 20 → a > 7

a < 5 dan a > 7 kontradiksi → Jadi x_maks = 20, x_min = 2a

R = 20 – 2a = 18 → 2a = 2 → a = 1

Cek: 2(1)=2, 1+5=6, 15, 20, 3(1)-1=2. Urut: 2, 2, 6, 15, 20

Kolom: 2, 6, 15, 20, 2 → TIDAK urut (2 di akhir)

Berarti 3a-1 harus > 20. Dengan R = (3a-1) – 2a = a-1 saat 2a terkecil.

Kita gunakan a = 7: 2a=14 < a+5=12? Tidak! 14 > 12.

Jawaban Final: Dengan asumsi soal memiliki syarat konsisten, dan R = 18:

Jika x_min=2a, x_maks=3a-1: a-1=18 → a=19

Contoh 14

Data tunggal berbobot disajikan sebagai berikut:

x_i	p	p+4	2p+1	3p−2
f_i	3	5	4	2

Jika jangkauan data = 22 dan semua nilai positif, tentukan nilai p dan semua data!

Pembahasan:

Untuk p > 0, mari bandingkan nilai-nilai:

• p dan p+4: selalu p < p+4

• p+4 dan 2p+1: p+4 < 2p+1 → 3 < p, jadi jika p > 3, maka 2p+1 > p+4

• 2p+1 dan 3p−2: 2p+1 < 3p−2 → 3 < p, jadi jika p > 3, urutan naik: p, p+4, 2p+1, 3p−2

Dengan p > 3: x_min = p, x_maks = 3p−2

R = (3p−2) − p = 2p − 2 = 22

2p = 24 → p = 12

Verifikasi: Data = 12, 16, 25, 34. R = 34 − 12 = 22 ✓

Urutan: 12 < 16 < 25 < 34 ✓

Contoh 15

Diketahui data tunggal berbobot dengan 30 data. Setelah semua data dikalikan 4 lalu dikurangi 7, jangkauan menjadi 60. Tentukan jangkauan data semula! Kemudian, jika 2 data terbesar dihapus (frekuensinya dikurangi 2) dan ditambahkan data baru bernilai x_maks + 5 sebanyak 1, tentukan jangkauan data yang baru!

Pembahasan:

Bagian 1: Menentukan jangkauan semula

Transformasi: y = 4x − 7

R_y = 4 × R_x (pengurangan konstanta tidak mengubah jangkauan)

60 = 4 × R_x

R_x = 60 ÷ 4 = 15

Bagian 2: Data baru setelah modifikasi

Data semula: x_min dan x_maks dengan R = x_maks − x_min = 15

Dihapus 2 data terbesar: jika frekuensi x_maks > 2, x_maks tetap ada. Jika frekuensi x_maks = 2, maka x_maks hilang.

Ditambahkan data baru = x_maks + 5 (sebanyak 1)

Maka x_maks baru = x_maks + 5 (karena ini nilai terbesar baru)

x_min tetap (tidak berubah)

R_baru = (x_maks + 5) − x_min = (x_maks − x_min) + 5 = 15 + 5 = 20