Menentukan Nilai Jangkauan Antar Kuartil (Hamparan) Data Tunggal
Statistika — Ukuran Penyebaran Data
📘 Materi
A. Pengertian Jangkauan Antar Kuartil (Hamparan)
Jangkauan Antar Kuartil (Interquartile Range / IQR), sering disebut juga Hamparan (H), adalah selisih antara kuartil atas (Q3) dan kuartil bawah (Q1).
Hamparan mengukur sebaran 50% data tengah, sehingga tidak terpengaruh oleh nilai ekstrem (outlier).
H = Q3 − Q1
Keterangan:
• H = Hamparan (Jangkauan Antar Kuartil / IQR)
• Q1 = Kuartil Bawah (25% data terbawah)
• Q3 = Kuartil Atas (75% data terbawah)
B. Langkah-Langkah Menentukan Hamparan
- Urutkan data dari nilai terkecil ke terbesar.
- Tentukan Median (Q2) — nilai tengah seluruh data.
- Tentukan Q1 — median dari data yang berada di bawah (sebelah kiri) Q2.
- Tentukan Q3 — median dari data yang berada di atas (sebelah kanan) Q2.
- Hitung H = Q3 − Q1.
C. Cara Menentukan Letak Kuartil pada Data Tunggal
Jika banyaknya data = n, maka:
Letak Q2 = data ke-2(n+1)⁄4 = data ke-(n+1)⁄2
Letak Q3 = data ke-3(n+1)⁄4
Jika letak kuartil bukan bilangan bulat, maka nilainya ditentukan dengan interpolasi linear (rata-rata dua data yang mengapitnya).
D. Ilustrasi Diagram Kotak (Box Plot)
Min Q₁ Q₂ Q₃ Max
│─────────┤══════════╪══════════├─────────│
├──── H = Q₃ − Q₁ ────┤
│ (Hamparan/IQR) │
Keterangan: Bagian kotak (═══) berisi 50% data tengah. H adalah panjang kotak.
🔬 Kegiatan Pembelajaran Saintifik
1. Mengamati
Perhatikan data nilai ulangan Matematika 11 siswa berikut:
45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95
Amati bahwa data sudah terurut. Banyak data n = 11.
| Posisi | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nilai | 45 | 50 | 55 | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 |
2. Menanya
Dari pengamatan di atas, timbul pertanyaan:
- Berapa nilai Q1, Q2, dan Q3 dari data tersebut?
- Berapa nilai Hamparan (H)?
- Apa makna Hamparan terhadap penyebaran data?
3. Menalar
Karena n = 11 (ganjil):
4. Mencoba
Coba tentukan Hamparan dari data berikut:
12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30
(n = 8, data genap — gunakan interpolasi)
Lihat Penyelesaian
n = 8, data sudah terurut.
Letak Q1 = data ke-(8+1)⁄4 = data ke-2,25
Q1 = data ke-2 + 0,25 × (data ke-3 − data ke-2) = 15 + 0,25 × (18 − 15) = 15 + 0,75 = 15,75
Letak Q3 = data ke-3(8+1)⁄4 = data ke-6,75
Q3 = data ke-6 + 0,75 × (data ke-7 − data ke-6) = 25 + 0,75 × (28 − 25) = 25 + 2,25 = 27,25
H = 27,25 − 15,75 = 11,5
5. Mengkomunikasikan
Kesimpulan:
- Hamparan (H) = Q3 − Q1 mengukur lebar 50% data tengah.
- Semakin besar H, semakin tersebar data tengah.
- Semakin kecil H, semakin mengumpul data tengah.
- Hamparan tidak terpengaruh oleh nilai ekstrem, sehingga lebih stabil daripada jangkauan (range).
E. Catatan Penting
⚠️ Perbedaan untuk n ganjil dan n genap:
| Kondisi | Cara Menentukan Q1 dan Q3 |
|---|---|
| n ganjil | Median membagi data menjadi dua bagian sama (tanpa memasukkan median). Q1 = median bagian bawah, Q3 = median bagian atas. |
| n genap | Data dibagi dua bagian sama. Q1 = median separuh bawah, Q3 = median separuh atas. |
| Letak pecahan | Gunakan interpolasi: jika letak = a + 0,k maka nilai = data ke-a + 0,k × (data ke-(a+1) − data ke-a) |
✅ Contoh Soal dan Pembahasan
Tingkat Mudah
Contoh 1. Tentukan Hamparan dari data: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
Pembahasan
n = 7 (ganjil), data sudah terurut.
Q2 = data ke-4 = 9
Bagian bawah: 3, 5, 7 → Q1 = 5
Bagian atas: 11, 13, 15 → Q3 = 13
H = 13 − 5 = 8
Contoh 2. Tentukan Hamparan dari data: 10, 20, 30, 40, 50
Pembahasan
n = 5, Q2 = data ke-3 = 30
Bagian bawah: 10, 20 → Q1 = (10+20)/2 = 15
Bagian atas: 40, 50 → Q3 = (40+50)/2 = 45
H = 45 − 15 = 30
Contoh 3. Tentukan Hamparan dari data: 2, 4, 6, 8, 10, 12
Pembahasan
n = 6 (genap). Bagi menjadi dua bagian:
Bagian bawah: 2, 4, 6 → Q1 = 4
Bagian atas: 8, 10, 12 → Q3 = 10
H = 10 − 4 = 6
Contoh 4. Tentukan Hamparan dari data: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26
Pembahasan
n = 8 (genap). Bagi menjadi dua bagian masing-masing 4 data:
Bagian bawah: 5, 8, 11, 14 → Q1 = (8+11)/2 = 9,5
Bagian atas: 17, 20, 23, 26 → Q3 = (20+23)/2 = 21,5
H = 21,5 − 9,5 = 12
Contoh 5. Tentukan Hamparan dari data: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
Pembahasan
n = 9 (ganjil). Q2 = data ke-5 = 9
Bagian bawah: 1, 3, 5, 7 → Q1 = (3+5)/2 = 4
Bagian atas: 11, 13, 15, 17 → Q3 = (13+15)/2 = 14
H = 14 − 4 = 10
Tingkat Sedang
Contoh 6. Data berat badan (kg) 10 siswa: 45, 48, 50, 52, 55, 58, 60, 63, 67, 72. Tentukan Hamparan!
Pembahasan
n = 10 (genap). Bagi menjadi 2 × 5 data:
Bagian bawah: 45, 48, 50, 52, 55 → Q1 = data ke-3 = 50
Bagian atas: 58, 60, 63, 67, 72 → Q3 = data ke-3 = 63
H = 63 − 50 = 13 kg
Contoh 7. Data nilai: 62, 75, 58, 90, 84, 71, 68, 77, 80, 65, 88. Tentukan Hamparan!
Pembahasan
Urutkan: 58, 62, 65, 68, 71, 75, 77, 80, 84, 88, 90
n = 11. Q2 = data ke-6 = 75
Bagian bawah: 58, 62, 65, 68, 71 → Q1 = 65
Bagian atas: 77, 80, 84, 88, 90 → Q3 = 84
H = 84 − 65 = 19
Contoh 8. Data: 14, 17, 20, 23, 25, 28, 30, 33, 36, 40, 42, 45. Tentukan Hamparan!
Pembahasan
n = 12 (genap). Bagi menjadi 2 × 6 data:
Bagian bawah: 14, 17, 20, 23, 25, 28 → Q1 = (20+23)/2 = 21,5
Bagian atas: 30, 33, 36, 40, 42, 45 → Q3 = (36+40)/2 = 38
H = 38 − 21,5 = 16,5
Contoh 9. Diketahui Hamparan suatu data adalah 12. Jika Q1 = 35, tentukan Q3!
Pembahasan
H = Q3 − Q1
12 = Q3 − 35
Q3 = 35 + 12 = 47
Contoh 10. Data tinggi tanaman (cm): 8, 12, 15, 10, 18, 22, 14, 20, 16, 11, 19, 13, 17. Tentukan Hamparan!
Pembahasan
Urutkan: 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22
n = 13. Q2 = data ke-7 = 15
Bagian bawah: 8, 10, 11, 12, 13, 14 → Q1 = (11+12)/2 = 11,5
Bagian atas: 16, 17, 18, 19, 20, 22 → Q3 = (18+19)/2 = 18,5
H = 18,5 − 11,5 = 7 cm
Tingkat Sulit
Contoh 11. Data: 3, 5, 7, x, 12, 15, 18, 20. Jika Hamparan data tersebut adalah 12, tentukan nilai x!
Pembahasan
n = 8 (genap). Data sudah terurut (asumsikan 7 ≤ x ≤ 12).
Bagian bawah: 3, 5, 7, x → Q1 = (5+7)/2 = 6
Bagian atas: 12, 15, 18, 20 → Q3 = (15+18)/2 = 16,5
H = 16,5 − 6 = 10,5 ≠ 12
Coba asumsi x ≤ 5 (misal x = 4): Urut: 3, 4, 5, 7, 12, 15, 18, 20
Bagian bawah: 3, 4, 5, 7 → Q1 = (4+5)/2 = 4,5
Q3 = (15+18)/2 = 16,5
H = 16,5 − 4,5 = 12 ✓
Nilai x = 4
Contoh 12. Data A: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40. Data B: 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32. Bandingkan Hamparan kedua data dan jelaskan maknanya!
Pembahasan
Data A (n=7): Q1 = 15, Q3 = 35 → HA = 35 − 15 = 20
Data B (n=7): Q1 = 22, Q3 = 30 → HB = 30 − 22 = 8
Makna: HA > HB, artinya 50% data tengah pada Data A lebih tersebar dibanding Data B. Data B lebih homogen/merata di bagian tengahnya.
Contoh 13. Nilai ulangan 15 siswa: 40, 45, 50, 55, 58, 60, 63, 65, 68, 70, 73, 78, 82, 88, 95. Tentukan Hamparan dan identifikasi apakah ada outlier menggunakan aturan 1,5 × IQR!
Pembahasan
n = 15 (ganjil). Q2 = data ke-8 = 65
Bagian bawah (7 data): 40, 45, 50, 55, 58, 60, 63 → Q1 = data ke-4 = 55
Bagian atas (7 data): 68, 70, 73, 78, 82, 88, 95 → Q3 = data ke-4 = 78
H = 78 − 55 = 23
Deteksi outlier:
Batas bawah = Q1 − 1,5 × H = 55 − 34,5 = 20,5
Batas atas = Q3 + 1,5 × H = 78 + 34,5 = 112,5
Semua data berada dalam rentang [20,5 ; 112,5] → Tidak ada outlier.
Contoh 14. Data: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 100. Tentukan Hamparan dan bandingkan dengan Jangkauan. Apa kesimpulannya?
Pembahasan
n = 11. Q2 = data ke-6 = 17
Bagian bawah: 2, 5, 8, 11, 14 → Q1 = 8
Bagian atas: 20, 23, 26, 29, 100 → Q3 = 26
H = 26 − 8 = 18
Jangkauan = 100 − 2 = 98
Kesimpulan: Jangkauan (98) sangat besar karena terpengaruh outlier (100). Hamparan (18) lebih kecil dan stabil karena hanya mengukur 50% data tengah tanpa dipengaruhi nilai ekstrem.
Contoh 15. Data gaji (juta): 3, 3,5, 4, 4,5, 5, 5,5, 6, 7, 8, 10, 15, 25. Tentukan Hamparan, lalu tentukan batas outlier dan identifikasi outlier-nya!
Pembahasan
n = 12 (genap). Bagi menjadi 2 × 6:
Bagian bawah: 3, 3,5, 4, 4,5, 5, 5,5 → Q1 = (4+4,5)/2 = 4,25
Bagian atas: 6, 7, 8, 10, 15, 25 → Q3 = (8+10)/2 = 9
H = 9 − 4,25 = 4,75
1,5 × H = 7,125
Batas bawah = 4,25 − 7,125 = −2,875 (tidak ada data negatif)
Batas atas = 9 + 7,125 = 16,125
Data > 16,125: 25
Outlier: 25 juta (gaji yang jauh di atas rata-rata)
📝 Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan langkah-langkah yang telah dipelajari.
Tingkat Mudah
1. Tentukan Hamparan dari data: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22
2. Tentukan Hamparan dari data: 20, 25, 30, 35, 40, 45
3. Tentukan Hamparan dari data: 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30
4. Data: 100, 110, 120, 130, 140. Tentukan H!
5. Data: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. Tentukan H!
Tingkat Sedang
6. Data nilai ujian: 72, 65, 80, 58, 90, 76, 84, 68, 77, 62, 88. Tentukan Hamparan!
7. Data waktu tempuh (menit): 15, 22, 18, 30, 25, 12, 28, 35, 20, 17, 32, 24. Tentukan Hamparan!
8. Diketahui Q3 = 56 dan H = 18. Tentukan Q1!
9. Data suhu harian (°C): 28, 30, 27, 31, 29, 33, 26, 32, 34, 28, 30, 35, 27. Tentukan Hamparan!
10. Data banyak pengunjung (orang): 120, 135, 110, 145, 128, 152, 118, 140, 130, 125. Tentukan Hamparan!
Tingkat Sulit
11. Data: 5, 8, 12, 15, x, 22, 26, 30, 35. Jika Hamparan = 18, tentukan nilai x!
12. Data A: 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80 dan Data B: 10, 30, 50, 65, 80, 90, 100. Bandingkan Hamparan keduanya dan jelaskan maknanya terhadap penyebaran data!
13. Data: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 50. Tentukan Hamparan dan identifikasi outlier menggunakan aturan 1,5 × IQR!
14. Nilai 20 siswa: 45, 50, 52, 55, 58, 60, 62, 64, 65, 67, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 85, 90, 95. Tentukan Hamparan dan batas outlier!
15. Dua kelas memiliki data nilai sebagai berikut:
Kelas X: 55, 60, 62, 65, 68, 70, 72, 75, 78, 80, 85
Kelas Y: 40, 55, 60, 65, 70, 70, 75, 80, 85, 90, 98
Tentukan Hamparan masing-masing kelas dan jelaskan kelas mana yang memiliki data lebih homogen di bagian tengahnya!