Menentukan Nilai Jangkauan Antar Kuartil (Hamparan) Data Tunggal Berbobot
Panduan Lengkap: Materi, Contoh Soal & Latihan
MATERI
A. Pengertian Data Tunggal Berbobot
Data tunggal berbobot adalah data yang setiap nilainya memiliki frekuensi (bobot) tertentu, artinya suatu nilai data dapat muncul lebih dari satu kali. Bobot menunjukkan berapa kali nilai tersebut muncul.
| Nilai Data (xi) | Frekuensi / Bobot (fi) |
|---|---|
| 5 | 3 |
| 7 | 5 |
| 9 | 2 |
Artinya: nilai 5 muncul 3 kali, nilai 7 muncul 5 kali, dan nilai 9 muncul 2 kali. Total data = 3 + 5 + 2 = 10.
Kegiatan: MENGAMATI
Perhatikan tabel data berikut:
| xi | fi |
|---|---|
| 60 | 2 |
| 65 | 4 |
| 70 | 6 |
| 75 | 5 |
| 80 | 3 |
Amati: Data sudah diurutkan dari terkecil ke terbesar. Total data n = 2 + 4 + 6 + 5 + 3 = 20. Setiap nilai muncul sesuai frekuensinya.
B. Kuartil pada Data Tunggal Berbobot
Kuartil membagi data terurut menjadi 4 bagian sama banyak:
- Q1 (Kuartil Bawah): membatasi 25% data terbawah
- Q2 (Median): membatasi 50% data (nilai tengah)
- Q3 (Kuartil Atas): membatasi 75% data terbawah
Rumus Letak Kuartil
Letak Q1 = data ke-14(n + 1)
Letak Q2 = data ke-12(n + 1)
Letak Q3 = data ke-34(n + 1)
di mana n = jumlah total seluruh data = Σfi
Langkah Menentukan Kuartil pada Data Berbobot:
- Urutkan data dari nilai terkecil ke terbesar (biasanya sudah terurut).
- Hitung total frekuensi: n = Σfi
- Buat frekuensi kumulatif (fk): jumlahkan frekuensi secara berurutan dari atas.
- Tentukan letak Q1, Q2, Q3 menggunakan rumus di atas.
- Cari nilai kuartil berdasarkan letak pada frekuensi kumulatif. Jika letak jatuh di antara dua data, lakukan interpolasi.
Kegiatan: MENANYA
Pertanyaan kritis yang perlu diajukan:
- Bagaimana jika letak kuartil jatuh tepat pada suatu data? → Nilainya langsung diambil.
- Bagaimana jika letak kuartil jatuh di antara dua data? → Lakukan interpolasi linear.
- Apakah data harus diurutkan terlebih dahulu? → Ya, wajib.
- Apa perbedaan kuartil data tunggal biasa dan berbobot? → Pada data berbobot, kita menggunakan frekuensi kumulatif untuk menemukan letak.
C. Jangkauan Antar Kuartil (Hamparan / IQR)
Jangkauan Antar Kuartil (Interquartile Range / IQR), juga disebut Hamparan, mengukur sebaran data pada 50% bagian tengah.
Rumus Jangkauan Antar Kuartil (Hamparan)
IQR = H = Q3 − Q1
IQR = Interquartile Range, H = Hamparan
Catatan Penting:
- IQR selalu bernilai ≥ 0 (tidak negatif)
- IQR kecil → data 50% tengah mengumpul (tidak tersebar jauh)
- IQR besar → data 50% tengah menyebar luas
- IQR tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem (outlier), sehingga lebih robust dibanding jangkauan biasa
Kegiatan: MENALAR
Perhatikan dua kelompok data berikut:
| Kelompok | Q1 | Q3 | IQR |
|---|---|---|---|
| A | 60 | 80 | 80 − 60 = 20 |
| B | 68 | 74 | 74 − 68 = 6 |
Kesimpulan: Kelompok B memiliki IQR lebih kecil, artinya 50% data tengahnya lebih seragam (mengumpul). Kelompok A lebih tersebar.
D. Prosedur Lengkap Menentukan IQR Data Tunggal Berbobot
Langkah Sistematis:
- Pastikan data terurut dari kecil ke besar.
- Hitung n = Σfi (total frekuensi).
- Buat kolom frekuensi kumulatif (fk).
- Hitung letak kuartil:
- Letak Q1 = 14(n+1)
- Letak Q3 = 34(n+1)
- Tentukan nilai Q1 dan Q3 dari frekuensi kumulatif:
- Jika letak = bilangan bulat → ambil langsung nilai data ke-letak.
- Jika letak = pecahan (misal 5,25) → interpolasi antara data ke-5 dan ke-6:
Q = data ke-5 + 0,25 × (data ke-6 − data ke-5)
- Hitung IQR = Q3 − Q1
Kegiatan: MENCOBA
Cobalah tentukan IQR dari data berikut:
| xi | fi |
|---|---|
| 10 | 3 |
| 20 | 5 |
| 30 | 4 |
| 40 | 3 |
Ikuti langkah: hitung n, buat fk, tentukan letak Q1 dan Q3, lalu hitung IQR. (Jawaban akan dibahas di contoh soal)
Kegiatan: MENGKOMUNIKASIKAN
Setelah menyelesaikan perhitungan di atas, komunikasikan hasilmu dengan format berikut:
- “Dari data tersebut, total data (n) = …”
- “Letak Q1 ada pada data ke-… dan nilainya = …”
- “Letak Q3 ada pada data ke-… dan nilainya = …”
- “Jadi, Jangkauan Antar Kuartil (Hamparan) = Q3 − Q1 = …”
- “Artinya, 50% data bagian tengah tersebar dalam rentang …”
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
🟢 Contoh Soal Mudah (1–5)
Contoh 1
Diketahui data tunggal berbobot:
| xi | fi |
|---|---|
| 4 | 2 |
| 6 | 3 |
| 8 | 4 |
| 10 | 1 |
Tentukan Jangkauan Antar Kuartil (Hamparan)!
Langkah 1: Hitung n = 2 + 3 + 4 + 1 = 10
Langkah 2: Frekuensi kumulatif:
| xi | fi | fk |
|---|---|---|
| 4 | 2 | 2 |
| 6 | 3 | 5 |
| 8 | 4 | 9 |
| 10 | 1 | 10 |
Langkah 3: Letak Q1 = ¼(10+1) = 2,75 → data ke-2,75
Data ke-2 = 4 (fk=2), data ke-3 = 6 (fk=5)
Q1 = 4 + 0,75 × (6 − 4) = 4 + 1,5 = 5,5
Langkah 4: Letak Q3 = ¾(10+1) = 8,25 → data ke-8,25
Data ke-8 = 8 (fk=9), data ke-9 = 8 (fk=9)
Q3 = 8 + 0,25 × (8 − 8) = 8
Langkah 5: IQR = Q3 − Q1 = 8 − 5,5 = 2,5
Jadi, Hamparan (IQR) = 2,5
Contoh 2
Data:
| xi | fi |
|---|---|
| 5 | 4 |
| 10 | 6 |
| 15 | 2 |
Tentukan IQR!
n = 4 + 6 + 2 = 12
| xi | fi | fk |
|---|---|---|
| 5 | 4 | 4 |
| 10 | 6 | 10 |
| 15 | 2 | 12 |
Letak Q1 = ¼(13) = 3,25 → data ke-3,25
Data ke-3 = 5, data ke-4 = 5 (keduanya di fk=4)
Q1 = 5 + 0,25(5−5) = 5
Letak Q3 = ¾(13) = 9,75 → data ke-9,75
Data ke-9 = 10, data ke-10 = 10 (keduanya di fk=10)
Q3 = 10 + 0,75(10−10) = 10
IQR = 10 − 5 = 5
Contoh 3
| xi | fi |
|---|---|
| 3 | 5 |
| 7 | 5 |
Tentukan IQR!
n = 10. fk: 3→5, 7→10
Letak Q1 = ¼(11) = 2,75 → data ke-2,75 → dalam fk=5 → nilai 3
Q1 = 3
Letak Q3 = ¾(11) = 8,25 → data ke-8,25 → dalam fk=10 → nilai 7
Q3 = 7
IQR = 7 − 3 = 4
Contoh 4
| xi | fi |
|---|---|
| 12 | 3 |
| 14 | 4 |
| 16 | 5 |
| 18 | 3 |
| 20 | 1 |
Tentukan Hamparan!
n = 3+4+5+3+1 = 16
| xi | fi | fk |
|---|---|---|
| 12 | 3 | 3 |
| 14 | 4 | 7 |
| 16 | 5 | 12 |
| 18 | 3 | 15 |
| 20 | 1 | 16 |
Letak Q1 = ¼(17) = 4,25 → data ke-4 = 14, data ke-5 = 14
Q1 = 14 + 0,25(14−14) = 14
Letak Q3 = ¾(17) = 12,75 → data ke-12 = 16, data ke-13 = 18
Q3 = 16 + 0,75(18−16) = 16 + 1,5 = 17,5
IQR = 17,5 − 14 = 3,5
Contoh 5
| xi | fi |
|---|---|
| 50 | 2 |
| 60 | 6 |
| 70 | 4 |
Tentukan IQR!
n = 12. fk: 50→2, 60→8, 70→12
Letak Q1 = ¼(13) = 3,25 → data ke-3 = 60, data ke-4 = 60
Q1 = 60
Letak Q3 = ¾(13) = 9,75 → data ke-9 = 70, data ke-10 = 70
Q3 = 70
IQR = 70 − 60 = 10
🟡 Contoh Soal Sedang (6–10)
Contoh 6
| xi | fi |
|---|---|
| 25 | 3 |
| 30 | 7 |
| 35 | 8 |
| 40 | 5 |
| 45 | 2 |
Tentukan IQR!
n = 3+7+8+5+2 = 25
| xi | fi | fk |
|---|---|---|
| 25 | 3 | 3 |
| 30 | 7 | 10 |
| 35 | 8 | 18 |
| 40 | 5 | 23 |
| 45 | 2 | 25 |
Letak Q1 = ¼(26) = 6,5 → data ke-6 dan ke-7 keduanya = 30 (fk=10)
Q1 = 30 + 0,5(30−30) = 30
Letak Q3 = ¾(26) = 19,5 → data ke-19 = 40, data ke-20 = 40 (fk=23)
Q3 = 40 + 0,5(40−40) = 40
IQR = 40 − 30 = 10
Contoh 7
| xi | fi |
|---|---|
| 2 | 4 |
| 5 | 6 |
| 8 | 3 |
| 11 | 5 |
| 14 | 2 |
Tentukan IQR!
n = 20. fk: 2→4, 5→10, 8→13, 11→18, 14→20
Letak Q1 = ¼(21) = 5,25 → data ke-5 = 5, data ke-6 = 5
Q1 = 5 + 0,25(5−5) = 5
Letak Q3 = ¾(21) = 15,75 → data ke-15 = 11, data ke-16 = 11
Q3 = 11 + 0,75(11−11) = 11
IQR = 11 − 5 = 6
Contoh 8
| xi | fi |
|---|---|
| 100 | 1 |
| 110 | 3 |
| 120 | 5 |
| 130 | 4 |
| 140 | 2 |
| 150 | 1 |
Tentukan IQR!
n = 16. fk: 100→1, 110→4, 120→9, 130→13, 140→15, 150→16
Letak Q1 = ¼(17) = 4,25 → data ke-4 = 110, data ke-5 = 120
Q1 = 110 + 0,25(120−110) = 110 + 2,5 = 112,5
Letak Q3 = ¾(17) = 12,75 → data ke-12 = 130, data ke-13 = 130
Q3 = 130 + 0,75(130−130) = 130
IQR = 130 − 112,5 = 17,5
Contoh 9
| xi | fi |
|---|---|
| 15 | 2 |
| 20 | 5 |
| 25 | 7 |
| 30 | 4 |
| 35 | 3 |
| 40 | 1 |
Tentukan Hamparan!
n = 22. fk: 15→2, 20→7, 25→14, 30→18, 35→21, 40→22
Letak Q1 = ¼(23) = 5,75 → data ke-5 = 20, data ke-6 = 20
Q1 = 20 + 0,75(20−20) = 20
Letak Q3 = ¾(23) = 17,25 → data ke-17 = 30, data ke-18 = 30
Q3 = 30 + 0,25(30−30) = 30
IQR = 30 − 20 = 10
Contoh 10
| xi | fi |
|---|---|
| 42 | 3 |
| 48 | 5 |
| 54 | 6 |
| 60 | 4 |
| 66 | 2 |
Tentukan IQR!
n = 20. fk: 42→3, 48→8, 54→14, 60→18, 66→20
Letak Q1 = ¼(21) = 5,25 → data ke-5 = 48, data ke-6 = 48
Q1 = 48
Letak Q3 = ¾(21) = 15,75 → data ke-15 = 60, data ke-16 = 60
Q3 = 60
IQR = 60 − 48 = 12
🔴 Contoh Soal Sulit (11–15)
Contoh 11
Data nilai ulangan 30 siswa:
| xi | fi |
|---|---|
| 55 | 2 |
| 60 | 4 |
| 65 | 7 |
| 70 | 8 |
| 75 | 5 |
| 80 | 3 |
| 85 | 1 |
Tentukan IQR dan interpretasikan!
n = 30. fk: 55→2, 60→6, 65→13, 70→21, 75→26, 80→29, 85→30
Letak Q1 = ¼(31) = 7,75 → data ke-7 = 65, data ke-8 = 65 (fk=13)
Q1 = 65 + 0,75(65−65) = 65
Letak Q3 = ¾(31) = 23,25 → data ke-23 = 75, data ke-24 = 75 (fk=26)
Q3 = 75 + 0,25(75−75) = 75
IQR = 75 − 65 = 10
Interpretasi: 50% siswa bagian tengah memiliki selisih nilai sebesar 10 poin. Ini menunjukkan sebaran nilai yang cukup moderat pada kelompok tengah.
Contoh 12
Data berbobot dengan 7 nilai berbeda:
| xi | fi |
|---|---|
| 10 | 1 |
| 15 | 3 |
| 20 | 5 |
| 25 | 8 |
| 30 | 6 |
| 35 | 4 |
| 40 | 1 |
Hitunglah IQR! Apakah data cenderung simetris?
n = 28. fk: 10→1, 15→4, 20→9, 25→17, 30→23, 35→27, 40→28
Letak Q1 = ¼(29) = 7,25 → data ke-7 = 20, data ke-8 = 20
Q1 = 20
Letak Q2 = ½(29) = 14,5 → data ke-14 = 25, data ke-15 = 25
Q2 = 25
Letak Q3 = ¾(29) = 21,75 → data ke-21 = 30, data ke-22 = 30
Q3 = 30
IQR = 30 − 20 = 10
Simetri? Q2 − Q1 = 25 − 20 = 5; Q3 − Q2 = 30 − 25 = 5. Karena sama, maka data cenderung simetris di sekitar median.
Contoh 13
Dua kelompok data. Kelompok mana yang lebih seragam?
Kelompok A:
| xi | fi |
|---|---|
| 70 | 3 |
| 75 | 7 |
| 80 | 5 |
Kelompok B:
| xi | fi |
|---|---|
| 60 | 4 |
| 75 | 5 |
| 90 | 6 |
Kelompok A: n=15, fk: 70→3, 75→10, 80→15
Q1 = ¼(16) = 4 → data ke-4 = 75. Q1 = 75
Q3 = ¾(16) = 12 → data ke-12 = 80. Q3 = 80
IQR(A) = 80 − 75 = 5
Kelompok B: n=15, fk: 60→4, 75→9, 90→15
Q1 = ¼(16) = 4 → data ke-4 = 60. Q1 = 60
Q3 = ¾(16) = 12 → data ke-12 = 90. Q3 = 90
IQR(B) = 90 − 60 = 30
Kesimpulan: Kelompok A (IQR=5) lebih seragam dibanding Kelompok B (IQR=30).
Contoh 14
Diketahui data berbobot memiliki Q1 = 45 dan IQR = 20. Jika semua nilai data ditambah 10, tentukan Q1, Q3, dan IQR yang baru!
Awal: Q1 = 45, IQR = 20, maka Q3 = Q1 + IQR = 45 + 20 = 65
Jika semua data ditambah konstanta c = 10:
- Q1 baru = 45 + 10 = 55
- Q3 baru = 65 + 10 = 75
- IQR baru = 75 − 55 = 20
Sifat penting: Jika semua data ditambah/dikurangi konstanta, maka IQR TIDAK berubah.
Contoh 15
Diketahui data berbobot memiliki Q1 = 30 dan Q3 = 50. Jika semua data dikalikan 2, tentukan IQR baru!
IQR awal = 50 − 30 = 20
Jika semua data dikalikan k = 2:
- Q1 baru = 30 × 2 = 60
- Q3 baru = 50 × 2 = 100
- IQR baru = 100 − 60 = 40
Sifat penting: Jika semua data dikalikan konstanta k, maka IQR baru = |k| × IQR lama = 2 × 20 = 40.
LATIHAN SOAL
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan langkah-langkah yang sudah dipelajari!
🟢 Latihan Mudah
1. Tentukan IQR dari data berikut!
| xi | fi |
|---|---|
| 2 | 3 |
| 4 | 5 |
| 6 | 2 |
2. Tentukan Hamparan!
| xi | fi |
|---|---|
| 10 | 4 |
| 20 | 4 |
| 30 | 4 |
3. Tentukan IQR!
| xi | fi |
|---|---|
| 8 | 5 |
| 12 | 7 |
4. Tentukan IQR!
| xi | fi |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 3 | 6 |
| 5 | 4 |
| 7 | 3 |
5. Tentukan IQR!
| xi | fi |
|---|---|
| 90 | 3 |
| 95 | 5 |
| 100 | 2 |
🟡 Latihan Sedang
6. Tentukan IQR!
| xi | fi |
|---|---|
| 22 | 2 |
| 28 | 5 |
| 34 | 8 |
| 40 | 4 |
| 46 | 1 |
7. Tentukan IQR!
| xi | fi |
|---|---|
| 50 | 1 |
| 55 | 4 |
| 60 | 7 |
| 65 | 5 |
| 70 | 3 |
8. Tentukan IQR dan tentukan apakah data cenderung simetris!
| xi | fi |
|---|---|
| 30 | 3 |
| 40 | 6 |
| 50 | 8 |
| 60 | 6 |
| 70 | 3 |
9. Tentukan IQR!
| xi | fi |
|---|---|
| 5 | 2 |
| 10 | 3 |
| 15 | 6 |
| 20 | 7 |
| 25 | 4 |
| 30 | 2 |
10. Tentukan IQR!
| xi | fi |
|---|---|
| 75 | 3 |
| 80 | 5 |
| 85 | 9 |
| 90 | 6 |
| 95 | 2 |
🔴 Latihan Sulit
11. Data berikut merupakan nilai 35 siswa. Tentukan IQR dan berikan interpretasinya!
| xi | fi |
|---|---|
| 40 | 2 |
| 50 | 5 |
| 60 | 8 |
| 70 | 10 |
| 80 | 6 |
| 90 | 3 |
| 100 | 1 |
12. Bandingkan IQR kedua kelompok dan tentukan kelompok mana yang lebih homogen!
Kelompok P:
| xi | fi |
|---|---|
| 65 | 4 |
| 70 | 8 |
| 75 | 6 |
| 80 | 2 |
Kelompok Q:
| xi | fi |
|---|---|
| 50 | 5 |
| 65 | 4 |
| 80 | 6 |
| 95 | 5 |
13. Diketahui data berbobot memiliki Q1 = 24 dan IQR = 16. Jika setiap data dikurangi 5, tentukan Q1, Q3, dan IQR yang baru!
14. Diketahui data berbobot memiliki Q1 = 20 dan Q3 = 50. Jika setiap data dikalikan 3 kemudian ditambah 5, tentukan IQR baru!
15. Tentukan IQR dari data berikut, lalu tentukan batas bawah dan batas atas pencilan (outlier) menggunakan rumus: Batas bawah = Q1 − 1,5 × IQR dan Batas atas = Q3 + 1,5 × IQR. Adakah data yang merupakan pencilan?
| xi | fi |
|---|---|
| 10 | 1 |
| 30 | 3 |
| 35 | 8 |
| 40 | 6 |
| 45 | 4 |
| 80 | 1 |