Menentukan Nilai Desil Data Tunggal Berbobot
Materi Statistika — Ukuran Letak Data
📘 Materi: Desil Data Tunggal Berbobot
A. Pengertian Desil
Desil adalah nilai-nilai yang membagi sekumpulan data yang telah diurutkan menjadi 10 bagian yang sama besar. Terdapat 9 nilai desil, yaitu D1, D2, D3, …, D9.
B. Pengertian Data Tunggal Berbobot
Data tunggal berbobot adalah data yang disajikan dalam bentuk nilai data beserta frekuensinya (bobot). Bobot menunjukkan berapa kali suatu nilai data muncul atau seberapa penting data tersebut.
Contoh penyajian data tunggal berbobot:
| Nilai (xi) | Frekuensi/Bobot (fi) |
|---|---|
| 5 | 3 |
| 6 | 5 |
| 7 | 8 |
| 8 | 4 |
C. Rumus Desil Data Tunggal Berbobot
Langkah-langkah menentukan desil data tunggal berbobot:
- Urutkan data dari terkecil ke terbesar.
- Hitung jumlah total frekuensi: N = Σfi
- Tentukan posisi desil ke-k dengan rumus:
Posisi Dk = k × (N + 1) / 10
dengan k = 1, 2, 3, …, 9 dan N = jumlah seluruh frekuensi
- Hitung frekuensi kumulatif (Fk) untuk setiap nilai data.
- Tentukan nilai desil berdasarkan posisi yang telah dihitung. Jika posisi berupa bilangan bulat, maka desil adalah data pada posisi tersebut. Jika posisi berupa pecahan, gunakan interpolasi linier.
Interpolasi:
Dk = xp + (posisi − p) × (xp+1 − xp)
dengan p = bagian bulat dari posisi, xp = data ke-p, xp+1 = data ke-(p+1)
D. Frekuensi Kumulatif
Frekuensi kumulatif (Fk) adalah jumlah frekuensi dari data pertama sampai data ke-k. Digunakan untuk menentukan posisi data ke berapa suatu desil berada.
| Nilai (xi) | Frekuensi (fi) | Frek. Kumulatif (Fk) |
|---|---|---|
| 5 | 3 | 3 |
| 6 | 5 | 8 |
| 7 | 8 | 16 |
| 8 | 4 | 20 |
N = 3 + 5 + 8 + 4 = 20
🎯 Kegiatan Pembelajaran
1. Mengamati
Perhatikan tabel data nilai ujian berikut beserta frekuensinya:
| Nilai | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 |
|---|---|---|---|---|---|
| Frekuensi | 2 | 4 | 6 | 5 | 3 |
Amati bagaimana data tersebar dan mana nilai yang paling sering muncul. Data sudah terurut dari kecil ke besar dengan bobot (frekuensi) masing-masing.
2. Menanya
- Bagaimana cara menentukan desil ke-3 dari data berbobot tersebut?
- Apa perbedaan menentukan desil pada data tunggal biasa dan data tunggal berbobot?
- Bagaimana jika posisi desil jatuh di antara dua data?
3. Menalar
Dari data di atas, N = 2+4+6+5+3 = 20.
Posisi D3 = 3 × (20+1)/10 = 3 × 21/10 = 6,3
Artinya D3 berada antara data ke-6 dan data ke-7.
Frekuensi kumulatif:
- Nilai 60: F = 2 (data ke-1 sampai ke-2)
- Nilai 65: F = 6 (data ke-3 sampai ke-6)
- Nilai 70: F = 12 (data ke-7 sampai ke-12)
Data ke-6 = 65, Data ke-7 = 70
D3 = 65 + (6,3 − 6) × (70 − 65) = 65 + 0,3 × 5 = 65 + 1,5 = 66,5
4. Mencoba
Cobalah tentukan D5 (median) dan D7 dari data yang sama!
Posisi D5 = 5 × 21/10 = 10,5 → antara data ke-10 dan ke-11
Posisi D7 = 7 × 21/10 = 14,7 → antara data ke-14 dan ke-15
Petunjuk: Gunakan tabel frekuensi kumulatif untuk menemukan nilai pada posisi tersebut.
5. Mengkomunikasikan
Tuliskan langkah-langkah penyelesaian secara runtut:
- Sajikan data dalam tabel berbobot yang terurut.
- Hitung N (total frekuensi).
- Buat kolom frekuensi kumulatif.
- Hitung posisi desil dengan rumus k(N+1)/10.
- Tentukan nilai desil menggunakan interpolasi jika diperlukan.
- Sajikan hasilnya dengan kalimat yang jelas.
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
Tingkat Mudah
Contoh 1:
Diketahui data tunggal berbobot:
| xi | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| fi | 1 | 2 | 3 | 2 | 2 |
Tentukan D5!
▶ Lihat Pembahasan
Langkah 1: N = 1+2+3+2+2 = 10
Langkah 2: Posisi D5 = 5 × (10+1)/10 = 5,5
Langkah 3: Frekuensi kumulatif:
| xi | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| fi | 1 | 2 | 3 | 2 | 2 |
| Fk | 1 | 3 | 6 | 8 | 10 |
Langkah 4: Posisi 5,5 → antara data ke-5 dan ke-6.
Data ke-5 berada di kelompok nilai 6 (Fk = 3 sampai 6, artinya data ke-4, ke-5, ke-6 = 6)
Data ke-6 = 6
D5 = 6 + (5,5 − 5)(6 − 6) = 6 + 0 = 6
Contoh 2:
Data berbobot:
| xi | 3 | 5 | 7 | 9 |
|---|---|---|---|---|
| fi | 2 | 3 | 4 | 1 |
Tentukan D2!
▶ Lihat Pembahasan
Langkah 1: N = 2+3+4+1 = 10
Langkah 2: Posisi D2 = 2 × (10+1)/10 = 2,2
Langkah 3: Frekuensi kumulatif:
| xi | 3 | 5 | 7 | 9 |
|---|---|---|---|---|
| Fk | 2 | 5 | 9 | 10 |
Langkah 4: Posisi 2,2 → antara data ke-2 dan ke-3.
Data ke-2 = 3 (Fk pertama = 2), Data ke-3 = 5 (masuk kelompok Fk = 5)
D2 = 3 + (2,2 − 2)(5 − 3) = 3 + 0,2 × 2 = 3 + 0,4 = 3,4
Contoh 3:
Data berbobot:
| xi | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|
| fi | 2 | 3 | 5 | 4 | 1 |
Tentukan D1!
▶ Lihat Pembahasan
Langkah 1: N = 2+3+5+4+1 = 15
Langkah 2: Posisi D1 = 1 × (15+1)/10 = 1,6
Langkah 3: Frekuensi kumulatif:
| xi | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|
| Fk | 2 | 5 | 10 | 14 | 15 |
Langkah 4: Posisi 1,6 → antara data ke-1 dan ke-2. Keduanya bernilai 10.
D1 = 10 + (1,6 − 1)(10 − 10) = 10 + 0 = 10
Contoh 4:
Data berbobot:
| xi | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|
| fi | 3 | 4 | 3 |
Tentukan D9!
▶ Lihat Pembahasan
Langkah 1: N = 3+4+3 = 10
Langkah 2: Posisi D9 = 9 × (10+1)/10 = 9,9
Langkah 3: Frekuensi kumulatif:
| xi | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|
| Fk | 3 | 7 | 10 |
Langkah 4: Posisi 9,9 → antara data ke-9 dan ke-10. Keduanya = 8.
D9 = 8 + (9,9 − 9)(8 − 8) = 8
Contoh 5:
Data berbobot:
| xi | 12 | 15 | 18 | 21 |
|---|---|---|---|---|
| fi | 1 | 4 | 3 | 2 |
Tentukan D4!
▶ Lihat Pembahasan
Langkah 1: N = 1+4+3+2 = 10
Langkah 2: Posisi D4 = 4 × (10+1)/10 = 4,4
Langkah 3: Frekuensi kumulatif:
| xi | 12 | 15 | 18 | 21 |
|---|---|---|---|---|
| Fk | 1 | 5 | 8 | 10 |
Langkah 4: Posisi 4,4 → antara data ke-4 dan ke-5. Keduanya = 15.
D4 = 15 + (4,4 − 4)(15 − 15) = 15
Tingkat Sedang
Contoh 6:
Data nilai siswa:
| xi | 55 | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| fi | 2 | 5 | 8 | 10 | 7 | 3 |
Tentukan D3 dan D7!
▶ Lihat Pembahasan
N = 2+5+8+10+7+3 = 35
| xi | 55 | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Fk | 2 | 7 | 15 | 25 | 32 | 35 |
D3: Posisi = 3 × 36/10 = 10,8
Data ke-10 dan ke-11 → Fk = 7 (≤ posisi 10,8) → masuk kelompok 65 (Fk = 15)
Data ke-10 = 65, Data ke-11 = 65
D3 = 65 + (10,8 − 10)(65 − 65) = 65
D7: Posisi = 7 × 36/10 = 25,2
Data ke-25 = 70 (Fk = 25), Data ke-26 = 75
D7 = 70 + (25,2 − 25)(75 − 70) = 70 + 0,2 × 5 = 70 + 1 = 71
Contoh 7:
Data berat badan (kg):
| xi | 45 | 50 | 55 | 60 | 65 |
|---|---|---|---|---|---|
| fi | 3 | 6 | 9 | 5 | 2 |
Tentukan D6!
▶ Lihat Pembahasan
N = 3+6+9+5+2 = 25
| xi | 45 | 50 | 55 | 60 | 65 |
|---|---|---|---|---|---|
| Fk | 3 | 9 | 18 | 23 | 25 |
Posisi D6 = 6 × 26/10 = 15,6
Data ke-15 dan ke-16 → keduanya dalam kelompok 55 (Fk = 9 < 15,6 ≤ 18)
Data ke-15 = 55, Data ke-16 = 55
D6 = 55 + (15,6 − 15)(55 − 55) = 55
Contoh 8:
Data penghasilan harian (ribu rupiah):
| xi | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| fi | 1 | 3 | 5 | 7 | 4 | 2 |
Tentukan D4 dan D8!
▶ Lihat Pembahasan
N = 1+3+5+7+4+2 = 22
| xi | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Fk | 1 | 4 | 9 | 16 | 20 | 22 |
D4: Posisi = 4 × 23/10 = 9,2
Data ke-9 = 50 (Fk = 9), Data ke-10 = 60
D4 = 50 + (9,2 − 9)(60 − 50) = 50 + 0,2 × 10 = 52
D8: Posisi = 8 × 23/10 = 18,4
Data ke-18 dan ke-19 → kelompok 70 (Fk = 16 < 18,4 ≤ 20)
Data ke-18 = 70, Data ke-19 = 70
D8 = 70 + (18,4 − 18)(70 − 70) = 70
Contoh 9:
Data jumlah anak dalam keluarga:
| xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| fi | 2 | 5 | 8 | 6 | 3 | 1 |
Tentukan D3 dan D6!
▶ Lihat Pembahasan
N = 2+5+8+6+3+1 = 25
| xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Fk | 2 | 7 | 15 | 21 | 24 | 25 |
D3: Posisi = 3 × 26/10 = 7,8
Data ke-7 = 1 (Fk = 7), Data ke-8 = 2
D3 = 1 + (7,8 − 7)(2 − 1) = 1 + 0,8 × 1 = 1,8
D6: Posisi = 6 × 26/10 = 15,6
Data ke-15 = 2 (Fk = 15), Data ke-16 = 3
D6 = 2 + (15,6 − 15)(3 − 2) = 2 + 0,6 × 1 = 2,6
Contoh 10:
Data tinggi tanaman (cm):
| xi | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 |
|---|---|---|---|---|---|
| fi | 4 | 6 | 10 | 5 | 5 |
Tentukan D5 (median)!
▶ Lihat Pembahasan
N = 4+6+10+5+5 = 30
| xi | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 |
|---|---|---|---|---|---|
| Fk | 4 | 10 | 20 | 25 | 30 |
Posisi D5 = 5 × 31/10 = 15,5
Data ke-15 dan ke-16 → kelompok 25 (Fk = 10 < 15,5 ≤ 20)
Data ke-15 = 25, Data ke-16 = 25
D5 = 25 + (15,5 − 15)(25 − 25) = 25
Tingkat Sulit
Contoh 11:
Data skor tes kecerdasan:
| xi | 85 | 90 | 95 | 100 | 105 | 110 | 115 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| fi | 2 | 4 | 7 | 12 | 8 | 5 | 2 |
Tentukan D2, D5, dan D8!
▶ Lihat Pembahasan
N = 2+4+7+12+8+5+2 = 40
| xi | 85 | 90 | 95 | 100 | 105 | 110 | 115 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Fk | 2 | 6 | 13 | 25 | 33 | 38 | 40 |
D2: Posisi = 2 × 41/10 = 8,2
Data ke-8 → Fk = 6 < 8,2 ≤ 13 → kelompok 95. Data ke-8 = 95, Data ke-9 = 95
D2 = 95 + (8,2 − 8)(95 − 95) = 95
D5: Posisi = 5 × 41/10 = 20,5
Data ke-20 dan ke-21 → Fk = 13 < 20,5 ≤ 25 → kelompok 100
D5 = 100 + (20,5 − 20)(100 − 100) = 100
D8: Posisi = 8 × 41/10 = 32,8
Data ke-32 dan ke-33 → Fk = 25 < 32,8 ≤ 33 → kelompok 105
D8 = 105 + (32,8 − 32)(105 − 105) = 105
Contoh 12:
Data waktu tempuh (menit):
| xi | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| fi | 1 | 3 | 4 | 6 | 4 | 2 |
Jika Dk = 17,5, tentukan nilai k!
▶ Lihat Pembahasan
N = 1+3+4+6+4+2 = 20
| xi | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Fk | 1 | 4 | 8 | 14 | 18 | 20 |
Dk = 17,5 berada antara 15 dan 20.
Data ke-8 = 15 (Fk = 8), Data ke-9 = 20 (masuk kelompok berikutnya)
Dengan interpolasi: 17,5 = 15 + (posisi − 8)(20 − 15)
2,5 = (posisi − 8) × 5
posisi − 8 = 0,5 → posisi = 8,5
Posisi Dk = k × (20+1)/10 = 8,5
k × 21/10 = 8,5
k = 85/21 ≈ 4,05
Karena posisi desil harus bulat (k = 1,2,…,9), kita cek D4:
Posisi D4 = 4 × 21/10 = 8,4
D4 = 15 + (8,4 − 8)(20 − 15) = 15 + 0,4 × 5 = 15 + 2 = 17
Cek D5: Posisi = 5 × 21/10 = 10,5
Data ke-10 dan ke-11 → kelompok 20. D5 = 20
Maka 17,5 berada antara D4 = 17 dan D5 = 20.
Jawaban: k ≈ 4 (lebih tepatnya antara D4 dan D5, mendekati D4)
Contoh 13:
Data produksi harian (unit):
| xi | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| fi | 3 | 5 | 8 | 10 | 6 | 3 |
Tentukan selisih D7 − D3!
▶ Lihat Pembahasan
N = 3+5+8+10+6+3 = 35
| xi | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Fk | 3 | 8 | 16 | 26 | 32 | 35 |
D3: Posisi = 3 × 36/10 = 10,8
Data ke-10 dan ke-11 → Fk = 8 < 10,8 ≤ 16 → kelompok 140
D3 = 140 + (10,8 − 10)(140 − 140) = 140
D7: Posisi = 7 × 36/10 = 25,2
Data ke-25 dan ke-26 → Fk = 16 < 25,2 ≤ 26 → kelompok 160
D7 = 160 + (25,2 − 25)(160 − 160) = 160
Selisih = D7 − D3 = 160 − 140 = 20
Contoh 14:
Data gaji karyawan (juta rupiah):
| xi | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| fi | 2 | 5 | 8 | 12 | 9 | 6 | 3 |
Tentukan D3, D5, D7, dan D9! Kemudian hitung rentang inter-desil (D9 − D1).
▶ Lihat Pembahasan
N = 2+5+8+12+9+6+3 = 45
| xi | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Fk | 2 | 7 | 15 | 27 | 36 | 42 | 45 |
D1: Posisi = 1 × 46/10 = 4,6 → data ke-4 dan ke-5 = 4
D1 = 4 + (4,6 − 4)(4 − 4) = 4
D3: Posisi = 3 × 46/10 = 13,8 → Fk = 7 < 13,8 ≤ 15 → kelompok 5
D3 = 5 + (13,8 − 13)(5 − 5) = 5
D5: Posisi = 5 × 46/10 = 23 → data ke-23 = 6 (Fk = 15 < 23 ≤ 27)
D5 = 6
D7: Posisi = 7 × 46/10 = 32,2 → Fk = 27 < 32,2 ≤ 36 → kelompok 7
D7 = 7 + (32,2 − 32)(7 − 7) = 7
D9: Posisi = 9 × 46/10 = 41,4 → Fk = 36 < 41,4 ≤ 42 → kelompok 8
D9 = 8 + (41,4 − 41)(8 − 8) = 8
Rentang inter-desil = D9 − D1 = 8 − 4 = 4 juta rupiah
Contoh 15:
Data penjualan toko (puluhan unit) selama sebulan:
| xi | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| fi | 1 | 2 | 5 | 7 | 6 | 4 | 2 |
Diketahui bahwa Dk − D2 = 10. Tentukan nilai k!
▶ Lihat Pembahasan
N = 1+2+5+7+6+4+2 = 27
| xi | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Fk | 1 | 3 | 8 | 15 | 21 | 25 | 27 |
D2: Posisi = 2 × 28/10 = 5,6
Data ke-5 dan ke-6 → Fk = 3 < 5,6 ≤ 8 → kelompok 20
D2 = 20 + (5,6 − 5)(20 − 20) = 20
Maka Dk = 20 + 10 = 30. Kita cari k yang menghasilkan Dk = 30.
Cek D7: Posisi = 7 × 28/10 = 19,6
Data ke-19 dan ke-20 → Fk = 15 < 19,6 ≤ 21 → kelompok 30
D7 = 30 + (19,6 − 19)(30 − 30) = 30 ✓
Cek D6: Posisi = 6 × 28/10 = 16,8
Data ke-16 dan ke-17 → Fk = 15 < 16,8 ≤ 21 → kelompok 30
D6 = 30 + (16,8 − 16)(30 − 30) = 30 ✓
Cek D5: Posisi = 5 × 28/10 = 14
Data ke-14 → Fk = 8 < 14 ≤ 15 → kelompok 25. D5 = 25
Jadi Dk = 30 untuk k = 6 dan k = 7
✏️ Latihan Soal (Tanpa Pembahasan)
Tingkat Mudah
Latihan 1:
Data berbobot:
| xi | 5 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|
| fi | 2 | 4 | 3 | 1 |
Tentukan D3!
Latihan 2:
Data berbobot:
| xi | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| fi | 1 | 3 | 5 | 4 | 2 |
Tentukan D5!
Latihan 3:
Data berbobot:
| xi | 20 | 30 | 40 | 50 |
|---|---|---|---|---|
| fi | 3 | 5 | 4 | 3 |
Tentukan D7!
Latihan 4:
Data berbobot:
| xi | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| fi | 2 | 3 | 6 | 4 | 5 |
Tentukan D1!
Latihan 5:
Data berbobot:
| xi | 50 | 60 | 70 | 80 |
|---|---|---|---|---|
| fi | 4 | 6 | 5 | 5 |
Tentukan D9!
Tingkat Sedang
Latihan 6:
Data nilai rapor:
| xi | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| fi | 3 | 5 | 9 | 7 | 4 | 2 |
Tentukan D4 dan D6!
Latihan 7:
Data jumlah pengunjung (orang):
| xi | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| fi | 2 | 4 | 7 | 8 | 5 | 4 |
Tentukan D2 dan D8!
Latihan 8:
Data suhu harian (°C):
| xi | 25 | 27 | 29 | 31 | 33 |
|---|---|---|---|---|---|
| fi | 3 | 6 | 8 | 5 | 3 |
Tentukan D3, D5, dan D7!
Latihan 9:
Data lama belajar (jam):
| xi | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| fi | 1 | 4 | 7 | 9 | 6 | 3 |
Tentukan selisih D7 − D3!
Latihan 10:
Data penjualan (lusin):
| xi | 5 | 8 | 11 | 14 | 17 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| fi | 2 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 |
Tentukan D4 dan D8!
Tingkat Sulit
Latihan 11:
Data skor prestasi:
| xi | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| fi | 1 | 3 | 6 | 10 | 8 | 5 | 2 |
Tentukan D1, D3, D5, D7, dan D9!
Latihan 12:
Data penghasilan (juta rupiah):
| xi | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| fi | 2 | 4 | 7 | 11 | 8 | 5 | 3 |
Jika Dk = 5,5, tentukan nilai k!
Latihan 13:
Data jumlah buku yang dibaca per bulan:
| xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| fi | 3 | 5 | 8 | 12 | 7 | 4 | 1 |
Tentukan D2, D4, D6, dan D8. Kemudian hitung D8 − D2!
Latihan 14:
Data waktu tempuh ke sekolah (menit):
| xi | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| fi | 1 | 2 | 4 | 7 | 8 | 5 | 2 | 1 |
Tentukan semua desil (D1 sampai D9)!
Latihan 15:
Data poin permainan:
| xi | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 | 350 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| fi | 2 | 5 | 9 | 8 | 4 | 2 |
Diketahui Da − Db = 100 dengan a > b. Tentukan semua pasangan (a, b) yang memenuhi!