Menentukan Nilai Persentil Data Tunggal
Materi Statistika — Data Tunggal
📘 Materi: Persentil Data Tunggal
🔍 Kegiatan 1: Mengamati
Perhatikan data nilai ulangan 20 siswa berikut yang telah diurutkan dari terkecil ke terbesar:
45, 50, 52, 55, 58, 60, 62, 65, 67, 70, 72, 75, 76, 78, 80, 82, 85, 88, 90, 95
Amati bahwa data di atas terdiri dari 20 nilai. Jika kita ingin mengetahui posisi relatif suatu nilai terhadap keseluruhan data, kita dapat menggunakan persentil.
Persentil membagi data menjadi 100 bagian yang sama. Artinya, terdapat 99 nilai persentil yaitu P1, P2, P3, …, P99.
❓ Kegiatan 2: Menanya
- Apa yang dimaksud dengan persentil?
- Bagaimana cara menentukan letak persentil pada data tunggal?
- Bagaimana cara menghitung nilai persentil jika letaknya berada di antara dua data?
- Apa perbedaan persentil dengan kuartil dan desil?
💡 Kegiatan 3: Menalar
Definisi Persentil
Persentil ke-p (Pp) adalah nilai yang membagi data terurut sedemikian sehingga p% data bernilai kurang dari atau sama dengan nilai tersebut.
Hubungan Persentil dengan Kuartil dan Desil
| Ukuran | Persentil Ekuivalen |
|---|---|
| Q1 (Kuartil 1) | P25 |
| Q2 (Kuartil 2 / Median) | P50 |
| Q3 (Kuartil 3) | P75 |
| D1 (Desil 1) | P10 |
| D5 (Desil 5 / Median) | P50 |
Rumus Menentukan Letak Persentil
Letak Pp = p(n + 1)100
Keterangan:
- Pp = Persentil ke-p
- p = persentil yang dicari (1, 2, 3, …, 99)
- n = banyaknya data
Langkah-Langkah Menentukan Nilai Persentil
- Urutkan data dari yang terkecil ke terbesar.
- Hitung letak persentil menggunakan rumus: Letak Pp = p(n + 1)100
- Tentukan nilai persentil:
- Jika letak berupa bilangan bulat, maka nilai Pp adalah data pada posisi tersebut.
- Jika letak berupa bilangan desimal (misal a,b), gunakan interpolasi:
Pp = xa + 0,b × (xa+1 − xa)
Rumus Interpolasi:
Jika letak Pp = i + d (dimana i = bagian bulat, d = bagian desimal)
Pp = xi + d × (xi+1 − xi)
🧪 Kegiatan 4: Mencoba
Gunakan data berikut: 3, 5, 7, 8, 10, 12, 15, 18, 20, 25 (n = 10)
Tentukan P30:
Letak P30 = 30 × (10 + 1)100 = 330100 = 3,3
Letak = 3,3 → data ke-3 + 0,3 × (data ke-4 − data ke-3)
P30 = 7 + 0,3 × (8 − 7) = 7 + 0,3 = 7,3
Tentukan P60:
Letak P60 = 60 × 11100 = 660100 = 6,6
P60 = data ke-6 + 0,6 × (data ke-7 − data ke-6)
P60 = 12 + 0,6 × (15 − 12) = 12 + 1,8 = 13,8
📢 Kegiatan 5: Mengkomunikasikan
Dari kegiatan di atas, kita dapat menyimpulkan:
- Persentil ke-p membagi data terurut sehingga p% data berada di bawah atau sama dengan nilai tersebut.
- Rumus letak: Pp = p(n+1)100
- Jika letak bukan bilangan bulat, gunakan interpolasi linear.
- P25 = Q1, P50 = Q2 = Median, P75 = Q3.
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Contoh Soal Mudah (1–5)
Contoh 1: Data: 2, 4, 6, 8, 10 (n=5). Tentukan P50!
Letak P50 = 50 × (5+1)100 = 300100 = 3
Letak = 3 (bulat), maka P50 = data ke-3 = 6
Contoh 2: Data: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 (n=10). Tentukan P25!
Letak P25 = 25 × 11100 = 275100 = 2,75
P25 = x2 + 0,75 × (x3 − x2) = 20 + 0,75 × (30 − 20) = 20 + 7,5 = 27,5
Contoh 3: Data: 5, 8, 12, 15, 20, 25, 30 (n=7). Tentukan P75!
Letak P75 = 75 × 8100 = 600100 = 6
Letak = 6 (bulat), maka P75 = data ke-6 = 25
Contoh 4: Data: 3, 7, 9, 11, 14, 17, 21, 24 (n=8). Tentukan P40!
Letak P40 = 40 × 9100 = 360100 = 3,6
P40 = x3 + 0,6 × (x4 − x3) = 9 + 0,6 × (11 − 9) = 9 + 1,2 = 10,2
Contoh 5: Data: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 (n=12). Tentukan P10!
Letak P10 = 10 × 13100 = 130100 = 1,3
P10 = x1 + 0,3 × (x2 − x1) = 1 + 0,3 × (2 − 1) = 1 + 0,3 = 1,3
🟡 Contoh Soal Sedang (6–10)
Contoh 6: Data nilai 15 siswa: 42, 45, 48, 50, 53, 56, 60, 63, 65, 68, 72, 75, 78, 82, 90. Tentukan P35!
n = 15. Letak P35 = 35 × 16100 = 560100 = 5,6
P35 = x5 + 0,6 × (x6 − x5) = 53 + 0,6 × (56 − 53) = 53 + 1,8 = 54,8
Contoh 7: Data: 14, 17, 20, 23, 25, 28, 30, 33, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80 (n=20). Tentukan P62!
Letak P62 = 62 × 21100 = 1302100 = 13,02
P62 = x13 + 0,02 × (x14 − x13) = 48 + 0,02 × (50 − 48) = 48 + 0,04 = 48,04
Contoh 8: Data berat badan (kg): 45, 47, 48, 50, 52, 53, 55, 57, 58, 60, 62, 65 (n=12). Tentukan P80!
Letak P80 = 80 × 13100 = 1040100 = 10,4
P80 = x10 + 0,4 × (x11 − x10) = 60 + 0,4 × (62 − 60) = 60 + 0,8 = 60,8
Contoh 9: Data: 22, 25, 27, 30, 32, 35, 37, 40, 42, 45, 48, 50, 52, 55, 58 (n=15). Tentukan P90!
Letak P90 = 90 × 16100 = 1440100 = 14,4
P90 = x14 + 0,4 × (x15 − x14) = 55 + 0,4 × (58 − 55) = 55 + 1,2 = 56,2
Contoh 10: Data tinggi badan (cm): 150, 152, 155, 157, 160, 162, 163, 165, 168, 170, 172, 175, 178, 180 (n=14). Tentukan P45!
Letak P45 = 45 × 15100 = 675100 = 6,75
P45 = x6 + 0,75 × (x7 − x6) = 162 + 0,75 × (163 − 162) = 162 + 0,75 = 162,75
🔴 Contoh Soal Sulit (11–15)
Contoh 11: Data: 5, 8, 8, 10, 12, 12, 12, 15, 18, 20, 22, 24, 25, 28, 30, 32, 35, 38, 40, 45 (n=20). Tentukan P37 dan P83!
P37:
Letak = 37 × 21100 = 777100 = 7,77
P37 = x7 + 0,77 × (x8 − x7) = 12 + 0,77 × (15 − 12) = 12 + 2,31 = 14,31
P83:
Letak = 83 × 21100 = 1743100 = 17,43
P83 = x17 + 0,43 × (x18 − x17) = 35 + 0,43 × (38 − 35) = 35 + 1,29 = 36,29
Contoh 12: Diketahui data tunggal dengan n = 25. Jika data ke-18 = 72 dan data ke-19 = 76, tentukan P70!
Letak P70 = 70 × 26100 = 1820100 = 18,2
P70 = x18 + 0,2 × (x19 − x18) = 72 + 0,2 × (76 − 72) = 72 + 0,8 = 72,8
Contoh 13: Data: 100, 105, 108, 110, 112, 115, 118, 120, 122, 125, 128, 130, 132, 135, 138, 140, 142, 145 (n=18). Tentukan selisih P85 − P15!
P85: Letak = 85 × 19100 = 1615100 = 16,15
P85 = x16 + 0,15 × (x17 − x16) = 140 + 0,15 × (142 − 140) = 140 + 0,3 = 140,3
P15: Letak = 15 × 19100 = 285100 = 2,85
P15 = x2 + 0,85 × (x3 − x2) = 105 + 0,85 × (108 − 105) = 105 + 2,55 = 107,55
Selisih = 140,3 − 107,55 = 32,75
Contoh 14: Data terurut: x1, x2, …, x16 dengan n=16. Diketahui P55 = 40. Jika x9 = 38 dan x10 = a, tentukan nilai a!
Letak P55 = 55 × 17100 = 935100 = 9,35
P55 = x9 + 0,35 × (x10 − x9)
40 = 38 + 0,35 × (a − 38)
2 = 0,35 × (a − 38)
a − 38 = 20,35 = 5,714…
a ≈ 43,71
Contoh 15: Data: 6, 9, 11, 14, 16, 19, 21, 23, 26, 28, 31, 33, 36, 38, 41, 43, 46, 48, 51, 53, 56, 58, 61 (n=23). Tentukan P29, P57, dan P84!
P29: Letak = 29 × 24100 = 6,96
P29 = x6 + 0,96 × (x7 − x6) = 19 + 0,96 × (21 − 19) = 19 + 1,92 = 20,92
P57: Letak = 57 × 24100 = 13,68
P57 = x13 + 0,68 × (x14 − x13) = 36 + 0,68 × (38 − 36) = 36 + 1,36 = 37,36
P84: Letak = 84 × 24100 = 20,16
P84 = x20 + 0,16 × (x21 − x20) = 53 + 0,16 × (56 − 53) = 53 + 0,48 = 53,48
✏️ Latihan Soal
🟢 Latihan Mudah (1–5)
1. Data: 4, 7, 10, 13, 16, 19 (n=6). Tentukan P50!
2. Data: 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32 (n=8). Tentukan P25!
3. Data: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29 (n=10). Tentukan P75!
4. Data: 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60 (n=7). Tentukan P60!
5. Data: 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36 (n=11). Tentukan P20!
🟡 Latihan Sedang (6–10)
6. Data: 15, 18, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 50, 53, 56, 60 (n=15). Tentukan P42!
7. Data: 50, 52, 55, 57, 60, 62, 65, 67, 70, 72, 75, 78, 80, 82, 85, 88, 90, 92 (n=18). Tentukan P68!
8. Data berat (kg): 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62 (n=12). Tentukan P55 dan P88!
9. Data: 100, 103, 106, 109, 112, 115, 118, 121, 124, 127, 130, 133, 136, 139, 142, 145 (n=16). Tentukan selisih P70 − P30!
10. Data terurut (n=20): data ke-11 = 65, data ke-12 = 69. Tentukan P55!
🔴 Latihan Sulit (11–15)
11. Data (n=24): 10, 12, 14, 15, 17, 19, 20, 22, 24, 25, 27, 29, 30, 32, 34, 35, 37, 39, 40, 42, 44, 45, 47, 50. Tentukan P33, P67, dan selisihnya!
12. Diketahui data tunggal n=30. Data ke-22 = 85, data ke-23 = 89. Jika P72 = 87, tunjukkan kebenaran pernyataan tersebut!
13. Data terurut n=18. Diketahui P40 = 52. Jika x7 = 48 dan x8 = b, tentukan nilai b!
14. Data: 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93 (n=25). Tentukan P16, P48, dan P91!
15. Data terurut n=22. Diketahui P65 = 74 dan P65 berada antara data ke-14 dan data ke-15. Jika data ke-14 = 70, tentukan data ke-15!