Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Penerapan Persamaan dan Fungsi Kuadrat dalam Kehidupan
MATERI
A. Pendahuluan
Persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat memiliki banyak penerapan dalam kehidupan sehari-hari. Mulai dari gerak peluru, perhitungan luas, optimasi keuntungan bisnis, hingga desain arsitektur, semuanya memanfaatkan konsep fungsi kuadrat.
Bentuk umum persamaan kuadrat:
ax² + bx + c = 0, dengan a ≠ 0
Bentuk umum fungsi kuadrat:
f(x) = ax² + bx + c, dengan a ≠ 0
Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Jika a > 0, parabola terbuka ke atas. Jika a < 0, parabola terbuka ke bawah.
Mengamati
Perhatikan fenomena berikut:
- Lintasan bola yang dilemparkan ke atas membentuk parabola
- Pancuran air mancur membentuk lengkungan parabola
- Antena parabola berbentuk penampang parabola
- Jembatan lengkung menggunakan prinsip parabola
Menanya
- Bagaimana cara memodelkan lintasan bola dalam bentuk fungsi kuadrat?
- Bagaimana menentukan ketinggian maksimum suatu benda yang dilempar ke atas?
- Bagaimana menentukan keuntungan maksimum suatu usaha menggunakan fungsi kuadrat?
B. Penerapan dalam Gerak Parabola (Gerak Peluru)
Ketika sebuah benda dilempar ke atas dengan kecepatan awal tertentu, ketinggiannya terhadap waktu dapat dimodelkan dengan fungsi kuadrat:
h(t) = -½gt² + v₀t + h₀
Keterangan:
h(t) = ketinggian pada waktu t (meter)
g = percepatan gravitasi (≈ 10 m/s²)
v₀ = kecepatan awal (m/s)
h₀ = ketinggian awal (meter)
Ketinggian maksimum dicapai pada titik puncak parabola. Untuk fungsi h(t) = at² + bt + c:
tmaks = -b / (2a)
hmaks = -D / (4a), dengan D = b² – 4ac
Grafik Lintasan Bola (Gerak Parabola)
Menalar
Dari grafik di atas, kita dapat menalar bahwa:
- Koefisien a < 0 karena parabola terbuka ke bawah (benda naik lalu turun)
- Titik puncak parabola merupakan ketinggian maksimum
- Akar-akar persamaan (saat h = 0) menunjukkan waktu benda di tanah
C. Penerapan dalam Optimasi (Nilai Maksimum/Minimum)
Fungsi kuadrat sangat berguna untuk mencari nilai optimum (maksimum atau minimum) suatu masalah. Contoh penerapannya:
- Bisnis: Menentukan harga jual agar keuntungan maksimum
- Pertanian: Menentukan luas lahan optimal dengan pagar terbatas
- Konstruksi: Menentukan dimensi bangunan agar luas maksimum
Rumus Nilai Optimum:
Untuk f(x) = ax² + bx + c:
- Nilai optimum terjadi saat x = -b/(2a)
- Jika a > 0 → nilai minimum = (4ac – b²)/(4a)
- Jika a < 0 → nilai maksimum = (4ac – b²)/(4a)
Mencoba
Cobalah selesaikan masalah berikut:
Seorang pedagang menjual x buah barang per hari dengan harga jual per buah = (100 – 2x) ribu rupiah dan biaya produksi per buah = 20 ribu rupiah.
Langkah:
- Tentukan fungsi keuntungan: K(x) = x × (harga jual – biaya) = x(100 – 2x – 20) = x(80 – 2x) = -2x² + 80x
- Cari x optimum: x = -80/(2×(-2)) = 20
- Keuntungan maks: K(20) = -2(400) + 80(20) = -800 + 1600 = 800 ribu rupiah
D. Penerapan dalam Masalah Luas dan Dimensi
Masalah menentukan dimensi optimal suatu bangun sering menghasilkan persamaan atau fungsi kuadrat.
Contoh Model:
Seutas kawat sepanjang P meter dibentuk menjadi persegi panjang dengan panjang x dan lebar y.
Keliling: 2x + 2y = P → y = (P – 2x)/2
Luas: L = x × y = x × (P – 2x)/2 = (Px – 2x²)/2 = -x² + (P/2)x
Ini adalah fungsi kuadrat dengan a < 0, sehingga luas memiliki nilai maksimum.
E. Penerapan dalam Ekonomi dan Bisnis
Dalam ekonomi, fungsi kuadrat sering digunakan untuk memodelkan:
- Fungsi permintaan dan penawaran
- Fungsi biaya produksi
- Fungsi pendapatan dan keuntungan
Model Keuntungan:
Keuntungan = Pendapatan – Biaya
K(x) = R(x) – C(x)
Jika R(x) = px (harga × jumlah) dan harga bergantung pada jumlah: p = a – bx
Maka R(x) = (a – bx)x = ax – bx² → fungsi kuadrat!
Mengkomunikasikan
Setelah mempelajari materi di atas, komunikasikan pemahaman Anda:
- Jelaskan dengan bahasamu sendiri mengapa lintasan bola membentuk parabola
- Berikan contoh masalah optimasi dalam kehidupanmu yang dapat diselesaikan dengan fungsi kuadrat
- Gambarkan grafik fungsi kuadrat dari masalah nyata yang kamu temukan
F. Ringkasan Penerapan
| Bidang | Penerapan | Model Fungsi | Yang Dicari |
|---|---|---|---|
| Fisika | Gerak peluru | h(t) = -5t² + v₀t + h₀ | Tinggi maks, waktu |
| Ekonomi | Keuntungan | K(x) = -ax² + bx + c | Keuntungan maks |
| Geometri | Luas optimal | L(x) = -x² + px | Luas maks |
| Teknik | Desain jembatan | y = ax² + bx + c | Bentuk lengkungan |
| Pertanian | Lahan optimal | L(x) = -2x² + Px | Dimensi optimal |
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
Soal 1:
Sebuah bola dilempar ke atas dengan ketinggian mengikuti fungsi h(t) = -5t² + 20t (dalam meter, t dalam detik). Tentukan ketinggian maksimum bola!
Pembahasan:
Diketahui: h(t) = -5t² + 20t, maka a = -5, b = 20, c = 0
Waktu saat ketinggian maks:
t = -b/(2a) = -20/(2×(-5)) = -20/(-10) = 2 detik
Ketinggian maksimum:
h(2) = -5(2²) + 20(2) = -5(4) + 40 = -20 + 40 = 20 meter
Jadi, ketinggian maksimum bola adalah 20 meter.
Soal 2:
Keuntungan harian suatu toko dinyatakan dengan K(x) = -x² + 10x – 16 (dalam jutaan rupiah, x = jumlah barang terjual). Berapa keuntungan maksimum?
Pembahasan:
a = -1, b = 10, c = -16
Jumlah barang optimal: x = -10/(2×(-1)) = 5
Keuntungan maks: K(5) = -(25) + 50 – 16 = 9 juta rupiah
Jadi, keuntungan maksimum adalah 9 juta rupiah saat menjual 5 barang.
Soal 3:
Sebuah roket air diluncurkan dengan ketinggian h(t) = -5t² + 30t + 2 meter. Kapan roket mencapai ketinggian maksimum?
Pembahasan:
a = -5, b = 30, c = 2
Waktu maks: t = -30/(2×(-5)) = -30/(-10) = 3 detik
Jadi, roket mencapai ketinggian maksimum pada t = 3 detik.
Soal 4:
Luas suatu taman berbentuk persegi panjang dinyatakan dengan L(x) = -x² + 12x (x = lebar dalam meter). Tentukan lebar agar luas maksimum!
Pembahasan:
a = -1, b = 12
Lebar optimal: x = -12/(2×(-1)) = 6 meter
Luas maks: L(6) = -(36) + 72 = 36 m²
Jadi, lebar taman 6 meter menghasilkan luas maksimum 36 m².
Soal 5:
Sebuah batu dilempar dari tebing setinggi 45 meter dengan fungsi ketinggian h(t) = -5t² + 45. Kapan batu mencapai tanah?
Pembahasan:
Batu mencapai tanah saat h(t) = 0:
-5t² + 45 = 0
5t² = 45
t² = 9
t = 3 detik (ambil nilai positif)
Jadi, batu mencapai tanah setelah 3 detik.
Soal 1:
Seorang petani memiliki kawat sepanjang 60 meter untuk membuat pagar satu sisi kebun (sisi lainnya tembok). Tentukan dimensi kebun agar luasnya maksimum!
Pembahasan:
Misalkan lebar = x, panjang = y
Keliling pagar (3 sisi): 2x + y = 60 → y = 60 – 2x
Luas: L = x × y = x(60 – 2x) = 60x – 2x² = -2x² + 60x
Lebar optimal: x = -60/(2×(-2)) = 15 meter
Panjang: y = 60 – 2(15) = 30 meter
Luas maks: L = 15 × 30 = 450 m²
Jadi, dimensi optimal: lebar 15 m, panjang 30 m, luas maks 450 m².
Soal 2:
Harga jual suatu produk p = 200 – 5x (ribu rupiah) dengan x = jumlah produk (puluhan). Biaya produksi total C = 20x + 100. Tentukan jumlah produk agar keuntungan maksimum!
Pembahasan:
Pendapatan: R(x) = p × x = (200 – 5x)x = 200x – 5x²
Keuntungan: K(x) = R(x) – C(x) = 200x – 5x² – 20x – 100 = -5x² + 180x – 100
Jumlah optimal: x = -180/(2×(-5)) = 18 puluhan = 180 produk
Keuntungan maks: K(18) = -5(324) + 180(18) – 100 = -1620 + 3240 – 100 = 1520 ribu rupiah
Jadi, keuntungan maksimum Rp1.520.000 saat menjual 180 produk.
Soal 3:
Sebuah peluru ditembakkan ke atas dengan ketinggian h(t) = -5t² + 40t + 3 meter. Tentukan: (a) ketinggian maksimum, (b) waktu peluru jatuh ke tanah!
Pembahasan:
(a) t_maks = -40/(2×(-5)) = 4 detik
h(4) = -5(16) + 40(4) + 3 = -80 + 160 + 3 = 83 meter
(b) Saat jatuh ke tanah: h(t) = 0
-5t² + 40t + 3 = 0 → 5t² – 40t – 3 = 0
Gunakan rumus abc: t = (40 ± √(1600 + 60))/10 = (40 ± √1660)/10
√1660 ≈ 40,74
t = (40 + 40,74)/10 ≈ 8,07 detik (ambil nilai positif)
Jadi, (a) ketinggian maks 83 m, (b) peluru jatuh setelah ≈ 8,07 detik.
Soal 4:
Jumlah dua bilangan positif adalah 20. Tentukan kedua bilangan tersebut agar hasil kalinya maksimum!
Pembahasan:
Misalkan bilangan pertama = x, bilangan kedua = 20 – x
Hasil kali: P(x) = x(20 – x) = 20x – x² = -x² + 20x
x = -20/(2×(-1)) = 10
Bilangan kedua: 20 – 10 = 10
Hasil kali maks: P(10) = 10 × 10 = 100
Jadi, kedua bilangan adalah 10 dan 10, dengan hasil kali maksimum 100.
Soal 5:
Sebuah jembatan lengkung memiliki persamaan y = -0,01x² + 2x (y = tinggi, x = jarak horizontal dalam meter). Tentukan tinggi maksimum jembatan dan panjang bentang jembatan!
Pembahasan:
a = -0,01, b = 2
Tinggi maks pada: x = -2/(2×(-0,01)) = -2/(-0,02) = 100 meter
Tinggi maks: y(100) = -0,01(10000) + 200 = -100 + 200 = 100 meter
Bentang (saat y = 0): -0,01x² + 2x = 0 → x(-0,01x + 2) = 0
x = 0 atau x = 200
Jadi, tinggi maks 100 m dan panjang bentang 200 m.
Soal 1:
Sebuah perusahaan memproduksi x unit barang per hari. Biaya produksi per unit = (x + 40) ribu rupiah dan harga jual per unit = (100 – x) ribu rupiah. Jika barang hanya bisa dijual maksimal 50 unit/hari, tentukan produksi optimal dan keuntungan maksimum!
Pembahasan:
Keuntungan per unit = harga jual – biaya = (100 – x) – (x + 40) = 60 – 2x
Total keuntungan: K(x) = x(60 – 2x) = 60x – 2x² = -2x² + 60x
x optimal: x = -60/(2×(-2)) = 15 unit
Cek: 15 ≤ 50 (memenuhi batasan)
Juga cek: harga jual harus positif → 100 – x > 0 → x < 100 ✓
Dan keuntungan per unit positif: 60 – 2x > 0 → x < 30 → 15 < 30 ✓
Keuntungan maks: K(15) = -2(225) + 60(15) = -450 + 900 = 450 ribu rupiah
Jadi, produksi optimal 15 unit/hari dengan keuntungan maks Rp450.000/hari.
Soal 2:
Sebuah stadion memiliki tribun yang jika harga tiket Rp50.000 akan terisi 10.000 penonton. Setiap kenaikan Rp5.000 pada harga tiket, jumlah penonton berkurang 500 orang. Tentukan harga tiket agar pendapatan maksimum!
Pembahasan:
Misalkan x = banyaknya kenaikan Rp5.000
Harga tiket: p = 50.000 + 5.000x
Jumlah penonton: n = 10.000 – 500x
Pendapatan: R(x) = p × n = (50.000 + 5.000x)(10.000 – 500x)
= (50 + 5x)(10.000 – 500x) × 1.000
= 500.000 – 25.000x + 50.000x – 2.500x² (dalam ribuan)
= -2.500x² + 25.000x + 500.000
x optimal: x = -25.000/(2×(-2.500)) = 5
Harga tiket optimal: 50.000 + 5.000(5) = Rp75.000
Jumlah penonton: 10.000 – 500(5) = 7.500 orang
Pendapatan maks: 75.000 × 7.500 = Rp562.500.000
Jadi, harga tiket optimal Rp75.000 dengan pendapatan maks Rp562.500.000.
Soal 3:
Sebuah terowongan berbentuk parabola memiliki lebar 12 meter di dasar dan tinggi 9 meter. Sebuah truk dengan lebar 4 meter akan melewati terowongan. Berapa tinggi maksimum truk yang dapat melewati terowongan?
Pembahasan:
Letakkan sistem koordinat dengan titik tengah dasar terowongan sebagai pusat.
Titik puncak parabola: (0, 9)
Tepi terowongan: (-6, 0) dan (6, 0)
Persamaan parabola: y = a(x – 0)² + 9 = ax² + 9
Substitusi titik (6, 0): 0 = a(36) + 9 → a = -9/36 = -1/4
Persamaan: y = -x²/4 + 9
Truk lebar 4 m → tepi truk di x = ±2
Tinggi terowongan di x = 2:
y = -(4)/4 + 9 = -1 + 9 = 8 meter
Jadi, tinggi maksimum truk yang dapat melewati terowongan adalah 8 meter.
Soal 4:
Sebuah peternakan ingin membuat 3 kandang bersebelahan (berbagi pagar pembatas) dengan total kawat 240 meter. Tentukan dimensi agar total luas ketiga kandang maksimum!
Pembahasan:
Misalkan lebar setiap kandang = x, panjang = y
Total kawat: 2 panjang + 4 lebar (2 sisi panjang + 4 sekat/sisi lebar) = 2y + 4x = 240
y = (240 – 4x)/2 = 120 – 2x
Total luas: L = 3 × x × y…
Tunggu — luas total = panjang × total lebar = y × 3x? Tidak.
Sebenarnya: 3 kandang bersebelahan, masing-masing berukuran x × y. Total area = 3xy.
Tapi kawat: 2 sisi panjang (= 2y) + 4 sisi lebar (= 4x). Jadi 2y + 4x = 240.
Atau lebih tepat: satu area besar panjang × (3×lebar). Panjang = y, total lebar = 3x.
Kawat: 2y + 4x = 240 (2 sisi panjang + 4 garis vertikal)
y = 120 – 2x
Total luas: L = y × 3x = 3x(120 – 2x) = 360x – 6x²
x optimal: x = -360/(2×(-6)) = 30 meter
y = 120 – 2(30) = 60 meter
Luas maks: L = 3(30)(60) = 5.400 m²
Jadi, lebar tiap kandang 30 m, panjang 60 m, total luas maks 5.400 m².
Soal 5:
Sebuah pabrik memproduksi x ton barang per bulan dengan biaya produksi C(x) = 2x² + 20x + 100 (juta rupiah) dan pendapatan R(x) = 100x – x² (juta rupiah). Tentukan: (a) produksi agar untung, (b) produksi agar keuntungan maksimum, (c) keuntungan maksimum!
Pembahasan:
Keuntungan: K(x) = R(x) – C(x) = 100x – x² – 2x² – 20x – 100 = -3x² + 80x – 100
(a) Untung saat K(x) > 0:
-3x² + 80x – 100 > 0 → 3x² – 80x + 100 < 0
Akar: x = (80 ± √(6400 – 1200))/6 = (80 ± √5200)/6 = (80 ± 72,11)/6
x₁ = (80 – 72,11)/6 ≈ 1,31 dan x₂ = (80 + 72,11)/6 ≈ 25,35
Untung jika 1,31 < x < 25,35 → produksi antara 2 sampai 25 ton
(b) x optimal: x = -80/(2×(-3)) = 80/6 ≈ 13,33 ton
(c) Keuntungan maks:
K(80/6) = -3(6400/36) + 80(80/6) – 100
= -1600/3 + 6400/6 – 100 = -3200/6 + 6400/6 – 600/6 = 2600/6 ≈ 433,33 juta
Jadi, (a) untung jika produksi 2-25 ton, (b) optimal ≈ 13,33 ton, (c) keuntungan maks ≈ Rp433,33 juta.
LATIHAN SOAL
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan konsep yang telah dipelajari!
1.
Ketinggian sebuah bola basket yang dilempar ke atas dinyatakan dengan h(t) = -5t² + 15t + 2 meter. Tentukan ketinggian maksimum bola!
2.
Keuntungan penjualan kue dinyatakan dengan K(x) = -2x² + 24x – 40 (ribu rupiah). Berapa banyak kue harus dijual agar keuntungan maksimum?
3.
Sebuah benda dijatuhkan dari ketinggian 80 meter. Ketinggiannya h(t) = -5t² + 80. Kapan benda mencapai tanah?
4.
Luas kebun dinyatakan L(x) = -3x² + 36x. Tentukan nilai x agar luas kebun maksimum!
5.
Sebuah kembang api diluncurkan dengan ketinggian h(t) = -5t² + 50t. Tentukan waktu saat kembang api berada di ketinggian maksimum!
1.
Seorang petani memiliki kawat 100 meter untuk memagari lahan persegi panjang di samping sungai (sungai menjadi satu sisi). Tentukan dimensi lahan agar luasnya maksimum!
2.
Selisih dua bilangan positif adalah 8. Tentukan kedua bilangan tersebut agar hasil kalinya minimum!
3.
Sebuah peluru ditembakkan dengan h(t) = -5t² + 60t + 5. Tentukan (a) ketinggian maks, (b) berapa lama peluru di udara!
4.
Harga jual per unit barang p = 150 – 3x (ribu rupiah) dengan biaya produksi total C = 10x + 200. Tentukan keuntungan maksimum!
5.
Sebuah lengkungan jembatan mengikuti persamaan y = -0,02x² + 1,6x. Tentukan tinggi maksimum dan panjang bentang jembatan!
1.
Sebuah terowongan berbentuk parabola memiliki lebar 20 m dan tinggi 10 m. Sebuah bus dengan lebar 3 meter dan tinggi 4,5 meter ingin melewati terowongan. Apakah bus bisa melewati? Jelaskan!
2.
Sebuah bioskop menampung 500 penonton saat harga tiket Rp40.000. Setiap kenaikan Rp2.000, jumlah penonton berkurang 20 orang. Tentukan harga tiket agar pendapatan maksimum dan berapa pendapatan tersebut!
3.
Sebuah pabrik memproduksi x unit dengan biaya C(x) = x² + 50x + 500 dan pendapatan R(x) = 150x – 2x². Tentukan interval produksi agar untung dan keuntungan maksimumnya!
4.
Dua petak sawah bersebelahan (berbagi satu sisi pagar) akan dipagari dengan kawat 180 meter. Tentukan dimensi agar total luas kedua petak sawah maksimum!
5.
Sebuah bola ditendang dari tanah dengan lintasan y = -0,05x² + 2x (y = tinggi, x = jarak horizontal). Di depan penendang ada tembok setinggi 5 meter pada jarak 8 meter. (a) Apakah bola melewati tembok? (b) Tentukan jarak mendatar maksimum bola dan ketinggian maksimumnya!