Menentukan Titik Sudut pada SPtLDV
1. Pendahuluan
Dalam mempelajari Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV), salah satu kompetensi penting yang harus dikuasai adalah menentukan koordinat titik sudut dari daerah penyelesaian (daerah feasibel).
Titik sudut merupakan titik-titik pojok pada daerah penyelesaian yang dibentuk oleh perpotongan garis-garis batas pertidaksamaan. Titik-titik ini sangat penting karena digunakan untuk menentukan nilai optimum (maksimum atau minimum) dalam masalah program linear.
Menentukan koordinat titik sudut dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
2. Pengertian Titik Sudut
Titik sudut adalah titik perpotongan dua garis batas atau lebih pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
Jika daerah penyelesaian SPtLDV dibatasi oleh garis-garis:
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂
x = 0 (sumbu-y)
y = 0 (sumbu-x)
Maka titik sudut adalah titik-titik (x, y) yang merupakan perpotongan dari dua garis batas tersebut dan terletak pada batas daerah penyelesaian.
Sifat-sifat Titik Sudut:
- Titik sudut selalu terletak pada batas daerah penyelesaian
- Titik sudut merupakan perpotongan tepat dua garis batas
- Koordinat titik sudut memenuhi kedua persamaan garis yang berpotongan
- Jumlah titik sudut minimal 3 untuk daerah tertutup (berbentuk segitiga atau lebih)
- Nilai optimum fungsi objektif selalu terjadi di salah satu titik sudut
Gambar 1: Daerah penyelesaian dengan titik-titik sudut A, B, C, D
3. Langkah-langkah Menentukan Titik Sudut
Langkah Sistematis:
- Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan
Ganti tanda ≤, ≥, <, > menjadi tanda = untuk mendapatkan garis batas. - Gambar semua garis batas
Gambar setiap garis pada bidang koordinat cartesius. - Tentukan daerah penyelesaian (HP)
Arsir daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan secara bersamaan. - Identifikasi titik-titik pojok daerah penyelesaian
Tentukan garis-garis mana yang berpotongan di pojok-pojok daerah HP. - Hitung koordinat setiap titik sudut
Selesaikan SPLDV dari dua persamaan garis yang berpotongan menggunakan metode substitusi, eliminasi, atau campuran.
Untuk menentukan koordinat titik sudut, kita menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dari dua garis batas yang berpotongan di titik sudut tersebut.
4. Metode Substitusi
Metode substitusi dilakukan dengan cara menyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel lainnya, kemudian menggantikan (mensubstitusikan) ke persamaan yang lain.
1. Dari salah satu persamaan, nyatakan x dalam y atau sebaliknya.
2. Substitusikan ke persamaan lainnya.
3. Selesaikan persamaan untuk mendapatkan nilai satu variabel.
4. Substitusikan kembali untuk mendapatkan nilai variabel lainnya.
Contoh:
Persamaan 1: x + y = 6 → x = 6 − y
Persamaan 2: 2x + 3y = 14
Substitusi: 2(6 − y) + 3y = 14
12 − 2y + 3y = 14
y = 2
x = 6 − 2 = 4
Titik sudut: (4, 2)
5. Metode Eliminasi
Metode eliminasi dilakukan dengan cara menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dengan menyamakan koefisiennya, lalu mengurangkan atau menjumlahkan kedua persamaan.
1. Samakan koefisien salah satu variabel.
2. Kurangkan atau jumlahkan kedua persamaan.
3. Selesaikan untuk mendapatkan nilai variabel yang tersisa.
4. Ulangi untuk variabel lainnya.
Contoh:
Persamaan 1: x + y = 6 … (×2)
Persamaan 2: 2x + 3y = 14
→ 2x + 2y = 12
→ 2x + 3y = 14
─────────────── (−)
−y = −2
y = 2, kemudian x = 4
Titik sudut: (4, 2)
6. Metode Campuran (Eliminasi-Substitusi)
Metode campuran menggabungkan eliminasi dan substitusi. Biasanya kita eliminasi satu variabel terlebih dahulu, lalu substitusi hasilnya ke salah satu persamaan awal.
Persamaan 1: 3x + 2y = 12
Persamaan 2: x + 2y = 8
Eliminasi y:
3x + 2y = 12
x + 2y = 8
─────────────── (−)
2x = 4 → x = 2
Substitusi x = 2:
2 + 2y = 8
2y = 6 → y = 3
Titik sudut: (2, 3)
7. Kegiatan Pembelajaran (Pendekatan Saintifik)
🔍 Kegiatan 1: Mengamati
Perhatikan sistem pertidaksamaan linear berikut:
2x + y ≤ 12
x ≥ 0
y ≥ 0
Amati grafik berikut yang menunjukkan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan di atas:
Pertanyaan pengamatan:
- Berbentuk apakah daerah penyelesaiannya?
- Berapa banyak titik sudut yang terbentuk?
- Garis-garis mana saja yang berpotongan di setiap titik sudut?
❓ Kegiatan 2: Menanya
Berdasarkan pengamatan, rumuskan pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Bagaimana cara menentukan koordinat titik sudut yang tepat?
- Mengapa kita perlu mengubah pertidaksamaan menjadi persamaan?
- Metode apa yang paling efisien untuk menghitung titik sudut?
- Bagaimana jika garis batas sejajar (tidak berpotongan)?
- Apakah semua titik perpotongan garis selalu menjadi titik sudut daerah HP?
💡 Kegiatan 3: Menalar
Dari sistem pertidaksamaan pada kegiatan mengamati, mari kita nalar:
Titik A: Perpotongan x = 0 dan y = 0 → A(0, 0)
Titik B: Perpotongan 2x + y = 12 dan y = 0
→ 2x + 0 = 12 → x = 6 → B(6, 0)
Titik C: Perpotongan x + y = 8 dan 2x + y = 12
→ Eliminasi: x = 4, y = 4 → C(4, 4)
Titik D: Perpotongan x + y = 8 dan x = 0
→ 0 + y = 8 → y = 8 → D(0, 8)
Kesimpulan: Titik sudut daerah penyelesaian adalah A(0,0), B(6,0), C(4,4), dan D(0,8).
🧪 Kegiatan 4: Mencoba
Tentukan titik-titik sudut dari sistem pertidaksamaan berikut:
3x + y ≤ 12
x ≥ 0
y ≥ 0
Petunjuk:
- Tentukan perpotongan setiap pasangan garis batas
- Periksa apakah titik perpotongan tersebut berada di daerah HP
- Tuliskan semua titik sudut yang valid
📢 Kegiatan 5: Mengkomunikasikan
Presentasikan hasil kerja kelompokmu dengan format berikut:
- Gambarkan grafik daerah penyelesaian pada kertas berpetak
- Tandai semua titik sudut pada grafik
- Tuliskan perhitungan lengkap untuk setiap titik sudut
- Buatkan tabel yang memuat semua koordinat titik sudut
- Jelaskan metode yang digunakan dan alasannya
| Titik Sudut | Perpotongan Garis | Koordinat (x, y) |
|---|---|---|
| A | x = 0 dan y = 0 | (0, 0) |
| B | 3x + y = 12 dan y = 0 | (4, 0) |
| C | x + 2y = 10 dan 3x + y = 12 | (2.8, 3.6) |
| D | x + 2y = 10 dan x = 0 | (0, 5) |
8. Contoh Soal — Tingkat Mudah
Berikut 10 contoh soal mudah beserta pembahasan detail.
Contoh 1:
Tentukan titik potong garis x + y = 6 dengan sumbu-x (y = 0).
Substitusi y = 0 ke persamaan x + y = 6:
x + 0 = 6
x = 6
Titik potong: (6, 0)
Contoh 2:
Tentukan titik potong garis x + y = 6 dengan sumbu-y (x = 0).
Substitusi x = 0 ke persamaan x + y = 6:
0 + y = 6
y = 6
Titik potong: (0, 6)
Contoh 3:
Tentukan titik potong garis 2x + y = 10 dengan sumbu-x.
Substitusi y = 0:
2x + 0 = 10
2x = 10
x = 5
Titik potong: (5, 0)
Contoh 4:
Tentukan titik potong garis x + 2y = 8 dengan sumbu-y.
Substitusi x = 0:
0 + 2y = 8
y = 4
Titik potong: (0, 4)
Contoh 5:
Tentukan titik potong garis x + y = 4 dan x − y = 2.
x + y = 4 … (1)
x − y = 2 … (2)
Jumlahkan (1) dan (2):
2x = 6
x = 3
Substitusi ke (1): 3 + y = 4 → y = 1
Titik potong: (3, 1)
Contoh 6:
Tentukan titik potong garis x + y = 5 dan x + 2y = 8.
x + y = 5 … (1)
x + 2y = 8 … (2)
(2) − (1):
y = 3
Substitusi ke (1): x + 3 = 5 → x = 2
Titik potong: (2, 3)
Contoh 7:
Tentukan titik potong garis 2x + y = 8 dan y = 0.
2x + 0 = 8
x = 4
Titik potong: (4, 0)
Contoh 8:
Tentukan titik potong garis 3x + y = 9 dan x = 0.
3(0) + y = 9
y = 9
Titik potong: (0, 9)
Contoh 9:
Tentukan titik potong garis x + y = 10 dan 2x + y = 14.
x + y = 10 … (1)
2x + y = 14 … (2)
(2) − (1): x = 4
Substitusi: 4 + y = 10 → y = 6
Titik potong: (4, 6)
Contoh 10:
Tentukan titik potong garis x + 3y = 12 dan x = 0.
0 + 3y = 12
y = 4
Titik potong: (0, 4)
9. Contoh Soal — Tingkat Sedang
Berikut 5 contoh soal sedang yang melibatkan penentuan titik sudut dari sistem pertidaksamaan.
Contoh 1:
Tentukan semua titik sudut dari daerah penyelesaian sistem:
x + 2y ≤ 8
x ≥ 0, y ≥ 0
Garis batas: x + y = 6, x + 2y = 8, x = 0, y = 0
Titik A: x = 0 ∩ y = 0 → A(0, 0)
Titik B: x + y = 6 ∩ y = 0
x = 6 → B(6, 0)
Titik C: x + y = 6 ∩ x + 2y = 8
Eliminasi: (2) − (1): y = 2
Substitusi: x = 4 → C(4, 2)
Titik D: x + 2y = 8 ∩ x = 0
2y = 8 → y = 4 → D(0, 4)
Titik sudut: A(0,0), B(6,0), C(4,2), D(0,4)
Contoh 2:
Tentukan titik sudut dari daerah penyelesaian:
x + 3y ≤ 12
x ≥ 0, y ≥ 0
Titik A(0, 0): Perpotongan sumbu-x dan sumbu-y
Titik B: 2x + y = 10 ∩ y = 0
2x = 10 → x = 5 → B(5, 0)
Titik C: 2x + y = 10 ∩ x + 3y = 12
Dari (1): y = 10 − 2x
Substitusi ke (2): x + 3(10 − 2x) = 12
x + 30 − 6x = 12
−5x = −18 → x = 18/5 = 3,6
y = 10 − 2(3,6) = 2,8 → C(3,6; 2,8)
Titik D: x + 3y = 12 ∩ x = 0
3y = 12 → y = 4 → D(0, 4)
Titik sudut: A(0,0), B(5,0), C(3,6; 2,8), D(0,4)
Contoh 3:
Tentukan titik sudut dari:
3x + 2y ≤ 24
x ≥ 0, y ≥ 0
A(0, 0)
Titik B: 3x + 2y = 24 ∩ y = 0
3x = 24 → x = 8 → B(8, 0)
Titik C: x + y = 10 ∩ 3x + 2y = 24
Dari (1): y = 10 − x
Substitusi: 3x + 2(10 − x) = 24
3x + 20 − 2x = 24 → x = 4
y = 6 → C(4, 6)
Titik D: x + y = 10 ∩ x = 0 → D(0, 10)
Cek D: 3(0) + 2(10) = 20 ≤ 24 ✓
Titik sudut: A(0,0), B(8,0), C(4,6), D(0,10)
Contoh 4:
Tentukan titik sudut dari:
x + y ≤ 7
x ≥ 0, y ≥ 0
A(0, 0)
Titik B: x + y = 7 ∩ y = 0 → B(7, 0)
Cek: 2(7) + 3(0) = 14 ≤ 18 ✓
Titik C: 2x + 3y = 18 ∩ x + y = 7
Dari (2): x = 7 − y
Substitusi: 2(7 − y) + 3y = 18
14 − 2y + 3y = 18 → y = 4
x = 3 → C(3, 4)
Titik D: 2x + 3y = 18 ∩ x = 0
3y = 18 → y = 6 → D(0, 6)
Cek: 0 + 6 = 6 ≤ 7 ✓
Titik sudut: A(0,0), B(7,0), C(3,4), D(0,6)
Contoh 5:
Tentukan titik sudut dari:
2x + y ≤ 12
x ≥ 0, y ≥ 0
A(0, 0)
Titik B: 2x + y = 12 ∩ y = 0 → B(6, 0)
Cek: 6 + 0 = 6 ≤ 12 ✓
Titik C: x + 2y = 12 ∩ 2x + y = 12
Eliminasi: (2) × 2: 4x + 2y = 24
(2×2) − (1): 3x = 12 → x = 4
y = 12 − 2(4) = 4 → C(4, 4)
Titik D: x + 2y = 12 ∩ x = 0 → y = 6 → D(0, 6)
Cek: 2(0) + 6 = 6 ≤ 12 ✓
Titik sudut: A(0,0), B(6,0), C(4,4), D(0,6)
10. Contoh Soal — Tingkat Sulit
Berikut 5 contoh soal sulit yang melibatkan lebih banyak pertidaksamaan dan analisis yang lebih kompleks.
Contoh 1:
Tentukan semua titik sudut dari:
2x + y ≤ 12
x + 3y ≤ 15
x ≥ 0, y ≥ 0
Garis batas: L₁: x + y = 8, L₂: 2x + y = 12, L₃: x + 3y = 15
A(0, 0): Perpotongan sumbu-x dan sumbu-y ✓
Titik B: L₂ ∩ sumbu-x: 2x = 12 → B(6, 0)
Cek L₁: 6 + 0 = 6 ≤ 8 ✓; L₃: 6 + 0 = 6 ≤ 15 ✓
Titik C: L₁ ∩ L₂:
2x + y = 12 − x + y = 8 → x = 4, y = 4 → C(4, 4)
Cek L₃: 4 + 12 = 16 > 15 ✗ → Titik C BUKAN titik sudut HP!
Karena C tidak valid, kita cari perpotongan lain:
Titik C’: L₂ ∩ L₃:
2x + y = 12 … (×3): 6x + 3y = 36
x + 3y = 15
Kurang: 5x = 21 → x = 21/5 = 4,2
y = 12 − 2(4,2) = 3,6 → C'(4,2; 3,6)
Cek L₁: 4,2 + 3,6 = 7,8 ≤ 8 ✓
Titik D: L₁ ∩ L₃:
x + y = 8 … (×3): 3x + 3y = 24
x + 3y = 15
Kurang: 2x = 9 → x = 4,5, y = 3,5
Cek L₂: 2(4,5) + 3,5 = 12,5 > 12 ✗ → Tidak valid!
Titik D’: L₃ ∩ sumbu-y: 3y = 15 → y = 5 → D'(0, 5)
Cek L₁: 0 + 5 = 5 ≤ 8 ✓; L₂: 0 + 5 = 5 ≤ 12 ✓
Titik sudut valid: A(0,0), B(6,0), C'(4,2; 3,6), D'(0,5)
Contoh 2:
Tentukan titik sudut dari:
x + 2y ≤ 16
x + y ≤ 10
x ≥ 0, y ≥ 0
L₁: 3x + 2y = 24, L₂: x + 2y = 16, L₃: x + y = 10
A(0, 0) ✓
B: L₁ ∩ sumbu-x: 3x = 24 → B(8, 0)
Cek L₂: 8 ≤ 16 ✓; L₃: 8 ≤ 10 ✓
C: L₁ ∩ L₃:
3x + 2y = 24 dan x + y = 10 → y = 10 − x
3x + 2(10 − x) = 24 → x = 4, y = 6 → C(4, 6)
Cek L₂: 4 + 12 = 16 ≤ 16 ✓
D: L₃ ∩ L₂:
x + y = 10 dan x + 2y = 16
Kurang: −y = −6 → y = 6, x = 4
Ini sama dengan titik C! Artinya ketiga garis bertemu di satu titik.
D: L₂ ∩ sumbu-y: 2y = 16 → y = 8 → D(0, 8)
Cek L₁: 0 + 16 = 16 ≤ 24 ✓; L₃: 0 + 8 = 8 ≤ 10 ✓
Titik sudut: A(0,0), B(8,0), C(4,6), D(0,8)
Contoh 3:
Daerah penyelesaian ditentukan oleh:
x + 2y ≤ 12
2x + y ≤ 12
x ≥ 0, y ≥ 0
Perhatikan: L₁ batasnya x + y ≥ 4 (daerah di atas garis)
Titik A: L₁ ∩ sumbu-x: x + 0 = 4 → A(4, 0)
Cek L₃: 8 + 0 = 8 ≤ 12 ✓; L₂: 4 + 0 = 4 ≤ 12 ✓
Titik B: L₃ ∩ sumbu-x: 2x = 12 → x = 6 → B(6, 0)
Cek L₁: 6 + 0 = 6 ≥ 4 ✓; L₂: 6 + 0 = 6 ≤ 12 ✓
Titik C: L₂ ∩ L₃:
x + 2y = 12 dan 2x + y = 12
Eliminasi: (2)×2 − (1): 3x = 12 → x = 4, y = 4 → C(4, 4)
Cek L₁: 4 + 4 = 8 ≥ 4 ✓
Titik D: L₂ ∩ sumbu-y: 2y = 12 → y = 6 → D(0, 6)
Cek L₁: 0 + 6 = 6 ≥ 4 ✓; L₃: 0 + 6 = 6 ≤ 12 ✓
Titik E: L₁ ∩ sumbu-y: 0 + y = 4 → E(0, 4)
Cek L₂: 0 + 8 = 8 ≤ 12 ✓; L₃: 0 + 4 = 4 ≤ 12 ✓
Titik sudut: A(4,0), B(6,0), C(4,4), D(0,6), E(0,4)
Contoh 4:
Tentukan titik sudut dari:
3x + 2y ≤ 30
x + y ≥ 4
x ≥ 0, y ≥ 0
L₁: 2x + 3y = 30, L₂: 3x + 2y = 30, L₃: x + y = 4
A: L₃ ∩ sumbu-x: A(4, 0)
Cek L₁: 8 + 0 = 8 ≤ 30 ✓; L₂: 12 + 0 = 12 ≤ 30 ✓
B: L₂ ∩ sumbu-x: 3x = 30 → B(10, 0)
Cek L₁: 20 ≤ 30 ✓; L₃: 10 ≥ 4 ✓
C: L₁ ∩ L₂:
2x + 3y = 30 … (×3): 6x + 9y = 90
3x + 2y = 30 … (×2): 6x + 4y = 60
Kurang: 5y = 30 → y = 6, x = 6 → C(6, 6)
Cek L₃: 12 ≥ 4 ✓
D: L₁ ∩ sumbu-y: 3y = 30 → y = 10 → D(0, 10)
Cek L₂: 20 ≤ 30 ✓; L₃: 10 ≥ 4 ✓
E: L₃ ∩ sumbu-y: E(0, 4)
Cek L₁: 12 ≤ 30 ✓; L₂: 8 ≤ 30 ✓
Titik sudut: A(4,0), B(10,0), C(6,6), D(0,10), E(0,4)
Contoh 5:
Sebuah perusahaan memproduksi dua jenis barang. Kendala produksi:
2x + 4y ≤ 40 (waktu kerja)
x ≤ 10 (kapasitas mesin)
x ≥ 0, y ≥ 0
Tentukan semua titik sudut daerah penyelesaian!
L₁: 4x + 3y = 48, L₂: 2x + 4y = 40 (atau x + 2y = 20), L₃: x = 10
A(0, 0) ✓
B: L₃ ∩ sumbu-x: B(10, 0)
Cek L₁: 40 + 0 = 40 ≤ 48 ✓; L₂: 20 + 0 = 20 ≤ 40 ✓
C: L₁ ∩ L₃ (x = 10):
4(10) + 3y = 48 → 3y = 8 → y = 8/3 ≈ 2,67 → C(10; 8/3)
Cek L₂: 20 + 32/3 ≈ 30,67 ≤ 40 ✓
D: L₁ ∩ L₂:
4x + 3y = 48 … (×4): 16x + 12y = 192
2x + 4y = 40 … (×3): 6x + 12y = 120
Kurang: 10x = 72 → x = 7,2
y = (20 − 7,2)/2 = 6,4 → D(7,2; 6,4)
Cek L₃: 7,2 ≤ 10 ✓
E: L₂ ∩ sumbu-y: 4y = 40 → y = 10 → E(0, 10)
Cek L₁: 0 + 30 = 30 ≤ 48 ✓; L₃: ✓
Titik sudut: A(0,0), B(10,0), C(10; 8/3), D(7,2; 6,4), E(0,10)
11. Latihan Soal — Tingkat Mudah
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri!
- Tentukan titik potong garis 3x + y = 9 dengan sumbu-x.
- Tentukan titik potong garis 2x + 5y = 20 dengan sumbu-y.
- Tentukan titik potong garis x + 4y = 16 dengan sumbu-x.
- Tentukan titik potong garis 4x + y = 12 dengan sumbu-y.
- Tentukan titik potong garis x + y = 7 dan x − y = 3.
- Tentukan titik potong garis 2x + y = 10 dan x + y = 6.
- Tentukan titik potong garis x + y = 9 dan x + 3y = 15.
- Tentukan titik potong garis 3x + y = 15 dengan sumbu-x dan sumbu-y.
- Tentukan titik potong garis x + 2y = 10 dan 2x + y = 8.
- Tentukan titik potong garis x + y = 5 dan 2x − y = 4.
12. Latihan Soal — Tingkat Sedang
- Tentukan semua titik sudut dari:
x + y ≤ 7, 2x + y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0 - Tentukan titik sudut dari:
x + 2y ≤ 14, 3x + y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0 - Tentukan titik sudut dari:
2x + y ≤ 16, x + 2y ≤ 14, x ≥ 0, y ≥ 0 - Tentukan titik sudut dari:
x + y ≤ 12, x + 3y ≤ 24, x ≥ 0, y ≥ 0 - Tentukan titik sudut dari:
3x + 4y ≤ 24, x + 2y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0
13. Latihan Soal — Tingkat Sulit
- Tentukan semua titik sudut dari:
x + y ≤ 10, 2x + 3y ≤ 24, 3x + y ≤ 18, x ≥ 0, y ≥ 0 - Tentukan titik sudut dari:
x + 2y ≥ 6, 2x + y ≤ 14, x + y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0 - Tentukan titik sudut daerah penyelesaian:
5x + 3y ≤ 30, x + 2y ≤ 12, x + y ≥ 3, x ≥ 0, y ≥ 0 - Sebuah pabrik memproduksi 2 jenis produk dengan kendala:
3x + 2y ≤ 36, x + 3y ≤ 30, x + y ≤ 14, x ≥ 0, y ≥ 0
Tentukan semua titik sudut! - Tentukan titik sudut dari:
2x + y ≤ 20, x + 2y ≤ 20, x + y ≥ 6, x ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0