Interpretasi Solusi pada Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Makna Daerah Feasible (Daerah Layak)
Materi: Interpretasi Solusi & Daerah Feasible
A. Pengertian Dasar
1. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV)
Pertidaksamaan linear dua variabel adalah kalimat terbuka yang memuat dua variabel (biasanya x dan y) berpangkat satu dan dihubungkan oleh tanda ketidaksamaan.
Bentuk umum:
ax + by < c atau ax + by ≤ c
ax + by > c atau ax + by ≥ c
dengan a, b, c ∈ ℝ dan a ≠ 0 atau b ≠ 0
2. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)
SPtLDV adalah kumpulan dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel yang harus dipenuhi secara serentak (bersamaan).
Contoh SPtLDV:
x + y ≤ 10
2x + y ≤ 14
x ≥ 0
y ≥ 0
3. Daerah Feasible (Daerah Layak / Daerah Penyelesaian)
Daerah feasible adalah daerah pada bidang koordinat yang memenuhi semua pertidaksamaan dalam sistem secara bersamaan. Setiap titik di dalam daerah ini merupakan solusi dari SPtLDV.
★ Poin Penting:
- Daerah feasible adalah irisan (intersection) dari semua daerah penyelesaian masing-masing pertidaksamaan.
- Titik-titik di dalam daerah feasible disebut solusi layak (feasible solution).
- Titik sudut (vertex) daerah feasible sering menghasilkan nilai optimum pada masalah program linear.
- Jika tidak ada daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan sekaligus, maka SPtLDV tidak memiliki solusi.
B. Langkah-Langkah Menentukan Daerah Feasible
- Ubah setiap pertidaksamaan menjadi persamaan (ganti tanda ≤, ≥, <, > menjadi =).
- Gambar garis batas dari setiap persamaan pada bidang koordinat.
- Garis penuh (solid) untuk tanda ≤ atau ≥
- Garis putus-putus (dashed) untuk tanda < atau >
- Tentukan daerah penyelesaian setiap pertidaksamaan dengan menguji titik (biasanya titik O(0,0) jika garis tidak melalui titik asal).
- Arsir daerah yang TIDAK memenuhi pertidaksamaan (sehingga daerah bersih/putih adalah solusi), ATAU arsir daerah yang memenuhi – tergantung konvensi yang digunakan.
- Tentukan irisan semua daerah penyelesaian. Irisan inilah daerah feasible.
- Tentukan titik-titik sudut daerah feasible (titik potong antar garis batas).
Ilustrasi Daerah Feasible
Gambar: Daerah yang diarsir kuning merupakan daerah feasible (semua pertidaksamaan terpenuhi)
C. Interpretasi Solusi pada Daerah Feasible
1. Makna Geometris
- Setiap pertidaksamaan membagi bidang koordinat menjadi dua setengah bidang (half-plane).
- Garis batas memisahkan daerah yang memenuhi dan tidak memenuhi pertidaksamaan.
- Daerah feasible adalah poligon konveks (atau daerah tak terbatas) yang merupakan irisan semua setengah bidang.
2. Makna dalam Konteks Masalah Nyata
Dalam kehidupan nyata, daerah feasible merepresentasikan:
| Konteks | Variabel | Pertidaksamaan | Daerah Feasible |
|---|---|---|---|
| Produksi | Jumlah produk A & B | Keterbatasan bahan baku, waktu, tenaga | Kombinasi produksi yang mungkin |
| Investasi | Dana di saham & obligasi | Batas modal, risiko minimum | Alokasi dana yang layak |
| Nutrisi | Porsi makanan A & B | Kebutuhan gizi minimum & maksimum | Kombinasi menu yang memenuhi gizi |
| Transportasi | Jumlah truk besar & kecil | Kapasitas, biaya, waktu | Pilihan armada yang valid |
3. Sifat-sifat Daerah Feasible
- Terbatas (bounded): Daerah feasible berbentuk poligon tertutup.
- Tidak terbatas (unbounded): Daerah feasible meluas ke tak hingga ke suatu arah.
- Kosong: Tidak ada titik yang memenuhi semua pertidaksamaan sekaligus (sistem tidak konsisten).
- Konveks: Jika titik A dan B berada di daerah feasible, maka semua titik pada ruas garis AB juga berada di daerah feasible.
4. Cara Memeriksa Apakah Suatu Titik Berada di Daerah Feasible
Langkah: Substitusikan koordinat titik ke semua pertidaksamaan.
Jika semua pertidaksamaan bernilai benar → titik berada di daerah feasible.
Jika salah satu pertidaksamaan bernilai salah → titik tidak berada di daerah feasible.
Contoh Cepat:
Periksa apakah titik (2, 3) memenuhi sistem:
x + y ≤ 10 → 2 + 3 = 5 ≤ 10 ✓
2x + y ≤ 14 → 4 + 3 = 7 ≤ 14 ✓
x ≥ 0 → 2 ≥ 0 ✓
y ≥ 0 → 3 ≥ 0 ✓
Semua terpenuhi → (2, 3) berada di daerah feasible ✓
D. Titik Sudut Daerah Feasible
Titik sudut (vertex/corner point) daerah feasible diperoleh dari perpotongan dua garis batas. Titik-titik ini sangat penting dalam program linear karena:
Teorema Titik Sudut:
Jika fungsi objektif memiliki nilai optimum (maksimum/minimum) pada daerah feasible yang terbatas, maka nilai optimum tersebut pasti tercapai di salah satu titik sudut.
Cara Menentukan Titik Sudut:
- Tentukan semua pasangan garis batas yang mungkin berpotongan.
- Selesaikan setiap sistem persamaan linear (dari pasangan garis) untuk mendapatkan titik potong.
- Periksa apakah titik potong tersebut memenuhi semua pertidaksamaan lainnya.
- Titik potong yang memenuhi semua pertidaksamaan adalah titik sudut daerah feasible.
Kegiatan Pembelajaran (Pendekatan Saintifik 5M)
1. MENGAMATI
Perhatikan masalah berikut:
Masalah Kontekstual:
Sebuah toko roti memproduksi dua jenis roti: roti cokelat dan roti keju. Setiap hari:
- Bahan tepung tersedia paling banyak 20 kg. Roti cokelat butuh 2 kg, roti keju butuh 1 kg per loyang.
- Waktu kerja tersedia paling banyak 12 jam. Roti cokelat butuh 1 jam, roti keju butuh 2 jam per loyang.
- Jumlah roti yang diproduksi tidak mungkin negatif.
Amati: Kombinasi produksi apa saja yang mungkin dilakukan toko tersebut?
Model matematika:
Misal x = loyang roti cokelat, y = loyang roti keju
2x + y ≤ 20 (kendala tepung)
x + 2y ≤ 12 (kendala waktu)
x ≥ 0, y ≥ 0 (kendala non-negatif)
2. MENANYA
Setelah mengamati masalah di atas, ajukan pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Bagaimana cara menggambar daerah penyelesaian dari sistem tersebut?
- Apakah titik (5, 5) merupakan solusi yang layak? Mengapa?
- Apa arti daerah feasible dalam konteks produksi roti ini?
- Di mana letak kombinasi produksi terbaik (paling menguntungkan)?
- Apa yang terjadi jika bahan tepung ditambah menjadi 30 kg?
3. MENALAR
Dari masalah toko roti, kita dapat menyimpulkan:
- Setiap kendala (tepung, waktu, non-negatif) membentuk setengah bidang pada koordinat.
- Irisan semua setengah bidang = daerah feasible = semua kombinasi produksi yang mungkin.
- Titik (5, 5): 2(5)+5=15 ≤ 20 ✓, tapi 5+2(5)=15 > 12 ✗ → bukan solusi layak (waktu tidak cukup).
- Titik (4, 4): 2(4)+4=12 ≤ 20 ✓, 4+2(4)=12 ≤ 12 ✓ → solusi layak.
- Daerah feasible berbentuk poligon konveks dengan titik sudut: (0,0), (10,0), (28/3, 4/3)≈(9.3,1.3), (0,6).
4. MENCOBA
Kerjakan kegiatan berikut:
Kegiatan:
- Gambar garis 2x + y = 20 dan x + 2y = 12 pada kertas berpetak.
- Tentukan daerah yang memenuhi setiap pertidaksamaan dengan menguji titik (0,0).
- Arsir daerah yang TIDAK memenuhi.
- Daerah yang tersisa (tidak diarsir) adalah daerah feasible.
- Tentukan semua titik sudut daerah feasible.
- Uji 3 titik: (3,2), (8,5), (6,3) — mana yang berada di daerah feasible?
5. MENGKOMUNIKASIKAN
Presentasikan hasil kerjamu dengan menjawab:
- Jelaskan apa itu daerah feasible dengan bahasamu sendiri.
- Gambarkan grafik daerah feasible yang telah kamu tentukan.
- Sebutkan semua titik sudut dan jelaskan cara menemukannya.
- Berikan contoh 2 titik di dalam daerah feasible dan 2 titik di luar, serta buktikan dengan substitusi.
- Hubungkan makna daerah feasible dengan konteks masalah toko roti.
Contoh Soal + Pembahasan
● Tingkat Mudah (10 Soal)
Contoh 1
Tentukan apakah titik (1, 2) merupakan solusi dari pertidaksamaan x + y ≤ 5.
Pembahasan:
Substitusi x=1, y=2:
1 + 2 = 3
Periksa: 3 ≤ 5 → BENAR
Jadi, titik (1, 2) merupakan solusi. ✓
Contoh 2
Tentukan apakah titik (4, 3) merupakan solusi dari pertidaksamaan 2x + y ≤ 10.
Pembahasan:
2(4) + 3 = 8 + 3 = 11
Periksa: 11 ≤ 10 → SALAH
Jadi, titik (4, 3) bukan solusi. ✗
Contoh 3
Tentukan apakah titik (0, 0) berada di daerah feasible dari sistem:
x + y ≤ 6 dan x ≥ 0, y ≥ 0.
Pembahasan:
• x + y ≤ 6 → 0 + 0 = 0 ≤ 6 ✓
• x ≥ 0 → 0 ≥ 0 ✓
• y ≥ 0 → 0 ≥ 0 ✓
Semua terpenuhi → (0,0) berada di daerah feasible. ✓
Contoh 4
Tentukan daerah penyelesaian dari y ≤ 4 dan x ≥ 0, y ≥ 0. Sebutkan 2 titik yang berada di daerah feasible.
Pembahasan:
Daerah feasible: semua titik (x, y) di kuadran I dengan y antara 0 dan 4.
Bentuk: pita horizontal dari y=0 sampai y=4, x ≥ 0.
Contoh titik di daerah feasible:
• (1, 2): y=2 ≤ 4 ✓, x=1 ≥ 0 ✓, y=2 ≥ 0 ✓
• (5, 3): y=3 ≤ 4 ✓, x=5 ≥ 0 ✓, y=3 ≥ 0 ✓
Contoh 5
Gambarlah garis batas dari pertidaksamaan x + 2y = 8 dan tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat.
Pembahasan:
Titik potong sumbu x (y=0): x + 0 = 8 → x = 8 → titik (8, 0)
Titik potong sumbu y (x=0): 0 + 2y = 8 → y = 4 → titik (0, 4)
Gambar garis melalui (8, 0) dan (0, 4).
Karena pertidaksamaan ≤ maka garis solid, daerah penyelesaian di bawah garis (arah titik asal).
Contoh 6
Periksa apakah titik (3, 1) memenuhi sistem:
x + y ≤ 5
x – y ≥ 1
Pembahasan:
• x + y ≤ 5 → 3 + 1 = 4 ≤ 5 ✓
• x – y ≥ 1 → 3 – 1 = 2 ≥ 1 ✓
Titik (3, 1) berada di daerah feasible. ✓
Contoh 7
Tentukan titik potong garis x + y = 6 dan x = 0 (sumbu y).
Pembahasan:
Substitusi x=0 ke x + y = 6:
0 + y = 6 → y = 6
Titik potong: (0, 6)
Contoh 8
Diberikan 3x + y ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0. Apakah titik (2, 4) di daerah feasible?
Pembahasan:
3(2) + 4 = 6 + 4 = 10
Periksa: 10 ≤ 9 → SALAH
Titik (2, 4) tidak berada di daerah feasible. ✗
Contoh 9
Sebutkan jenis garis batas (solid/putus-putus) untuk pertidaksamaan:
a) x + y < 7
b) 2x + 3y ≥ 12
Pembahasan:
a) Tanda < (kurang dari, tanpa sama dengan) → garis putus-putus (titik pada garis bukan solusi)
b) Tanda ≥ (lebih dari atau sama dengan) → garis solid (titik pada garis termasuk solusi)
Contoh 10
Daerah feasible dari suatu SPtLDV memiliki titik sudut: (0,0), (4,0), (0,3). Apakah titik (2, 1) berada di dalam daerah feasible?
Pembahasan:
Daerah feasible berbentuk segitiga dengan titik sudut (0,0), (4,0), (0,3).
Garis penghubung (4,0) dan (0,3): 3x + 4y = 12 atau 3x + 4y ≤ 12.
Periksa (2,1): 3(2) + 4(1) = 10 ≤ 12 ✓, x=2 ≥ 0 ✓, y=1 ≥ 0 ✓
Titik (2, 1) berada di dalam daerah feasible. ✓
● Tingkat Sedang (5 Soal)
Contoh 11
Tentukan titik-titik sudut daerah feasible dari sistem:
x + y ≤ 8
x + 2y ≤ 12
x ≥ 0, y ≥ 0
Pembahasan:
Langkah 1: Titik potong dengan sumbu
Garis x+y=8: potong sumbu x di (8,0), sumbu y di (0,8)
Garis x+2y=12: potong sumbu x di (12,0), sumbu y di (0,6)
Langkah 2: Titik potong antar garis
x + y = 8 … (i)
x + 2y = 12 … (ii)
(ii) – (i): y = 4
Substitusi ke (i): x = 8 – 4 = 4
Titik potong: (4, 4)
Langkah 3: Kandidat titik sudut
(0, 0), (8, 0), (4, 4), (0, 6)
Langkah 4: Verifikasi
• (8, 0): x+2y = 8 ≤ 12 ✓
• (0, 6): x+y = 6 ≤ 8 ✓
• (4, 4): x+y=8 ✓, x+2y=12 ✓
Titik sudut daerah feasible: (0,0), (8,0), (4,4), (0,6)
Contoh 12
Seorang pengusaha membuat kursi (x) dan meja (y). Kendala:
2x + 4y ≤ 24 (kayu, dalam batang)
3x + 2y ≤ 18 (waktu, dalam jam)
x ≥ 0, y ≥ 0
Tentukan daerah feasible dan semua titik sudutnya.
Pembahasan:
Garis batas:
2x + 4y = 24 → x + 2y = 12 → titik (12,0) dan (0,6)
3x + 2y = 18 → titik (6,0) dan (0,9)
Titik potong dua garis:
x + 2y = 12 … (i)
3x + 2y = 18 … (ii)
(ii) – (i): 2x = 6 → x = 3
Substitusi: 3 + 2y = 12 → y = 4.5
Titik potong: (3, 4.5)
Titik sudut daerah feasible:
(0, 0), (6, 0), (3, 4.5), (0, 6)
Verifikasi (3, 4.5):
2(3)+4(4.5) = 6+18 = 24 ≤ 24 ✓
3(3)+2(4.5) = 9+9 = 18 ≤ 18 ✓
Daerah feasible: poligon dengan titik sudut (0,0), (6,0), (3,4.5), (0,6)
Contoh 13
Tentukan luas daerah feasible dari sistem:
x + y ≤ 6, x ≤ 4, y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0
Pembahasan:
Titik sudut:
• (0,0): semua terpenuhi ✓
• (4,0): x+y=4≤6 ✓, x=4≤4 ✓
• (4,2): x+y=6≤6 ✓, x=4≤4 ✓, y=2≤5 ✓ [potong x+y=6 dan x=4]
• (1,5): x+y=6≤6 ✓, x=1≤4 ✓, y=5≤5 ✓ [potong x+y=6 dan y=5]
• (0,5): semua terpenuhi ✓
Titik sudut: (0,0), (4,0), (4,2), (1,5), (0,5)
Luas (formula Shoelace):
L = ½|x₁(y₂-y₅) + x₂(y₃-y₁) + x₃(y₄-y₂) + x₄(y₅-y₃) + x₅(y₁-y₄)|
= ½|0(0-5) + 4(2-0) + 4(5-0) + 1(5-2) + 0(0-5)|
= ½|0 + 8 + 20 + 3 + 0| = ½ × 31 = 15.5 satuan luas
Contoh 14
Diketahui daerah feasible memiliki titik sudut A(0,0), B(5,0), C(3,4), D(0,6). Jika fungsi objektif f(x,y) = 2x + 3y, tentukan nilai maksimum dan minimum.
Pembahasan:
Hitung f di setiap titik sudut:
• f(0,0) = 2(0) + 3(0) = 0
• f(5,0) = 2(5) + 3(0) = 10
• f(3,4) = 2(3) + 3(4) = 6 + 12 = 18
• f(0,6) = 2(0) + 3(6) = 18
Nilai maksimum = 18 (di titik C(3,4) dan D(0,6))
Nilai minimum = 0 (di titik A(0,0))
Catatan: Karena maks tercapai di dua titik sudut, maka semua titik pada ruas CD juga memberikan nilai maks 18.
Contoh 15
Tunjukkan bahwa sistem berikut memiliki daerah feasible tak terbatas (unbounded):
x + y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
Pembahasan:
Garis batas x + y = 4 melalui (4,0) dan (0,4).
Pertidaksamaan x + y ≥ 4: daerah di atas/kanan garis.
Dengan x ≥ 0 dan y ≥ 0, daerah feasible berada di kuadran I, di atas garis x+y=4.
Uji: ambil titik (100, 100):
100+100 = 200 ≥ 4 ✓, x ≥ 0 ✓, y ≥ 0 ✓
Kita bisa mengambil titik dengan x dan y semakin besar tanpa batas.
Kesimpulan: daerah feasible meluas tanpa batas ke arah kanan atas → tak terbatas (unbounded). ✓
Titik sudut daerah: (4,0) dan (0,4).
● Tingkat Sulit (5 Soal)
Contoh 16
Sebuah pabrik memproduksi dua jenis barang A (x unit) dan B (y unit) per hari. Kendala:
3x + 2y ≤ 30 (bahan baku I)
x + 2y ≤ 20 (bahan baku II)
x + y ≤ 12 (tenaga kerja)
x ≥ 0, y ≥ 0
Tentukan semua titik sudut daerah feasible dan interpretasikan maknanya.
Pembahasan:
Langkah 1: Garis batas dan titik potong sumbu
L₁: 3x+2y=30 → (10,0), (0,15)
L₂: x+2y=20 → (20,0), (0,10)
L₃: x+y=12 → (12,0), (0,12)
Langkah 2: Titik potong antar garis
L₁ ∩ L₃: 3x+2y=30 dan x+y=12
Dari L₃: y = 12-x. Substitusi: 3x + 2(12-x) = 30 → x + 24 = 30 → x = 6, y = 6
Titik: (6, 6)
L₂ ∩ L₃: x+2y=20 dan x+y=12
Eliminasi: y = 8, x = 4
Titik: (4, 8)
L₁ ∩ L₂: 3x+2y=30 dan x+2y=20
Eliminasi: 2x = 10 → x=5, y=7.5
Titik: (5, 7.5)
Langkah 3: Verifikasi setiap titik potong
• (6,6): L₂: 6+12=18 ≤ 20 ✓ → valid
• (4,8): L₁: 12+16=28 ≤ 30 ✓ → tapi x+y=12 ✓ → valid
• (5,7.5): L₃: 5+7.5=12.5 > 12 ✗ → tidak valid
Langkah 4: Titik sudut daerah feasible
(0,0), (10,0), (6,6), (4,8), (0,10)
Interpretasi:
- (0,0): Tidak produksi apa-apa
- (10,0): Hanya produksi 10 unit A, tanpa B
- (6,6): Produksi 6 unit A dan 6 unit B (semua sumber daya digunakan efisien)
- (4,8): Produksi 4 unit A dan 8 unit B
- (0,10): Hanya produksi 10 unit B, tanpa A
Contoh 17
Tentukan apakah sistem berikut memiliki daerah feasible atau tidak (konsistensi):
x + y ≤ 4
x + y ≥ 6
x ≥ 0, y ≥ 0
Pembahasan:
Pertidaksamaan 1: x + y ≤ 4 → daerah di bawah/pada garis x+y=4
Pertidaksamaan 2: x + y ≥ 6 → daerah di atas/pada garis x+y=6
Karena garis x+y=4 dan x+y=6 sejajar (gradien sama = -1), dan:
Daerah 1 berada di bawah garis x+y=4
Daerah 2 berada di atas garis x+y=6
Kedua daerah tidak beririsan (ada celah antara garis y=-x+4 dan y=-x+6).
Kesimpulan: Sistem TIDAK memiliki daerah feasible (tidak konsisten / himpunan kosong). ✗
Tidak ada titik (x,y) yang memenuhi x+y ≤ 4 DAN x+y ≥ 6 secara bersamaan.
Contoh 18
Sebuah perusahaan nutrisi ingin mencampur dua jenis makanan P dan Q. Syarat:
2x + y ≥ 10 (protein minimum 10 g)
x + 3y ≥ 12 (vitamin minimum 12 mg)
x + y ≤ 8 (batas kalori)
x ≥ 0, y ≥ 0
Tentukan daerah feasible, titik sudut, dan interpretasikan apakah masalah ini feasible.
Pembahasan:
Titik potong garis:
L₁∩L₂: 2x+y=10, x+3y=12 → dari L₁: y=10-2x → x+3(10-2x)=12 → x+30-6x=12 → -5x=-18 → x=3.6, y=2.8
Titik: (3.6, 2.8)
L₁∩L₃: 2x+y=10, x+y=8 → x=2, y=6
Titik: (2, 6)
L₂∩L₃: x+3y=12, x+y=8 → 2y=4 → y=2, x=6
Titik: (6, 2)
Verifikasi:
• (3.6, 2.8): L₃: 3.6+2.8=6.4 ≤ 8 ✓ → valid
• (2, 6): L₂: 2+18=20 ≥ 12 ✓ → valid
• (6, 2): L₁: 12+2=14 ≥ 10 ✓ → valid
Titik sudut daerah feasible: (3.6, 2.8), (2, 6), (6, 2)
Interpretasi: Masalah ini feasible – ada kombinasi makanan P dan Q yang memenuhi protein minimum, vitamin minimum, dan batas kalori. Daerah feasible berbentuk segitiga.
Contoh 19
Diberikan SPtLDV:
x + 2y ≤ 16
3x + 2y ≤ 24
x + y ≥ 4
x ≥ 0, y ≥ 0
Tentukan semua titik sudut dan hitung luas daerah feasible.
Pembahasan:
Titik potong garis:
L₁∩L₂: x+2y=16, 3x+2y=24 → 2x=8 → x=4, y=6. Titik (4,6)
L₁∩sumbu y: (0,8)
L₂∩sumbu x: (8,0)
L₃∩sumbu x: (4,0)
L₃∩sumbu y: (0,4)
Verifikasi dan titik sudut:
(4,0): L₁: 4≤16 ✓, L₂: 12≤24 ✓, L₃: 4≥4 ✓ → valid
(8,0): L₁: 8≤16 ✓, L₂: 24≤24 ✓, L₃: 8≥4 ✓ → valid
(4,6): L₃: 10≥4 ✓ → valid
(0,8): L₂: 16≤24 ✓, L₃: 8≥4 ✓ → valid
(0,4): L₁: 8≤16 ✓, L₂: 8≤24 ✓ → valid
Titik sudut: (4,0), (8,0), (4,6), (0,8), (0,4)
Luas (Shoelace):
L = ½|4(0-4) + 8(6-0) + 4(8-0) + 0(4-6) + 0(0-8)|
= ½|(-16) + 48 + 32 + 0 + 0| = ½ × 64 = 32 satuan luas
Contoh 20
Sebuah investor mengalokasikan dana ke saham (x juta) dan obligasi (y juta). Syarat:
x + y ≤ 100 (total dana 100 juta)
x ≥ 20 (saham minimal 20 juta)
y ≥ 30 (obligasi minimal 30 juta)
x ≤ 60 (saham maksimal 60 juta)
Tentukan daerah feasible, semua titik sudut, dan tentukan alokasi yang memaksimumkan return jika R = 0.12x + 0.08y.
Pembahasan:
Kendala dalam bentuk standar:
x + y ≤ 100, x ≥ 20, y ≥ 30, x ≤ 60
Titik sudut (potong batas-batas):
A: x=20, y=30 → 20+30=50 ≤ 100 ✓ → (20, 30)
B: x=60, y=30 → 60+30=90 ≤ 100 ✓ → (60, 30)
C: x=60, x+y=100 → y=40, y=40 ≥ 30 ✓ → (60, 40)
D: x=20, x+y=100 → y=80, y=80 ≥ 30 ✓ → (20, 80)
Cek semua kendala terpenuhi → Titik sudut: (20,30), (60,30), (60,40), (20,80)
Hitung Return:
R(20,30) = 0.12(20) + 0.08(30) = 2.4 + 2.4 = 4.8 juta
R(60,30) = 0.12(60) + 0.08(30) = 7.2 + 2.4 = 9.6 juta
R(60,40) = 0.12(60) + 0.08(40) = 7.2 + 3.2 = 10.4 juta
R(20,80) = 0.12(20) + 0.08(80) = 2.4 + 6.4 = 8.8 juta
Return maksimum = 10.4 juta di titik (60, 40)
Interpretasi: Alokasikan 60 juta ke saham dan 40 juta ke obligasi untuk return maksimum.
Latihan Soal (Tanpa Pembahasan)
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Gunakan langkah-langkah yang telah dipelajari.
● Tingkat Mudah (10 Soal)
1. Tentukan apakah titik (2, 1) memenuhi pertidaksamaan x + y ≤ 4.
2. Tentukan apakah titik (3, 5) memenuhi pertidaksamaan 2x + y ≤ 10.
3. Gambar garis batas x + y = 7 dan tentukan titik potong dengan kedua sumbu koordinat.
4. Periksa apakah titik (0, 3) berada di daerah feasible dari: x + 2y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0.
5. Tentukan jenis garis (solid/putus-putus) untuk: a) 3x + y > 6, b) x + 4y ≤ 16.
6. Periksa apakah titik (1, 1) memenuhi sistem: x + y ≤ 5 dan x – y ≤ 2.
7. Tentukan dua titik yang berada di daerah penyelesaian y ≤ 3, x ≥ 0, y ≥ 0.
8. Apakah titik (5, 0) memenuhi: x + y ≤ 6, 2x + y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0?
9. Tentukan titik potong garis 2x + 3y = 12 dengan sumbu x dan sumbu y.
10. Apakah titik (4, 4) berada di daerah feasible dari: x + y ≤ 7, x ≥ 0, y ≥ 0?
● Tingkat Sedang (5 Soal)
11. Tentukan semua titik sudut daerah feasible dari: x + y ≤ 10, 2x + y ≤ 16, x ≥ 0, y ≥ 0.
12. Sebuah toko memproduksi kue A (x loyang) dan kue B (y loyang). Kendala: x + 2y ≤ 14, 3x + y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0. Tentukan titik sudut daerah feasible.
13. Tentukan apakah daerah feasible dari sistem berikut terbatas atau tak terbatas: x + y ≥ 5, 2x + y ≤ 20, x ≥ 0, y ≥ 0.
14. Diketahui daerah feasible memiliki titik sudut (0,0), (6,0), (4,3), (0,5). Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x,y) = 3x + 2y.
15. Tentukan luas daerah feasible dari: x + y ≤ 5, x ≤ 3, y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0.
● Tingkat Sulit (5 Soal)
16. Sebuah pabrik membuat produk X dan Y. Kendala: 4x + 2y ≤ 32, x + 3y ≤ 24, 2x + y ≤ 20, x ≥ 0, y ≥ 0. Tentukan semua titik sudut daerah feasible dan hitung nilai Z = 5x + 4y di tiap titik sudut.
17. Tentukan apakah sistem berikut konsisten (memiliki daerah feasible): x + y ≤ 5, x + y ≥ 8, x ≥ 0, y ≥ 0. Jelaskan alasanmu secara geometris.
18. Diberikan: x + 2y ≤ 14, 3x + 2y ≤ 24, x + y ≥ 6, x ≥ 0, y ≥ 0. Tentukan daerah feasible, semua titik sudut, dan luas daerah tersebut.
19. Seorang petani memiliki lahan 20 hektar. Ia menanam padi (x ha) dan jagung (y ha). Kendala: x + y ≤ 20, x ≥ 5, y ≥ 3, 2x + 3y ≤ 48. Tentukan daerah feasible, titik sudut, dan alokasi lahan yang memaksimumkan keuntungan jika P = 8x + 6y (juta rupiah).
20. Perusahaan transportasi memiliki truk besar (x) dan truk kecil (y). Kendala: x + y ≤ 15, 3x + y ≤ 30, x + 2y ≤ 24, x ≥ 2, y ≥ 3. Tentukan daerah feasible, semua titik sudut, dan tentukan jumlah truk yang meminimumkan biaya operasional C = 10x + 6y (juta/hari).