Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel – Menentukan Irisan Daerah

A. Pendahuluan

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menghadapi situasi yang melibatkan beberapa batasan sekaligus. Misalnya, seorang pengusaha memiliki keterbatasan modal dan keterbatasan tenaga kerja secara bersamaan. Secara matematis, batasan-batasan tersebut dapat dimodelkan sebagai sistem pertidaksamaan linear dua variabel (SPtLDV).

Irisan daerah adalah daerah pada bidang koordinat yang memenuhi semua pertidaksamaan dalam sistem tersebut secara bersamaan. Daerah ini merupakan irisan (intersection) dari himpunan-himpunan penyelesaian masing-masing pertidaksamaan.

🔍 Kegiatan: Mengamati

Perhatikan situasi berikut: Sebuah toko kue memiliki bahan tepung maksimal 12 kg dan gula maksimal 8 kg. Kue A membutuhkan 2 kg tepung dan 1 kg gula, sedangkan kue B membutuhkan 1 kg tepung dan 2 kg gula. Banyak kue tidak bisa negatif. Amati bahwa ada empat batasan yang harus dipenuhi secara bersamaan.

❓ Kegiatan: Menanya

Dari pengamatan di atas, timbul pertanyaan: Bagaimana cara menentukan kombinasi jumlah kue A dan kue B yang memenuhi semua batasan sekaligus? Di mana letak daerah tersebut pada grafik?

Prasyarat yang Perlu Dikuasai

Persamaan linear dua variabel: ax + by = c
Pertidaksamaan linear dua variabel: ax + by ≤ c, ax + by ≥ c, ax + by < c, ax + by > c
Menggambar garis lurus pada bidang koordinat
Menentukan daerah penyelesaian satu pertidaksamaan (uji titik)
Konsep himpunan dan irisan himpunan

Simbol-simbol Penting

Simbol	Dibaca	Arti
<	kurang dari	lebih kecil, tidak termasuk batas
>	lebih dari	lebih besar, tidak termasuk batas
≤	kurang dari atau sama dengan	lebih kecil atau sama, termasuk batas
≥	lebih dari atau sama dengan	lebih besar atau sama, termasuk batas
∩	irisan	bagian yang sama-sama dimiliki
∪	gabungan	semua anggota kedua himpunan
∈	anggota / elemen dari	termasuk dalam himpunan
{ }	kurung kurawal	notasi himpunan

Jenis Garis pada Grafik

Pertidaksamaan	Jenis Garis	Keterangan
≤ atau ≥	Garis utuh / solid (───)	Titik pada garis termasuk penyelesaian
< atau >	Garis putus-putus (- – -)	Titik pada garis tidak termasuk penyelesaian

B. Konsep Irisan Himpunan

1. Pengertian Irisan Himpunan

Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Irisan dari A dan B (ditulis A ∩ B) adalah himpunan yang memuat semua anggota yang terdapat di kedua himpunan tersebut secara bersamaan.

A \cap B = { x | x \in A dan x \in B }

Dalam konteks SPtLDV, setiap pertidaksamaan menghasilkan suatu daerah penyelesaian (himpunan titik-titik yang memenuhi pertidaksamaan tersebut). Irisan dari semua daerah penyelesaian itulah yang disebut irisan daerah atau daerah penyelesaian sistem.

HP Sistem = HP₁ \cap HP₂ \cap HP₃ \cap \dots \cap HPₙ

Keterangan: HP = Himpunan Penyelesaian; HPᵢ = daerah penyelesaian pertidaksamaan ke-i.

2. Ilustrasi Sederhana dengan Himpunan Bilangan

Sebelum ke grafik, mari pahami konsep irisan dengan bilangan:

Contoh:

Himpunan A = { 1, 2, 3, 4, 5 } → anggota yang memenuhi x ≤ 5

Himpunan B = { 3, 4, 5, 6, 7 } → anggota yang memenuhi x ≥ 3

Irisan: A ∩ B = { 3, 4, 5 } → anggota yang memenuhi kedua syarat: x ≤ 5 dan x ≥ 3, artinya 3 ≤ x ≤ 5.

3. Ilustrasi Diagram Venn

Diagram Venn: daerah hijau adalah irisan A ∩ B

4. Konsep Irisan pada Bidang Koordinat

Pada bidang koordinat Kartesius, setiap pertidaksamaan linear dua variabel membagi bidang menjadi dua daerah (setengah bidang). Daerah yang memenuhi pertidaksamaan diarsir. Jika ada beberapa pertidaksamaan, maka irisan daerah adalah bagian yang diarsir oleh semua pertidaksamaan.

Ilustrasi: Irisan daerah (hijau) memenuhi x + y ≤ 6, x + y ≥ 2, x ≥ 0, y ≥ 0

💡 Kegiatan: Menalar

Perhatikan bahwa irisan daerah selalu lebih kecil atau sama dengan daerah penyelesaian masing-masing pertidaksamaan. Semakin banyak pertidaksamaan, semakin sempit irisan daerahnya. Bisa juga terjadi irisan daerah yang kosong jika pertidaksamaan-pertidaksamaan saling bertentangan.

5. Sifat-sifat Irisan Daerah

Irisan daerah selalu merupakan daerah konveks (jika semua pertidaksamaan linear). Artinya, jika dua titik berada dalam irisan daerah, maka semua titik pada ruas garis yang menghubungkannya juga berada dalam irisan daerah.
Setiap titik dalam irisan daerah memenuhi semua pertidaksamaan dalam sistem.
Setiap titik di luar irisan daerah melanggar setidaknya satu pertidaksamaan.
Jika pertidaksamaan menggunakan tanda ≤ atau ≥ (termasuk batas), maka irisan daerah merupakan daerah tertutup (batas termasuk).
Jika pertidaksamaan menggunakan tanda < atau > (tidak termasuk batas), maka batas garis digambar putus-putus.

C. Langkah-langkah Menentukan Irisan Daerah

✏️ Kegiatan: Mencoba

Ikuti langkah-langkah berikut untuk menentukan irisan daerah pada SPtLDV.

Tulis semua pertidaksamaan dalam sistem.
Contoh: x + y ≤ 6, 2x + y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0
Gambar garis batas masing-masing pertidaksamaan pada bidang koordinat.
Ubah tanda ≤ atau ≥ menjadi = untuk mendapatkan persamaan garis. Cari titik potong dengan sumbu-x (substitusi y = 0) dan sumbu-y (substitusi x = 0).
Tentukan jenis garis:
Garis utuh untuk ≤ dan ≥; garis putus-putus untuk < dan >.
Uji titik untuk menentukan daerah penyelesaian masing-masing pertidaksamaan.
Gunakan titik uji (biasanya titik O(0,0) jika garis tidak melewati titik asal). Jika titik uji memenuhi pertidaksamaan, arsir daerah yang mengandung titik uji; jika tidak, arsir daerah yang berlawanan.
Tentukan irisan daerah: daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan adalah irisan daerah. Pada grafik, ini adalah daerah yang diarsir oleh semua pertidaksamaan secara bersamaan.
Tentukan titik-titik sudut (vertex) irisan daerah dari perpotongan garis-garis batas.

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Setelah menentukan irisan daerah, komunikasikan hasilnya: sebutkan daerah mana yang merupakan irisan, titik-titik sudutnya, dan verifikasi bahwa semua titik di dalamnya memenuhi semua pertidaksamaan.

Contoh Penerapan Langkah

Tentukan irisan daerah dari sistem:

x + y \leq 4, x \geq 0, y \geq 0

Langkah 1: Tiga pertidaksamaan: x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0.

Langkah 2: Gambar garis x + y = 4. Titik potong: (4, 0) dan (0, 4). Garis x = 0 adalah sumbu-y. Garis y = 0 adalah sumbu-x.

Langkah 3: Semua menggunakan ≤ atau ≥, jadi semua garis utuh.

Langkah 4: Uji titik (0,0) pada x + y ≤ 4: 0 + 0 = 0 ≤ 4 ✔ → arsir daerah mengandung (0,0).

Langkah 5: Irisan daerah = segitiga dengan titik-titik sudut (0,0), (4,0), (0,4).

D. Contoh Soal — Tingkat Mudah

MUDAH 10 soal dengan pembahasan detail

Contoh Soal 1

Tentukan irisan daerah dari sistem pertidaksamaan:

x + y \leq 5, x \geq 0, y \geq 0

Contoh Soal 2

Tentukan irisan daerah dari sistem:

x + y \leq 6, x + y \geq 2, x \geq 0, y \geq 0

Contoh Soal 3

Tentukan irisan daerah dari sistem:

2x + y \leq 8, x \geq 0, y \geq 0

Contoh Soal 4

Tentukan irisan daerah:

x \leq 4, y \leq 3, x \geq 0, y \geq 0

Contoh Soal 5

Tentukan irisan daerah:

x + 2y \leq 8, x \geq 0, y \geq 0

Contoh Soal 6

Tentukan irisan daerah:

x + y \leq 4, x + y \geq 1, x \geq 0, y \geq 0

Contoh Soal 7

Tentukan irisan daerah:

y \leq x, x \leq 4, y \geq 0

Contoh Soal 8

Tentukan irisan daerah:

3x + 2y \leq 12, x \geq 0, y \geq 0

Contoh Soal 9

Tentukan irisan daerah:

x + y \leq 5, y \leq 2x, x \geq 0, y \geq 0

Contoh Soal 10

Tentukan irisan daerah:

x \leq 3, y \leq 4, x + y \leq 6, x \geq 0, y \geq 0

E. Contoh Soal — Tingkat Sedang

SEDANG 5 soal dengan pembahasan detail

Contoh Soal 11

Tentukan irisan daerah dan titik-titik sudutnya:

x + 2y \leq 10, 2x + y \leq 10, x \geq 0, y \geq 0

Contoh Soal 12

Tentukan irisan daerah:

x + y \leq 8, 2x + y \leq 12, x + 3y \leq 12, x \geq 0, y \geq 0

Contoh Soal 13

Tentukan irisan daerah:

x + y \geq 3, x + y \leq 7, y \leq 2x, x \geq 0, y \geq 0

Contoh Soal 14

Tentukan apakah irisan daerah berikut kosong atau tidak:

x + y \leq 3, x + y \geq 5, x \geq 0, y \geq 0

Contoh Soal 15

Tentukan irisan daerah:

3x + 4y \leq 24, x + 2y \leq 10, x \leq 6, x \geq 0, y \geq 0

F. Contoh Soal — Tingkat Sulit

SULIT 5 soal dengan pembahasan detail

Contoh Soal 16

Sebuah pabrik memproduksi dua jenis barang, A dan B. Setiap barang A membutuhkan 2 jam mesin I dan 1 jam mesin II. Setiap barang B membutuhkan 1 jam mesin I dan 3 jam mesin II. Mesin I tersedia 10 jam dan mesin II tersedia 15 jam. Tentukan model matematika dan irisan daerahnya.

Pembahasan:

Misalkan x = jumlah barang A, y = jumlah barang B.

	Barang A	Barang B	Tersedia
Mesin I	2	1	10
Mesin II	1	3	15

Model matematika:

2x + y \leq 10, x + 3y \leq 15, x \geq 0, y \geq 0

Garis 2x + y = 10: (5, 0) dan (0, 10).

Garis x + 3y = 15: (15, 0) dan (0, 5).

Titik potong: 2x + y = 10 dan x + 3y = 15.

Dari persamaan 1: y = 10 − 2x. Substitusi: x + 3(10−2x) = 15 → x + 30 − 6x = 15 → −5x = −15 → x = 3, y = 4.

Titik sudut: (0, 0), (5, 0), (3, 4), (0, 5).

Irisan daerah: segiempat konveks dengan titik sudut tersebut.

Contoh Soal 17

Tentukan irisan daerah dan luas daerahnya:

x + y \leq 6, 2x + y \leq 8, x + 2y \leq 8, x \geq 0, y \geq 0

Contoh Soal 18

Tentukan irisan daerah dari sistem pertidaksamaan berikut dan tentukan nilai maksimum f(x,y) = 3x + 5y pada irisan daerah tersebut:

x + 2y \leq 12, 3x + 2y \leq 18, x \geq 0, y \geq 0

Pembahasan:

Garis 1: x + 2y = 12 → (12,0), (0,6).

Garis 2: 3x + 2y = 18 → (6,0), (0,9).

Titik potong: x + 2y = 12 dan 3x + 2y = 18. Eliminasi: 2x = 6 → x = 3, y = 9/2.

Titik sudut: (0,0), (6,0), (3, 9/2), (0,6).

Nilai fungsi tujuan:

Titik	f(x,y) = 3x + 5y
(0, 0)	0
(6, 0)	18
(3, 9/2)	9 + 22,5 = 31,5
(0, 6)	30

Nilai maksimum = 31,5 di titik (3, 9/2).

Contoh Soal 19

Seorang petani memiliki lahan 12 hektar. Ia ingin menanam jagung dan kedelai. Biaya per hektar jagung Rp2 juta dan kedelai Rp3 juta, dengan total anggaran Rp30 juta. Kebutuhan tenaga kerja: jagung 3 orang/hektar, kedelai 2 orang/hektar, tersedia 30 orang. Tentukan model dan irisan daerahnya.

Contoh Soal 20

Tentukan irisan daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan berikut dan tentukan nilai minimum dari f(x,y) = 2x + 3y:

x + y \geq 4, x + 3y \geq 6, 3x + y \geq 6, x \geq 0, y \geq 0

Pembahasan:

Perhatikan semua pertidaksamaan menggunakan ≥, artinya irisan daerah tak terbatas (terbuka ke atas/kanan).

Garis-garis:

x + y = 4: (4,0), (0,4). Uji (0,0): 0 ≥ 4 ✗ → arsir menjauhi (0,0).

x + 3y = 6: (6,0), (0,2). Uji (0,0): 0 ≥ 6 ✗ → arsir menjauhi (0,0).

3x + y = 6: (2,0), (0,6). Uji (0,0): 0 ≥ 6 ✗ → arsir menjauhi (0,0).

Titik potong:

Garis 1 & 2: x + y = 4 dan x + 3y = 6. Eliminasi: 2y = 2 → y = 1, x = 3 → (3, 1).

Garis 1 & 3: x + y = 4 dan 3x + y = 6. Eliminasi: 2x = 2 → x = 1, y = 3 → (1, 3).

Garis 2 & 3: x + 3y = 6 dan 3x + y = 6. Eliminasi: 8y = 12 → y = 3/2, x = 3/2 → (3/2, 3/2).

Cek (3/2, 3/2) di garis 1: 3 ≥ 4 ✗ → titik ini tidak memenuhi, bukan titik sudut irisan.

Titik sudut irisan: (6, 0), (3, 1), (1, 3), (0, 4) — dan irisan terbuka ke tak terhingga melalui (6,0) ke kanan dan (0,4) ke atas.

Nilai f pada titik sudut terbatas:

Titik	f = 2x + 3y
(3, 1)	6 + 3 = 9
(1, 3)	2 + 9 = 11

Nilai minimum = 9 di titik (3, 1).

G. Latihan Soal — Tingkat Mudah

MUDAH 10 soal tanpa pembahasan. Kerjakan secara mandiri!

Latihan 1.

Tentukan irisan daerah:

x + y \leq 3, x \geq 0, y \geq 0

Latihan 2.

Tentukan irisan daerah:

2x + y \leq 6, x \geq 0, y \geq 0

Latihan 3.

Tentukan irisan daerah:

x + 3y \leq 9, x \geq 0, y \geq 0

Latihan 4.

Tentukan irisan daerah:

x \leq 5, y \leq 4, x \geq 0, y \geq 0

Latihan 5.

Tentukan irisan daerah:

x + y \leq 7, x + y \geq 3, x \geq 0, y \geq 0

Latihan 6.

Tentukan irisan daerah:

y \leq x, x \leq 5, y \geq 0

Latihan 7.

Tentukan irisan daerah:

3x + y \leq 9, x \geq 0, y \geq 0

Latihan 8.

Tentukan irisan daerah:

x + y \leq 4, y \leq x, x \geq 0

Latihan 9.

Tentukan irisan daerah:

2x + 3y \leq 12, x \geq 0, y \geq 0

Latihan 10.

Tentukan irisan daerah:

x \leq 4, y \leq 5, x + y \leq 7, x \geq 0, y \geq 0

H. Latihan Soal — Tingkat Sedang

SEDANG 5 soal tanpa pembahasan

Latihan 11.

Tentukan irisan daerah dan semua titik sudutnya:

x + 2y \leq 12, 2x + y \leq 12, x \geq 0, y \geq 0

Latihan 12.

Tentukan irisan daerah:

x + y \leq 10, 3x + y \leq 18, x + 2y \leq 14, x \geq 0, y \geq 0

Latihan 13.

Apakah irisan daerah berikut kosong? Jelaskan!

x + y \leq 4, x + y \geq 6, x \geq 0, y \geq 0

Latihan 14.

Tentukan irisan daerah:

2x + 3y \leq 18, x + y \leq 8, y \leq 2x, x \geq 0, y \geq 0

Latihan 15.

Sebuah toko roti memiliki 20 kg tepung dan 12 kg gula. Roti A memerlukan 2 kg tepung dan 1 kg gula, roti B memerlukan 1 kg tepung dan 2 kg gula. Tentukan model matematika dan irisan daerahnya!

I. Latihan Soal — Tingkat Sulit

SULIT 5 soal tanpa pembahasan

Latihan 16.

Tentukan irisan daerah dan nilai maksimum dari f(x,y) = 5x + 4y:

x + 2y \leq 14, 3x + y \leq 18, x + y \leq 10, x \geq 0, y \geq 0

Latihan 17.

Tentukan irisan daerah dan nilai minimum dari f(x,y) = 4x + 5y:

x + y \geq 5, 2x + y \geq 8, x + 2y \geq 8, x \geq 0, y \geq 0

Latihan 18.

Seorang pengusaha memproduksi meja dan kursi. Meja memerlukan 4 jam pemotongan dan 2 jam perakitan. Kursi memerlukan 2 jam pemotongan dan 3 jam perakitan. Waktu pemotongan tersedia 40 jam, perakitan 36 jam, dan gudang menampung maksimal 12 unit. Tentukan model, irisan daerah, dan titik sudutnya!

Latihan 19.

Tentukan irisan daerah dan hitunglah luas daerah yang terbentuk:

2x + y \leq 10, x + 2y \leq 10, x + y \geq 4, x \geq 0, y \geq 0

Latihan 20.

Tentukan irisan daerah dan cari nilai maksimum serta minimum dari f(x,y) = 3x + 2y:

x + y \leq 8, 2x + y \leq 12, x + 3y \leq 15, x + y \geq 3, x \geq 0, y \geq 0

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel – Menentukan Irisan Daerah

Irisan Daerah SPtLDV

Daftar Isi

A. Pendahuluan

Prasyarat yang Perlu Dikuasai

Simbol-simbol Penting

Jenis Garis pada Grafik

B. Konsep Irisan Himpunan

1. Pengertian Irisan Himpunan

2. Ilustrasi Sederhana dengan Himpunan Bilangan

3. Ilustrasi Diagram Venn

4. Konsep Irisan pada Bidang Koordinat

5. Sifat-sifat Irisan Daerah

C. Langkah-langkah Menentukan Irisan Daerah

Contoh Penerapan Langkah

D. Contoh Soal — Tingkat Mudah

E. Contoh Soal — Tingkat Sedang

F. Contoh Soal — Tingkat Sulit

G. Latihan Soal — Tingkat Mudah

H. Latihan Soal — Tingkat Sedang

I. Latihan Soal — Tingkat Sulit

By admin

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed

Perangkat Pertama OpenAI Berupa Speaker AI Tanpa Layar

Terungkap! Begini Wujud Gadget AI Pertama OpenAI yang Disebut Bakal Saingi Apple

Lingkungan Belajar Aman, Nyaman, dan Menggembirakan (LBANM)

Eksplorasi Diri : Mengenali Potensi yang Ada (Analisis SWOT)

Irisan Daerah SPtLDV

Daftar Isi

A. Pendahuluan

Prasyarat yang Perlu Dikuasai

Simbol-simbol Penting

Jenis Garis pada Grafik

B. Konsep Irisan Himpunan

1. Pengertian Irisan Himpunan

2. Ilustrasi Sederhana dengan Himpunan Bilangan

3. Ilustrasi Diagram Venn

4. Konsep Irisan pada Bidang Koordinat

5. Sifat-sifat Irisan Daerah

C. Langkah-langkah Menentukan Irisan Daerah

Contoh Penerapan Langkah

D. Contoh Soal — Tingkat Mudah

E. Contoh Soal — Tingkat Sedang

F. Contoh Soal — Tingkat Sulit

G. Latihan Soal — Tingkat Mudah

H. Latihan Soal — Tingkat Sedang

I. Latihan Soal — Tingkat Sulit

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed