Menentukan Grafik Pertidaksamaan pada SPtLDV
Membuat Garis Batas & Menentukan Arsiran
1. Membuat Garis Batas
Perhatikan dua pertidaksamaan berikut beserta grafiknya:
Tanda ≤ (kurang dari atau sama dengan) → garis batas utuh (solid)
Tanda < (kurang dari) → garis batas putus-putus (dashed)
🔑 Pengamatan Penting:
- Garis batas adalah garis yang diperoleh dengan mengganti tanda pertidaksamaan (≤, ≥, <, >) menjadi tanda sama dengan (=).
- Jika tanda ≤ atau ≥, garis batas digambar utuh (solid) → titik pada garis termasuk daerah penyelesaian.
- Jika tanda < atau >, garis batas digambar putus-putus → titik pada garis tidak termasuk daerah penyelesaian.
Setelah mengamati, muncul pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Bagaimana cara menentukan apakah garis batas digambar utuh atau putus-putus?
- Bagaimana cara menggambar garis batas dari suatu pertidaksamaan linear dua variabel?
- Apa langkah-langkah menentukan titik potong sumbu?
A. Pengertian Garis Batas
Garis batas adalah garis lurus yang diperoleh dengan mengubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda = (sama dengan).
Garis batas: ax + by = c
B. Jenis Garis Batas
| Tanda Pertidaksamaan | Jenis Garis | Keterangan |
|---|---|---|
| ≤ (kurang dari atau sama dengan) | Garis Utuh (Solid) ─── | Titik pada garis termasuk penyelesaian |
| ≥ (lebih dari atau sama dengan) | Garis Utuh (Solid) ─── | Titik pada garis termasuk penyelesaian |
| < (kurang dari) | Garis Putus-putus – – – | Titik pada garis tidak termasuk penyelesaian |
| > (lebih dari) | Garis Putus-putus – – – | Titik pada garis tidak termasuk penyelesaian |
C. Langkah-langkah Membuat Garis Batas
📝 Langkah-langkah:
- Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan
Ganti tanda ≤, ≥, <, atau > menjadi =
Contoh: 2x + 3y ≤ 12 → 2x + 3y = 12 - Tentukan titik potong sumbu-x (substitusi y = 0)
2x + 3(0) = 12 → 2x = 12 → x = 6
Titik potong sumbu-x = (6, 0) - Tentukan titik potong sumbu-y (substitusi x = 0)
2(0) + 3y = 12 → 3y = 12 → y = 4
Titik potong sumbu-y = (0, 4) - Hubungkan kedua titik potong dengan garis sesuai jenis pertidaksamaannya (utuh atau putus-putus).
- Tentukan jenis garis: ≤ atau ≥ → garis utuh; < atau > → garis putus-putus.
D. Kasus Khusus
Garis sejajar sumbu-x
(garis horizontal)
Garis sejajar sumbu-y
(garis vertikal)
Cobalah gambar garis batas secara interaktif! Masukkan koefisien pertidaksamaan:
Kesimpulan Materi Garis Batas:
- Garis batas diperoleh dengan mengubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda =.
- Tanda ≤ atau ≥ → garis utuh (solid). Tanda < atau > → garis putus-putus (dashed).
- Garis digambar dengan menentukan dua titik potong sumbu (substitusi x=0 dan y=0), lalu menghubungkannya.
- Garis batas membagi bidang kartesius menjadi dua daerah. Salah satunya merupakan daerah penyelesaian.
Contoh Soal: Membuat Garis Batas
Latihan Soal: Membuat Garis Batas
2. Menentukan Arsiran
Perhatikan dua pertidaksamaan berikut. Keduanya memiliki garis batas yang sama, tetapi arsirannya berbeda:
Arsiran berada di bawah garis (menuju titik O)
Arsiran berada di atas garis (menjauhi titik O)
- Bagaimana cara menentukan daerah mana yang diarsir?
- Apa peran titik uji dalam menentukan arsiran?
- Bagaimana jika garis melewati titik (0,0)?
A. Konsep Arsiran
Setelah garis batas digambar, bidang kartesius terbagi menjadi dua daerah. Kita perlu menentukan daerah mana yang memenuhi pertidaksamaan. Daerah yang memenuhi disebut daerah penyelesaian dan ditandai dengan arsiran.
B. Metode Titik Uji
📝 Langkah-langkah Menentukan Arsiran:
- Gambar garis batas dari pertidaksamaan.
- Pilih titik uji yang tidak terletak pada garis batas.
Titik uji paling mudah: (0, 0)
⚠️ Jika garis melewati (0,0), pilih titik lain misalnya (1, 0) atau (0, 1). - Substitusikan titik uji ke pertidaksamaan.
- Tentukan arsiran:
- Jika hasilnya BENAR → arsir daerah yang memuat titik uji.
- Jika hasilnya SALAH → arsir daerah yang tidak memuat titik uji.
C. Contoh Penerapan Metode Titik Uji
Tentukan arsiran dari: 2x + y ≤ 6
Langkah 1: Garis batas: 2x + y = 6
Titik potong: (3, 0) dan (0, 6). Garis utuh (karena ≤).
Langkah 2: Titik uji = (0, 0). Garis tidak melewati (0,0) ✓
Langkah 3: Substitusi ke pertidaksamaan:
Langkah 4: Karena BENAR → arsir daerah yang memuat titik (0,0), yaitu daerah di bawah/kiri garis.
D. Aturan Cepat (Tanpa Titik Uji)
Untuk pertidaksamaan bentuk ax + by ≤ c atau ax + by ≥ c dengan b > 0:
| Pertidaksamaan | Arsiran |
|---|---|
| y ≤ … atau y < … | Di bawah garis |
| y ≥ … atau y > … | Di atas garis |
| x ≤ … atau x < … | Di kiri garis |
| x ≥ … atau x > … | Di kanan garis |
⚠️ Aturan cepat ini hanya berlaku jika koefisien y positif. Jika negatif, arsiran terbalik. Untuk aman, selalu gunakan metode titik uji.
Coba tentukan arsiran secara interaktif:
Kesimpulan Materi Arsiran:
- Arsiran menunjukkan daerah penyelesaian pertidaksamaan.
- Gunakan titik uji (biasanya (0,0)) untuk menentukan sisi mana yang diarsir.
- Substitusi titik uji: jika benar → arsir sisi titik uji; jika salah → arsir sisi sebaliknya.
- Arsiran dikombinasikan dengan jenis garis batas (utuh/putus-putus) untuk solusi lengkap.
Contoh Soal: Menentukan Arsiran
Latihan Soal: Menentukan Arsiran
📚 Modul Pembelajaran Matematika — Grafik Pertidaksamaan Linear Dua Variabel