SPtLDV: Beberapa Batasan Linear
1. Pendahuluan
MengamatiDalam kehidupan sehari-hari, kita sering menghadapi situasi yang melibatkan beberapa batasan (kendala) sekaligus. Perhatikan contoh berikut:
Situasi: Seorang pengusaha memproduksi dua jenis kue. Ia memiliki keterbatasan bahan baku tepung (maksimal 20 kg), gula (maksimal 12 kg), dan waktu kerja (maksimal 10 jam). Setiap jenis kue membutuhkan jumlah bahan dan waktu yang berbeda.
Batasan-batasan ini membentuk Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV).
Pada materi ini kita akan mempelajari bagaimana memodelkan dan menyelesaikan masalah yang memiliki beberapa batasan linear secara bersamaan.
2. Pengertian SPtLDV
MenanyaPertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV) adalah pertidaksamaan yang memuat dua variabel berpangkat satu, dengan bentuk umum:
dengan a, b, c ∈ ℝ dan a, b tidak keduanya nol.
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) adalah kumpulan dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel yang harus dipenuhi secara bersamaan (simultan).
a₁x + b₁y ≤ c₁
a₂x + b₂y ≤ c₂
a₃x + b₃y ≤ c₃
⋮
aₙx + bₙy ≤ cₙ
Setiap pertidaksamaan dalam sistem disebut batasan (constraint).
Simbol-Simbol Pertidaksamaan
| Simbol | Dibaca | Contoh |
|---|---|---|
| < | Kurang dari | x + y < 10 |
| > | Lebih dari | 2x + y > 5 |
| ≤ | Kurang dari atau sama dengan | 3x + 2y ≤ 24 |
| ≥ | Lebih dari atau sama dengan | x + 4y ≥ 8 |
Notasi Himpunan Penyelesaian
3. Beberapa Batasan Linear
MenalarDalam SPtLDV, beberapa batasan linear berarti terdapat lebih dari satu pertidaksamaan yang membatasi nilai variabel x dan y.
3.1 Jenis-Jenis Batasan
a) Batasan Fungsional
Batasan yang berasal dari keterbatasan sumber daya (bahan, waktu, biaya, dll).
x + 2y ≤ 16 (batasan waktu)
b) Batasan Non-Negatif
Batasan yang menyatakan variabel tidak boleh bernilai negatif (karena mewakili jumlah barang, orang, dll).
c) Batasan Minimum
Batasan yang menyatakan nilai minimum yang harus dipenuhi.
3.2 Contoh Sistem dengan Beberapa Batasan
Masalah: Sebuah pabrik memproduksi meja (x) dan kursi (y) dengan batasan:
x + 3y ≤ 24 (batasan tenaga kerja: maks 24 jam)
x + y ≤ 12 (batasan kapasitas gudang: maks 12 unit)
x ≥ 0 (tidak mungkin produksi negatif)
y ≥ 0 (tidak mungkin produksi negatif)
Sistem ini memiliki 5 batasan linear yang harus dipenuhi secara bersamaan.
3.3 Langkah Menyelesaikan SPtLDV
Mencoba- Tentukan variabel – Misalkan x dan y mewakili besaran yang dicari.
- Tuliskan semua batasan dalam bentuk pertidaksamaan linear.
- Gambar garis batas setiap pertidaksamaan pada bidang koordinat.
- Tentukan daerah yang memenuhi setiap pertidaksamaan (arsir/uji titik).
- Tentukan daerah irisan (daerah yang memenuhi SEMUA batasan sekaligus).
- Identifikasi titik-titik pojok dari daerah penyelesaian.
3.4 Uji Titik (Metode Substitusi Titik)
Untuk menentukan daerah mana yang memenuhi pertidaksamaan:
- Gambar garis batas (ubah tanda ≤ atau ≥ menjadi =).
- Pilih titik uji yang tidak terletak pada garis (biasanya titik O(0,0) jika garis tidak melalui titik asal).
- Substitusi titik uji ke pertidaksamaan.
- Jika hasilnya benar, maka daerah yang memuat titik uji adalah daerah penyelesaian.
- Jika hasilnya salah, maka daerah penyelesaian berada di sisi sebaliknya.
Contoh Uji Titik:
Pertidaksamaan: 2x + y ≤ 20
Titik uji: O(0, 0)
Substitusi: 2(0) + (0) = 0 ≤ 20 ✓ (BENAR)
Jadi daerah yang memuat titik O(0,0) adalah daerah penyelesaian.
4. Menentukan Himpunan Penyelesaian
MencobaHimpunan penyelesaian SPtLDV adalah irisan (intersection) dari semua daerah penyelesaian masing-masing pertidaksamaan.
Langkah Detail:
Langkah 1: Ubah setiap pertidaksamaan menjadi persamaan garis.
Titik potong sumbu-x: (10, 0) | Titik potong sumbu-y: (0, 20)
Langkah 2: Gambar setiap garis pada bidang koordinat.
Langkah 3: Arsir daerah yang memenuhi setiap pertidaksamaan.
Langkah 4: Daerah yang diarsir oleh SEMUA pertidaksamaan = HP sistem.
Menentukan Titik Potong Dua Garis
Titik pojok daerah penyelesaian diperoleh dari perpotongan dua garis batas. Gunakan metode eliminasi atau substitusi.
Contoh: Cari titik potong 2x + y = 20 dan x + 3y = 24
Dari persamaan 1: y = 20 – 2x
Substitusi ke persamaan 2: x + 3(20 – 2x) = 24
x + 60 – 6x = 24
-5x = -36
x = 36/5 = 7,2
y = 20 – 2(7,2) = 5,6
Titik potong: (7,2 ; 5,6)
5. Grafik SPtLDV
MengkomunikasikanBerikut ilustrasi grafik dari sistem pertidaksamaan:
x + 2y ≤ 10
x ≥ 0, y ≥ 0
Daerah berwarna biru muda merupakan himpunan penyelesaian yang memenuhi semua batasan secara bersamaan.
Ciri-Ciri Daerah Penyelesaian:
- Berbentuk poligon tertutup (segitiga, segiempat, dst).
- Memiliki titik-titik pojok (vertex) yang merupakan perpotongan garis batas.
- Setiap titik dalam daerah memenuhi SEMUA pertidaksamaan.
- Garis penuh = tanda ≤ atau ≥ (titik pada garis termasuk HP).
- Garis putus-putus = tanda < atau > (titik pada garis tidak termasuk HP).
6. Contoh Soal dan Pembahasan
Mencoba Mengkomunikasikan📗 Contoh Soal Mudah (1–10)
Soal 1. Tentukan apakah titik (2, 3) memenuhi pertidaksamaan x + y ≤ 8.
Pembahasan:
Substitusi x = 2, y = 3:
2 + 3 = 5 ≤ 8 ✓ (BENAR)
Jawaban: Ya, titik (2, 3) memenuhi pertidaksamaan.
Soal 2. Tentukan apakah titik (5, 4) memenuhi sistem:
x + y ≤ 10
x – y ≥ 0
Pembahasan:
Pertidaksamaan 1: 5 + 4 = 9 ≤ 10 ✓
Pertidaksamaan 2: 5 – 4 = 1 ≥ 0 ✓
Jawaban: Ya, titik (5, 4) memenuhi kedua pertidaksamaan.
Soal 3. Tentukan titik potong garis x + y = 6 dengan sumbu-x dan sumbu-y.
Pembahasan:
Potong sumbu-x (y=0): x = 6 → titik (6, 0)
Potong sumbu-y (x=0): y = 6 → titik (0, 6)
Soal 4. Gambarkan daerah penyelesaian x + y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0. Di kuadran manakah daerah HP?
Pembahasan:
Garis x + y = 5 memotong (5,0) dan (0,5).
Uji O(0,0): 0 + 0 = 0 ≤ 5 ✓ → daerah berisi titik asal.
Dengan x ≥ 0 dan y ≥ 0, HP berada di kuadran I (termasuk sumbu), berbentuk segitiga dengan titik pojok (0,0), (5,0), dan (0,5).
Soal 5. Tentukan daerah penyelesaian 2x + y ≤ 8 menggunakan uji titik O(0,0).
Pembahasan:
Uji O(0,0): 2(0) + 0 = 0 ≤ 8 ✓
Karena benar, daerah penyelesaian berada di sisi garis yang memuat titik O(0,0), yaitu di bawah garis 2x + y = 8.
Soal 6. Tuliskan sistem pertidaksamaan jika diketahui: jumlah x dan y tidak lebih dari 10, dan keduanya non-negatif.
Pembahasan:
x + y ≤ 10
x ≥ 0
y ≥ 0
Soal 7. Titik mana yang merupakan titik pojok daerah penyelesaian:
x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0?
Pembahasan:
Titik pojok diperoleh dari perpotongan garis-garis batas:
• x + y = 4 dan x = 0 → (0, 4)
• x + y = 4 dan y = 0 → (4, 0)
• x = 0 dan y = 0 → (0, 0)
Titik pojok: (0,0), (4,0), (0,4).
Soal 8. Apakah titik (3, 5) memenuhi pertidaksamaan x + 2y ≤ 10?
Pembahasan:
Substitusi: 3 + 2(5) = 3 + 10 = 13
13 ≤ 10? SALAH
Jawaban: Tidak, titik (3,5) tidak memenuhi pertidaksamaan.
Soal 9. Garis 3x + 2y = 12 memotong sumbu koordinat di titik mana?
Pembahasan:
Potong sumbu-x (y=0): 3x = 12 → x = 4 → titik (4, 0)
Potong sumbu-y (x=0): 2y = 12 → y = 6 → titik (0, 6)
Soal 10. Tentukan apakah O(0,0) termasuk dalam daerah penyelesaian x + y ≥ 3.
Pembahasan:
Substitusi: 0 + 0 = 0 ≥ 3? SALAH
Jawaban: Tidak, titik O(0,0) tidak termasuk daerah penyelesaian. Daerah HP berada di sisi garis yang tidak memuat titik asal.
📙 Contoh Soal Sedang (11–15)
Soal 11. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:
x + y ≤ 8
2x + y ≤ 12
x ≥ 0, y ≥ 0
Pembahasan:
Garis 1: x + y = 8 → (8,0) dan (0,8)
Garis 2: 2x + y = 12 → (6,0) dan (0,12)
Titik potong garis 1 & 2:
Eliminasi: (2x + y) – (x + y) = 12 – 8 → x = 4
Substitusi: 4 + y = 8 → y = 4. Titik potong: (4, 4)
Titik pojok HP: (0,0), (6,0), (4,4), (0,8)
Daerah HP adalah segi empat dengan titik-titik pojok tersebut.
Soal 12. Tentukan titik-titik pojok daerah penyelesaian:
x + 2y ≤ 12
3x + 2y ≤ 18
x ≥ 0, y ≥ 0
Pembahasan:
Garis 1: x + 2y = 12 → (12,0), (0,6)
Garis 2: 3x + 2y = 18 → (6,0), (0,9)
Titik potong: (3x+2y) – (x+2y) = 18-12 → 2x = 6 → x = 3, y = 4,5
Titik pojok: (0,0), (6,0), (3, 4.5), (0,6)
Soal 13. Seorang penjahit membuat baju (x) dan celana (y). Bahan kain tersedia 24 meter, setiap baju memerlukan 2 meter dan setiap celana 3 meter. Waktu tersedia 16 jam; baju memerlukan 2 jam dan celana 2 jam. Tuliskan model matematikanya!
Pembahasan:
Batasan kain: 2x + 3y ≤ 24
Batasan waktu: 2x + 2y ≤ 16 → disederhanakan: x + y ≤ 8
Batasan non-negatif: x ≥ 0, y ≥ 0
Model:
2x + 3y ≤ 24
x + y ≤ 8
x ≥ 0, y ≥ 0
Soal 14. Tentukan daerah penyelesaian sistem:
x + y ≥ 4
x + 2y ≤ 10
x ≥ 0, y ≥ 0
Pembahasan:
Garis 1: x + y = 4 → (4,0), (0,4). Uji O(0,0): 0 ≥ 4? Salah → HP di sisi berlawanan dari O.
Garis 2: x + 2y = 10 → (10,0), (0,5). Uji O(0,0): 0 ≤ 10? Benar → HP di sisi yang memuat O.
Titik potong garis 1 & 2: x+2y – (x+y) = 10-4 → y = 6 → x = -2 (negatif!)
Karena x ≥ 0, gunakan titik potong garis dengan sumbu:
Titik pojok: (4,0), (10,0), (0,5), (0,4)
HP berbentuk segiempat dalam kuadran I antara kedua garis.
Soal 15. Diketahui sistem pertidaksamaan:
x + y ≤ 10
2x + y ≤ 14
x + 3y ≤ 18
x ≥ 0, y ≥ 0
Tentukan semua titik pojok daerah penyelesaian.
Pembahasan:
Garis 1: x+y=10; Garis 2: 2x+y=14; Garis 3: x+3y=18
Potong G1 & G2: (2x+y)-(x+y)=14-10 → x=4, y=6. Titik (4,6)
Cek G3: 4+3(6)=22 > 18. Titik (4,6) tidak memenuhi G3!
Potong G1 & G3: (x+3y)-(x+y)=18-10 → 2y=8 → y=4, x=6. Titik (6,4)
Cek G2: 2(6)+4=16 > 14. Titik (6,4) tidak memenuhi G2!
Potong G2 & G3: 2(x+3y)-(2x+y)=2(18)-14 → 5y=22 → y=22/5=4.4, x=14-4.4=4.8/… → 2x=14-22/5=48/5 → x=24/5=4.8. Titik (4.8, 4.4)
Cek G1: 4.8+4.4=9.2 ≤ 10 ✓
Titik pojok pada sumbu:
G2 & sumbu-x: (7,0); G3 & sumbu-y: (0,6); G1 & sumbu-y: (0,10) tapi cek G3: 0+30=30>18, jadi gunakan (0,6).
Titik pojok HP: (0,0), (7,0), (4.8, 4.4), (0,6)
📕 Contoh Soal Sulit (16–20)
Soal 16. Sebuah perusahaan memproduksi produk A (x) dan B (y) dengan ketentuan:
• Mesin I: 3x + 2y ≤ 60 jam
• Mesin II: 2x + 4y ≤ 80 jam
• Mesin III: x + y ≤ 25 unit
• Permintaan minimum A: x ≥ 5
• x ≥ 0, y ≥ 0
Tentukan titik-titik pojok daerah penyelesaian!
Pembahasan:
G1: 3x+2y=60 → (20,0), (0,30)
G2: 2x+4y=80 → x+2y=40 → (40,0), (0,20)
G3: x+y=25 → (25,0), (0,25)
G4: x=5
Potong G1&G2: 3x+2y=60 dan x+2y=40 → 2x=20 → x=10, y=15. (10,15)
Cek G3: 10+15=25 ≤ 25 ✓, x≥5 ✓
Potong G1&G3: 3x+2y=60 dan x+y=25→y=25-x → 3x+2(25-x)=60 → x+50=60 → x=10, y=15. Sama! (10,15)
Potong G2&G3: x+2y=40, x+y=25 → y=15, x=10. Sama titik!
Potong G4&G1: x=5, 15+2y=60, 2y=45, y=22.5. Cek G2: 5+45=50>40. Gagal!
Potong G4&G2: x=5, 5+2y=40, y=17.5. Cek G3: 5+17.5=22.5≤25 ✓, Cek G1: 15+35=50≤60 ✓
Potong G4&G3: x=5, y=20. Cek G1: 15+40=55≤60 ✓, Cek G2: 5+40=45>40. Gagal!
Potong G3&sumbu-x: (25,0). Cek: G1: 75>60. Gagal!
Potong G1&sumbu-x: (20,0). Cek G3: 20≤25 ✓, x≥5 ✓
Potong G4&sumbu-x: (5,0). Cek semua: ✓
Titik pojok HP: (5,0), (20,0), (10,15), (5,17.5)
Soal 17. Tentukan sistem pertidaksamaan yang membentuk daerah penyelesaian dengan titik pojok (0,0), (6,0), (4,4), (0,8).
Pembahasan:
Dari titik pojok, tentukan garis batas:
• Sisi (6,0)→(4,4): gradien = (4-0)/(4-6) = -2. Persamaan: y-0=-2(x-6) → y=-2x+12 → 2x+y=12
• Sisi (4,4)→(0,8): gradien = (8-4)/(0-4) = -1. Persamaan: y-8=-1(x-0) → x+y=8
Uji titik dalam (misal (1,1)):
2(1)+1=3 ≤ 12 ✓ → 2x + y ≤ 12
1+1=2 ≤ 8 ✓ → x + y ≤ 8
Sistem: 2x + y ≤ 12, x + y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0
Soal 18. Sebuah toko roti membuat roti manis (x loyang) dan roti tawar (y loyang). Kendala:
• Tepung: 4x + 2y ≤ 40 kg
• Gula: 2x + y ≤ 16 kg
• Telur: x + y ≤ 12 lusin
• Oven: 2x + 3y ≤ 30 jam
• x ≥ 0, y ≥ 0
Tentukan apakah kombinasi (5, 7) memenuhi semua batasan!
Pembahasan:
Cek setiap batasan dengan (5, 7):
• Tepung: 4(5)+2(7) = 20+14 = 34 ≤ 40 ✓
• Gula: 2(5)+7 = 10+7 = 17 ≤ 16? TIDAK ✗
Karena batasan gula tidak terpenuhi, (5, 7) TIDAK memenuhi semua batasan.
Tidak perlu mengecek batasan lainnya karena satu saja yang tidak terpenuhi sudah cukup untuk menolak titik tersebut.
Soal 19. Tentukan luas daerah penyelesaian sistem:
x + y ≤ 6
2x + y ≤ 8
x ≥ 0, y ≥ 0
Pembahasan:
Titik pojok:
• O(0,0)
• G2 & sumbu-x: (4,0)
• G1 & G2: (2x+y)-(x+y)=8-6 → x=2, y=4. Titik (2,4)
• G1 & sumbu-y: (0,6). Cek G2: 0+6=6≤8 ✓
Titik pojok: (0,0), (4,0), (2,4), (0,6)
Luas dengan rumus Shoelace:
L = ½|x₁(y₂-y₄) + x₂(y₃-y₁) + x₃(y₄-y₂) + x₄(y₁-y₃)|
= ½|0(0-6) + 4(4-0) + 2(6-0) + 0(0-4)|
= ½|0 + 16 + 12 + 0| = ½ × 28 = 14 satuan luas
Soal 20. Tentukan nilai maksimum f(x,y) = 3x + 2y pada daerah penyelesaian:
x + y ≤ 10
x + 2y ≤ 14
2x + y ≤ 16
x ≥ 0, y ≥ 0
Pembahasan:
Titik pojok:
• G1&G2: x+2y-(x+y)=14-10 → y=4, x=6. (6,4). Cek G3: 12+4=16 ≤ 16 ✓
• G1&G3: 2x+y-(x+y)=16-10 → x=6, y=4. Sama!
• G2&G3: x+2y=14, 2x+y=16. Dari G2: x=14-2y. Sub: 2(14-2y)+y=16 → 28-4y+y=16 → y=4, x=6. Semua bertemu di (6,4)!
Berarti 3 garis bertemu di satu titik. Cek titik pojok lainnya:
• G3&sumbu-x: (8,0). Cek G1: 8≤10 ✓, G2: 8≤14 ✓
• G2&sumbu-y: (0,7). Cek G1: 7≤10 ✓, G3: 7≤16 ✓
Titik pojok: (0,0), (8,0), (6,4), (0,7)
Evaluasi f:
| Titik | f = 3x + 2y |
|---|---|
| (0,0) | 0 |
| (8,0) | 24 |
| (6,4) | 26 |
| (0,7) | 14 |
Nilai maksimum = 26 di titik (6, 4)
7. Latihan Soal
MencobaKerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Gunakan langkah-langkah yang telah dipelajari!
📗 Latihan Mudah (1–10)
1. Tentukan apakah titik (1, 2) memenuhi pertidaksamaan 3x + y ≤ 7.
2. Tentukan titik potong garis 2x + 5y = 20 dengan kedua sumbu koordinat.
3. Tentukan daerah penyelesaian x + y ≤ 7, x ≥ 0, y ≥ 0. Sebutkan titik pojoknya!
4. Apakah titik (4, 1) memenuhi sistem: x + y ≤ 6 dan x – y ≤ 4?
5. Tentukan daerah penyelesaian y ≤ 2x menggunakan uji titik (1, 0).
6. Tuliskan pertidaksamaan yang menyatakan: “Jumlah dua bilangan non-negatif tidak lebih dari 15.”
7. Garis 4x + 3y = 24 memotong sumbu koordinat di mana?
8. Tentukan apakah titik (0, 5) memenuhi 2x + y ≥ 4.
9. Sebutkan 3 titik yang memenuhi x + y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0.
10. Tentukan apakah titik (2, 2) termasuk HP dari x + y ≤ 4 dan x + y ≥ 2.
📙 Latihan Sedang (11–15)
11. Tentukan titik-titik pojok daerah HP:
x + 2y ≤ 10
2x + y ≤ 10
x ≥ 0, y ≥ 0
12. Gambarkan dan tentukan HP:
3x + 2y ≤ 18
x + y ≤ 7
x ≥ 0, y ≥ 0
13. Sebuah bengkel membuat rak (x) dan meja (y). Bahan kayu maks 30 papan (rak butuh 2, meja 3). Waktu maks 20 jam (rak 2 jam, meja 2 jam). Buatkan model SPtLDV!
14. Tentukan HP dari:
x + y ≥ 3
2x + y ≤ 12
x ≤ 5, y ≤ 6
x ≥ 0, y ≥ 0
15. Tentukan apakah titik (3, 3) termasuk HP dari:
x + y ≤ 8
2x + 3y ≤ 18
x + 2y ≤ 12
x ≥ 0, y ≥ 0
📕 Latihan Sulit (16–20)
16. Tentukan sistem pertidaksamaan yang menghasilkan daerah HP dengan titik pojok (0,0), (5,0), (3,4), (0,6). Buktikan jawabanmu!
17. Hitung luas daerah HP dari sistem:
2x + y ≤ 10
x + 2y ≤ 10
x ≥ 0, y ≥ 0
18. Tentukan nilai maksimum dan minimum f(x,y) = 5x + 4y pada HP:
x + y ≤ 8
x + 2y ≤ 12
x ≥ 2, y ≥ 1
19. Sebuah pabrik roti memproduksi roti coklat (x) dan roti keju (y) dengan batasan:
• Tepung: 3x + 2y ≤ 36
• Mentega: x + 2y ≤ 20
• Oven: x + y ≤ 14
• Minimum produksi: x ≥ 2, y ≥ 2
Tentukan semua titik pojok HP dan nilai maksimum dari keuntungan Z = 4x + 3y.
20. Suatu sistem memiliki 5 batasan linear dan menghasilkan HP berbentuk segi lima. Jika diketahui 4 dari 5 titik pojok adalah (0,0), (7,0), (5,4), (0,6), dan batasan kelima menghasilkan titik pojok tambahan (2,5), tentukan semua pertidaksamaan pembentuk sistem tersebut!