Hubungan Grafik pada Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Fokus: Daerah Atas Garis & Daerah Bawah Garis
A. Daerah Atas Garis
Memahami daerah penyelesaian di atas garis pada pertidaksamaan linear dua variabel
Perhatikan garis lurus dengan persamaan y = 2x + 1 pada bidang koordinat berikut:
Amati bahwa bidang koordinat terbagi menjadi dua daerah oleh garis y = 2x + 1:
- Daerah di atas garis (daerah biru): memuat titik-titik yang memenuhi y > 2x + 1
- Daerah di bawah garis: memuat titik-titik yang memenuhi y < 2x + 1
Pertanyaan untuk direnungkan:
- Bagaimana cara menentukan apakah suatu titik berada di atas atau di bawah garis?
- Apa perbedaan tanda pertidaksamaan y > mx + c dan y ≥ mx + c?
- Kapan garis batas termasuk daerah penyelesaian dan kapan tidak?
Konsep Daerah Atas Garis
Definisi:
Diberikan garis lurus y = mx + c, maka:
- Daerah atas garis adalah himpunan semua titik (x, y) yang memenuhi:
y > mx + c (garis tidak termasuk, digambar putus-putus)
atau
y ≥ mx + c (garis termasuk, digambar tegas/solid)
Langkah-langkah Menentukan Daerah Atas Garis:
- Gambar garis batas y = mx + c
- Jika tanda > atau < → garis putus-putus
- Jika tanda ≥ atau ≤ → garis tegas (solid)
- Pilih titik uji yang tidak terletak pada garis (biasanya titik O(0,0) jika garis tidak melalui titik asal)
- Substitusikan titik uji ke pertidaksamaan
- Tentukan daerah:
- Jika titik uji memenuhi pertidaksamaan → arsir daerah yang memuat titik uji
- Jika titik uji tidak memenuhi → arsir daerah yang tidak memuat titik uji
Cara Cepat (Khusus bentuk y > … atau y ≥ …):
Jika pertidaksamaan sudah dalam bentuk:
- y > mx + c atau y ≥ mx + c → Daerah penyelesaian adalah di atas garis
- y < mx + c atau y ≤ mx + c → Daerah penyelesaian adalah di bawah garis
⚠️ Penting:
- Aturan “cara cepat” hanya berlaku jika koefisien y bernilai positif
- Jika koefisien y negatif, ubah dulu ke bentuk y > … atau y < … (ingat: membalik tanda saat membagi dengan bilangan negatif)
Kegiatan Mencoba:
Tentukan apakah titik-titik berikut berada di daerah atas garis y = x + 2:
| Titik | Substitusi ke y > x + 2 | Hasil | Kesimpulan |
|---|---|---|---|
| (0, 5) | 5 > 0 + 2 → 5 > 2 | Benar ✓ | Di atas garis |
| (1, 4) | 4 > 1 + 2 → 4 > 3 | Benar ✓ | Di atas garis |
| (2, 3) | 3 > 2 + 2 → 3 > 4 | Salah ✗ | Tidak di atas garis |
| (0, 2) | 2 > 0 + 2 → 2 > 2 | Salah ✗ | Tepat pada garis |
| (-1, 5) | 5 > -1 + 2 → 5 > 1 | Benar ✓ | Di atas garis |
Kesimpulan Materi Daerah Atas Garis:
- Pertidaksamaan y > mx + c memiliki daerah penyelesaian di atas garis y = mx + c, garis digambar putus-putus.
- Pertidaksamaan y ≥ mx + c memiliki daerah penyelesaian di atas garis y = mx + c, garis digambar tegas (termasuk garis).
- Titik (x₀, y₀) berada di daerah atas garis jika y₀ > mx₀ + c.
- Untuk membuktikan, gunakan titik uji yang disubstitusi ke pertidaksamaan.
Contoh Soal: Daerah Atas Garis
📗 Tingkat Mudah (10 Soal)
Contoh 1
Tentukan daerah penyelesaian dari y > x + 1
Langkah 1: Gambar garis y = x + 1 (garis putus-putus karena tanda >)
Titik potong sumbu-x: y=0 → 0 = x+1 → x = -1, titik (-1, 0)
Titik potong sumbu-y: x=0 → y = 0+1 = 1, titik (0, 1)
Langkah 2: Uji titik (0, 0): 0 > 0 + 1 → 0 > 1 (Salah)
Langkah 3: Karena (0,0) tidak memenuhi, daerah penyelesaian adalah sisi yang tidak memuat (0,0), yaitu di atas garis.
Kesimpulan: Daerah penyelesaian adalah daerah di atas garis putus-putus y = x + 1.
Contoh 2
Tentukan daerah penyelesaian dari y ≥ 2x
Langkah 1: Gambar garis y = 2x (garis tegas/solid karena tanda ≥)
Garis melalui titik asal (0,0) dan (1,2)
Langkah 2: Karena garis melalui (0,0), gunakan titik uji lain, misal (0, 1): 1 ≥ 2(0) → 1 ≥ 0 (Benar)
Langkah 3: Titik (0,1) memenuhi dan berada di atas garis.
Kesimpulan: Daerah penyelesaian adalah daerah di atas garis solid y = 2x (termasuk garis).
Contoh 3
Apakah titik (2, 5) termasuk daerah penyelesaian y > x + 2?
Substitusi x=2, y=5 ke pertidaksamaan:
5 > 2 + 2
5 > 4 ✓ (Benar)
Kesimpulan: Ya, titik (2, 5) termasuk daerah penyelesaian.
Contoh 4
Tentukan daerah penyelesaian dari y > 3
Langkah 1: Gambar garis horizontal y = 3 (putus-putus)
Langkah 2: Uji titik (0, 0): 0 > 3 (Salah)
Langkah 3: Daerah penyelesaian di sisi yang tidak memuat (0,0), yaitu di atas garis y = 3.
Kesimpulan: Semua titik dengan koordinat y lebih dari 3.
Contoh 5
Tentukan daerah penyelesaian dari y ≥ -x + 4
Langkah 1: Gambar garis y = -x + 4 (solid karena ≥)
Titik potong: (0, 4) dan (4, 0)
Langkah 2: Uji titik (0, 0): 0 ≥ -0 + 4 → 0 ≥ 4 (Salah)
Langkah 3: Daerah penyelesaian di sisi yang tidak memuat (0,0), yaitu di atas garis.
Kesimpulan: Daerah di atas dan pada garis solid y = -x + 4.
Contoh 6
Apakah titik (1, 1) termasuk daerah penyelesaian y > 2x – 1?
Substitusi x=1, y=1:
1 > 2(1) – 1 → 1 > 1 (Salah, karena 1 tidak lebih besar dari 1)
Kesimpulan: Tidak, titik (1, 1) tepat pada garis, bukan di daerah atas garis.
Contoh 7
Tentukan daerah penyelesaian dari y > ½x
Langkah 1: Gambar garis y = ½x (putus-putus), melalui (0,0) dan (2,1)
Langkah 2: Uji titik (0, 1): 1 > ½(0) → 1 > 0 (Benar)
Kesimpulan: Daerah di atas garis putus-putus y = ½x.
Contoh 8
Tentukan daerah penyelesaian dari y ≥ x – 3
Langkah 1: Gambar garis y = x – 3 (solid), melalui (0,-3) dan (3,0)
Langkah 2: Uji titik (0, 0): 0 ≥ 0 – 3 → 0 ≥ -3 (Benar)
Kesimpulan: Daerah di atas dan pada garis solid, termasuk titik (0,0).
Contoh 9
Apakah titik (3, 10) termasuk daerah penyelesaian y ≥ 3x?
Substitusi: 10 ≥ 3(3) → 10 ≥ 9 ✓ (Benar)
Kesimpulan: Ya, titik (3, 10) termasuk daerah penyelesaian.
Contoh 10
Tentukan daerah penyelesaian dari y > -2x + 6
Langkah 1: Gambar garis y = -2x + 6 (putus-putus), melalui (0,6) dan (3,0)
Langkah 2: Uji titik (0, 0): 0 > -2(0) + 6 → 0 > 6 (Salah)
Langkah 3: Daerah penyelesaian di sisi yang tidak memuat (0,0).
Kesimpulan: Daerah di atas garis putus-putus y = -2x + 6.
📙 Tingkat Sedang (5 Soal)
Contoh 11
Tentukan daerah penyelesaian dari 2x – y + 4 < 0
Langkah 1: Ubah ke bentuk y > …
2x – y + 4 < 0
-y < -2x – 4
y > 2x + 4 (tanda berbalik karena dibagi -1)
Langkah 2: Gambar garis y = 2x + 4 (putus-putus), melalui (0,4) dan (-2,0)
Langkah 3: Uji titik (0,0): 0 > 2(0)+4 → 0 > 4 (Salah)
Kesimpulan: Daerah di atas garis putus-putus, tidak memuat titik asal.
Contoh 12
Tentukan daerah penyelesaian dari 3x – 2y ≤ 6
Langkah 1: Ubah ke bentuk y ≥ …
3x – 2y ≤ 6
-2y ≤ -3x + 6
y ≥ (3/2)x – 3 (tanda berbalik)
Langkah 2: Gambar garis y = (3/2)x – 3 (solid), melalui (0,-3) dan (2,0)
Langkah 3: Uji titik (0,0): 0 ≥ (3/2)(0) – 3 → 0 ≥ -3 (Benar)
Kesimpulan: Daerah di atas dan pada garis solid, memuat titik asal.
Contoh 13
Tentukan 3 titik yang termasuk dan 2 titik yang tidak termasuk daerah penyelesaian y > -x + 5
Titik yang memenuhi (y > -x + 5):
- (0, 6): 6 > -0+5 → 6 > 5 ✓
- (1, 7): 7 > -1+5 → 7 > 4 ✓
- (3, 5): 5 > -3+5 → 5 > 2 ✓
Titik yang tidak memenuhi:
- (0, 3): 3 > 5 ✗
- (2, 2): 2 > 3 ✗
Contoh 14
Gambarkan daerah penyelesaian x + 2y > 8 dan tentukan apakah titik (2, 4) termasuk.
Langkah 1: Ubah: 2y > -x + 8 → y > -½x + 4
Langkah 2: Garis y = -½x + 4, melalui (0,4) dan (8,0), putus-putus
Langkah 3: Uji (0,0): 0 > 4 (Salah) → daerah di atas garis
Langkah 4: Uji (2,4): 4 > -½(2)+4 → 4 > 3 ✓
Kesimpulan: Titik (2, 4) termasuk daerah penyelesaian.
Contoh 15
Tentukan pertidaksamaan yang daerah penyelesaiannya di atas garis yang melalui titik (0, 3) dan (6, 0).
Langkah 1: Tentukan persamaan garis melalui (0,3) dan (6,0)
Gradien: m = (0-3)/(6-0) = -3/6 = -½
Persamaan: y = -½x + 3
Langkah 2: Daerah di atas garis → y > -½x + 3
Atau dalam bentuk lain: x + 2y > 6
📕 Tingkat Sulit (5 Soal)
Contoh 16
Tentukan daerah penyelesaian dari -3x + 2y – 4 ≥ 2x – y + 2
Langkah 1: Sederhanakan
-3x + 2y – 4 ≥ 2x – y + 2
-3x – 2x + 2y + y ≥ 2 + 4
-5x + 3y ≥ 6
3y ≥ 5x + 6
y ≥ (5/3)x + 2
Langkah 2: Garis y = (5/3)x + 2 (solid), melalui (0,2) dan (3,7)
Langkah 3: Uji (0,0): 0 ≥ (5/3)(0)+2 → 0 ≥ 2 (Salah)
Kesimpulan: Daerah di atas garis solid, tidak memuat titik asal.
Contoh 17
Tentukan semua nilai a agar titik (a, 2a) berada di daerah penyelesaian y > 3x – 5
Substitusi x = a, y = 2a ke pertidaksamaan:
2a > 3a – 5
2a – 3a > -5
-a > -5
a < 5
Kesimpulan: Titik (a, 2a) berada di daerah atas garis untuk semua a < 5.
Contoh 18
Tentukan daerah penyelesaian dari sistem: y > x + 1 dan y > -2x + 4
Langkah 1: Gambar kedua garis (putus-putus):
- Garis 1: y = x + 1, melalui (0,1) dan (-1,0)
- Garis 2: y = -2x + 4, melalui (0,4) dan (2,0)
Langkah 2: Titik potong kedua garis: x+1 = -2x+4 → 3x = 3 → x = 1, y = 2. Titik (1,2)
Langkah 3: Daerah penyelesaian adalah irisan daerah di atas kedua garis.
Langkah 4: Uji (0, 5): 5 > 0+1 ✓ dan 5 > -0+4 ✓
Kesimpulan: Daerah di atas kedua garis, berbentuk “V terbalik” terbuka ke atas dari titik (1,2).
Contoh 19
Garis ax + by = c melalui (2, 1) dan (4, 5). Tentukan pertidaksamaan yang daerah penyelesaiannya di atas garis tersebut.
Langkah 1: Gradien: m = (5-1)/(4-2) = 4/2 = 2
Langkah 2: Persamaan: y – 1 = 2(x – 2) → y = 2x – 3
Langkah 3: Daerah di atas → y > 2x – 3
Bentuk umum: 2x – y – 3 < 0 atau 2x – y < 3
Contoh 20
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y ≥ x, y ≥ -x, dan y ≤ 4
Langkah 1: Tentukan titik-titik pojok:
- y = x dan y = 4 → x = 4, titik (4, 4)
- y = -x dan y = 4 → x = -4, titik (-4, 4)
- y = x dan y = -x → titik (0, 0)
Langkah 2: Daerah berbentuk segitiga dengan titik (0,0), (4,4), (-4,4)
Langkah 3: Alas = 8 (dari x=-4 ke x=4 pada y=4), tinggi = 4
Langkah 4: Luas = ½ × 8 × 4 = 16 satuan luas
Latihan Soal: Daerah Atas Garis
Kerjakan tanpa melihat pembahasan untuk mengukur pemahamanmu!
📗 Tingkat Mudah
1. Tentukan daerah penyelesaian dari y > x + 3
2. Tentukan daerah penyelesaian dari y ≥ 2x – 1
3. Apakah titik (1, 5) memenuhi y > 3x?
4. Tentukan daerah penyelesaian dari y > -x
5. Tentukan daerah penyelesaian dari y ≥ 4x + 2
6. Apakah titik (0, 0) memenuhi y > x – 5?
7. Tentukan daerah penyelesaian dari y > 5
8. Apakah titik (2, 8) memenuhi y ≥ 3x + 1?
9. Tentukan daerah penyelesaian dari y ≥ x
10. Tentukan daerah penyelesaian dari y > -3x + 9
📙 Tingkat Sedang
11. Tentukan daerah penyelesaian dari 3x – y + 2 < 0
12. Tentukan daerah penyelesaian dari 2x + 3y ≥ 12 dan periksa titik (3, 1)
13. Tentukan pertidaksamaan yang daerah penyelesaiannya di atas garis melalui (0, 2) dan (4, 0)
14. Tentukan daerah penyelesaian dari -x + 4y > 8
15. Tentukan semua titik pada garis x = 2 yang memenuhi y > 3x – 4
📕 Tingkat Sulit
16. Tentukan nilai k agar titik (k, k+3) berada di daerah penyelesaian y > 2x + 1
17. Tentukan daerah penyelesaian dari sistem y > 2x – 1 dan y > -x + 5
18. Tentukan luas daerah yang dibatasi y ≥ 2x, y ≥ -2x, dan y ≤ 6
19. Buktikan bahwa semua titik pada garis y = 3x + 5 berada di daerah penyelesaian y > 3x
20. Tentukan pertidaksamaan yang daerah penyelesaiannya adalah irisan daerah atas garis y = x + 1 dan daerah atas garis y = -x + 3
B. Daerah Bawah Garis
Memahami daerah penyelesaian di bawah garis pada pertidaksamaan linear dua variabel
Perhatikan garis lurus dengan persamaan y = x + 2 pada bidang koordinat berikut:
Amati bahwa daerah bawah garis (daerah hijau) memuat semua titik (x, y) di mana nilai y lebih kecil dari nilai garis pada posisi x yang sama.
Pertanyaan untuk direnungkan:
- Bagaimana hubungan antara tanda pertidaksamaan dan posisi daerah terhadap garis?
- Apakah garis putus-putus berarti titik pada garis termasuk atau tidak termasuk penyelesaian?
- Bagaimana menentukan daerah bawah jika bentuk pertidaksamaan bukan y < …?
Konsep Daerah Bawah Garis
Definisi:
Diberikan garis lurus y = mx + c, maka:
- Daerah bawah garis adalah himpunan semua titik (x, y) yang memenuhi:
y < mx + c (garis tidak termasuk, digambar putus-putus)
atau
y ≤ mx + c (garis termasuk, digambar tegas/solid)
Perbandingan Daerah Atas dan Bawah Garis:
| Pertidaksamaan | Daerah | Garis Batas |
|---|---|---|
| y > mx + c | Di atas garis | Putus-putus |
| y ≥ mx + c | Di atas garis (termasuk garis) | Tegas/solid |
| y < mx + c | Di bawah garis | Putus-putus |
| y ≤ mx + c | Di bawah garis (termasuk garis) | Tegas/solid |
Langkah-langkah Menentukan Daerah Bawah Garis:
- Ubah pertidaksamaan ke bentuk y < mx + c atau y ≤ mx + c
- Gambar garis batas y = mx + c
- Tentukan jenis garis: putus-putus (<) atau solid (≤)
- Arsir daerah di bawah garis
- Verifikasi dengan titik uji
💡 Tips Mengingat:
- y > → daerah di atas (y nilainya lebih besar dari garis)
- y < → daerah di bawah (y nilainya lebih kecil dari garis)
- Tanda = (≥ atau ≤) → garis termasuk (solid)
- Tanpa = (> atau <) → garis tidak termasuk (putus-putus)
Kegiatan Mencoba:
Tentukan apakah titik-titik berikut berada di daerah bawah garis y = 2x + 3:
| Titik | Substitusi ke y < 2x + 3 | Hasil | Kesimpulan |
|---|---|---|---|
| (0, 0) | 0 < 2(0) + 3 → 0 < 3 | Benar ✓ | Di bawah garis |
| (1, 4) | 4 < 2(1) + 3 → 4 < 5 | Benar ✓ | Di bawah garis |
| (2, 8) | 8 < 2(2) + 3 → 8 < 7 | Salah ✗ | Di atas garis |
| (1, 5) | 5 < 2(1) + 3 → 5 < 5 | Salah ✗ | Tepat pada garis |
| (-2, -3) | -3 < 2(-2) + 3 → -3 < -1 | Benar ✓ | Di bawah garis |
Kesimpulan Materi Daerah Bawah Garis:
- Pertidaksamaan y < mx + c memiliki daerah penyelesaian di bawah garis y = mx + c, garis digambar putus-putus.
- Pertidaksamaan y ≤ mx + c memiliki daerah penyelesaian di bawah garis y = mx + c, garis digambar tegas (termasuk garis).
- Titik (x₀, y₀) berada di daerah bawah garis jika y₀ < mx₀ + c.
- Daerah bawah garis adalah komplemen dari daerah atas garis (dan sebaliknya).
Contoh Soal: Daerah Bawah Garis
📗 Tingkat Mudah (10 Soal)
Contoh 1
Tentukan daerah penyelesaian dari y < x + 4
Langkah 1: Gambar garis y = x + 4 (putus-putus), melalui (0,4) dan (-4,0)
Langkah 2: Uji titik (0,0): 0 < 0+4 → 0 < 4 (Benar)
Kesimpulan: Daerah di bawah garis putus-putus, memuat titik asal.
Contoh 2
Tentukan daerah penyelesaian dari y ≤ 3x
Langkah 1: Gambar garis y = 3x (solid), melalui (0,0) dan (1,3)
Langkah 2: Uji titik (1,0): 0 ≤ 3(1) → 0 ≤ 3 (Benar)
Kesimpulan: Daerah di bawah dan pada garis solid y = 3x.
Contoh 3
Apakah titik (3, 1) termasuk daerah penyelesaian y < x?
Substitusi: 1 < 3 ✓ (Benar)
Kesimpulan: Ya, titik (3, 1) termasuk daerah penyelesaian.
Contoh 4
Tentukan daerah penyelesaian dari y < -2
Langkah 1: Gambar garis horizontal y = -2 (putus-putus)
Langkah 2: Daerah penyelesaian adalah semua titik dengan y < -2
Kesimpulan: Seluruh daerah di bawah garis y = -2.
Contoh 5
Tentukan daerah penyelesaian dari y ≤ -x + 5
Langkah 1: Gambar garis y = -x + 5 (solid), melalui (0,5) dan (5,0)
Langkah 2: Uji (0,0): 0 ≤ -0+5 → 0 ≤ 5 (Benar)
Kesimpulan: Daerah di bawah dan pada garis solid, memuat titik asal.
Contoh 6
Apakah titik (4, 4) memenuhi y ≤ x + 1?
Substitusi: 4 ≤ 4 + 1 → 4 ≤ 5 ✓ (Benar)
Kesimpulan: Ya, titik (4, 4) memenuhi pertidaksamaan.
Contoh 7
Tentukan daerah penyelesaian dari y < 2x – 3
Langkah 1: Gambar garis y = 2x – 3 (putus-putus), melalui (0,-3) dan (3/2, 0)
Langkah 2: Uji (0,0): 0 < 2(0)-3 → 0 < -3 (Salah)
Kesimpulan: Daerah di bawah garis, tidak memuat titik asal (sisi kanan bawah garis).
Contoh 8
Tentukan daerah penyelesaian dari y ≤ ½x + 1
Langkah 1: Gambar garis y = ½x + 1 (solid), melalui (0,1) dan (2,2)
Langkah 2: Uji (0,0): 0 ≤ ½(0)+1 → 0 ≤ 1 (Benar)
Kesimpulan: Daerah di bawah dan pada garis solid, memuat titik asal.
Contoh 9
Apakah titik (-1, -5) memenuhi y < 2x?
Substitusi: -5 < 2(-1) → -5 < -2 ✓ (Benar)
Kesimpulan: Ya, titik (-1, -5) memenuhi pertidaksamaan.
Contoh 10
Tentukan daerah penyelesaian dari y < -3x + 6
Langkah 1: Gambar garis y = -3x + 6 (putus-putus), melalui (0,6) dan (2,0)
Langkah 2: Uji (0,0): 0 < -3(0)+6 → 0 < 6 (Benar)
Kesimpulan: Daerah di bawah garis putus-putus, memuat titik asal.
📙 Tingkat Sedang (5 Soal)
Contoh 11
Tentukan daerah penyelesaian dari x + y – 6 > 0 (daerah bawah?)
Langkah 1: Ubah: x + y – 6 > 0 → y > -x + 6
Perhatian: Ini bukan daerah bawah! Ini daerah atas garis y = -x + 6.
Langkah 2: Jika soal menanyakan daerah bawah garis yang sama, maka pertidaksamaannya: y < -x + 6 atau x + y – 6 < 0
Kesimpulan: Penting untuk teliti membaca tanda pertidaksamaan sebelum menentukan daerah.
Contoh 12
Tentukan daerah penyelesaian dari 4x + 2y ≤ 8
Langkah 1: Ubah: 2y ≤ -4x + 8 → y ≤ -2x + 4
Langkah 2: Gambar garis y = -2x + 4 (solid), melalui (0,4) dan (2,0)
Langkah 3: Uji (0,0): 0 ≤ -2(0)+4 → 0 ≤ 4 (Benar)
Kesimpulan: Daerah di bawah dan pada garis solid, memuat titik asal.
Contoh 13
Tentukan pertidaksamaan yang daerah penyelesaiannya di bawah garis melalui (0, 6) dan (3, 0).
Langkah 1: Gradien: m = (0-6)/(3-0) = -2
Langkah 2: Persamaan: y = -2x + 6
Langkah 3: Daerah bawah: y < -2x + 6 atau 2x + y < 6
Contoh 14
Tentukan daerah penyelesaian dari -2x + 3y < -6 dan periksa titik (0, -3).
Langkah 1: Ubah: 3y < 2x – 6 → y < (2/3)x – 2
Langkah 2: Garis y = (2/3)x – 2 (putus-putus), melalui (0,-2) dan (3,0)
Langkah 3: Uji (0,-3): -3 < (2/3)(0)-2 → -3 < -2 (Benar) ✓
Kesimpulan: Titik (0, -3) termasuk daerah penyelesaian (di bawah garis).
Contoh 15
Tentukan 3 titik yang memenuhi dan 2 titik yang tidak memenuhi y ≤ x – 1
Memenuhi (y ≤ x – 1):
- (3, 1): 1 ≤ 3-1=2 ✓
- (5, 0): 0 ≤ 5-1=4 ✓
- (2, 1): 1 ≤ 2-1=1 ✓ (tepat pada garis)
Tidak memenuhi:
- (0, 1): 1 ≤ 0-1=-1 ✗
- (1, 3): 3 ≤ 1-1=0 ✗
📕 Tingkat Sulit (5 Soal)
Contoh 16
Tentukan daerah penyelesaian dari 2(x – 1) + 3(y + 2) ≤ x + y + 8
Langkah 1: Sederhanakan
2x – 2 + 3y + 6 ≤ x + y + 8
2x + 3y + 4 ≤ x + y + 8
x + 2y ≤ 4
2y ≤ -x + 4
y ≤ -½x + 2
Langkah 2: Garis y = -½x + 2 (solid), melalui (0,2) dan (4,0)
Langkah 3: Uji (0,0): 0 ≤ -½(0)+2 → 0 ≤ 2 (Benar)
Kesimpulan: Daerah di bawah dan pada garis solid, memuat titik asal.
Contoh 17
Tentukan semua nilai p agar titik (p, p²) berada di daerah penyelesaian y < 4x
Substitusi x = p, y = p²:
p² < 4p
p² – 4p < 0
p(p – 4) < 0
Penyelesaian: 0 < p < 4
Kesimpulan: Titik (p, p²) berada di bawah garis y = 4x untuk 0 < p < 4.
Contoh 18
Tentukan daerah penyelesaian sistem: y < 2x + 3 dan y < -x + 6
Langkah 1: Gambar kedua garis (putus-putus):
- Garis 1: y = 2x + 3
- Garis 2: y = -x + 6
Langkah 2: Titik potong: 2x+3 = -x+6 → 3x = 3 → x=1, y=5. Titik (1,5)
Langkah 3: Daerah di bawah kedua garis (irisan)
Langkah 4: Uji (0,0): 0 < 3 ✓ dan 0 < 6 ✓
Kesimpulan: Daerah berbentuk “V” ke bawah dari titik (1,5), memuat titik asal.
Contoh 19
Tentukan luas daerah yang dibatasi y ≤ x + 4, y ≤ -x + 4, dan y ≥ 0
Langkah 1: Titik-titik pojok:
- y = x+4 dan y = -x+4: 2x = 0, x=0, y=4 → titik (0, 4)
- y = x+4 dan y = 0: x = -4 → titik (-4, 0)
- y = -x+4 dan y = 0: x = 4 → titik (4, 0)
Langkah 2: Segitiga dengan titik (-4,0), (4,0), (0,4)
Langkah 3: Alas = 8, tinggi = 4
Langkah 4: Luas = ½ × 8 × 4 = 16 satuan luas
Contoh 20
Tentukan pertidaksamaan linear yang daerah penyelesaiannya memuat titik (1,1), (2,0), (0,-1) tetapi tidak memuat titik (0,3).
Langkah 1: Cari garis yang memisahkan titik-titik tersebut. Coba garis melalui antara (0,-1)&(0,3) dan melewati (1,1)&(2,0).
Langkah 2: Garis melalui (2,0) dan (0,2): m = (2-0)/(0-2) = -1, sehingga y = -x + 2
Langkah 3: Uji titik-titik:
- (1,1): 1 < -1+2=1? → 1 < 1 Salah. Coba y ≤ -x+2: 1 ≤ 1 ✓
- (2,0): 0 ≤ -2+2=0 ✓
- (0,-1): -1 ≤ 0+2=2 ✓
- (0,3): 3 ≤ -0+2=2? 3 ≤ 2 ✗ (tidak memenuhi, sesuai keinginan)
Kesimpulan: y ≤ -x + 2 atau x + y ≤ 2
Latihan Soal: Daerah Bawah Garis
Kerjakan secara mandiri!
📗 Tingkat Mudah
1. Tentukan daerah penyelesaian dari y < 2x + 1
2. Tentukan daerah penyelesaian dari y ≤ x – 2
3. Apakah titik (2, 3) memenuhi y < 2x?
4. Tentukan daerah penyelesaian dari y < -x + 3
5. Tentukan daerah penyelesaian dari y ≤ 4
6. Apakah titik (0, 0) memenuhi y ≤ x + 1?
7. Tentukan daerah penyelesaian dari y < 3x – 2
8. Apakah titik (5, 5) memenuhi y ≤ x?
9. Tentukan daerah penyelesaian dari y < -2x + 8
10. Tentukan daerah penyelesaian dari y ≤ ½x + 3
📙 Tingkat Sedang
11. Tentukan daerah penyelesaian dari 2x + y – 4 > 0 (identifikasi ini daerah atas atau bawah)
12. Tentukan daerah penyelesaian dari 3x – 2y ≥ -4
13. Tentukan pertidaksamaan yang daerah penyelesaiannya di bawah garis melalui (0, 4) dan (2, 0)
14. Tentukan daerah penyelesaian dari 5x + 2y < 10 dan periksa titik (1, 1)
15. Tentukan semua titik pada sumbu-y yang memenuhi y < -2x + 7
📕 Tingkat Sulit
16. Tentukan nilai m agar titik (m, 2m-1) berada di bawah garis y = 3x + 2
17. Tentukan daerah penyelesaian sistem y ≤ x + 3, y ≤ -2x + 6, dan y ≥ 0
18. Tentukan luas daerah yang dibatasi y ≤ 2x + 4, y ≤ -2x + 4, dan y ≥ -2
19. Buktikan bahwa semua titik pada garis y = x – 2 berada di daerah penyelesaian y < x + 1
20. Tentukan pertidaksamaan linear yang daerah penyelesaiannya memuat (0,0), (1,-1), (3,0) tetapi tidak memuat (0,4)