📐 SPLDV
📋 Daftar Isi
1. Pengertian SPLDV
🔍 Mengamati
Perhatikan situasi berikut: Andi membeli 2 buku dan 3 pensil seharga Rp16.000. Di toko yang sama, Budi membeli 1 buku dan 2 pensil seharga Rp9.000. Berapa harga satu buku dan satu pensil?
Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) adalah persamaan yang memiliki dua variabel dan masing-masing variabel berpangkat satu (linear). Bentuk umumnya:
dengan a, b, c ∈ ℝ dan a ≠ 0 atau b ≠ 0.
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah kumpulan dua atau lebih persamaan linear dua variabel yang memiliki variabel-variabel yang sama dan diselesaikan secara bersamaan.
a₂x + b₂y = c₂
Kembali ke situasi Andi dan Budi, jika harga buku = x dan harga pensil = y, maka:
x + 2y = 9.000 … (2)
Kedua persamaan di atas membentuk sebuah SPLDV.
❓ Menanya
Bagaimana cara menemukan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan sekaligus? Apakah selalu ada solusi?
Ciri-ciri SPLDV
- Terdiri dari minimal dua persamaan linear.
- Memiliki dua variabel (umumnya x dan y).
- Setiap variabel berpangkat satu (derajat 1).
- Tidak ada perkalian antar variabel (tidak ada xy).
Contoh & Bukan Contoh
| Persamaan | SPLDV? | Alasan |
|---|---|---|
| x + y = 5 dan 2x − y = 1 | ✅ Ya | Dua persamaan, dua variabel, pangkat 1 |
| x² + y = 7 dan x − y = 2 | ❌ Bukan | Ada variabel berpangkat 2 |
| 3x + 2y = 10 | ❌ Bukan | Hanya satu persamaan (bukan sistem) |
| xy = 6 dan x + y = 5 | ❌ Bukan | Ada perkalian antar variabel |
2. Sistem Dua Persamaan
💡 Menalar
Sebuah SPLDV terdiri dari dua persamaan. Setiap persamaan, jika digambarkan pada bidang koordinat, membentuk sebuah garis lurus. Maka SPLDV sesungguhnya adalah tentang hubungan antara dua garis lurus.
Bentuk Umum
a₂x + b₂y = c₂ … persamaan (2)
Tiga Kemungkinan Solusi
Dua garis lurus pada bidang datar hanya memiliki tiga kemungkinan posisi:
| Posisi Dua Garis | Jumlah Solusi | Keterangan |
|---|---|---|
| Berpotongan | Tepat 1 solusi | Ada satu titik (x, y) yang memenuhi kedua persamaan. Disebut konsisten dan independen. |
| Sejajar | Tidak ada solusi | Tidak ada titik yang memenuhi kedua persamaan sekaligus. Disebut inkonsisten. |
| Berimpit | Tak hingga solusi | Kedua persamaan menghasilkan garis yang sama. Disebut konsisten dan dependen. |
Cara Menentukan Posisi Dua Garis
Bandingkan koefisien persamaan:
Jika a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → Sejajar (0 solusi)
Jika a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ → Berimpit (∞ solusi)
🧪 Mencoba
Tentukan jenis solusi SPLDV berikut:
Jawab: a₁/a₂ = 2/1 = 2, b₁/b₂ = 4/2 = 2, c₁/c₂ = 8/4 = 2. Karena 2 = 2 = 2 → Berimpit, solusi tak hingga. ✅
Himpunan Penyelesaian
Himpunan penyelesaian SPLDV dinyatakan sebagai himpunan pasangan berurutan:
Contoh: Jika solusi SPLDV adalah x = 3 dan y = 2, maka HP = {(3, 2)}.
3. Konsep Titik Potong
🔍 Mengamati
Perhatikan grafik berikut. Dua garis, y = x + 1 dan y = −x + 5, digambar pada bidang koordinat yang sama. Titik pertemuan kedua garis itulah yang disebut titik potong.
Dari grafik di atas, kedua garis berpotongan di titik (2, 3). Artinya x = 2 dan y = 3 memenuhi kedua persamaan.
Apa Itu Titik Potong?
Titik potong dua garis adalah titik (x, y) yang terletak pada kedua garis sekaligus. Dengan kata lain, titik potong adalah penyelesaian SPLDV.
Jenis Titik Potong
a) Titik Potong dengan Sumbu-x
Garis memotong sumbu-x ketika y = 0. Substitusikan y = 0 ke persamaan untuk mendapatkan nilai x.
b) Titik Potong dengan Sumbu-y
Garis memotong sumbu-y ketika x = 0. Substitusikan x = 0 ke persamaan untuk mendapatkan nilai y.
c) Titik Potong Dua Garis (Penyelesaian SPLDV)
Ini adalah inti pembahasan kita. Untuk menemukan titik potong dua garis, kita perlu menyelesaikan SPLDV menggunakan salah satu metode: substitusi, eliminasi, atau campuran.
💡 Menalar
Mengapa titik potong dua garis merupakan solusi SPLDV? Karena di titik tersebut, nilai x dan y memenuhi persamaan (1) dan persamaan (2) secara bersamaan. Tidak ada titik lain yang memenuhi keduanya (kecuali garis berimpit).
Verifikasi Titik Potong
Selalu periksa jawaban dengan mensubstitusikan kembali ke kedua persamaan:
y = −x + 5 → y = −2 + 5 = 3 ✅
Kedua persamaan menghasilkan y = 3 saat x = 2, jadi titik (2, 3) benar.
4. Metode Penyelesaian SPLDV
A. Metode Substitusi
Nyatakan salah satu variabel dari satu persamaan, lalu substitusikan ke persamaan lainnya.
🧪 Mencoba — Metode Substitusi
2x − y = 2 … (2)
Langkah 1: Dari (1): y = 7 − x
Langkah 2: Substitusi ke (2): 2x − (7 − x) = 2 → 2x − 7 + x = 2 → 3x = 9 → x = 3
Langkah 3: y = 7 − 3 = 4
HP = {(3, 4)} → Titik potong kedua garis di (3, 4)
B. Metode Eliminasi
Hilangkan salah satu variabel dengan menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan.
🧪 Mencoba — Metode Eliminasi
2x − y = 2 … (2)
Langkah: Jumlahkan (1) dan (2):
3x = 9 → x = 3
Substitusi x = 3 ke (1): 3 + y = 7 → y = 4. HP = {(3, 4)}
C. Metode Campuran (Eliminasi-Substitusi)
Gabungan kedua metode. Eliminasi untuk menemukan satu variabel, lalu substitusi untuk variabel lainnya. Ini metode yang paling sering digunakan.
D. Metode Grafik
Gambar kedua garis pada bidang koordinat. Titik potong kedua garis adalah penyelesaian SPLDV. Cocok untuk memvisualisasikan solusi.
📢 Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman: Metode mana yang paling efisien untuk setiap tipe soal? Kapan metode grafik lebih cocok digunakan? Sampaikan pendapatmu beserta alasannya.
5. Grafik & Interpretasi
Langkah menggambar grafik SPLDV:
- Tentukan titik potong sumbu-x (y = 0) dan sumbu-y (x = 0) untuk masing-masing persamaan.
- Plot kedua titik untuk setiap garis.
- Tarik garis lurus melalui kedua titik.
- Tentukan titik potong kedua garis → itulah solusi.
Contoh Lengkap
x − y = 2 … (2)
| Persamaan | Titik potong sumbu-x (y=0) | Titik potong sumbu-y (x=0) |
|---|---|---|
| x + y = 4 | (4, 0) | (0, 4) |
| x − y = 2 | (2, 0) | (0, −2) |
Dari grafik: titik potong = (3, 1). Verifikasi: 3 + 1 = 4 ✅ dan 3 − 1 = 2 ✅.
📢 Mengkomunikasikan
Jelaskan kepada temanmu mengapa titik (3, 1) merupakan satu-satunya titik yang memenuhi kedua persamaan. Gunakan grafik sebagai alat bantu.
📝 Ringkasan
- ✅ SPLDV = sistem yang terdiri dari dua atau lebih persamaan linear dua variabel.
- ✅ Dua garis bisa berpotongan (1 solusi), sejajar (0 solusi), atau berimpit (∞ solusi).
- ✅ Titik potong dua garis = penyelesaian SPLDV = HP.
- ✅ Metode: Substitusi, Eliminasi, Campuran, Grafik.
- ✅ Selalu verifikasi jawaban ke kedua persamaan.