Metode Grafik pada SPLDV
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Pendahuluan
Metode grafik adalah salah satu cara menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dengan menggambar grafik dari masing-masing persamaan linear pada bidang koordinat Kartesius. Penyelesaian SPLDV diperoleh dari titik potong kedua garis.
Langkah-langkah metode grafik:
- Menentukan titik-titik koordinat dari masing-masing persamaan
- Menggambar garis dari kedua persamaan pada bidang koordinat yang sama
- Menentukan titik potong kedua garis sebagai penyelesaian SPLDV
1 Menentukan Titik Koordinat
Untuk menggambar grafik suatu persamaan linear dua variabel, kita perlu menentukan minimal dua titik koordinat yang memenuhi persamaan tersebut. Cara termudah adalah menentukan titik potong dengan sumbu-x dan sumbu-y.
Persamaan linear: ax + by = c
- • Titik potong sumbu-x → substitusi y = 0, sehingga diperoleh titik (x, 0)
- • Titik potong sumbu-y → substitusi x = 0, sehingga diperoleh titik (0, y)
Mengamati
Perhatikan persamaan: 2x + 3y = 6
Untuk mencari titik potong sumbu-x, substitusi y = 0:
2x + 3(0) = 6
2x = 6
x = 3 → titik (3, 0)
Untuk mencari titik potong sumbu-y, substitusi x = 0:
2(0) + 3y = 6
3y = 6
y = 2 → titik (0, 2)
| x | y | Titik |
|---|---|---|
| 3 | 0 | (3, 0) |
| 0 | 2 | (0, 2) |
Menanya
- • Mengapa kita hanya membutuhkan dua titik untuk menggambar garis?
- • Bagaimana jika persamaan berbentuk x = k atau y = k?
- • Apakah boleh menggunakan titik selain titik potong sumbu?
Jawaban: Dua titik cukup karena persamaan linear membentuk garis lurus. Persamaan x = k menghasilkan garis vertikal, dan y = k menghasilkan garis horizontal. Kita boleh menggunakan titik manapun yang memenuhi persamaan.
Menalar
Dari pengamatan di atas, kita dapat menyimpulkan:
- Setiap persamaan linear ax + by = c memiliki tak terhingga titik yang memenuhi
- Cukup 2 titik untuk menggambar garis lurus
- Menggunakan titik potong sumbu adalah cara paling efisien
- Titik ketiga dapat digunakan sebagai titik cek (verifikasi)
Mencoba
Tentukan dua titik koordinat dari persamaan berikut:
- x + y = 5
- 3x + 2y = 12
- x − 2y = 4
Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman sebangku: Jelaskan dengan kata-katamu sendiri, mengapa titik potong sumbu-x selalu memiliki y = 0 dan sebaliknya. Tuliskan hasilnya di buku catatan.
Contoh Soal — Menentukan Titik Koordinat
Mudah Contoh Soal 1–10
Contoh Soal 1
Tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari persamaan x + y = 4
Titik potong sumbu-x (substitusi y = 0):
x + 0 = 4 → x = 4 → titik (4, 0)
Titik potong sumbu-y (substitusi x = 0):
0 + y = 4 → y = 4 → titik (0, 4)
Jadi, dua titik koordinat: (4, 0) dan (0, 4)
Contoh Soal 2
Tentukan titik-titik koordinat dari x + 2y = 6
y = 0: x = 6 → (6, 0)
x = 0: 2y = 6 → y = 3 → (0, 3)
Titik: (6, 0) dan (0, 3)
Contoh Soal 3
Tentukan titik-titik koordinat dari 2x + y = 8
y = 0: 2x = 8 → x = 4 → (4, 0)
x = 0: y = 8 → (0, 8)
Titik: (4, 0) dan (0, 8)
Contoh Soal 4
Tentukan titik-titik koordinat dari 3x + y = 9
y = 0: 3x = 9 → x = 3 → (3, 0)
x = 0: y = 9 → (0, 9)
Titik: (3, 0) dan (0, 9)
Contoh Soal 5
Tentukan titik-titik koordinat dari x + 3y = 9
y = 0: x = 9 → (9, 0)
x = 0: 3y = 9 → y = 3 → (0, 3)
Titik: (9, 0) dan (0, 3)
Contoh Soal 6
Tentukan titik-titik koordinat dari 4x + y = 12
y = 0: 4x = 12 → x = 3 → (3, 0)
x = 0: y = 12 → (0, 12)
Titik: (3, 0) dan (0, 12)
Contoh Soal 7
Tentukan titik-titik koordinat dari x + y = 7
y = 0: x = 7 → (7, 0)
x = 0: y = 7 → (0, 7)
Titik: (7, 0) dan (0, 7)
Contoh Soal 8
Tentukan titik-titik koordinat dari 2x + 4y = 8
y = 0: 2x = 8 → x = 4 → (4, 0)
x = 0: 4y = 8 → y = 2 → (0, 2)
Titik: (4, 0) dan (0, 2)
Contoh Soal 9
Tentukan titik-titik koordinat dari 5x + 2y = 10
y = 0: 5x = 10 → x = 2 → (2, 0)
x = 0: 2y = 10 → y = 5 → (0, 5)
Titik: (2, 0) dan (0, 5)
Contoh Soal 10
Tentukan titik-titik koordinat dari x + 4y = 8
y = 0: x = 8 → (8, 0)
x = 0: 4y = 8 → y = 2 → (0, 2)
Titik: (8, 0) dan (0, 2)
Sedang Contoh Soal 11–15
Contoh Soal 11
Tentukan 3 titik koordinat dari 2x − 3y = 12 dan gambarkan tabelnya
y = 0: 2x = 12 → x = 6 → (6, 0)
x = 0: −3y = 12 → y = −4 → (0, −4)
x = 3: 6 − 3y = 12 → −3y = 6 → y = −2 → (3, −2)
| x | y | Titik |
|---|---|---|
| 6 | 0 | (6, 0) |
| 0 | −4 | (0, −4) |
| 3 | −2 | (3, −2) |
Contoh Soal 12
Tentukan titik-titik koordinat dari 3x − 2y = −6
y = 0: 3x = −6 → x = −2 → (−2, 0)
x = 0: −2y = −6 → y = 3 → (0, 3)
Titik: (−2, 0) dan (0, 3)
Contoh Soal 13
Tentukan titik-titik koordinat dari −x + 4y = 8
y = 0: −x = 8 → x = −8 → (−8, 0)
x = 0: 4y = 8 → y = 2 → (0, 2)
Titik: (−8, 0) dan (0, 2)
Contoh Soal 14
Persamaan y = 2x − 3. Tentukan 3 titik yang memenuhi.
x = 0: y = −3 → (0, −3)
x = 1: y = 2(1) − 3 = −1 → (1, −1)
x = 2: y = 2(2) − 3 = 1 → (2, 1)
| x | y |
|---|---|
| 0 | −3 |
| 1 | −1 |
| 2 | 1 |
Contoh Soal 15
Tentukan titik koordinat dari ½x + y = 3
y = 0: ½x = 3 → x = 6 → (6, 0)
x = 0: y = 3 → (0, 3)
Titik: (6, 0) dan (0, 3)
Sulit Contoh Soal 16–20
Contoh Soal 16
Tentukan titik koordinat dari ⅔x − ¼y = 2
Kalikan semua ruas dengan 12 (KPK 3 dan 4):
12(⅔x) − 12(¼y) = 12(2)
8x − 3y = 24
y = 0: 8x = 24 → x = 3 → (3, 0)
x = 0: −3y = 24 → y = −8 → (0, −8)
Titik: (3, 0) dan (0, −8)
Contoh Soal 17
Tentukan titik koordinat dari 0,5x + 0,25y = 2,5
Kalikan dengan 4: 2x + y = 10
y = 0: 2x = 10 → x = 5 → (5, 0)
x = 0: y = 10 → (0, 10)
Titik: (5, 0) dan (0, 10)
Contoh Soal 18
Persamaan 3(x − 1) + 2(y + 2) = 7. Sederhanakan lalu tentukan titik koordinat.
3x − 3 + 2y + 4 = 7
3x + 2y + 1 = 7
3x + 2y = 6
y = 0: 3x = 6 → x = 2 → (2, 0)
x = 0: 2y = 6 → y = 3 → (0, 3)
Titik: (2, 0) dan (0, 3)
Contoh Soal 19
Tentukan 4 titik koordinat dari 2x − 5y = 10 termasuk titik di kuadran III
y = 0: x = 5 → (5, 0)
x = 0: −5y = 10 → y = −2 → (0, −2)
x = −5: 2(−5) − 5y = 10 → −10 − 5y = 10 → y = −4 → (−5, −4) ✓ kuadran III
x = 10: 20 − 5y = 10 → y = 2 → (10, 2)
Titik: (5,0), (0,−2), (−5,−4), (10,2)
Contoh Soal 20
Diketahui persamaan (x/3) + (y/5) = 1. Tentukan titik koordinat dan jelaskan bentuk umumnya.
Ini adalah bentuk intercept: x/a + y/b = 1
Dimana a = titik potong sumbu-x, b = titik potong sumbu-y
y = 0: x/3 = 1 → x = 3 → (3, 0)
x = 0: y/5 = 1 → y = 5 → (0, 5)
Kalikan dengan 15: 5x + 3y = 15
Titik: (3, 0) dan (0, 5). Bentuk intercept langsung menunjukkan titik potong sumbu.
Latihan Soal — Menentukan Titik Koordinat
Mudah
- Tentukan titik potong sumbu dari x + y = 6
- Tentukan titik potong sumbu dari 2x + y = 10
- Tentukan titik potong sumbu dari x + 3y = 9
- Tentukan titik potong sumbu dari 4x + 2y = 8
- Tentukan titik potong sumbu dari x + y = 10
- Tentukan titik potong sumbu dari 3x + y = 6
- Tentukan titik potong sumbu dari x + 5y = 15
- Tentukan titik potong sumbu dari 2x + 3y = 12
- Tentukan titik potong sumbu dari 5x + y = 5
- Tentukan titik potong sumbu dari x + 2y = 4
Sedang
- Tentukan 3 titik dari 2x − y = 4
- Tentukan titik koordinat dari −3x + 2y = 6
- Tentukan titik koordinat dari x − 4y = −8
- Tentukan titik koordinat dari y = 3x + 2
- Tentukan titik koordinat dari ½x + ⅓y = 1
Sulit
- Sederhanakan 2(x + 3) − y = 10 lalu tentukan titik koordinat
- Tentukan 4 titik dari 3x − 4y = −12 di 4 kuadran berbeda
- Tentukan titik koordinat dari 0,2x + 0,3y = 1,2
- Persamaan (x−2)/3 + (y+1)/4 = 2. Sederhanakan lalu tentukan titik koordinat.
- Tentukan titik koordinat dari ⅔x − ⅕y = 2
2 Menggambar Dua Garis
Setelah menentukan titik-titik koordinat, langkah selanjutnya adalah menggambar garis pada bidang koordinat Kartesius. Untuk SPLDV, kita menggambar dua garis pada bidang yang sama.
Langkah menggambar garis:
- Buat bidang koordinat Kartesius dengan sumbu-x dan sumbu-y
- Tandai titik-titik koordinat yang telah dihitung
- Hubungkan titik-titik tersebut dengan garis lurus
- Beri label pada setiap garis dengan persamaannya
Contoh: Grafik x + y = 4 dan x − y = 2
Mengamati
Perhatikan grafik di atas:
- • Garis x + y = 4 melalui titik (4, 0) dan (0, 4)
- • Garis x − y = 2 melalui titik (2, 0) dan (0, −2)
- • Kedua garis berpotongan di satu titik
Menanya
- • Apakah dua garis selalu berpotongan?
- • Bagaimana jika dua garis sejajar?
- • Bagaimana jika dua garis berimpit?
Jawaban: Dua garis bisa berpotongan (1 solusi), sejajar (tidak ada solusi), atau berimpit (tak terhingga solusi).
Menalar
Kemungkinan posisi dua garis:
| Posisi Garis | Gradien | Solusi SPLDV |
|---|---|---|
| Berpotongan | m₁ ≠ m₂ | Tepat satu |
| Sejajar | m₁ = m₂, c₁ ≠ c₂ | Tidak ada |
| Berimpit | m₁ = m₂, c₁ = c₂ | Tak terhingga |
Mencoba
Gambar grafik dari SPLDV berikut pada kertas berpetak:
- x + y = 5 dan x − y = 1
- 2x + y = 6 dan x + y = 4
Mengkomunikasikan
Presentasikan grafik yang telah kamu buat di depan kelas. Jelaskan langkah-langkah yang kamu gunakan.
Contoh Soal — Menggambar Dua Garis
Mudah Contoh Soal 1–10
Contoh Soal 1
Gambar grafik x + y = 5 dan x − y = 1
Garis 1: x + y = 5
y = 0: x = 5 → (5, 0)
x = 0: y = 5 → (0, 5)
Garis 2: x − y = 1
y = 0: x = 1 → (1, 0)
x = 0: −y = 1 → y = −1 → (0, −1)
Gambar kedua garis pada bidang koordinat yang sama, hubungkan titik-titik dengan garis lurus.
Contoh Soal 2
Gambar grafik 2x + y = 6 dan x + y = 4
Garis 1: 2x + y = 6
(3, 0) dan (0, 6)
Garis 2: x + y = 4
(4, 0) dan (0, 4)
Hubungkan masing-masing pasangan titik menjadi garis lurus.
Contoh Soal 3
Gambar grafik x + 2y = 8 dan x + y = 5
Garis 1: x + 2y = 8
(8, 0) dan (0, 4)
Garis 2: x + y = 5
(5, 0) dan (0, 5)
Contoh Soal 4
Gambar grafik 3x + y = 9 dan x + y = 5
Garis 1: (3, 0) dan (0, 9)
Garis 2: (5, 0) dan (0, 5)
Contoh Soal 5
Gambar grafik x + y = 3 dan 2x + y = 4
Garis 1: (3, 0) dan (0, 3)
Garis 2: (2, 0) dan (0, 4)
Contoh Soal 6
Gambar grafik x + y = 6 dan x − y = 2
Garis 1: (6, 0) dan (0, 6)
Garis 2: (2, 0) dan (0, −2)
Contoh Soal 7
Gambar grafik 2x + 3y = 12 dan x + y = 5
Garis 1: (6, 0) dan (0, 4)
Garis 2: (5, 0) dan (0, 5)
Contoh Soal 8
Gambar grafik x + 4y = 8 dan x + 2y = 6
Garis 1: (8, 0) dan (0, 2)
Garis 2: (6, 0) dan (0, 3)
Contoh Soal 9
Gambar grafik 3x + 2y = 6 dan x + 2y = 4
Garis 1: (2, 0) dan (0, 3)
Garis 2: (4, 0) dan (0, 2)
Contoh Soal 10
Gambar grafik 4x + y = 8 dan 2x + y = 6
Garis 1: (2, 0) dan (0, 8)
Garis 2: (3, 0) dan (0, 6)
Sedang Contoh Soal 11–15
Contoh Soal 11
Gambar grafik 2x − y = 4 dan x + 2y = 8. Tentukan apakah garis berpotongan, sejajar, atau berimpit.
Garis 1: 2x − y = 4 → (2,0) dan (0,−4). Gradien: m₁ = 2
Garis 2: x + 2y = 8 → (8,0) dan (0,4). Gradien: m₂ = −½
Karena m₁ ≠ m₂, maka kedua garis berpotongan di satu titik.
Contoh Soal 12
Gambar grafik 2x + y = 4 dan 4x + 2y = 6. Tentukan posisi kedua garis.
Garis 1: y = −2x + 4 → m₁ = −2, c₁ = 4
Garis 2: 2y = −4x + 6 → y = −2x + 3 → m₂ = −2, c₂ = 3
m₁ = m₂ tapi c₁ ≠ c₂ → sejajar (tidak ada solusi)
Contoh Soal 13
Gambar grafik x − y = 2 dan 2x − 2y = 4. Tentukan posisi kedua garis.
Garis 1: y = x − 2
Garis 2: 2x − 2y = 4 → y = x − 2
Kedua persamaan identik → berimpit (tak terhingga solusi)
Contoh Soal 14
Gambar grafik y = 2x − 1 dan y = −x + 5
Garis 1: y = 2x − 1 → (0,−1) dan (1,1) dan (½,0)
Garis 2: y = −x + 5 → (0,5) dan (5,0)
m₁ = 2, m₂ = −1 → berpotongan.
Contoh Soal 15
Gambar grafik 3x + 4y = 12 dan −3x + 2y = 6
Garis 1: (4, 0) dan (0, 3)
Garis 2: (−2, 0) dan (0, 3)
Kedua garis melalui titik (0, 3) → berpotongan di sumbu-y.
Sulit Contoh Soal 16–20
Contoh Soal 16
Gambar grafik ½x + ⅓y = 2 dan x − y = −1
Garis 1: Kalikan 6: 3x + 2y = 12 → (4,0) dan (0,6)
Garis 2: x − y = −1 → (−1,0) dan (0,1)
Contoh Soal 17
Gambar grafik y = ¾x − 2 dan y = −½x + 3. Jelaskan arah kemiringan masing-masing garis.
Garis 1: m = ¾ (positif → condong ke kanan atas). Titik: (0,−2) dan (4,1)
Garis 2: m = −½ (negatif → condong ke kanan bawah). Titik: (0,3) dan (6,0)
Contoh Soal 18
Tentukan apakah SPLDV 6x + 4y = 12 dan 3x + 2y = 6 memiliki solusi. Gambar grafiknya.
Persamaan 1 dibagi 2: 3x + 2y = 6 = Persamaan 2
Kedua persamaan identik → berimpit, solusi tak terhingga.
Grafik hanya menunjukkan satu garis melalui (2,0) dan (0,3).
Contoh Soal 19
Gambar grafik x = 3 dan 2x + y = 8
Garis 1: x = 3 adalah garis vertikal melalui x = 3
Garis 2: 2x + y = 8 → (4,0) dan (0,8)
Substitusi x = 3 ke garis 2: 6 + y = 8 → y = 2
Berpotongan di (3, 2)
Contoh Soal 20
Gambar grafik 0,4x + 0,6y = 2,4 dan 0,5x − 0,25y = 0,75
Garis 1: Kalikan 5: 2x + 3y = 12 → (6,0) dan (0,4)
Garis 2: Kalikan 4: 2x − y = 3 → (1.5,0) dan (0,−3)
Latihan Soal — Menggambar Dua Garis
Mudah
- Gambar grafik x + y = 4 dan x − y = 2
- Gambar grafik 2x + y = 8 dan x + y = 5
- Gambar grafik x + 2y = 6 dan x + y = 4
- Gambar grafik x + y = 7 dan 2x + y = 10
- Gambar grafik 3x + y = 6 dan x + y = 4
- Gambar grafik x + y = 8 dan x − y = 4
- Gambar grafik 2x + y = 10 dan x + 2y = 8
- Gambar grafik x + 3y = 9 dan x + y = 5
- Gambar grafik 4x + y = 8 dan x + y = 5
- Gambar grafik x + y = 6 dan 3x + y = 12
Sedang
- Gambar grafik 2x − y = 2 dan x + 3y = 9. Tentukan posisi kedua garis.
- Gambar grafik y = 2x + 1 dan y = 2x − 3. Apa yang terjadi?
- Gambar grafik x − 2y = 4 dan 3x + y = 6
- Gambar grafik 2x + 3y = 12 dan 4x + 6y = 24. Jelaskan hasilnya.
- Gambar grafik y = −x + 4 dan y = 3x − 4
Sulit
- Gambar grafik ⅓x + ½y = 2 dan x − y = −3
- Gambar grafik y = 4 dan 3x − 2y = 6. Tentukan titik potongnya.
- Gambar grafik 0,5x + 0,2y = 1 dan x + y = 3
- Tunjukkan bahwa 3x + y = 9 dan 6x + 2y = 12 tidak memiliki solusi dengan grafik.
- Gambar grafik x = 2y − 4 dan 3x + y = 5
3 Menentukan Titik Potong
Titik potong dua garis merupakan penyelesaian SPLDV. Pada metode grafik, titik potong diperoleh dengan melihat koordinat tempat kedua garis bertemu.
Cara menentukan titik potong:
- Gambar kedua garis pada bidang koordinat yang sama
- Temukan titik dimana kedua garis berpotongan
- Baca koordinat (x, y) dari titik tersebut
- Verifikasi dengan substitusi ke kedua persamaan
Verifikasi solusi:
Jika titik potong adalah (a, b), maka substitusi x = a dan y = b ke kedua persamaan harus menghasilkan pernyataan benar.
Contoh: Titik potong x + y = 5 dan x − y = 1
Titik potong: (3, 2) → x = 3, y = 2
Verifikasi: 3 + 2 = 5 ✓ dan 3 − 2 = 1 ✓
Mengamati
Dari grafik di atas:
- • Titik potong kedua garis adalah (3, 2)
- • Artinya x = 3 dan y = 2 memenuhi kedua persamaan secara bersamaan
- • Cek: 3 + 2 = 5 ✓ dan 3 − 2 = 1 ✓
Menanya
- • Bagaimana jika titik potong bukan bilangan bulat?
- • Seberapa akurat metode grafik?
Jawaban: Jika titik potong bukan bilangan bulat (misal: ½, ⅓), maka pembacaan grafik kurang akurat. Inilah kelemahan metode grafik dibanding metode substitusi atau eliminasi.
Menalar
Kesimpulan tentang penyelesaian SPLDV dengan metode grafik:
- • Jika dua garis berpotongan → SPLDV memiliki tepat satu penyelesaian
- • Jika dua garis sejajar → SPLDV tidak memiliki penyelesaian
- • Jika dua garis berimpit → SPLDV memiliki tak terhingga penyelesaian
Mencoba
Tentukan penyelesaian SPLDV berikut dengan metode grafik:
- x + y = 6 dan x − y = 2
- 2x + y = 7 dan x + y = 4
Mengkomunikasikan
Tuliskan langkah-langkah lengkap penyelesaian SPLDV dengan metode grafik di buku catatan. Sertakan grafik, tabel titik koordinat, dan verifikasi jawaban. Diskusikan kelebihan dan kekurangan metode grafik dengan teman.
Contoh Soal — Menentukan Titik Potong
Mudah Contoh Soal 1–10
Contoh Soal 1
Tentukan penyelesaian SPLDV: x + y = 5 dan x − y = 1 dengan metode grafik.
Garis 1: x + y = 5
| x | y |
|---|---|
| 5 | 0 |
| 0 | 5 |
Garis 2: x − y = 1
| x | y |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 0 | −1 |
Dari grafik, titik potong: (3, 2)
Verifikasi: 3+2=5 ✓, 3−2=1 ✓
Jadi, x = 3 dan y = 2
Contoh Soal 2
Selesaikan: x + y = 6 dan x − y = 2
Garis 1: (6,0) dan (0,6)
Garis 2: (2,0) dan (0,−2)
Titik potong: (4, 2)
Verifikasi: 4+2=6 ✓, 4−2=2 ✓
Contoh Soal 3
Selesaikan: 2x + y = 8 dan x + y = 5
Garis 1: (4,0) dan (0,8)
Garis 2: (5,0) dan (0,5)
Titik potong: (3, 2)
Verifikasi: 2(3)+2=8 ✓, 3+2=5 ✓
Contoh Soal 4
Selesaikan: x + y = 7 dan 2x + y = 10
Garis 1: (7,0) dan (0,7)
Garis 2: (5,0) dan (0,10)
Titik potong: (3, 4)
Verifikasi: 3+4=7 ✓, 2(3)+4=10 ✓
Contoh Soal 5
Selesaikan: x + y = 4 dan 2x + y = 6
Titik potong: (2, 2)
Verifikasi: 2+2=4 ✓, 2(2)+2=6 ✓
Contoh Soal 6
Selesaikan: x + 2y = 8 dan x + y = 5
Titik potong: (2, 3)
Verifikasi: 2+2(3)=8 ✓, 2+3=5 ✓
Contoh Soal 7
Selesaikan: 3x + y = 9 dan x + y = 5
Titik potong: (2, 3)
Verifikasi: 3(2)+3=9 ✓, 2+3=5 ✓
Contoh Soal 8
Selesaikan: x + y = 8 dan x − y = 2
Titik potong: (5, 3)
Verifikasi: 5+3=8 ✓, 5−3=2 ✓
Contoh Soal 9
Selesaikan: 2x + y = 10 dan x + y = 6
Titik potong: (4, 2)
Verifikasi: 2(4)+2=10 ✓, 4+2=6 ✓
Contoh Soal 10
Selesaikan: x + 3y = 9 dan x + y = 5
Titik potong: (3, 2)
Verifikasi: 3+3(2)=9 ✓, 3+2=5 ✓
Sedang Contoh Soal 11–15
Contoh Soal 11
Selesaikan: 2x + 3y = 12 dan x − y = 1
Garis 1: 2x + 3y = 12 → (6,0) dan (0,4)
Garis 2: x − y = 1 → (1,0) dan (0,−1)
Titik potong: (3, 2)
Verifikasi: 2(3)+3(2)=12 ✓, 3−2=1 ✓
Contoh Soal 12
Selesaikan: 3x + 2y = 12 dan x + 2y = 8
Garis 1: (4,0) dan (0,6)
Garis 2: (8,0) dan (0,4)
Titik potong: (2, 3)
Verifikasi: 3(2)+2(3)=12 ✓, 2+2(3)=8 ✓
Contoh Soal 13
Selesaikan: x + y = 4 dan 3x + y = 8
Titik potong: (2, 2)
Verifikasi: 2+2=4 ✓, 3(2)+2=8 ✓
Contoh Soal 14
Selesaikan: 2x − y = 1 dan x + y = 5
Garis 1: 2x − y = 1 → (½,0) dan (0,−1). Lebih mudah: (1,1) dan (2,3)
Garis 2: (5,0) dan (0,5)
Titik potong: (2, 3)
Verifikasi: 2(2)−3=1 ✓, 2+3=5 ✓
Contoh Soal 15
Selesaikan: 4x + 3y = 12 dan 2x + 3y = 6
Garis 1: (3,0) dan (0,4)
Garis 2: (3,0) dan (0,2)
Kedua garis melewati titik (3, 0). Titik potong: (3, 0)
Verifikasi: 4(3)+3(0)=12 ✓, 2(3)+3(0)=6 ✓
Sulit Contoh Soal 16–20
Contoh Soal 16
Selesaikan: 3x + 4y = 24 dan x − 2y = −2
Garis 1: (8,0) dan (0,6)
Garis 2: (−2,0) dan (0,1)
Titik potong: (4, 3)
Verifikasi: 3(4)+4(3)=24 ✓, 4−2(3)=−2 ✓
Contoh Soal 17
Selesaikan: 5x + 2y = 16 dan x + 2y = 8
Titik potong: (2, 3)
Verifikasi: 5(2)+2(3)=16 ✓, 2+2(3)=8 ✓
Contoh Soal 18
Harga 2 buku tulis dan 3 pensil adalah Rp15.000. Harga 1 buku tulis dan 1 pensil adalah Rp6.000. Tentukan harga masing-masing dengan metode grafik.
Misalkan: x = harga buku tulis (ribuan), y = harga pensil (ribuan)
2x + 3y = 15 dan x + y = 6
Garis 1: (7.5, 0) dan (0, 5)
Garis 2: (6, 0) dan (0, 6)
Titik potong: (3, 3)
Verifikasi: 2(3)+3(3)=15 ✓, 3+3=6 ✓
Jadi, harga buku tulis = Rp3.000 dan harga pensil = Rp3.000
Contoh Soal 19
Selesaikan: y = 2x − 1 dan y = −x + 5
Garis 1: y = 2x − 1 → (0,−1) dan (1,1) dan (2,3)
Garis 2: y = −x + 5 → (0,5) dan (5,0)
Titik potong: (2, 3)
Verifikasi: 3=2(2)−1 ✓, 3=−2+5 ✓
Contoh Soal 20
Umur Ayah dan Ibu dijumlahkan 70 tahun. Selisih umur mereka 4 tahun (Ayah lebih tua). Tentukan umur masing-masing dengan metode grafik.
Misalkan: x = umur Ayah, y = umur Ibu
x + y = 70 dan x − y = 4
Garis 1: (70,0) dan (0,70)
Garis 2: (4,0) dan (0,−4)
Titik potong: (37, 33)
Verifikasi: 37+33=70 ✓, 37−33=4 ✓
Jadi, umur Ayah = 37 tahun dan umur Ibu = 33 tahun
Latihan Soal — Menentukan Titik Potong
Mudah
- Selesaikan dengan metode grafik: x + y = 4 dan x − y = 2
- Selesaikan: x + y = 7 dan x − y = 3
- Selesaikan: 2x + y = 6 dan x + y = 4
- Selesaikan: x + y = 9 dan x − y = 1
- Selesaikan: x + 2y = 8 dan x + y = 5
- Selesaikan: 3x + y = 7 dan x + y = 3
- Selesaikan: x + y = 10 dan x − y = 4
- Selesaikan: 2x + y = 8 dan x + y = 6
- Selesaikan: x + y = 5 dan 2x + y = 8
- Selesaikan: x + y = 6 dan x + 2y = 10
Sedang
- Selesaikan: 2x + 3y = 12 dan x + 2y = 7
- Selesaikan: 3x − y = 5 dan x + 2y = 8
- Selesaikan: x − 2y = −4 dan 2x + y = 7
- Harga 3 roti dan 2 susu = Rp20.000. Harga 1 roti dan 1 susu = Rp8.000. Tentukan harga masing-masing.
- Selesaikan: 4x + y = 14 dan 2x + 3y = 12
Sulit
- Jumlah dua bilangan 24. Selisihnya 6. Tentukan kedua bilangan tersebut dengan metode grafik.
- Selesaikan: 3x + 5y = 15 dan 2x − y = 4
- Keliling persegi panjang 36 cm. Panjang 4 cm lebih dari lebar. Tentukan panjang dan lebar.
- Selesaikan: ½x + ⅓y = 3 dan x − y = 1
- Harga 5 kg beras dan 2 kg gula = Rp85.000. Harga 3 kg beras dan 1 kg gula = Rp47.000. Tentukan harga per kg masing-masing.
Rangkuman
- Menentukan titik koordinat: Substitusi x = 0 dan y = 0 ke persamaan untuk mendapat titik potong sumbu.
- Menggambar garis: Hubungkan minimal 2 titik koordinat dengan garis lurus pada bidang Kartesius.
- Menentukan titik potong: Titik dimana kedua garis berpotongan adalah penyelesaian SPLDV. Verifikasi dengan substitusi ke kedua persamaan.
⚠️ Kelebihan dan Kekurangan Metode Grafik:
Kelebihan: Mudah divisualisasikan, bisa melihat posisi kedua garis.
Kekurangan: Kurang akurat jika solusi bukan bilangan bulat, membutuhkan alat gambar.