Metode Eliminasi pada SPLDV
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
📑 Daftar Isi
1. Pendahuluan & Pengertian SPLDV
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan permasalahan berikut:
“Harga 2 buku dan 3 pensil adalah Rp16.000. Harga 4 buku dan 1 pensil adalah Rp18.000. Berapakah harga satu buku dan satu pensil?”
Jika kita misalkan harga satu buku = x dan harga satu pensil = y, maka kita mendapatkan:
Kedua persamaan di atas membentuk Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV).
❓ Kegiatan: Menanya
- Apa itu SPLDV?
- Bagaimana cara menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi?
- Apa langkah-langkah metode eliminasi?
Pengertian SPLDV
SPLDV adalah sistem yang terdiri dari dua persamaan linear dengan dua variabel (biasanya x dan y). Bentuk umum:
dengan a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ adalah konstanta bilangan real dan a₁, b₁ tidak keduanya nol.
Apa itu Metode Eliminasi?
Metode Eliminasi adalah cara menyelesaikan SPLDV dengan menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel sehingga diperoleh persamaan satu variabel yang bisa diselesaikan.
Langkah-langkah Metode Eliminasi:
- Menyamakan koefisien salah satu variabel pada kedua persamaan.
- Menghilangkan salah satu variabel dengan menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan.
- Menentukan solusi dengan mencari nilai variabel yang tersisa, lalu substitusi balik untuk mendapatkan variabel lainnya.
2. Menyamakan Koefisien
💡 Kegiatan: Menalar
Agar salah satu variabel bisa dihilangkan, koefisien variabel tersebut pada kedua persamaan harus sama (atau berlawanan tanda). Kita bisa mengalikan salah satu atau kedua persamaan dengan bilangan tertentu.
Konsep Menyamakan Koefisien
Diberikan SPLDV:
Cara menyamakan koefisien x:
KPK dari 2 dan 5 adalah 10.
Sekarang koefisien x pada kedua persamaan sudah sama, yaitu 10.
Cara menyamakan koefisien y:
KPK dari 3 dan 2 adalah 6.
Sekarang koefisien y pada kedua persamaan sudah sama, yaitu 6.
🧪 Kegiatan: Mencoba
Perhatikan bahwa kita bisa memilih variabel mana yang akan disamakan koefisiennya. Pilihlah variabel yang koefisiennya lebih mudah disamakan (KPK-nya kecil).
Tips:
- Jika salah satu koefisien sudah sama → langsung kurangkan/jumlahkan.
- Jika salah satu koefisien merupakan kelipatan yang lain → cukup kalikan satu persamaan saja.
- Jika tidak ada hubungan kelipatan → gunakan KPK.
📝 Contoh Soal: Menyamakan Koefisien
Mudah
Contoh 1. Samakan koefisien x pada SPLDV berikut:
Contoh 2. Samakan koefisien y pada:
Contoh 3. Samakan koefisien x pada:
Contoh 4. Samakan koefisien y pada:
Contoh 5. Samakan koefisien x pada:
Contoh 6. Samakan koefisien y pada:
Contoh 7. Samakan koefisien x pada:
Contoh 8. Samakan koefisien x pada:
Contoh 9. Samakan koefisien y pada:
Contoh 10. Samakan koefisien x pada:
Sedang
Contoh 11. Samakan koefisien y pada:
Contoh 12. Samakan koefisien x pada:
Contoh 13. Samakan koefisien y pada:
Contoh 14. Samakan koefisien x pada:
Contoh 15. Samakan koefisien y pada:
Sulit
Contoh 16. Samakan koefisien x pada:
Contoh 17. Samakan koefisien y pada:
Contoh 18. Samakan koefisien x pada:
Contoh 19. Samakan koefisien y pada:
Contoh 20. Samakan koefisien x pada:
✏️ Latihan Soal: Menyamakan Koefisien
Samakan koefisien variabel yang ditunjukkan, tuliskan hasilnya.
Mudah
1. Samakan koef. x: x + 3y = 10 dan 4x + y = 11
2. Samakan koef. y: 2x + y = 6 dan x + 5y = 13
3. Samakan koef. x: 3x + 2y = 14 dan x + y = 5
4. Samakan koef. y: x + 2y = 8 dan 3x + 6y = 24
5. Samakan koef. x: 5x + y = 16 dan x + 3y = 8
6. Samakan koef. y: x + y = 7 dan 2x + y = 10
7. Samakan koef. x: 2x + 3y = 13 dan 4x + y = 11
8. Samakan koef. y: x + 4y = 18 dan 2x + 4y = 22
9. Samakan koef. x: 6x + y = 19 dan 3x + 2y = 12
10. Samakan koef. y: x + 3y = 11 dan 2x + 9y = 30
Sedang
11. Samakan koef. x: 3x + 5y = 29 dan 7x + 2y = 23
12. Samakan koef. y: 4x − 3y = 1 dan 5x + 7y = 41
13. Samakan koef. x: 6x + 5y = 37 dan 9x − 2y = 15
14. Samakan koef. y: 8x + 3y = 31 dan 5x − 4y = 2
15. Samakan koef. x: 7x − 6y = −5 dan 4x + 3y = 25
Sulit
16. Samakan koef. y: 11x + 7y = 56 dan 9x − 13y = −20
17. Samakan koef. x: 13x + 4y = 50 dan 11x − 6y = 10
18. Samakan koef. y: 15x − 8y = 14 dan 7x + 12y = 58
19. Samakan koef. x: 14x + 9y = 83 dan 6x − 11y = −25
20. Samakan koef. y: 17x − 5y = 29 dan 8x + 15y = 89
3. Menghilangkan Salah Satu Variabel
🔍 Kegiatan: Mengamati
Setelah koefisien disamakan, kita bisa menghilangkan variabel tersebut:
- Jika koefisien sama tanda (keduanya positif atau keduanya negatif) → kurangkan kedua persamaan.
- Jika koefisien berlawanan tanda (satu positif, satu negatif) → jumlahkan kedua persamaan.
💡 Kegiatan: Menalar
Mengapa ini bekerja?
Misalkan setelah menyamakan koefisien x, kita punya:
Kurangkan: (1′) − (2′):
Variabel x tereliminasi karena 6x − 6x = 0!
Aturan Penting
| Kondisi Koefisien | Operasi |
|---|---|
| Sama tanda (+a dan +a) | Kurangkan (−) |
| Berlawanan tanda (+a dan −a) | Jumlahkan (+) |
Ingat: “Sama dikurang, beda dijumlah”
🧪 Kegiatan: Mencoba
Mari kita coba langkah lengkap: menyamakan koefisien lalu menghilangkan variabel.
Contoh:
Langkah 1: Samakan koefisien x. Kalikan pers.(1) × 2:
Langkah 2: Koefisien x sama tanda (+4 dan +4) → Kurangkan:
📝 Contoh Soal: Menghilangkan Variabel
Mudah
Contoh 1. Eliminasi variabel y:
Contoh 2. Eliminasi variabel x:
Contoh 3. Eliminasi variabel y:
Contoh 4. Eliminasi variabel x:
Contoh 5. Eliminasi variabel y:
Contoh 6. Eliminasi variabel x:
Contoh 7. Eliminasi variabel y:
Contoh 8. Eliminasi variabel x. Samakan dulu koefisien x:
Contoh 9. Eliminasi variabel y:
Contoh 10. Eliminasi variabel x:
Sedang
Contoh 11. Eliminasi variabel x:
Contoh 12. Eliminasi variabel y:
Contoh 13. Eliminasi variabel x:
Contoh 14. Eliminasi variabel y:
Contoh 15. Eliminasi variabel x:
Sulit
Contoh 16. Dengan metode eliminasi lengkap, hilangkan x:
Contoh 17. Hilangkan y:
Contoh 18. Hilangkan x:
Contoh 19. Hilangkan y:
Contoh 20. Hilangkan x:
✏️ Latihan Soal: Menghilangkan Variabel
Gunakan metode eliminasi untuk menghilangkan variabel yang ditunjukkan.
Mudah
1. Eliminasi y: x + y = 9, x − y = 3
2. Eliminasi x: 3x + 2y = 16, 3x + y = 12
3. Eliminasi y: 2x + y = 10, x + y = 7
4. Eliminasi x: x + 4y = 17, x + 2y = 9
5. Eliminasi y: 4x + 3y = 22, 2x − 3y = 2
6. Eliminasi x: 5x + y = 16, 5x + 3y = 22
7. Eliminasi y: x + 2y = 8, 3x + 2y = 16
8. Eliminasi x: 2x + y = 7, 2x + 5y = 19
9. Eliminasi y: x + 3y = 13, x − 3y = −5
10. Eliminasi x: 4x + 2y = 18, 4x + 7y = 33
Sedang
11. Eliminasi x: 3x + 2y = 17, 5x + 4y = 31
12. Eliminasi y: 4x + 3y = 25, 2x − 5y = −1
13. Eliminasi x: 6x + y = 25, 4x + 3y = 23
14. Eliminasi y: 7x + 4y = 39, 3x − 2y = 5
15. Eliminasi x: 5x − 3y = 8, 2x + 7y = 29
Sulit
16. Eliminasi y: 8x + 5y = 43, 6x − 7y = −5
17. Eliminasi x: 9x + 11y = 73, 7x − 3y = 17
18. Eliminasi y: 12x − 5y = 19, 8x + 9y = 53
19. Eliminasi x: 11x + 4y = 47, 13x − 6y = 15
20. Eliminasi y: 15x + 7y = 76, 9x − 11y = −14
4. Menentukan Solusi SPLDV
🔍 Kegiatan: Mengamati
Setelah menemukan nilai satu variabel melalui eliminasi, kita bisa menemukan variabel lainnya. Langkah lengkapnya:
- Samakan koefisien salah satu variabel.
- Eliminasi variabel tersebut → dapatkan nilai variabel pertama.
- Eliminasi variabel lainnya (atau substitusi) → dapatkan nilai variabel kedua.
- Tuliskan himpunan penyelesaian: {(x, y)}.
💡 Kegiatan: Menalar
Dua cara mendapatkan variabel kedua:
Cara 1: Eliminasi ganda — Eliminasi variabel x untuk mendapat y, kemudian eliminasi variabel y untuk mendapat x.
Cara 2: Substitusi balik — Setelah mendapat satu variabel, masukkan (substitusi) nilainya ke salah satu persamaan awal.
Dalam modul ini, kita fokus pada eliminasi ganda (metode eliminasi murni).
Contoh Lengkap
Selesaikan SPLDV:
Langkah 1: Eliminasi y (cari x)
Samakan koefisien y. Kalikan pers.(1)×3:
Koefisien y sama → Kurangkan (1′)−(2):
Langkah 2: Eliminasi x (cari y)
Samakan koefisien x. Kalikan pers.(2)×2:
Kurangkan (2′)−(1):
Langkah 3: Tuliskan solusi
Verifikasi:
Pers.(1): 2(2)+3 = 4+3 = 7 ✓
Pers.(2): 2+3(3) = 2+9 = 11 ✓
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Saat menuliskan jawaban, pastikan untuk:
- Menuliskan langkah secara runtut dan jelas.
- Menuliskan himpunan penyelesaian dalam bentuk {(x, y)}.
- Selalu memverifikasi jawaban dengan memasukkan nilai ke kedua persamaan awal.
- Menyimpulkan jawaban dengan kalimat yang jelas.
📝 Contoh Soal: Menentukan Solusi
Mudah
Contoh 1. Selesaikan:
Contoh 2. Selesaikan:
Contoh 3. Selesaikan:
Contoh 4. Selesaikan:
Contoh 5. Selesaikan:
Contoh 6. Selesaikan:
Contoh 7. Selesaikan:
Contoh 8. Selesaikan:
Contoh 9. Selesaikan:
Contoh 10. Selesaikan:
Sedang
Contoh 11. Selesaikan:
Contoh 12. Selesaikan:
Contoh 13. Selesaikan:
Contoh 14. Selesaikan:
Contoh 15. Selesaikan:
Sulit
Contoh 16. Harga 3 buku tulis dan 5 pulpen adalah Rp41.000. Harga 4 buku tulis dan 2 pulpen adalah Rp28.000. Tentukan harga satu buku tulis dan satu pulpen.
Contoh 17. Selesaikan:
Contoh 18. Umur Ani 3 tahun lebih tua dari Budi. Jumlah umur mereka 29 tahun. Tentukan umur masing-masing.
Contoh 19. Selesaikan:
Contoh 20. Di sebuah toko, 5 kg jeruk dan 3 kg apel seharga Rp115.000. Sedangkan 2 kg jeruk dan 4 kg apel seharga Rp94.000. Tentukan harga per kg jeruk dan apel.
✏️ Latihan Soal: Menentukan Solusi
Selesaikan SPLDV berikut dengan metode eliminasi. Tuliskan himpunan penyelesaiannya.
Mudah
1. x + y = 12 dan x − y = 2
2. 2x + y = 13 dan x + y = 8
3. x + 3y = 14 dan x + y = 6
4. 3x + 2y = 16 dan x + 2y = 8
5. 4x + y = 18 dan 2x + y = 10
6. x + 2y = 11 dan 3x + 2y = 19
7. 5x + 3y = 26 dan x + 3y = 14
8. 2x + y = 9 dan 2x + 3y = 15
9. x + 4y = 17 dan x + y = 5
10. 3x + y = 11 dan x − y = 1
Sedang
11. 3x + 4y = 26 dan 5x + 2y = 24
12. 4x − 3y = 5 dan 2x + y = 11
13. 7x + 3y = 38 dan 2x + 5y = 27
14. 6x + y = 31 dan 4x + 5y = 37
15. 3x − 2y = 1 dan 5x + 3y = 28
Sulit
16. Harga 4 buku dan 3 pensil adalah Rp27.000. Harga 2 buku dan 5 pensil adalah Rp23.000. Tentukan harga satu buku dan satu pensil.
17. 9x + 7y = 52 dan 5x − 4y = 3
18. Jumlah dua bilangan adalah 45. Selisih dua bilangan tersebut adalah 13. Tentukan kedua bilangan.
19. 11x + 6y = 50 dan 7x − 9y = −4
20. Di sebuah parkiran terdapat 40 kendaraan yang terdiri dari mobil dan motor. Jumlah seluruh roda adalah 124. Tentukan banyak mobil dan motor.
📋 Rangkuman Metode Eliminasi
- Menyamakan Koefisien: Kalikan satu atau kedua persamaan agar koefisien variabel yang akan dieliminasi menjadi sama (atau berlawanan tanda). Gunakan KPK untuk menentukan pengali.
- Menghilangkan Variabel:
- Koefisien sama tanda → kurangkan
- Koefisien berlawanan tanda → jumlahkan
- Menentukan Solusi: Lakukan eliminasi dua kali (eliminasi x untuk mendapat y, dan eliminasi y untuk mendapat x). Tuliskan HP = {(x, y)} dan verifikasi.