Metode Campuran (Eliminasi-Substitusi) pada SPLDV
Kombinasi Eliminasi dan Substitusi untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
📘 Materi: Metode Campuran (Eliminasi-Substitusi)
A. Pengertian SPLDV
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah kumpulan dua atau lebih persamaan linear yang memiliki dua variabel (biasanya x dan y) dan memiliki penyelesaian yang sama.
Bentuk umum SPLDV:
dengan a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, c₂ adalah bilangan real dan a, b tidak keduanya nol.
B. Pengertian Metode Campuran
Metode Campuran adalah metode penyelesaian SPLDV yang menggabungkan metode eliminasi dan metode substitusi. Langkah-langkahnya:
- Langkah 1 (Eliminasi): Eliminasi salah satu variabel (x atau y) sehingga diperoleh nilai satu variabel.
- Langkah 2 (Substitusi): Substitusikan nilai variabel yang sudah ditemukan ke salah satu persamaan awal untuk mencari nilai variabel lainnya.
💡 Mengapa Metode Campuran?
- Lebih efisien dibanding eliminasi murni (tidak perlu eliminasi dua kali)
- Lebih cepat dibanding substitusi murni (menghindari pecahan rumit di awal)
- Paling sering digunakan dalam menyelesaikan SPLDV
C. Pertanyaan Kunci
- Kapan sebaiknya menggunakan metode campuran?
- Variabel mana yang sebaiknya dieliminasi terlebih dahulu?
- Bagaimana cara memastikan jawaban kita benar?
- Apa perbedaan metode campuran dengan eliminasi murni atau substitusi murni?
Jawaban: Gunakan metode campuran ketika koefisien salah satu variabel mudah disamakan. Pilih variabel yang koefisiennya sudah sama atau kelipatan. Pastikan jawaban benar dengan substitusi balik ke kedua persamaan.
D. Langkah-Langkah Detail Metode Campuran
📋 Prosedur Lengkap:
| Langkah | Kegiatan | Keterangan |
|---|---|---|
| 1 | Tulis kedua persamaan | Pastikan bentuk ax + by = c |
| 2 | Samakan koefisien salah satu variabel | Kalikan persamaan jika perlu |
| 3 | Eliminasi (kurangkan/jumlahkan) | Hasilnya: nilai satu variabel |
| 4 | Substitusi ke persamaan awal | Cari variabel kedua |
| 5 | Tulis himpunan penyelesaian | HP = {(x, y)} |
| 6 | Periksa jawaban | Substitusi ke kedua persamaan |
Contoh Ilustrasi Langkah:
Selesaikan SPLDV berikut:
Langkah 1: Eliminasi variabel y
Koefisien y sudah sama (3y dan -3y), maka jumlahkan kedua persamaan:
Langkah 2: Substitusi x = 3 ke Persamaan 1
Langkah 3: Himpunan Penyelesaian
Langkah 4: Pemeriksaan
E. Variasi Kasus dalam Metode Campuran
Kasus 1: Koefisien sudah sama
Kasus 2: Perlu dikalikan satu persamaan
Kasus 3: Perlu dikalikan kedua persamaan
Tips Memilih Variabel yang Dieliminasi:
- Pilih variabel yang koefisiennya sudah sama atau berlawanan tanda
- Pilih variabel yang koefisiennya kecil agar perkalian mudah
- Jika koefisien sama → langsung jumlahkan/kurangkan
- Jika koefisien berlawanan tanda → jumlahkan
- Jika koefisien sama tanda → kurangkan
F. Ringkasan dan Peta Konsep
| Aspek | Eliminasi Murni | Substitusi Murni | Metode Campuran |
|---|---|---|---|
| Langkah | Eliminasi 2× | Nyatakan → Substitusi | Eliminasi 1× + Substitusi |
| Kelebihan | Sistematis | Langsung | Efisien & Fleksibel |
| Kekurangan | Lama | Pecahan rumit | – |
| Cocok untuk | Koef. mudah | Koef = 1 | Semua kasus |
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Contoh Soal Mudah (10 Soal)
Soal 1:
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Eliminasi y (koefisien y sudah berlawanan, jumlahkan)
Langkah 2: Substitusi x=5 ke persamaan 1
HP = {(5, 3)}
Cek: 5+3=8 ✓ | 5-3=2 ✓
Soal 2:
Lihat Pembahasan
Eliminasi y (kurangkan)
Substitusi x=3: 3 + y = 7 → y = 4
HP = {(3, 4)}
Cek: 2(3)+4=10 ✓ | 3+4=7 ✓
Soal 3:
Lihat Pembahasan
Eliminasi y (jumlahkan)
Substitusi: 5 + 2y = 9 → 2y = 4 → y = 2
HP = {(5, 2)}
Soal 4:
Lihat Pembahasan
Eliminasi y (kurangkan)
Substitusi: 3 + y = 5 → y = 2
HP = {(3, 2)}
Soal 5:
Lihat Pembahasan
Eliminasi y (jumlahkan)
Substitusi: 7 + y = 10 → y = 3
HP = {(7, 3)}
Soal 6:
Lihat Pembahasan
Eliminasi x (kurangkan)
Substitusi: 2x + 3 = 7 → 2x = 4 → x = 2
HP = {(2, 3)}
Soal 7:
Lihat Pembahasan
Eliminasi x (kurangkan)
Substitusi: x + 4 = 6 → x = 2
HP = {(2, 4)}
Soal 8:
Lihat Pembahasan
Eliminasi y (kurangkan)
Substitusi: 2(3) + y = 8 → y = 2
HP = {(3, 2)}
Soal 9:
Lihat Pembahasan
Eliminasi y (jumlahkan)
Substitusi: 7 + y = 12 → y = 5
HP = {(7, 5)}
Soal 10:
Lihat Pembahasan
Eliminasi x (kurangkan)
Substitusi: 3x – 2 = 10 → 3x = 12 → x = 4
HP = {(4, 2)}
🟡 Contoh Soal Sedang (5 Soal)
Soal 1:
Lihat Pembahasan
Eliminasi x: Kalikan pers.2 dengan 3
Hmm, hasilnya desimal. Mari eliminasi y: kalikan pers.1 ×2:
Mari perbaiki soal. Persamaan: 3x + 2y = 19, x + 4y = 17
Gunakan eliminasi x: Pers.2 ×3: 3x + 12y = 51
Substitusi: x + 4(3.2) = 17 → x = 17 – 12.8 = 4.2
HP = {(4.2, 3.2)}
Cek: 3(4.2)+2(3.2)=12.6+6.4=19 ✓
Soal 2:
Lihat Pembahasan
Eliminasi x: Pers.1×3, Pers.2×2
Eliminasi y lebih baik: Pers.1×2, Pers.2×5
Mari gunakan angka bulat. Koreksi: selesaikan langsung.
Eliminasi y: Pers.1×2= 4x+10y=46, Pers.2×5= 15x+10y=65
Substitusi: 2(19/11) + 5y = 23 → 38/11 + 5y = 23 → 5y = 215/11 → y = 43/11
HP = {(19/11, 43/11)}
Soal 3:
Lihat Pembahasan
Eliminasi x: Pers.2 ×2
Substitusi: 2x + 5(-9/13) = 1 → 2x – 45/13 = 1 → 2x = 58/13 → x = 29/13
HP = {(29/13, -9/13)}
Soal 4:
Lihat Pembahasan
Eliminasi y (koefisien berlawanan, jumlahkan)
Substitusi: 5(4) + 3y = 29 → 20 + 3y = 29 → 3y = 9 → y = 3
HP = {(4, 3)}
Cek: 2(4)-3(3)=8-9=-1 ✓
Soal 5:
Lihat Pembahasan
Eliminasi x: Pers.1×2, Pers.2×3
Substitusi: 2x + 3(4) = 18 → 2x = 6 → x = 3
HP = {(3, 4)}
Cek: 3(3)+4(4)=9+16=25 ✓
🔴 Contoh Soal Sulit (5 Soal)
Soal 1:
Harga 4 buku tulis dan 3 pensil adalah Rp26.000. Harga 2 buku tulis dan 5 pensil adalah Rp22.000. Tentukan harga 1 buku tulis dan 1 pensil!
Lihat Pembahasan
Eliminasi x: Pers.2 ×2
Hasil tidak bulat. Eliminasi y: Pers.1×5, Pers.2×3:
Koreksi soal agar bulat: 4x+3y=26.000, 2x+5y=22.000
Pers.2×2: 4x+10y=44.000
Mari gunakan soal: 4x+3y=26.000, 2x+5y=22.000 → Gunakan pecahan.
Substitusi y=18000/7 ke pers.2: 2x+5(18000/7)=22000 → 2x=22000-90000/7=(154000-90000)/7=64000/7 → x=32000/7
Harga 1 buku + 1 pensil = 32000/7 + 18000/7 = 50000/7 ≈ Rp7.143
Soal 2:
Umur Ayah 3 kali umur Andi. Lima tahun yang lalu, umur Ayah 5 kali umur Andi. Tentukan umur keduanya sekarang!
Lihat Pembahasan
Eliminasi x (kurangkan)
Substitusi: x = 3(10) = 30
HP: Umur Ayah = 30 tahun, Umur Andi = 10 tahun
Cek: 30=3(10) ✓ | 30-5=25, 5(10-5)=25 ✓
Soal 3:
Lihat Pembahasan
Kalikan semua dengan 10 agar bulat:
Eliminasi x: Pers.1×2, Pers.2×5
Hmm. Eliminasi y: Pers.1×7, Pers.2×3:
Substitusi: 5(128/29)+3y=41 → 640/29+3y=41 → 3y=(1189-640)/29=549/29 → y=183/29
HP = {(128/29, 183/29)} ≈ {(4.41, 6.31)}
Soal 4:
Keliling persegi panjang 54 cm. Selisih panjang dan lebar adalah 5 cm. Tentukan luas persegi panjang tersebut!
Lihat Pembahasan
Eliminasi l (jumlahkan)
Substitusi: 16 + l = 27 → l = 11
Luas = p × l = 16 × 11 = 176 cm²
Cek: Keliling = 2(16+11) = 54 ✓ | Selisih = 16-11 = 5 ✓
Soal 5:
Sebuah bilangan dua angka, jumlah angkanya 11. Jika angka puluhan dan satuan ditukar, bilangan baru lebih besar 27 dari bilangan semula. Tentukan bilangan semula!
Lihat Pembahasan
SPLDV:
Eliminasi x (jumlahkan)
Substitusi: x + 7 = 11 → x = 4
Bilangan semula = 10(4) + 7 = 47
Cek: 4+7=11 ✓ | 74-47=27 ✓
🏋️ Latihan Soal (Tanpa Pembahasan)
Kerjakan soal-soal berikut menggunakan metode campuran (eliminasi-substitusi). Tulis langkah-langkahmu secara lengkap!
🟢 Latihan Mudah (10 Soal)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
🟡 Latihan Sedang (5 Soal)
1.
2.
3.
4.
Harga 3 kg jeruk dan 2 kg apel Rp56.000. Harga 1 kg jeruk dan 3 kg apel Rp48.000. Berapa harga 2 kg jeruk dan 2 kg apel?
5.
🔴 Latihan Sulit (5 Soal)
1.
Jumlah dua bilangan adalah 48. Dua kali bilangan pertama ditambah tiga kali bilangan kedua sama dengan 118. Tentukan kedua bilangan tersebut!
2.
3.
Sebuah bilangan dua angka, jumlah angkanya 13. Jika angka satuan dan puluhan ditukar, bilangan baru lebih kecil 45 dari bilangan semula. Tentukan bilangan semula!
4.
Seorang pedagang menjual 5 baju dan 3 celana seharga Rp520.000. Ia juga menjual 3 baju dan 4 celana seharga Rp455.000. Jika ia ingin membeli 2 baju dan 2 celana, berapa yang harus dibayar?
5.
Tentukan nilai x dan y!