Jenis-Jenis Solusi pada SPLDV
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
📘 Pendahuluan
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah sistem yang terdiri dari dua atau lebih persamaan linear dengan dua variabel (biasanya x dan y). Bentuk umum SPLDV adalah:
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂
di mana a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ adalah konstanta real dan a₁² + b₁² ≠ 0, a₂² + b₂² ≠ 0.
Solusi SPLDV adalah pasangan terurut (x, y) yang memenuhi kedua persamaan secara bersamaan. Berdasarkan banyaknya solusi, SPLDV dapat diklasifikasikan menjadi tiga jenis:
- Solusi Tunggal (satu pasangan penyelesaian)
- Banyak Solusi (tak hingga penyelesaian)
- Tidak Memiliki Solusi (tidak ada penyelesaian)
Ringkasan Syarat
| Jenis Solusi | Syarat | Grafik | Contoh |
|---|---|---|---|
| Solusi Tunggal | a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ | Berpotongan di satu titik | x + y = 5, x − y = 1 |
| Banyak Solusi | a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ | Berimpit (satu garis) | x + y = 3, 2x + 2y = 6 |
| Tidak Ada Solusi | a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ | Sejajar | x + y = 3, x + y = 5 |
🔵 Bagian 1: Solusi Tunggal
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan dua persamaan berikut:
x + y = 5 … (1)
x − y = 1 … (2)
Amati grafik kedua garis di bawah ini:
Pengamatan: Kedua garis berpotongan tepat di satu titik, yaitu (3, 2). Ini berarti sistem memiliki solusi tunggal.
❓ Kegiatan: Menanya
- Kapan suatu SPLDV memiliki solusi tunggal?
- Bagaimana cara menentukan apakah dua garis berpotongan di satu titik?
- Apa syarat koefisien agar SPLDV memiliki tepat satu penyelesaian?
💡 Kegiatan: Menalar
Definisi: SPLDV memiliki solusi tunggal jika terdapat tepat satu pasangan (x, y) yang memenuhi kedua persamaan.
Syarat: Untuk sistem:
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂
Sistem memiliki solusi tunggal jika dan hanya jika:
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
atau equivalen: a₁b₂ − a₂b₁ ≠ 0 (determinan ≠ 0)
Interpretasi Geometris: Kedua garis memiliki gradien yang berbeda sehingga pasti berpotongan di tepat satu titik.
Gradien garis ax + by = c adalah m = −a/b
Jika m₁ ≠ m₂, maka kedua garis berpotongan → solusi tunggal.
Metode Penyelesaian:
- Substitusi: Nyatakan satu variabel dari satu persamaan, substitusi ke persamaan lain.
- Eliminasi: Eliminasi satu variabel dengan menyamakan koefisien.
- Campuran: Kombinasi eliminasi dan substitusi.
- Grafik: Gambar kedua garis, titik potong = solusi.
✏️ Kegiatan: Mencoba
Selesaikan SPLDV berikut dengan metode eliminasi dan substitusi:
2x + 3y = 12
x − y = 1
Langkah 1 (Cek syarat):
a₁/a₂ = 2/1 = 2, b₁/b₂ = 3/(−1) = −3
Karena 2 ≠ −3, maka sistem memiliki solusi tunggal. ✓
Langkah 2 (Substitusi):
Dari persamaan (2): x = 1 + y
Substitusi ke (1): 2(1 + y) + 3y = 12
2 + 2y + 3y = 12
5y = 10
y = 2
Langkah 3: x = 1 + 2 = 3
Solusi: (x, y) = (3, 2) ✓
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Tuliskan kesimpulan tentang solusi tunggal SPLDV:
Kesimpulan:
- SPLDV memiliki solusi tunggal jika a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
- Secara grafis, kedua garis berpotongan di tepat satu titik
- Kedua garis memiliki gradien yang berbeda
- Sistem dikatakan konsisten dan independen
- Solusi dapat dicari dengan metode substitusi, eliminasi, atau grafik
📝 Contoh Soal: Solusi Tunggal
MUDAH Contoh Soal 1–10
Contoh 1. Tentukan solusi dari SPLDV:
x + y = 7
x − y = 3
Cek syarat: a₁/a₂ = 1/1 = 1, b₁/b₂ = 1/(−1) = −1. Karena 1 ≠ −1 → solusi tunggal.
Eliminasi:
Jumlahkan kedua persamaan: 2x = 10 → x = 5
Substitusi: 5 + y = 7 → y = 2
Solusi: (x, y) = (5, 2)
Contoh 2. Tentukan solusi dari SPLDV:
2x + y = 8
x + y = 5
Eliminasi y: Kurangkan pers.(2) dari pers.(1):
(2x + y) − (x + y) = 8 − 5
x = 3
Substitusi: 3 + y = 5 → y = 2
Solusi: (x, y) = (3, 2)
Contoh 3. Tentukan solusi dari SPLDV:
x + 2y = 10
x − 2y = 2
Jumlahkan: 2x = 12 → x = 6
Substitusi: 6 + 2y = 10 → 2y = 4 → y = 2
Solusi: (x, y) = (6, 2)
Contoh 4. Tentukan solusi dari SPLDV:
3x + y = 10
x + y = 4
Eliminasi y: (3x+y)−(x+y) = 10−4 → 2x = 6 → x = 3
Substitusi: 3 + y = 4 → y = 1
Solusi: (x, y) = (3, 1)
Contoh 5. Tentukan solusi dari SPLDV:
x + y = 6
2x − y = 3
Jumlahkan: 3x = 9 → x = 3
Substitusi: 3 + y = 6 → y = 3
Solusi: (x, y) = (3, 3)
Contoh 6. Tentukan solusi dari SPLDV:
x + 3y = 11
x + y = 5
Eliminasi x: (x+3y)−(x+y) = 11−5 → 2y = 6 → y = 3
Substitusi: x + 3 = 5 → x = 2
Solusi: (x, y) = (2, 3)
Contoh 7. Tentukan solusi dari SPLDV:
4x + y = 9
2x + y = 5
Eliminasi y: (4x+y)−(2x+y) = 9−5 → 2x = 4 → x = 2
Substitusi: 4+y = 5 → y = 1
Solusi: (x, y) = (2, 1)
Contoh 8. Tentukan solusi dari SPLDV:
x + y = 10
3x − y = 6
Jumlahkan: 4x = 16 → x = 4
Substitusi: 4 + y = 10 → y = 6
Solusi: (x, y) = (4, 6)
Contoh 9. Tentukan solusi dari SPLDV:
2x + 3y = 13
x + y = 5
Dari pers.(2): x = 5 − y
Substitusi: 2(5−y) + 3y = 13 → 10−2y+3y = 13 → y = 3
x = 5 − 3 = 2
Solusi: (x, y) = (2, 3)
Contoh 10. Tentukan solusi dari SPLDV:
5x + 2y = 16
x + 2y = 8
Eliminasi y: (5x+2y)−(x+2y) = 16−8 → 4x = 8 → x = 2
Substitusi: 2+2y = 8 → 2y = 6 → y = 3
Solusi: (x, y) = (2, 3)
SEDANG Contoh Soal 11–15
Contoh 11. Harga 3 buku dan 2 pensil adalah Rp21.000. Harga 1 buku dan 4 pensil adalah Rp17.000. Tentukan harga 1 buku dan 1 pensil.
Misal: x = harga buku, y = harga pensil
3x + 2y = 21000 … (1)
x + 4y = 17000 … (2)
Dari (2): x = 17000 − 4y
Substitusi ke (1): 3(17000−4y) + 2y = 21000
51000 − 12y + 2y = 21000
−10y = −30000 → y = 3000
x = 17000 − 12000 = 5000
Harga buku = Rp5.000, pensil = Rp3.000
Contoh 12. Tentukan solusi dari SPLDV:
3x − 2y = 7
5x + 3y = 23
Eliminasi y: kalikan (1)×3 dan (2)×2:
9x − 6y = 21
10x + 6y = 46
Jumlahkan: 19x = 67 → x = 67/19… Hmm, coba eliminasi x:
Kalikan (1)×5, (2)×3: 15x−10y=35, 15x+9y=69
Kurangkan: −19y = −34 → y = 34/19
Cek ulang — mari gunakan angka yang lebih baik.
Eliminasi y (kalikan (1)×3, (2)×2):
9x − 6y = 21
10x + 6y = 46
Jumlahkan: 19x = 67 → Ini bukan bilangan bulat.
Mari verifikasi dengan x = 67/19 dan y = 34/19:
Cek (1): 3(67/19) − 2(34/19) = 201/19 − 68/19 = 133/19 = 7 ✓
Solusi: (x, y) = (67/19, 34/19)
Contoh 13. Umur ayah 3 kali umur anak. Selisih umur mereka 30 tahun. Tentukan umur masing-masing.
Misal: x = umur ayah, y = umur anak
x = 3y → x − 3y = 0 … (1)
x − y = 30 … (2)
Kurangkan (1) dari (2): (x−y) − (x−3y) = 30−0
2y = 30 → y = 15
x = 3(15) = 45
Umur ayah = 45 tahun, umur anak = 15 tahun
Contoh 14. Tentukan solusi dari SPLDV:
4x − 3y = 11
2x + 5y = 1
Eliminasi x: kalikan (2)×2: 4x + 10y = 2
Kurangkan dari (1): (4x−3y) − (4x+10y) = 11−2
−13y = 9 → y = −9/13
Substitusi ke (2): 2x + 5(−9/13) = 1 → 2x = 1 + 45/13 = 58/13 → x = 29/13
Solusi: (x, y) = (29/13, −9/13)
Contoh 15. Keliling persegi panjang 34 cm. Panjang lebih 5 cm dari lebar. Tentukan panjang dan lebar.
Misal: p = panjang, l = lebar
2p + 2l = 34 → p + l = 17 … (1)
p − l = 5 … (2)
Jumlahkan: 2p = 22 → p = 11
l = 17 − 11 = 6
Panjang = 11 cm, lebar = 6 cm
SULIT Contoh Soal 16–20
Contoh 16. Tentukan solusi dari SPLDV:
(2/x) + (3/y) = 7
(4/x) − (1/y) = 2
Misalkan u = 1/x dan v = 1/y:
2u + 3v = 7 … (1)
4u − v = 2 … (2)
Dari (2): v = 4u − 2
Substitusi: 2u + 3(4u−2) = 7 → 2u + 12u − 6 = 7 → 14u = 13 → u = 13/14
v = 4(13/14) − 2 = 52/14 − 28/14 = 24/14 = 12/7
x = 1/u = 14/13, y = 1/v = 7/12
Solusi: (x, y) = (14/13, 7/12)
Contoh 17. Dua bilangan jumlahnya 100. Jika bilangan pertama dikurangi ⅓ bilangan kedua hasilnya 28. Tentukan kedua bilangan.
x + y = 100 … (1)
x − y/3 = 28 → 3x − y = 84 … (2)
Dari (1): y = 100 − x
Substitusi ke (2): 3x − (100−x) = 84 → 4x = 184 → x = 46
y = 100 − 46 = 54
Kedua bilangan: 46 dan 54
Contoh 18. Tentukan solusi dari SPLDV:
0,5x + 1,5y = 4
0,3x − 0,2y = 1
Kalikan (1)×2: x + 3y = 8
Kalikan (2)×10: 3x − 2y = 10
Dari baris pertama: x = 8 − 3y
Substitusi: 3(8−3y) − 2y = 10 → 24 − 9y − 2y = 10 → −11y = −14 → y = 14/11
x = 8 − 3(14/11) = 88/11 − 42/11 = 46/11
Solusi: (x, y) = (46/11, 14/11)
Contoh 19. Tentukan nilai a dan b jika titik (2, 3) dan (−1, 6) terletak pada garis ax + by = 12.
Substitusi (2,3): 2a + 3b = 12 … (1)
Substitusi (−1,6): −a + 6b = 12 … (2)
Dari (2): a = 6b − 12
Substitusi ke (1): 2(6b−12) + 3b = 12 → 12b − 24 + 3b = 12 → 15b = 36 → b = 12/5
a = 6(12/5) − 12 = 72/5 − 60/5 = 12/5
Solusi: a = 12/5, b = 12/5
Contoh 20. Sebuah perahu melaju 36 km dalam 3 jam saat searah arus dan 36 km dalam 6 jam saat melawan arus. Tentukan kecepatan perahu di air tenang dan kecepatan arus.
Misal: v = kecepatan perahu, a = kecepatan arus
Searah arus: v + a = 36/3 = 12 … (1)
Melawan arus: v − a = 36/6 = 6 … (2)
Jumlahkan: 2v = 18 → v = 9 km/jam
a = 12 − 9 = 3 km/jam
Kecepatan perahu = 9 km/jam, kecepatan arus = 3 km/jam
🏋️ Latihan Soal: Solusi Tunggal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
MUDAH
- x + y = 8 dan x − y = 2
- 2x + y = 9 dan x + y = 6
- x + 2y = 7 dan x − y = 1
- 3x + y = 13 dan x + y = 7
- x + y = 9 dan 2x − y = 6
- x + 4y = 14 dan x + y = 5
- 5x + y = 11 dan 3x + y = 7
- x + y = 12 dan x − y = 4
- 2x + 3y = 16 dan x + y = 6
- 4x + y = 17 dan 2x + y = 9
SEDANG
- Harga 2 kg apel dan 3 kg jeruk Rp51.000. Harga 4 kg apel dan 1 kg jeruk Rp53.000. Berapa harga 1 kg apel dan 1 kg jeruk?
- 3x − 4y = −1 dan 2x + 5y = 16
- Jumlah dua bilangan 45. Selisihnya 9. Tentukan kedua bilangan.
- 5x + 2y = 24 dan 3x − 4y = −2
- Keliling persegi panjang 48 cm. Panjang 4 cm lebih dari lebar. Tentukan panjang dan lebar.
SULIT
- (3/x) + (2/y) = 8 dan (1/x) − (4/y) = −6
- Perahu menempuh 48 km searah arus dalam 4 jam dan 48 km melawan arus dalam 8 jam. Tentukan kecepatan perahu dan arus.
- 0,4x + 0,6y = 3,2 dan 0,7x − 0,3y = 1,3
- Tentukan nilai m dan n jika titik (1, 4) dan (3, −2) memenuhi mx + ny = 10.
- Suatu bilangan dua angka, jumlah angkanya 12. Jika angka puluhan dan satuan ditukar, bilangan baru 36 lebih dari bilangan semula. Tentukan bilangan itu.
🟢 Bagian 2: Banyak Solusi (Tak Hingga Solusi)
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan dua persamaan berikut:
x + y = 3 … (1)
2x + 2y = 6 … (2)
Perhatikan bahwa persamaan (2) adalah persamaan (1) dikalikan 2. Mari kita buat tabel:
| x | y dari pers.(1) | y dari pers.(2) | Memenuhi keduanya? |
|---|---|---|---|
| 0 | 3 | 3 | ✓ |
| 1 | 2 | 2 | ✓ |
| 2 | 1 | 1 | ✓ |
| −1 | 4 | 4 | ✓ |
| 0,5 | 2,5 | 2,5 | ✓ |
Amati grafik:
Pengamatan: Kedua garis berimpit (menjadi satu garis yang sama). Setiap titik pada garis tersebut merupakan solusi → banyak solusi (tak hingga).
❓ Kegiatan: Menanya
- Mengapa kedua persamaan menghasilkan garis yang sama?
- Bagaimana ciri-ciri SPLDV yang memiliki banyak solusi?
- Bagaimana menuliskan himpunan penyelesaiannya?
💡 Kegiatan: Menalar
Definisi: SPLDV memiliki banyak solusi (tak hingga) jika kedua persamaan pada dasarnya menyatakan garis yang sama.
Syarat:
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
Interpretasi: Persamaan kedua merupakan kelipatan dari persamaan pertama. Artinya keduanya mewakili garis yang identik.
Himpunan penyelesaian: Dapat ditulis sebagai {(x, y) | a₁x + b₁y = c₁, x ∈ ℝ}
Contoh: Untuk x + y = 3, HP = {(x, 3−x) | x ∈ ℝ}
Sistem dikatakan konsisten dan dependen.
✏️ Kegiatan: Mencoba
Verifikasi bahwa SPLDV berikut memiliki banyak solusi:
3x − 6y = 9
x − 2y = 3
Cek syarat:
a₁/a₂ = 3/1 = 3
b₁/b₂ = −6/(−2) = 3
c₁/c₂ = 9/3 = 3
Karena 3 = 3 = 3, maka sistem memiliki banyak solusi. ✓
Memang, persamaan (1) = 3 × persamaan (2).
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Kesimpulan:
- SPLDV memiliki banyak solusi jika a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
- Secara grafis, kedua garis berimpit (merupakan garis yang sama)
- Satu persamaan merupakan kelipatan dari persamaan lainnya
- Sistem dikatakan konsisten dan dependen
- Jumlah solusi tak berhingga (infinitely many solutions)
📝 Contoh Soal: Banyak Solusi
MUDAH Contoh Soal 1–10
Contoh 1. Tunjukkan bahwa SPLDV berikut memiliki banyak solusi:
x + y = 4
2x + 2y = 8
Cek: 1/2 = 1/2 = 4/8 = 1/2 ✓
Persamaan (2) = 2 × persamaan (1). Kedua garis berimpit.
HP = {(x, 4−x) | x ∈ ℝ} → Banyak solusi
Contoh 2. Tunjukkan bahwa SPLDV berikut memiliki banyak solusi:
3x + 6y = 12
x + 2y = 4
Cek: 3/1 = 6/2 = 12/4 = 3 ✓ → Banyak solusi
Contoh 3.
2x − 4y = 10
x − 2y = 5
Cek: 2/1 = −4/(−2) = 10/5 = 2 ✓ → Banyak solusi
Contoh 4.
4x + 8y = 20
2x + 4y = 10
Cek: 4/2 = 8/4 = 20/10 = 2 ✓ → Banyak solusi
Contoh 5.
5x − 10y = 15
x − 2y = 3
Cek: 5/1 = −10/(−2) = 15/3 = 5 ✓ → Banyak solusi
Contoh 6.
x − y = 2
3x − 3y = 6
Cek: 1/3 = −1/(−3) = 2/6 = 1/3 ✓ → Banyak solusi
Contoh 7.
6x + 3y = 9
2x + y = 3
Cek: 6/2 = 3/1 = 9/3 = 3 ✓ → Banyak solusi
Contoh 8.
−2x + 4y = 6
−x + 2y = 3
Cek: −2/(−1) = 4/2 = 6/3 = 2 ✓ → Banyak solusi
Contoh 9.
7x + 14y = 21
x + 2y = 3
Cek: 7/1 = 14/2 = 21/3 = 7 ✓ → Banyak solusi
Contoh 10.
4x − 2y = 8
6x − 3y = 12
Cek: 4/6 = 2/3, −2/(−3) = 2/3, 8/12 = 2/3 ✓ → Banyak solusi
SEDANG Contoh Soal 11–15
Contoh 11. Tentukan nilai k agar SPLDV berikut memiliki banyak solusi:
2x + 4y = 10
x + 2y = k
Syarat: 2/1 = 4/2 = 10/k
2 = 2 = 10/k → k = 5
Nilai k = 5
Contoh 12. Tentukan nilai a dan b agar sistem memiliki banyak solusi:
ax + 6y = 12
2x + by = 4
Syarat: a/2 = 6/b = 12/4 = 3
a/2 = 3 → a = 6
6/b = 3 → b = 2
a = 6, b = 2
Contoh 13. Tuliskan 3 pasangan solusi dari: 2x + y = 6 dan 4x + 2y = 12
Sistem memiliki banyak solusi karena 4/2 = 2/1 = 12/6 = 2.
HP: {(x, 6−2x) | x ∈ ℝ}
x=0: (0, 6) | x=1: (1, 4) | x=3: (3, 0)
Contoh 14. Tentukan nilai p agar sistem memiliki banyak solusi:
3x − 9y = p
x − 3y = 5
Syarat: 3/1 = −9/(−3) = p/5 → 3 = 3 = p/5 → p = 15
Contoh 15. Buktikan bahwa ½x + y = 3 dan x + 2y = 6 memiliki banyak solusi.
Kalikan persamaan (1) dengan 2: x + 2y = 6 = persamaan (2). Identik!
Cek: (1/2)/1 = 1/2, 1/2 = 1/2, 3/6 = 1/2 ✓
SULIT Contoh Soal 16–20
Contoh 16. Tentukan semua nilai m dan n agar sistem memiliki banyak solusi:
mx + (m+1)y = 2m
2x + 3y = n
Syarat: m/2 = (m+1)/3 = 2m/n
Dari m/2 = (m+1)/3: 3m = 2(m+1) → 3m = 2m+2 → m = 2
Cek: m/2 = 2/2 = 1, (m+1)/3 = 3/3 = 1 ✓
2m/n = 1 → 4/n = 1 → n = 4
m = 2, n = 4
Contoh 17. Tentukan nilai a agar (a²−1)x + (a+1)y = 2(a+1) dan (a−1)x + y = 2 memiliki banyak solusi.
Perhatikan: a²−1 = (a+1)(a−1)
Syarat: (a+1)(a−1)/(a−1) = (a+1)/1 = 2(a+1)/2
Jika a ≠ 1: a+1 = a+1 = a+1 → selalu terpenuhi untuk semua a ≠ 1.
Jika a = 1: persamaan (2) menjadi 0·x + y = 2 → bukan sistem yang setara.
Semua nilai a ≠ 1, yaitu a ∈ ℝ \ {1}
Contoh 18. Jika 2x − ky = 6 dan 4x − 8y = m memiliki banyak solusi, tentukan k + m.
Syarat: 2/4 = −k/(−8) = 6/m
1/2 = k/8 → k = 4
1/2 = 6/m → m = 12
k + m = 4 + 12 = 16
Contoh 19. Tunjukkan bahwa untuk setiap t ∈ ℝ, pasangan (t, 5−2t) merupakan solusi dari 2x + y = 5 dan 6x + 3y = 15.
Cek pers.(1): 2t + (5−2t) = 2t + 5 − 2t = 5 ✓
Cek pers.(2): 6t + 3(5−2t) = 6t + 15 − 6t = 15 ✓
Terbukti untuk semua t ∈ ℝ.
Contoh 20. Tentukan a, b, c agar ax + by = c dan 2x − 3y = 7 memiliki banyak solusi, dengan a + b + c = 12.
Agar banyak solusi: a/2 = b/(−3) = c/7 = k
Maka a = 2k, b = −3k, c = 7k
a+b+c = 2k−3k+7k = 6k = 12 → k = 2
a = 4, b = −6, c = 14
🏋️ Latihan Soal: Banyak Solusi
MUDAH
- Tunjukkan: x + y = 5 dan 3x + 3y = 15
- Tunjukkan: 2x − y = 4 dan 4x − 2y = 8
- Tunjukkan: x + 3y = 6 dan 2x + 6y = 12
- Tunjukkan: 5x + y = 10 dan 10x + 2y = 20
- Tunjukkan: 3x − 2y = 7 dan 6x − 4y = 14
- Tuliskan 3 solusi dari: x + y = 6 dan 2x + 2y = 12
- Tuliskan 3 solusi dari: x − y = 1 dan 3x − 3y = 3
- Tunjukkan: 4x + 6y = 8 dan 2x + 3y = 4
- Tunjukkan: −x + 2y = 3 dan −2x + 4y = 6
- Tunjukkan: x − 4y = 2 dan 5x − 20y = 10
SEDANG
- Tentukan nilai k: 4x + 6y = k dan 2x + 3y = 8 memiliki banyak solusi.
- Tentukan nilai a dan b: ax + 4y = 12 dan 3x + by = 6 memiliki banyak solusi.
- Tentukan HP dalam bentuk parameter: 3x + y = 9 dan 9x + 3y = 27
- Tentukan nilai m: 5x − 10y = m dan x − 2y = 3 memiliki banyak solusi.
- Tentukan p + q: px − 4y = q dan 3x − 6y = 9 memiliki banyak solusi.
SULIT
- Tentukan semua a agar (a²−4)x + (a−2)y = a+2 dan (a+2)x + y = 1 memiliki banyak solusi.
- Jika 3x − ky = 9 dan mx + 6y = n memiliki banyak solusi, tentukan k × m × n.
- Buktikan bahwa (2t+1, 3−t) memenuhi x + 2y = 7 dan 3x + 6y = 21 untuk semua t.
- Tentukan a, b, c agar ax + by = c dan 3x + 5y = −2 memiliki banyak solusi, dengan a + b − c = 20.
- Untuk sistem (k+1)x + (2k−1)y = 3k dan 2x + 3y = 6, tentukan nilai k agar memiliki banyak solusi.
🔴 Bagian 3: Tidak Memiliki Solusi
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan dua persamaan berikut:
x + y = 3 … (1)
x + y = 5 … (2)
Apakah ada nilai x dan y yang membuat x+y bernilai 3 sekaligus 5? Tentu tidak!
Pengamatan: Kedua garis sejajar dan tidak pernah berpotongan → tidak memiliki solusi.
❓ Kegiatan: Menanya
- Mengapa dua garis sejajar tidak memiliki titik potong?
- Apa syarat koefisien agar SPLDV tidak memiliki solusi?
- Apa perbedaan antara “tidak memiliki solusi” dan “banyak solusi”?
💡 Kegiatan: Menalar
Definisi: SPLDV tidak memiliki solusi jika tidak ada pasangan (x, y) yang memenuhi kedua persamaan secara bersamaan.
Syarat:
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
Interpretasi: Kedua garis memiliki gradien yang sama tetapi konstanta (titik potong sumbu y) berbeda → garis sejajar.
Penjelasan:
- Gradien garis 1: m₁ = −a₁/b₁
- Gradien garis 2: m₂ = −a₂/b₂
- Jika a₁/a₂ = b₁/b₂, maka m₁ = m₂ (gradien sama → sejajar)
- Tetapi karena c₁/c₂ berbeda, kedua garis tidak berimpit → tidak ada titik potong
Sistem dikatakan inkonsisten.
Perbedaan penting:
| Aspek | Banyak Solusi | Tidak Ada Solusi |
|---|---|---|
| Rasio koefisien | a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ | a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ |
| Grafik | Berimpit | Sejajar |
| Konsistensi | Konsisten dependen | Inkonsisten |
✏️ Kegiatan: Mencoba
Verifikasi bahwa SPLDV berikut tidak memiliki solusi:
2x + 4y = 8
x + 2y = 7
Cek syarat:
a₁/a₂ = 2/1 = 2
b₁/b₂ = 4/2 = 2
c₁/c₂ = 8/7
Karena 2 = 2 ≠ 8/7, maka sistem tidak memiliki solusi. ✓
Verifikasi dengan eliminasi:
Kalikan (2)×2: 2x + 4y = 14
Kurangkan dengan (1): 0 = 6 → Kontradiksi! Tidak ada solusi.
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Kesimpulan:
- SPLDV tidak memiliki solusi jika a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
- Secara grafis, kedua garis sejajar (tidak berpotongan)
- Kedua garis memiliki gradien sama tapi titik potong sumbu y berbeda
- Sistem dikatakan inkonsisten
- Proses eliminasi menghasilkan pernyataan kontradiksi (misal: 0 = 5)
📝 Contoh Soal: Tidak Memiliki Solusi
MUDAH Contoh Soal 1–10
Contoh 1. Tunjukkan bahwa SPLDV berikut tidak memiliki solusi:
x + y = 4
x + y = 7
Cek: 1/1 = 1/1 = 1, tapi 4/7 ≠ 1
Karena a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → Tidak ada solusi.
Contoh 2.
2x + y = 5
2x + y = 9
Cek: 2/2 = 1/1 = 1, tapi 5/9 ≠ 1 → Tidak ada solusi.
Contoh 3.
x + 2y = 6
2x + 4y = 10
Cek: 1/2 = 2/4 = 1/2, tapi 6/10 = 3/5 ≠ 1/2 → Tidak ada solusi.
Contoh 4.
3x − y = 4
6x − 2y = 5
Cek: 3/6 = 1/2, −1/(−2) = 1/2, 4/5 ≠ 1/2 → Tidak ada solusi.
Contoh 5.
x − y = 2
2x − 2y = 7
Cek: 1/2 = −1/(−2) = 1/2, 2/7 ≠ 1/2 → Tidak ada solusi.
Contoh 6.
4x + 2y = 10
2x + y = 3
Cek: 4/2 = 2/1 = 2, 10/3 ≠ 2 → Tidak ada solusi.
Contoh 7.
x + 3y = 5
2x + 6y = 8
Cek: 1/2 = 3/6 = 1/2, 5/8 ≠ 1/2 → Tidak ada solusi.
Contoh 8.
5x − 3y = 1
10x − 6y = 4
Cek: 5/10 = 1/2, −3/(−6) = 1/2, 1/4 ≠ 1/2 → Tidak ada solusi.
Contoh 9.
x − 2y = 3
3x − 6y = 12
Cek: 1/3 = −2/(−6) = 1/3, 3/12 = 1/4 ≠ 1/3 → Tidak ada solusi.
Contoh 10.
2x + 6y = 4
x + 3y = 5
Cek: 2/1 = 6/3 = 2, 4/5 ≠ 2 → Tidak ada solusi.
SEDANG Contoh Soal 11–15
Contoh 11. Tentukan nilai k (k ≠ 10) agar tidak memiliki solusi:
2x + 4y = 10
x + 2y = k
Syarat: 2/1 = 4/2 = 2, dan 10/k ≠ 2
k ≠ 5 (karena 10/5 = 2 → banyak solusi)
Semua k ≠ 5, misalnya k = 3, k = 7, k = 100, dll.
Contoh 12. Tentukan nilai a agar tidak memiliki solusi:
3x + ay = 6
x + 2y = 5
Syarat: 3/1 = a/2 dan 6/5 ≠ 3
a = 6
Cek: 3/1 = 6/2 = 3 ≠ 6/5 ✓
a = 6
Contoh 13. Gunakan eliminasi untuk menunjukkan tidak ada solusi:
x + y = 4
3x + 3y = 15
Kalikan (1)×3: 3x + 3y = 12
Kurangkan dengan (2): 0 = 12 − 15 = −3
Diperoleh 0 = −3 → Kontradiksi! Tidak ada solusi.
Contoh 14. Tentukan nilai m agar tidak memiliki solusi:
mx − 4y = 8
3x − 6y = 9
Syarat: m/3 = −4/(−6) = 2/3 dan 8/9 ≠ 2/3
m/3 = 2/3 → m = 2
Cek: 8/9 ≈ 0,89 ≠ 2/3 ≈ 0,67 ✓
m = 2
Contoh 15. Jelaskan mengapa sistem y = 2x + 1 dan y = 2x + 5 tidak memiliki solusi.
Ubah ke bentuk standar:
2x − y = −1 dan 2x − y = −5
Cek: 2/2 = −1/(−1) = 1, tapi −1/(−5) = 1/5 ≠ 1 → Tidak ada solusi.
Atau: kedua garis memiliki gradien m = 2 (sejajar) tapi titik potong sumbu y berbeda (1 dan 5).
SULIT Contoh Soal 16–20
Contoh 16. Tentukan semua k agar tidak memiliki solusi:
(k−1)x + 3y = 5
2x + (k+1)y = 8
Syarat tidak ada solusi: (k−1)/2 = 3/(k+1) ≠ 5/8
Dari: (k−1)(k+1) = 6 → k²−1 = 6 → k² = 7 → k = ±√7
Cek k = √7: (√7−1)/2 ≈ 0,82 dan 5/8 = 0,625 → berbeda ✓
Cek k = −√7: (−√7−1)/2 ≈ −1,82 dan 5/8 = 0,625 → berbeda ✓
k = √7 atau k = −√7
Contoh 17. Tentukan nilai a dan b agar tidak memiliki solusi, dengan a + b = 10:
ax + 4y = 12
3x + by = 7
Syarat: a/3 = 4/b dan 12/7 ≠ a/3
Dari a/3 = 4/b → ab = 12
Dengan a + b = 10: a(10−a) = 12 → 10a − a² = 12 → a² − 10a + 12 = 0
a = (10 ± √(100−48))/2 = (10 ± √52)/2 = 5 ± √13
Cek 12/7 ≠ a/3: a ≠ 36/7. Karena 5+√13 ≈ 8,6 dan 5−√13 ≈ 1,4, keduanya ≠ 36/7 ≈ 5,14 ✓
a = 5+√13, b = 5−√13 atau a = 5−√13, b = 5+√13
Contoh 18. Jika 2x + ky = 3 dan 6x + 9y = m tidak memiliki solusi, tentukan hubungan k dan m.
Syarat: 2/6 = k/9 ≠ 3/m
1/3 = k/9 → k = 3
3/m ≠ 1/3 → m ≠ 9
k = 3 dan m ≠ 9 (m bisa nilai real apapun selain 9)
Contoh 19. Buktikan bahwa jika eliminasi menghasilkan 0 = c (c ≠ 0), maka SPLDV tidak memiliki solusi.
Bukti:
Ketika kita melakukan eliminasi, kita melakukan operasi baris yang ekuivalen (mengalikan dan menjumlahkan persamaan).
Jika hasil eliminasi menghasilkan 0x + 0y = c dengan c ≠ 0, artinya:
- Pernyataan 0 = c harus dipenuhi oleh solusi
- Tetapi 0 ≠ c untuk setiap c ≠ 0
- Ini adalah kontradiksi → tidak ada (x,y) yang memenuhi
Karena operasi baris bersifat reversibel (ekuivalen), sistem awal juga tidak memiliki solusi. ∎
Contoh 20. Tentukan semua p agar (p²−1)x + (p+1)y = 3(p+1) dan (p−1)x + y = 2 tidak memiliki solusi.
Perhatikan p²−1 = (p+1)(p−1)
Syarat: (p+1)(p−1)/(p−1) = (p+1)/1 ≠ 3(p+1)/2
Jika p ≠ 1: p+1 = p+1 ✓ (rasio koefisien sama)
Syarat tidak ada solusi: (p+1)/1 ≠ 3(p+1)/2
Jika p ≠ −1: 1 ≠ 3/2 → selalu benar!
Jika p = −1: kedua persamaan menjadi 0 = 0 dan −2x + y = 2 → hanya 1 persamaan → banyak solusi.
Semua p ∈ ℝ \ {−1, 1}
🏋️ Latihan Soal: Tidak Memiliki Solusi
MUDAH
- Tunjukkan: x + y = 3 dan x + y = 8
- Tunjukkan: 2x + y = 4 dan 4x + 2y = 5
- Tunjukkan: x − y = 1 dan 2x − 2y = 5
- Tunjukkan: 3x + 6y = 9 dan x + 2y = 4
- Tunjukkan: x + 4y = 8 dan 2x + 8y = 10
- Tunjukkan: 5x − y = 3 dan 10x − 2y = 9
- Tunjukkan: x + 2y = 7 dan 3x + 6y = 15
- Tunjukkan: 4x + y = 6 dan 8x + 2y = 9
- Tunjukkan: 2x + 3y = 5 dan 4x + 6y = 7
- Tunjukkan: x − 3y = 2 dan 2x − 6y = 9
SEDANG
- Tentukan k ≠ 5 agar x + y = 5 dan 2x + 2y = k tidak memiliki solusi.
- Tentukan a agar ax + 6y = 4 dan 2x + 3y = 7 tidak memiliki solusi.
- Gunakan eliminasi untuk menunjukkan 3x + y = 5 dan 6x + 2y = 7 tidak memiliki solusi.
- Tentukan m agar 2x − my = 3 dan 4x + 6y = 9 tidak memiliki solusi.
- Jelaskan mengapa y = 3x + 2 dan y = 3x − 1 tidak memiliki solusi.
SULIT
- Tentukan semua k agar (k−2)x + 4y = 6 dan 3x + (k+1)y = 8 tidak memiliki solusi.
- Jika ax + 3y = 5 dan 4x + by = c tidak memiliki solusi dengan a + b = 14, tentukan a, b dan syarat c.
- Buktikan: jika m₁ = m₂ dan c₁ ≠ c₂ pada y = m₁x + c₁ dan y = m₂x + c₂, maka tidak ada solusi.
- Tentukan p agar (p²+p)x + (p+1)y = p² dan px + y = p−1 tidak memiliki solusi.
- Suatu SPLDV ax + by = c dan dx + ey = f tidak memiliki solusi. Jika a = 2, b = −3, c = 4, d = 6, e = −9, tentukan semua nilai f yang mungkin.
📋 Rangkuman
| Jenis Solusi | Syarat Koefisien | Grafik | Sifat Sistem | Eliminasi |
|---|---|---|---|---|
| Solusi Tunggal | a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ | Berpotongan di 1 titik | Konsisten & Independen | Diperoleh x dan y unik |
| Banyak Solusi | a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ | Berimpit | Konsisten & Dependen | Diperoleh 0 = 0 |
| Tidak Ada Solusi | a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ | Sejajar | Inkonsisten | Diperoleh 0 = c (c≠0) |