Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Sifat Pertidaksamaan yang Dikaitkan dengan Operasi Aljabar
A. Pendahuluan
Pertidaksamaan merupakan kalimat matematika terbuka yang menggunakan tanda hubung ketidaksamaan, yaitu: < (kurang dari), > (lebih dari), ≤ (kurang dari atau sama dengan), dan ≥ (lebih dari atau sama dengan).
Pada materi ini, kita akan mempelajari bagaimana sifat-sifat pertidaksamaan berperilaku ketika dikaitkan dengan operasi aljabar, yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan pernyataan berikut:
- 5 > 3 (pernyataan benar)
- Jika kedua ruas ditambah 2: 5 + 2 > 3 + 2 → 7 > 5 (masih benar)
- Jika kedua ruas dikali 2: 5 × 2 > 3 × 2 → 10 > 6 (masih benar)
- Jika kedua ruas dikali (−2): 5 × (−2) > 3 × (−2) → −10 > −6 (SALAH!)
Dari pengamatan di atas, operasi perkalian dengan bilangan negatif mengubah arah tanda pertidaksamaan!
❓ Kegiatan: Menanya
Pertanyaan kunci yang muncul:
- Kapan tanda pertidaksamaan tetap (tidak berubah arah)?
- Kapan tanda pertidaksamaan berubah arah (dibalik)?
- Operasi apa saja yang mempengaruhi arah tanda pertidaksamaan?
B. Sifat Pertidaksamaan pada Penjumlahan dan Pengurangan
💡 Kegiatan: Menalar
Mari kita pikirkan: jika a < b, lalu kita tambahkan bilangan c pada kedua ruas, apakah hubungan antara ruas kiri dan ruas kanan berubah? Karena kedua ruas mendapat penambahan yang sama, maka jarak relatif antara keduanya tidak berubah.
📐 Sifat 1: Penjumlahan dan Pengurangan
Untuk setiap bilangan real a, b, dan c:
Jika a < b, maka a + c < b + c
Jika a > b, maka a + c > b + c
Jika a ≤ b, maka a + c ≤ b + c
Jika a ≥ b, maka a + c ≥ b + c
Kesimpulan: Menambah atau mengurangi kedua ruas pertidaksamaan dengan bilangan yang sama tidak mengubah arah tanda pertidaksamaan.
🧪 Kegiatan: Mencoba
Verifikasi sifat ini dengan contoh bilangan:
| Pertidaksamaan Awal | Operasi | Hasil | Benar? |
|---|---|---|---|
| 3 < 7 | + 4 | 7 < 11 | ✓ |
| 10 > 2 | − 5 | 5 > −3 | ✓ |
| −4 < 1 | + (−3) | −7 < −2 | ✓ |
| −2 ≥ −6 | + 1 | −1 ≥ −5 | ✓ |
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Dengan kata-kata sendiri: “Ketika kita menambah atau mengurangi kedua sisi pertidaksamaan dengan bilangan yang sama (positif maupun negatif), arah tanda pertidaksamaan selalu tetap karena kedua sisi bergeser sejauh yang sama pada garis bilangan.”
Contoh Soal – Sifat Penjumlahan/Pengurangan
Tingkat Mudah
1. Diketahui x + 3 < 10. Tentukan penyelesaiannya!
Pembahasan:
x + 3 < 10
Kurangi kedua ruas dengan 3:
x + 3 − 3 < 10 − 3
x < 7
Jadi, himpunan penyelesaian: {x | x < 7, x ∈ ℝ}
2. Selesaikan x − 5 > 2!
Pembahasan:
x − 5 > 2
Tambah kedua ruas dengan 5:
x − 5 + 5 > 2 + 5
x > 7
HP: {x | x > 7, x ∈ ℝ}
3. Selesaikan x + 8 ≤ 12!
Pembahasan:
x + 8 ≤ 12
Kurangi kedua ruas dengan 8:
x ≤ 4
HP: {x | x ≤ 4, x ∈ ℝ}
4. Selesaikan x − 2 ≥ −1!
Pembahasan:
x − 2 ≥ −1
Tambah 2 pada kedua ruas:
x ≥ 1
HP: {x | x ≥ 1, x ∈ ℝ}
5. Jika 4 < 9, tentukan hasil jika kedua ruas ditambah 6!
Pembahasan:
4 + 6 < 9 + 6
10 < 15 ✓ (Tanda tetap, benar)
Tingkat Sedang
1. Selesaikan 2x + 5 < x + 9!
Pembahasan:
2x + 5 < x + 9
Kurangi kedua ruas dengan x:
x + 5 < 9
Kurangi kedua ruas dengan 5:
x < 4
HP: {x | x < 4, x ∈ ℝ}
2. Selesaikan 3x − 7 ≥ 2x + 1!
Pembahasan:
Kurangi kedua ruas dengan 2x:
x − 7 ≥ 1
Tambah 7 pada kedua ruas:
x ≥ 8
HP: {x | x ≥ 8, x ∈ ℝ}
3. Selesaikan 5x + 3 ≤ 4x + 10!
Pembahasan:
Kurangi 4x dari kedua ruas:
x + 3 ≤ 10
Kurangi 3:
x ≤ 7
HP: {x | x ≤ 7, x ∈ ℝ}
4. Selesaikan 4x − 3 > 3x + 2!
Pembahasan:
Kurangi 3x: x − 3 > 2
Tambah 3: x > 5
HP: {x | x > 5, x ∈ ℝ}
5. Tentukan nilai x jika −x + 6 < 3 − 2x tidak terpenuhi (artinya: selesaikan −x + 6 ≥ 3 − 2x)!
Pembahasan:
−x + 6 ≥ 3 − 2x
Tambah 2x pada kedua ruas:
x + 6 ≥ 3
Kurangi 6:
x ≥ −3
HP: {x | x ≥ −3, x ∈ ℝ}
Tingkat Sulit
1. Selesaikan 3(x + 2) − 4 < 2(x + 5) + x!
Pembahasan:
Jabarkan: 3x + 6 − 4 < 2x + 10 + x
3x + 2 < 3x + 10
Kurangi 3x: 2 < 10 (selalu benar)
HP: semua bilangan real, ℝ
2. Selesaikan 2(3x − 1) + 5 ≥ 6x + 7!
Pembahasan:
Jabarkan: 6x − 2 + 5 ≥ 6x + 7
6x + 3 ≥ 6x + 7
Kurangi 6x: 3 ≥ 7 (selalu salah)
HP: himpunan kosong, ∅
3. Selesaikan 5(x − 1) + 2(x + 3) ≤ 4(2x − 1) + 5!
Pembahasan:
Kiri: 5x − 5 + 2x + 6 = 7x + 1
Kanan: 8x − 4 + 5 = 8x + 1
7x + 1 ≤ 8x + 1
Kurangi 7x dan 1: 0 ≤ x
HP: {x | x ≥ 0, x ∈ ℝ}
4. Tentukan semua nilai x yang memenuhi 2 < x + 3 < 8!
Pembahasan:
Ini pertidaksamaan ganda. Kurangi 3 pada semua bagian:
2 − 3 < x < 8 − 3
−1 < x < 5
HP: {x | −1 < x < 5, x ∈ ℝ}
5. Selesaikan −3 ≤ 2x − 1 ≤ 7 (hanya menggunakan sifat penjumlahan/pengurangan di langkah pertama)!
Pembahasan:
Tambah 1 pada semua bagian:
−3 + 1 ≤ 2x ≤ 7 + 1
−2 ≤ 2x ≤ 8
Bagi semua bagian dengan 2 (positif, tanda tetap):
−1 ≤ x ≤ 4
HP: {x | −1 ≤ x ≤ 4, x ∈ ℝ}
Latihan Soal – Sifat Penjumlahan/Pengurangan
Mudah
- Selesaikan x + 4 < 9
- Selesaikan x − 6 > 1
- Selesaikan x + 2 ≤ 5
- Selesaikan x − 3 ≥ −4
- Jika 7 > 3, tentukan hasil jika kedua ruas dikurangi 5
Sedang
- Selesaikan 3x + 2 < 2x + 8
- Selesaikan 5x − 4 ≥ 4x + 3
- Selesaikan 2x + 7 ≤ x + 15
- Selesaikan 4x − 1 > 3x + 6
- Selesaikan −2x + 8 < −3x + 5
Sulit
- Selesaikan 4(x + 1) − 2 < 3(x + 3) + x
- Selesaikan 2(2x − 3) + x ≥ 5x + 1
- Tentukan HP dari 1 < x + 4 < 9
- Tentukan HP dari −5 ≤ 3x − 2 ≤ 7
- Selesaikan 3(2x + 1) − 2(x − 4) ≤ 4x + 15
C. Sifat Pertidaksamaan pada Perkalian/Pembagian dengan Bilangan Positif
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan:
- 2 < 6 → dikali 3 → 6 < 18 ✓ (tanda tetap)
- 12 > 4 → dibagi 2 → 6 > 2 ✓ (tanda tetap)
- −8 < −2 → dibagi 2 → −4 < −1 ✓ (tanda tetap)
📐 Sifat 2: Perkalian/Pembagian dengan Bilangan Positif
Untuk bilangan real a, b dan c > 0 (c positif):
Jika a < b, maka a × c < b × c
Jika a > b, maka a × c > b × c
Jika a < b, maka a ÷ c < b ÷ c
Jika a > b, maka a ÷ c > b ÷ c
Kesimpulan: Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan positif tidak mengubah arah tanda pertidaksamaan.
💡 Kegiatan: Menalar
Mengapa tanda tidak berubah? Karena bilangan positif mempertahankan urutan pada garis bilangan. Mengalikan dengan bilangan positif hanya “meregangkan” jarak kedua bilangan, tanpa membalik posisinya.
Contoh Soal – Perkalian/Pembagian Bilangan Positif
Tingkat Mudah
1. Selesaikan 3x < 12!
Pembahasan:
Bagi kedua ruas dengan 3 (positif, tanda tetap):
x < 4
HP: {x | x < 4}
2. Selesaikan 5x ≥ 20!
Pembahasan:
Bagi dengan 5: x ≥ 4
HP: {x | x ≥ 4}
3. Selesaikan x/2 > 3!
Pembahasan:
Kali kedua ruas dengan 2: x > 6
HP: {x | x > 6}
4. Selesaikan 4x ≤ 20!
Pembahasan:
Bagi dengan 4: x ≤ 5
HP: {x | x ≤ 5}
5. Selesaikan x/4 < 2!
Pembahasan:
Kali dengan 4: x < 8
HP: {x | x < 8}
Tingkat Sedang
1. Selesaikan 2x + 3 < 11!
Pembahasan:
Kurangi 3: 2x < 8
Bagi 2: x < 4
HP: {x | x < 4}
2. Selesaikan 3x − 5 ≥ 7!
Pembahasan:
Tambah 5: 3x ≥ 12
Bagi 3: x ≥ 4
HP: {x | x ≥ 4}
3. Selesaikan 4x + 1 ≤ 2x + 9!
Pembahasan:
Kurangi 2x: 2x + 1 ≤ 9
Kurangi 1: 2x ≤ 8
Bagi 2: x ≤ 4
HP: {x | x ≤ 4}
4. Selesaikan (2x)/3 + 1 > 5!
Pembahasan:
Kurangi 1: (2x)/3 > 4
Kali 3: 2x > 12
Bagi 2: x > 6
HP: {x | x > 6}
5. Selesaikan 5(x − 2) < 15!
Pembahasan:
Bagi 5: x − 2 < 3
Tambah 2: x < 5
HP: {x | x < 5}
Tingkat Sulit
1. Selesaikan 3(2x + 1)/4 ≤ (x + 7)/2!
Pembahasan:
Kali kedua ruas dengan 4 (KPK penyebut):
3(2x + 1) ≤ 2(x + 7)
6x + 3 ≤ 2x + 14
Kurangi 2x: 4x + 3 ≤ 14
Kurangi 3: 4x ≤ 11
Bagi 4: x ≤ 11/4 = 2,75
HP: {x | x ≤ 2,75}
2. Selesaikan (x + 1)/3 + (x − 2)/6 > 1!
Pembahasan:
Kali semua dengan 6:
2(x + 1) + (x − 2) > 6
2x + 2 + x − 2 > 6
3x > 6
x > 2
HP: {x | x > 2}
3. Selesaikan 1 < (2x + 3)/5 < 3!
Pembahasan:
Kali semua bagian dengan 5:
5 < 2x + 3 < 15
Kurangi 3: 2 < 2x < 12
Bagi 2: 1 < x < 6
HP: {x | 1 < x < 6}
4. Selesaikan (3x − 1)/2 ≥ (5x + 2)/4 + 1!
Pembahasan:
Kali semua dengan 4:
2(3x − 1) ≥ (5x + 2) + 4
6x − 2 ≥ 5x + 6
Kurangi 5x: x − 2 ≥ 6
Tambah 2: x ≥ 8
HP: {x | x ≥ 8}
5. Selesaikan (x + 2)/3 + (2x − 1)/4 ≤ (5x + 1)/6!
Pembahasan:
KPK = 12. Kali semua dengan 12:
4(x + 2) + 3(2x − 1) ≤ 2(5x + 1)
4x + 8 + 6x − 3 ≤ 10x + 2
10x + 5 ≤ 10x + 2
5 ≤ 2 (selalu salah)
HP: ∅ (himpunan kosong)
Latihan Soal – Perkalian/Pembagian Bilangan Positif
Mudah
- Selesaikan 6x < 18
- Selesaikan 2x ≥ 10
- Selesaikan x/3 > 4
- Selesaikan 7x ≤ 28
- Selesaikan x/5 < 2
Sedang
- Selesaikan 4x + 2 < 18
- Selesaikan 3x − 6 ≥ 9
- Selesaikan 2(x + 4) ≤ 14
- Selesaikan (3x)/2 + 1 > 7
- Selesaikan 5x − 3 ≤ 3x + 7
Sulit
- Selesaikan (2x + 1)/3 + (x − 1)/2 > 3
- Selesaikan 2 ≤ (3x − 4)/2 ≤ 5
- Selesaikan (x + 3)/4 ≥ (2x − 1)/6
- Selesaikan 3(x − 1)/2 + x/4 < 2x + 1
- Selesaikan (x + 1)/2 + (x + 2)/3 + (x + 3)/6 ≤ 3
D. Sifat Pertidaksamaan pada Perkalian/Pembagian dengan Bilangan Negatif
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan dengan seksama:
| Awal | Operasi | Hasil (tanda tetap) | Benar? | Hasil (tanda dibalik) | Benar? |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 < 5 | × (−1) | −2 < −5 | ✗ | −2 > −5 | ✓ |
| 6 > 3 | × (−2) | −12 > −6 | ✗ | −12 < −6 | ✓ |
| −4 < 2 | ÷ (−2) | 2 < −1 | ✗ | 2 > −1 | ✓ |
Terlihat jelas: mengalikan/membagi dengan bilangan negatif MEMBALIK tanda pertidaksamaan!
💡 Kegiatan: Menalar
Mengapa tanda dibalik? Pada garis bilangan, mengalikan dengan bilangan negatif “mencerminkan” posisi bilangan terhadap titik 0. Bilangan yang tadinya di kanan (lebih besar) menjadi di kiri (lebih kecil) setelah dicerminkan, dan sebaliknya.
⚠️ Sifat 3: Perkalian/Pembagian dengan Bilangan Negatif (PENTING!)
Untuk bilangan real a, b dan c < 0 (c negatif):
Jika a < b, maka a × c > b × c → tanda DIBALIK
Jika a > b, maka a × c < b × c → tanda DIBALIK
Jika a ≤ b, maka a × c ≥ b × c → tanda DIBALIK
Jika a ≥ b, maka a × c ≤ b × c → tanda DIBALIK
Kesimpulan: Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan negatif MENGUBAH ARAH tanda pertidaksamaan.
🧪 Kegiatan: Mencoba
Buktikan sendiri: mulai dari 3 < 8, lalu kalikan kedua ruas dengan −3.
3 × (−3) = −9 dan 8 × (−3) = −24
Apakah −9 < −24? TIDAK! Yang benar: −9 > −24 ✓
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
“Setiap kali kita mengalikan atau membagi pertidaksamaan dengan bilangan negatif, kita harus membalik tanda pertidaksamaan. Ini karena perkalian negatif membalik urutan bilangan pada garis bilangan.”
Contoh Soal – Perkalian/Pembagian Bilangan Negatif
Tingkat Mudah
1. Selesaikan −2x < 6!
Pembahasan:
Bagi kedua ruas dengan −2 (negatif → tanda DIBALIK):
x > −3
HP: {x | x > −3}
2. Selesaikan −3x ≥ 9!
Pembahasan:
Bagi dengan −3 (tanda dibalik):
x ≤ −3
HP: {x | x ≤ −3}
3. Selesaikan −x > 4!
Pembahasan:
Kali dengan −1 (tanda dibalik):
x < −4
HP: {x | x < −4}
4. Selesaikan −5x ≤ 20!
Pembahasan:
Bagi dengan −5 (tanda dibalik):
x ≥ −4
HP: {x | x ≥ −4}
5. Selesaikan −x/2 > 3!
Pembahasan:
Kali dengan −2 (tanda dibalik):
x < −6
HP: {x | x < −6}
Tingkat Sedang
1. Selesaikan −2x + 5 > 11!
Pembahasan:
Kurangi 5: −2x > 6
Bagi −2 (tanda dibalik): x < −3
HP: {x | x < −3}
2. Selesaikan 3 − 4x ≤ 15!
Pembahasan:
Kurangi 3: −4x ≤ 12
Bagi −4 (tanda dibalik): x ≥ −3
HP: {x | x ≥ −3}
3. Selesaikan 7 − 3x < 1!
Pembahasan:
Kurangi 7: −3x < −6
Bagi −3 (tanda dibalik): x > 2
HP: {x | x > 2}
4. Selesaikan 2 − x/3 ≥ 4!
Pembahasan:
Kurangi 2: −x/3 ≥ 2
Kali −3 (tanda dibalik): x ≤ −6
HP: {x | x ≤ −6}
5. Selesaikan 5 − 2x > x − 4!
Pembahasan:
Pindahkan x ke kiri dan konstanta ke kanan:
5 + 4 > x + 2x
9 > 3x
Bagi 3: 3 > x atau x < 3
HP: {x | x < 3}
Tingkat Sulit
1. Selesaikan −2(3x − 4) ≥ 5(x + 2) − 3x!
Pembahasan:
Kiri: −6x + 8
Kanan: 5x + 10 − 3x = 2x + 10
−6x + 8 ≥ 2x + 10
Kurangi 2x: −8x + 8 ≥ 10
Kurangi 8: −8x ≥ 2
Bagi −8 (tanda dibalik): x ≤ −1/4
HP: {x | x ≤ −0,25}
2. Selesaikan (1 − 2x)/3 > (x + 4)/2!
Pembahasan:
Kali 6: 2(1 − 2x) > 3(x + 4)
2 − 4x > 3x + 12
Pindahkan: −4x − 3x > 12 − 2
−7x > 10
Bagi −7 (dibalik): x < −10/7
HP: {x | x < −10/7 ≈ −1,43}
3. Selesaikan −1 ≤ (3 − 2x)/4 ≤ 2!
Pembahasan:
Kali 4: −4 ≤ 3 − 2x ≤ 8
Kurangi 3: −7 ≤ −2x ≤ 5
Bagi −2 (tanda DIBALIK, urutan juga dibalik):
7/2 ≥ x ≥ −5/2
Tulis ulang: −5/2 ≤ x ≤ 7/2
HP: {x | −2,5 ≤ x ≤ 3,5}
4. Selesaikan −3(x + 2)/2 + 1 < (4 − x)/3!
Pembahasan:
Kali 6: −9(x + 2) + 6 < 2(4 − x)
−9x − 18 + 6 < 8 − 2x
−9x − 12 < 8 − 2x
Tambah 9x: −12 < 8 + 7x
Kurangi 8: −20 < 7x
Bagi 7: −20/7 < x
HP: {x | x > −20/7 ≈ −2,86}
5. Selesaikan −(2x + 1)/5 ≥ (3x − 2)/4 + 1!
Pembahasan:
Kali 20: −4(2x + 1) ≥ 5(3x − 2) + 20
−8x − 4 ≥ 15x − 10 + 20
−8x − 4 ≥ 15x + 10
Kurangi 15x: −23x − 4 ≥ 10
Tambah 4: −23x ≥ 14
Bagi −23 (dibalik): x ≤ −14/23
HP: {x | x ≤ −14/23 ≈ −0,61}
Latihan Soal – Perkalian/Pembagian Bilangan Negatif
Mudah
- Selesaikan −4x < 12
- Selesaikan −x ≥ 5
- Selesaikan −6x > −18
- Selesaikan −x/4 ≤ 2
- Selesaikan −3x > 15
Sedang
- Selesaikan 4 − 3x > 10
- Selesaikan −2x + 7 ≤ 1
- Selesaikan 8 − 5x < 3x − 16
- Selesaikan 1 − x/2 ≥ 3
- Selesaikan 6 − 4x > 2(1 − x)
Sulit
- Selesaikan −3(2x − 1)/4 > (x + 5)/2
- Selesaikan −2 < (1 − 3x)/5 ≤ 1
- Selesaikan −(x + 2)/3 + (2x − 1)/4 ≥ 1
- Selesaikan −2(x − 3) + 4 > 3(2 − x) + x
- Selesaikan (2 − 5x)/6 ≤ (3x + 1)/4 − 2
E. Sifat Transitif Pertidaksamaan
🔍 Kegiatan: Mengamati
Jika kita tahu bahwa Ali lebih tinggi dari Budi, dan Budi lebih tinggi dari Candra, maka kita bisa menyimpulkan Ali lebih tinggi dari Candra. Dalam matematika:
Jika 3 < 5 dan 5 < 9, maka 3 < 9 ✓
📐 Sifat 4: Transitif
Jika a < b dan b < c, maka a < c
Jika a > b dan b > c, maka a > c
Jika a ≤ b dan b ≤ c, maka a ≤ c
Jika a ≥ b dan b ≥ c, maka a ≥ c
Kesimpulan: Sifat transitif memungkinkan kita menggabungkan dua pertidaksamaan yang memiliki elemen penghubung.
💡 Kegiatan: Menalar
Sifat transitif sangat berguna ketika kita ingin membandingkan dua ekspresi melalui ekspresi ketiga sebagai “jembatan”.
Contoh Soal – Sifat Transitif
Tingkat Mudah
1. Jika a < 5 dan 5 < b, apa hubungan a dan b?
Pembahasan:
a < 5 dan 5 < b
Dengan sifat transitif: a < b
2. Jika x < 3 dan 3 < 7, simpulkan!
Pembahasan:
Transitif: x < 7
3. Jika p > 10 dan 10 > q, tentukan hubungan p dan q!
Pembahasan:
p > 10 > q, jadi p > q
4. Diketahui m ≤ 4 dan 4 ≤ n. Apa yang bisa disimpulkan?
Pembahasan:
Transitif: m ≤ n
5. Jika 2 < 4 dan 4 < 6, tentukan kesimpulannya!
Pembahasan:
2 < 6 (transitif) ✓
Tingkat Sedang
1. Jika x + 2 < 5 dan 5 < 2x − 1, tentukan hubungan x + 2 dan 2x − 1!
Pembahasan:
Dari x + 2 < 5 → x < 3
Dari 5 < 2x − 1 → x > 3
Tidak ada x yang memenuhi keduanya sekaligus (kontradiksi).
Namun secara transitif: x + 2 < 2x − 1 (asalkan kedua syarat terpenuhi bersamaan, yang tak mungkin).
Kesimpulan: Secara sifat transitif, x + 2 < 2x − 1, tapi tidak ada x real yang memenuhi kedua syarat.
2. Jika a < b, b < c, dan c < d, apa hubungan a dan d?
Pembahasan:
Dari a < b dan b < c: a < c
Dari a < c dan c < d: a < d
Jadi a < d
3. Jika 2x − 1 < x + 3 dan x + 3 < 10, tentukan batas nilai 2x − 1!
Pembahasan:
Transitif: 2x − 1 < 10
2x < 11 → x < 5,5
2x − 1 < 10
4. Buktikan: Jika x < y dan y < z, maka x + 1 < z + 1!
Pembahasan:
Dari x < y dan y < z, transitif: x < z
Tambah 1 (sifat penjumlahan): x + 1 < z + 1 ✓
5. Jika a ≥ b dan b ≥ 0, buktikan a ≥ 0!
Pembahasan:
a ≥ b dan b ≥ 0
Transitif: a ≥ 0 ✓ (terbukti)
Tingkat Sulit
1. Jika 0 < a < b, buktikan a² < b² menggunakan sifat pertidaksamaan!
Pembahasan:
Karena a < b dan a > 0 (positif):
Kali kedua ruas dengan a: a² < ab … (i)
Karena a < b dan b > 0 (positif):
Kali kedua ruas dengan b: ab < b² … (ii)
Dari (i) dan (ii), transitif: a² < b² ✓
2. Jika a > 0, b > 0, dan a + b < 6, buktikan a < 6 dan b < 6!
Pembahasan:
Karena b > 0, maka a < a + b
Transitif dengan a + b < 6: a < 6 ✓
Dengan cara serupa, karena a > 0: b < a + b < 6 → b < 6 ✓
3. Jika x < y < z, buktikan x + y < y + z!
Pembahasan:
Dari x < z (transitif dari x < y < z)
Tambah y pada kedua ruas (sifat penjumlahan):
x + y < z + y = y + z ✓
4. Jika 0 < a < 1, buktikan a² < a!
Pembahasan:
Dari a < 1, kali kedua ruas dengan a (positif, tanda tetap):
a × a < 1 × a
a² < a ✓
5. Jika a > 1, buktikan a² > a > 1!
Pembahasan:
Dari a > 1 dan a > 0 (karena a > 1 > 0):
Kali kedua ruas a > 1 dengan a (positif):
a² > a
Gabung dengan a > 1:
a² > a > 1 ✓ (transitif)
Latihan Soal – Sifat Transitif
Mudah
- Jika a < 4 dan 4 < b, tentukan hubungan a dan b
- Jika x > 7 dan 7 > y, apa kesimpulannya?
- Jika p ≤ 6 dan 6 ≤ q, tentukan hubungan p dan q
- Jika 1 < 3 dan 3 < 8, tulis kesimpulan transitif
- Jika m ≥ n dan n ≥ 2, apa yang bisa disimpulkan tentang m?
Sedang
- Jika a < b < c < d, buktikan a < d
- Jika x + 1 < 5 dan 5 < 2x, apakah ada x yang memenuhi?
- Jika 2a < b dan b < 3a, dan a > 0, buktikan 2a < 3a
- Jika x < y, buktikan x − 1 < y + 1
- Jika p ≥ q dan q ≥ r, buktikan p + q ≥ q + r
Sulit
- Jika 0 < a < b, buktikan 1/b < 1/a
- Jika a > b > 0, buktikan a² − b² > 0
- Jika 0 < x < 1, buktikan x³ < x² < x
- Jika a > 0 dan b > 0, buktikan (a + b)/2 ≥ √(ab) untuk a = b (kasus kesamaan AM-GM)
- Jika 0 < a < b < c, buktikan a(c − b) < c(b − a)
F. Ringkasan Sifat-Sifat Pertidaksamaan
| No | Sifat | Operasi | Arah Tanda |
|---|---|---|---|
| 1 | Penjumlahan/Pengurangan | Tambah/kurang bilangan apapun | Tetap |
| 2 | Perkalian/Pembagian (+) | Kali/bagi bilangan positif | Tetap |
| 3 | Perkalian/Pembagian (−) | Kali/bagi bilangan negatif | Dibalik ⚠️ |
| 4 | Transitif | Menghubungkan tiga ekspresi | Tetap (searah) |
⚠️ INGAT!
Satu-satunya operasi yang membalik tanda pertidaksamaan adalah mengalikan atau membagi dengan bilangan NEGATIF.
Ketika ragu, selalu tanyakan: “Apakah saya mengalikan/membagi dengan bilangan negatif?” Jika ya → balik tanda!