Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Bentuk Umum Pertidaksamaan Linear
Materi lengkap dengan contoh soal dan latihan
1. Pengertian Pertidaksamaan Linear
Perhatikan situasi berikut:
- Harga sebuah buku kurang dari Rp15.000
- Usia minimal untuk memiliki SIM adalah 17 tahun atau lebih
- Suhu ruangan tidak boleh melebihi 25°C
Situasi-situasi di atas menunjukkan hubungan tidak sama dengan atau ketidaksamaan, bukan kesamaan.
- Apa perbedaan persamaan dan pertidaksamaan?
- Bagaimana cara menuliskan pertidaksamaan secara matematis?
- Apa yang dimaksud dengan pertidaksamaan linear?
Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang memuat tanda ketidaksamaan, yaitu: <, >, ≤, atau ≥.
Pertidaksamaan Linear adalah pertidaksamaan yang variabelnya berpangkat satu (linear). Artinya, variabel x tidak dikuadratkan, tidak di dalam akar, dan tidak berada di penyebut.
Persamaan: 2x + 3 = 7 (menggunakan tanda =)
Pertidaksamaan: 2x + 3 < 7 (menggunakan tanda <, >, ≤, ≥)
2. Bentuk Umum Pertidaksamaan Linear
Bentuk umum pertidaksamaan linear satu variabel dapat dituliskan sebagai:
ax + b < 0 atau ax + b > 0
ax + b ≤ 0 atau ax + b ≥ 0
Keterangan:
- a = koefisien variabel (a ≠ 0)
- x = variabel (peubah)
- b = konstanta
- Tanda pertidaksamaan: <, >, ≤, ≥
Bentuk lain yang ekuivalen:
| Bentuk | Contoh | Dibaca |
|---|---|---|
| ax + b < c | 2x + 1 < 7 | 2x + 1 kurang dari 7 |
| ax + b > c | 3x − 2 > 10 | 3x − 2 lebih dari 10 |
| ax + b ≤ c | 5x + 4 ≤ 19 | 5x + 4 kurang dari atau sama dengan 19 |
| ax + b ≥ c | x − 6 ≥ 0 | x − 6 lebih dari atau sama dengan 0 |
Tentukan mana yang merupakan pertidaksamaan linear dan mana yang bukan:
- 3x + 5 > 11 → Linear ✓ (pangkat x = 1)
- x² + 2 < 10 → Bukan linear ✗ (pangkat x = 2)
- 4x − 7 ≤ 1 → Linear ✓
- 1/x > 3 → Bukan linear ✗ (x di penyebut)
3. Simbol-Simbol Pertidaksamaan
Perhatikan tabel simbol pertidaksamaan berikut:
| Simbol | Arti | Contoh | Penjelasan |
|---|---|---|---|
| < | Kurang dari | x < 5 | x bernilai kurang dari 5 (tidak termasuk 5) |
| > | Lebih dari | x > 3 | x bernilai lebih dari 3 (tidak termasuk 3) |
| ≤ | Kurang dari atau sama dengan | x ≤ 7 | x bernilai 7 atau kurang (termasuk 7) |
| ≥ | Lebih dari atau sama dengan | x ≥ 2 | x bernilai 2 atau lebih (termasuk 2) |
Penting!
- < dan > → tanda terbuka (nilai batas tidak termasuk)
- ≤ dan ≥ → tanda tertutup (nilai batas termasuk)
4. Sifat-Sifat Pertidaksamaan
Sifat-sifat ini digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan linear:
Sifat 1: Penjumlahan/Pengurangan
Jika a < b, maka a + c < b + c
→ Kedua ruas boleh ditambah/dikurangi bilangan yang sama, tanda pertidaksamaan tetap.
Sifat 2: Perkalian/Pembagian dengan bilangan positif
Jika a < b dan c > 0, maka ac < bc
→ Kedua ruas dikali/dibagi bilangan positif, tanda pertidaksamaan tetap.
Sifat 3: Perkalian/Pembagian dengan bilangan negatif ⚠️
Jika a < b dan c < 0, maka ac > bc
→ Kedua ruas dikali/dibagi bilangan negatif, tanda pertidaksamaan BERBALIK!
Contoh penerapan Sifat 3:
−2x > 6
Bagi kedua ruas dengan −2 (bilangan negatif) → tanda berbalik:
x < −3
5. Langkah Penyelesaian Pertidaksamaan Linear
Langkah-langkah penyelesaian:
- Sederhanakan masing-masing ruas (jika perlu)
- Pindahkan suku yang memuat variabel ke satu ruas (biasanya ruas kiri)
- Pindahkan konstanta ke ruas yang lain
- Bagi/kalikan kedua ruas dengan koefisien variabel
- Ingat: jika mengali/membagi dengan bilangan negatif, tanda berbalik
- Tuliskan himpunan penyelesaian
Contoh: Selesaikan 3x − 5 ≤ 7
3x − 5 ≤ 7
3x ≤ 7 + 5 (tambah 5 kedua ruas)
3x ≤ 12
x ≤ 4 (bagi 3 kedua ruas, tanda tetap karena 3 > 0)
HP = {x | x ≤ 4, x ∈ ℝ}
6. Notasi Penyelesaian Pertidaksamaan
Ada beberapa cara menuliskan himpunan penyelesaian pertidaksamaan:
| Pertidaksamaan | Notasi Himpunan | Notasi Interval | Garis Bilangan |
|---|---|---|---|
| x < 3 | {x | x < 3} | (−∞, 3) | ←——○ 3 |
| x ≤ 3 | {x | x ≤ 3} | (−∞, 3] | ←——● 3 |
| x > 3 | {x | x > 3} | (3, +∞) | 3 ○——→ |
| x ≥ 3 | {x | x ≥ 3} | [3, +∞) | 3 ●——→ |
Keterangan Garis Bilangan:
- ○ (lingkaran terbuka) = nilai batas tidak termasuk (tanda < atau >)
- ● (lingkaran tertutup/penuh) = nilai batas termasuk (tanda ≤ atau ≥)
Keterangan Notasi Interval:
- ( atau ) = kurung biasa → nilai batas tidak termasuk
- [ atau ] = kurung siku → nilai batas termasuk
- ∞ (tak hingga) selalu menggunakan kurung biasa karena ∞ bukan bilangan riil
Ringkasan: Penyelesaian pertidaksamaan linear dapat dinyatakan dalam tiga bentuk:
- Notasi Himpunan: {x | kondisi, x ∈ ℝ}
- Notasi Interval: menggunakan kurung dan tanda tak hingga
- Garis Bilangan: visualisasi pada garis bilangan
Visualisasi Garis Bilangan untuk x ≤ 4
● pada 4 berarti 4 termasuk penyelesaian
7. Contoh Soal dan Pembahasan
MUDAH Contoh Soal Tingkat Mudah
Soal 1. Selesaikan: x + 3 > 7
x + 3 > 7
x > 7 − 3
x > 4
HP = {x | x > 4, x ∈ ℝ} atau (4, +∞)
Soal 2. Selesaikan: x − 5 < 2
x − 5 < 2
x < 2 + 5
x < 7
HP = {x | x < 7, x ∈ ℝ} atau (−∞, 7)
Soal 3. Selesaikan: 2x ≤ 10
2x ≤ 10
x ≤ 10 ÷ 2
x ≤ 5
HP = {x | x ≤ 5, x ∈ ℝ} atau (−∞, 5]
Soal 4. Selesaikan: 3x ≥ 9
3x ≥ 9
x ≥ 9 ÷ 3
x ≥ 3
HP = {x | x ≥ 3, x ∈ ℝ} atau [3, +∞)
Soal 5. Selesaikan: x + 8 ≤ 12
x + 8 ≤ 12
x ≤ 12 − 8
x ≤ 4
HP = {x | x ≤ 4, x ∈ ℝ} atau (−∞, 4]
SEDANG Contoh Soal Tingkat Sedang
Soal 6. Selesaikan: 4x − 7 > 2x + 5
4x − 7 > 2x + 5
4x − 2x > 5 + 7
2x > 12
x > 6
HP = {x | x > 6, x ∈ ℝ} atau (6, +∞)
Soal 7. Selesaikan: −3x + 2 ≤ 14
−3x + 2 ≤ 14
−3x ≤ 14 − 2
−3x ≤ 12
x ≥ 12 ÷ (−3) → tanda berbalik!
x ≥ −4
HP = {x | x ≥ −4, x ∈ ℝ} atau [−4, +∞)
Soal 8. Selesaikan: 5(x − 2) < 3(x + 4)
5(x − 2) < 3(x + 4)
5x − 10 < 3x + 12
5x − 3x < 12 + 10
2x < 22
x < 11
HP = {x | x < 11, x ∈ ℝ} atau (−∞, 11)
Soal 9. Selesaikan: 2(x + 3) ≥ x − 1
2x + 6 ≥ x − 1
2x − x ≥ −1 − 6
x ≥ −7
HP = {x | x ≥ −7, x ∈ ℝ} atau [−7, +∞)
Soal 10. Selesaikan: ½x + 3 > 5
½x + 3 > 5
½x > 5 − 3
½x > 2
x > 2 × 2
x > 4
HP = {x | x > 4, x ∈ ℝ} atau (4, +∞)
SULIT Contoh Soal Tingkat Sulit
Soal 11. Selesaikan: 3(2x − 1) − 2(4x + 3) ≥ x + 5
3(2x − 1) − 2(4x + 3) ≥ x + 5
6x − 3 − 8x − 6 ≥ x + 5
−2x − 9 ≥ x + 5
−2x − x ≥ 5 + 9
−3x ≥ 14
x ≤ −14/3 → tanda berbalik!
HP = {x | x ≤ −14/3, x ∈ ℝ} atau (−∞, −14/3]
Soal 12. Selesaikan: ⅔x − ¼ < ⅚x + ½
Kalikan kedua ruas dengan KPK(3,4,6,2) = 12:
12 × ⅔x − 12 × ¼ < 12 × ⅚x + 12 × ½
8x − 3 < 10x + 6
8x − 10x < 6 + 3
−2x < 9
x > −9/2 → tanda berbalik!
HP = {x | x > −9/2, x ∈ ℝ} atau (−9/2, +∞)
Soal 13. Selesaikan: −2 ≤ 3x + 1 < 10
Ini adalah pertidaksamaan gabungan (bertingkat). Selesaikan sekaligus:
−2 ≤ 3x + 1 < 10
−2 − 1 ≤ 3x < 10 − 1 (kurangi 1)
−3 ≤ 3x < 9
−1 ≤ x < 3 (bagi 3)
HP = {x | −1 ≤ x < 3, x ∈ ℝ} atau [−1, 3)
Soal 14. Selesaikan: 5 − 2(3x + 4) > 3(1 − 4x) + 2x
5 − 6x − 8 > 3 − 12x + 2x
−6x − 3 > −10x + 3
−6x + 10x > 3 + 3
4x > 6
x > 3/2
HP = {x | x > 3/2, x ∈ ℝ} atau (3/2, +∞)
Soal 15. Selesaikan: (x + 1)/3 − (x − 2)/4 ≥ 1
Kalikan kedua ruas dengan KPK(3,4) = 12:
4(x + 1) − 3(x − 2) ≥ 12
4x + 4 − 3x + 6 ≥ 12
x + 10 ≥ 12
x ≥ 2
HP = {x | x ≥ 2, x ∈ ℝ} atau [2, +∞)
8. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Tuliskan himpunan penyelesaiannya!
MUDAH
- x + 6 > 10
- x − 4 ≤ 3
- 5x < 20
- 2x + 1 ≥ 9
- x − 7 > −2
SEDANG
- 3x − 5 < 2x + 7
- −4x + 6 ≥ 2
- 2(3x − 1) ≤ 4x + 10
- ⅓x + 2 > 5
- 7 − 2x < 3x − 8
SULIT
- 4(2x − 3) − 3(5x + 1) > 2x − 7
- −1 < 2x + 3 ≤ 9
- ¾x − ⅖ ≥ ½x + ⅗
- (x + 3)/2 − (2x − 1)/5 < 3
- 3(1 − 2x) + 4(3x + 2) ≤ 5(x − 1) + 2(3x + 4)