Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Pertidaksamaan Berbentuk Hasil Bagi Dua Faktor Linear
Materi
A. Pengertian
Pertidaksamaan berbentuk hasil bagi dua faktor linear adalah pertidaksamaan yang memuat pecahan (rasional) dengan pembilang dan penyebut masing-masing berupa faktor linear (berpangkat satu). Bentuk umumnya:
dengan a, b, c, d ∈ ℝ, c ≠ 0, dan cx + d ≠ 0.
⚠️ Penting:
- Penyebut tidak boleh bernilai nol.
- Kita tidak boleh mengalikan silang kedua ruas dengan penyebut secara langsung, karena tanda penyebut bisa positif atau negatif (bergantung nilai x).
- Metode yang benar: Tabel tanda (uji tanda) atau garis bilangan.
B. Langkah-Langkah Penyelesaian
Mengamati
Perhatikan pertidaksamaan berikut:
Amati bahwa pembilang = x − 2 dan penyebut = x + 3. Keduanya adalah faktor linear.
Menanya
Pertanyaan kunci: “Untuk nilai x berapa saja pecahan tersebut bernilai positif (lebih dari nol)?”
Pecahan bernilai positif jika pembilang dan penyebut bertanda sama (keduanya positif atau keduanya negatif).
Menalar
Langkah-langkah penyelesaian:
- Pindahkan semua ke satu ruas sehingga ruas lain = 0.
- Tentukan pembuat nol (titik kritis): nilai x yang membuat pembilang = 0 dan penyebut = 0.
- Pembilang: x − 2 = 0 → x = 2
- Penyebut: x + 3 = 0 → x = −3
- Buat garis bilangan dan letakkan titik-titik kritis.
- Uji tanda pada setiap interval yang terbentuk.
- Tentukan himpunan penyelesaian sesuai tanda pertidaksamaan.
Mencoba
Mari kita selesaikan: x − 2x + 3 > 0
Titik kritis:
- x = 2 (pembilang = 0)
- x = −3 (penyebut = 0, tidak termasuk HP)
Tabel Tanda:
| Interval | x < −3 | −3 < x < 2 | x > 2 |
|---|---|---|---|
| x − 2 | − | − | + |
| x + 3 | − | + | + |
| x−2x+3 | + | − | + |
Garis Bilangan:
Karena yang diminta > 0 (positif), maka kita pilih interval bertanda +.
Himpunan Penyelesaian (HP):
Notasi interval: (−∞, −3) ∪ (2, +∞)
Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Pertidaksamaan x − 2x + 3 > 0 memiliki himpunan penyelesaian x < −3 atau x > 2.
Artinya: untuk setiap nilai x pada interval tersebut, pecahan akan selalu bernilai positif.
C. Aturan Penting Penentuan HP
| Bentuk Pertidaksamaan | Yang Dipilih | Keterangan Titik Kritis |
|---|---|---|
| PQ > 0 | Interval bertanda + | Titik kritis tidak termasuk HP |
| PQ ≥ 0 | Interval bertanda + | Titik dari pembilang termasuk HP; titik dari penyebut tidak termasuk |
| PQ < 0 | Interval bertanda − | Titik kritis tidak termasuk HP |
| PQ ≤ 0 | Interval bertanda − | Titik dari pembilang termasuk HP; titik dari penyebut tidak termasuk |
⚠️ Ingat!
Titik kritis dari penyebut tidak pernah termasuk HP karena akan membuat pecahan tidak terdefinisi (pembagian dengan nol).
D. Penulisan Himpunan Penyelesaian
| Deskripsi | Notasi Himpunan | Notasi Interval | Garis Bilangan |
|---|---|---|---|
| x > a | {x | x > a} | (a, +∞) | ○ di a, arsir ke kanan |
| x ≥ a | {x | x ≥ a} | [a, +∞) | ● di a, arsir ke kanan |
| a < x < b | {x | a < x < b} | (a, b) | ○ di a dan b, arsir di antara |
| x < a atau x > b | {x | x < a ∨ x > b} | (−∞, a) ∪ (b, +∞) | ○ di a,b; arsir ke luar |
Keterangan: ○ = titik terbuka (tidak termasuk); ● = titik tertutup (termasuk)
Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah
Contoh 1.
Tentukan himpunan penyelesaian dari: x − 1x + 2 > 0
Pembahasan:
Titik kritis:
- Pembilang: x − 1 = 0 → x = 1
- Penyebut: x + 2 = 0 → x = −2
Tabel tanda:
| x<−2 | −2<x<1 | x>1 | |
|---|---|---|---|
| x−1 | − | − | + |
| x+2 | − | + | + |
| Hasil | + | − | + |
Pilih interval bertanda + (karena > 0):
HP = {x | x < −2 atau x > 1} = (−∞, −2) ∪ (1, +∞)
Contoh 2.
Tentukan HP dari: x + 4x − 1 < 0
Pembahasan:
Titik kritis: x = −4 (pembilang), x = 1 (penyebut)
| x<−4 | −4<x<1 | x>1 | |
|---|---|---|---|
| x+4 | − | + | + |
| x−1 | − | − | + |
| Hasil | + | − | + |
Pilih interval bertanda − (karena < 0):
HP = {x | −4 < x < 1} = (−4, 1)
Contoh 3.
Tentukan HP dari: x − 3x + 1 ≥ 0
Pembahasan:
Titik kritis: x = 3 (pembilang), x = −1 (penyebut)
| x<−1 | −1<x<3 | x>3 | |
|---|---|---|---|
| x−3 | − | − | + |
| x+1 | − | + | + |
| Hasil | + | − | + |
Pilih interval bertanda + (≥ 0). Titik x = 3 termasuk (pembilang=0 boleh). Titik x = −1 tidak termasuk (penyebut=0 tidak boleh).
HP = {x | x < −1 atau x ≥ 3} = (−∞, −1) ∪ [3, +∞)
Contoh 4.
Tentukan HP dari: x + 5x − 2 ≤ 0
Pembahasan:
Titik kritis: x = −5 (pembilang), x = 2 (penyebut)
| x<−5 | −5<x<2 | x>2 | |
|---|---|---|---|
| x+5 | − | + | + |
| x−2 | − | − | + |
| Hasil | + | − | + |
Pilih interval bertanda − (≤ 0). Titik x = −5 termasuk (pembilang=0). Titik x = 2 tidak termasuk.
HP = {x | −5 ≤ x < 2} = [−5, 2)
Contoh 5.
Tentukan HP dari: 2x − 6x + 4 > 0
Pembahasan:
Titik kritis: 2x − 6 = 0 → x = 3; x + 4 = 0 → x = −4
| x<−4 | −4<x<3 | x>3 | |
|---|---|---|---|
| 2x−6 | − | − | + |
| x+4 | − | + | + |
| Hasil | + | − | + |
HP = (−∞, −4) ∪ (3, +∞)
Sedang
Contoh 6.
Tentukan HP dari: 3x + 62x − 4 ≤ 0
Pembahasan:
Titik kritis: 3x + 6 = 0 → x = −2; 2x − 4 = 0 → x = 2
| x<−2 | −2<x<2 | x>2 | |
|---|---|---|---|
| 3x+6 | − | + | + |
| 2x−4 | − | − | + |
| Hasil | + | − | + |
Pilih tanda − (≤ 0). x = −2 termasuk, x = 2 tidak termasuk.
HP = [−2, 2)
Contoh 7.
Tentukan HP dari: x − 53 − x ≥ 0
Pembahasan:
Titik kritis: x = 5 (pembilang), 3 − x = 0 → x = 3 (penyebut)
Perhatikan penyebut 3 − x = −(x − 3), koefisien x negatif.
| x<3 | 3<x<5 | x>5 | |
|---|---|---|---|
| x−5 | − | − | + |
| 3−x | + | − | − |
| Hasil | − | + | − |
Pilih tanda + (≥ 0). x = 5 termasuk, x = 3 tidak termasuk.
HP = (3, 5]
Contoh 8.
Tentukan HP dari: 2x + 1x − 3 < 1
Pembahasan:
Pindahkan ke satu ruas:
2x + 1x − 3 − 1 < 0
Samakan penyebut:
2x + 1 − (x − 3)x − 3 < 0 → x + 4x − 3 < 0
Titik kritis: x = −4, x = 3
| x<−4 | −4<x<3 | x>3 | |
|---|---|---|---|
| x+4 | − | + | + |
| x−3 | − | − | + |
| Hasil | + | − | + |
HP = (−4, 3)
Contoh 9.
Tentukan HP dari: x + 2x − 1 ≥ 2
Pembahasan:
x + 2x − 1 − 2 ≥ 0 → x + 2 − 2(x − 1)x − 1 ≥ 0 → −x + 4x − 1 ≥ 0
Titik kritis: −x + 4 = 0 → x = 4; x − 1 = 0 → x = 1
| x<1 | 1<x<4 | x>4 | |
|---|---|---|---|
| −x+4 | + | + | − |
| x−1 | − | + | + |
| Hasil | − | + | − |
Pilih tanda + (≥ 0). x = 4 termasuk, x = 1 tidak termasuk.
HP = (1, 4]
Contoh 10.
Tentukan HP dari: 4 − xx + 6 > 0
Pembahasan:
Titik kritis: 4 − x = 0 → x = 4; x + 6 = 0 → x = −6
| x<−6 | −6<x<4 | x>4 | |
|---|---|---|---|
| 4−x | + | + | − |
| x+6 | − | + | + |
| Hasil | − | + | − |
HP = (−6, 4)
Sulit
Contoh 11.
Tentukan HP dari: 2x − 3x + 1 ≤ x + 1x − 2
Pembahasan:
Pindahkan ke satu ruas:
2x−3x+1 − x+1x−2 ≤ 0
Samakan penyebut (x+1)(x−2):
(2x−3)(x−2) − (x+1)(x+1)(x+1)(x−2) ≤ 0
Pembilang: (2x²−7x+6) − (x²+2x+1) = x²−9x+5
Hmm, pembilang bukan linear lagi — ini menjadi pertidaksamaan rasional dengan pembilang kuadrat. Kita tetap bisa selesaikan dengan uji tanda.
Akar pembilang: x = (9 ± √(81−20))/2 = (9 ± √61)/2
x₁ ≈ 0,59, x₂ ≈ 8,41
Titik kritis: x ≈ 0,59; x ≈ 8,41; x = −1; x = 2
Urutkan: −1; 0,59; 2; 8,41
| x<−1 | −1<x<0,59 | 0,59<x<2 | 2<x<8,41 | x>8,41 | |
|---|---|---|---|---|---|
| x²−9x+5 | + | + | − | − | + |
| (x+1)(x−2) | + | − | − | + | + |
| Hasil | + | − | + | − | + |
Pilih tanda − (≤ 0). Titik pembilang termasuk, titik penyebut tidak.
HP = (−1, (9−√61)/2] ∪ (2, (9+√61)/2]
Contoh 12.
Tentukan HP dari: 3x − 2x + 5 + 1x − 3 > 0
Pembahasan:
Samakan penyebut (x+5)(x−3):
(3x−2)(x−3) + (x+5)(x+5)(x−3) > 0
Pembilang: 3x²−11x+6 + x+5 = 3x²−10x+11
Diskriminan: D = 100 − 132 = −32 < 0 → pembilang selalu positif (karena a = 3 > 0)
Jadi pertidaksamaan menjadi: + (selalu positif)(x+5)(x−3) > 0
Maka kita butuh penyebut > 0:
(x+5)(x−3) > 0 → x < −5 atau x > 3
HP = (−∞, −5) ∪ (3, +∞)
Contoh 13.
Tentukan HP dari: x2x − 1 ≥ 3x + 2
Pembahasan:
x2x−1 − 3x+2 ≥ 0 → x(x+2)−3(2x−1)(2x−1)(x+2) ≥ 0
Pembilang: x²+2x−6x+3 = x²−4x+3 = (x−1)(x−3)
Titik kritis: x = 1, 3 (pembilang); x = ½, −2 (penyebut)
Urutan: −2; ½; 1; 3
| x<−2 | −2<x<½ | ½<x<1 | 1<x<3 | x>3 | |
|---|---|---|---|---|---|
| (x−1)(x−3) | + | + | + | − | + |
| (2x−1)(x+2) | + | − | + | + | + |
| Hasil | + | − | + | − | + |
Koreksi tanda pada interval pertama: untuk x = −3: (−4)(−6)=24 > 0; (−7)(−1)=7 > 0. Hasil: +. ✓
Pilih tanda + (≥ 0). x = 1, 3 termasuk; x = ½, −2 tidak termasuk.
HP = (−∞, −2) ∪ (½, 1] ∪ [3, +∞)
Contoh 14.
Tentukan HP dari: 2x − 1 < 3x + 2
Pembahasan:
2x−1 − 3x+2 < 0 → 2(x+2)−3(x−1)(x−1)(x+2) < 0
Pembilang: 2x+4−3x+3 = −x+7
Titik kritis: −x+7=0 → x=7; x=1; x=−2
Urutan: −2; 1; 7
| x<−2 | −2<x<1 | 1<x<7 | x>7 | |
|---|---|---|---|---|
| −x+7 | + | + | + | − |
| (x−1)(x+2) | + | − | + | + |
| Hasil | + | − | + | − |
Pilih tanda − (< 0).
HP = (−2, 1) ∪ (7, +∞)
Contoh 15.
Tentukan HP dari: x + 32x − 1 + 1 ≤ 5x + 1
Pembahasan:
Pindahkan semua ke ruas kiri:
x+32x−1 + 1 − 5x+1 ≤ 0
Samakan penyebut (2x−1)(x+1):
(x+3)(x+1) + (2x−1)(x+1) − 5(2x−1)(2x−1)(x+1) ≤ 0
Pembilang:
(x²+4x+3) + (2x²+x−1) − (10x−5) = 3x²−5x+7
Diskriminan: D = 25 − 84 = −59 < 0, a = 3 > 0 → pembilang selalu positif.
Maka: + (selalu positif)(2x−1)(x+1) ≤ 0
Kita butuh penyebut ≤ 0, tapi karena pembilang ≠ 0, maka kita butuh penyebut < 0:
(2x−1)(x+1) < 0 → −1 < x < ½
HP = (−1, ½)
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut. Tentukan himpunan penyelesaiannya!
Mudah
1. x − 4x + 1 > 0
2. x + 3x − 5 < 0
3. x − 6x + 2 ≥ 0
4. x + 7x − 3 ≤ 0
5. 3x − 9x + 5 > 0
Sedang
6. 2x + 43x − 6 ≤ 0
7. 5 − xx + 4 ≥ 0
8. x + 1x − 2 < 3
9. 2x − 5x + 3 ≥ 1
10. 3 − 2xx − 4 > 0
Sulit
11. x + 2x − 3 ≤ x − 1x + 4
12. 1x − 2 + 1x + 3 > 0
13. 3x + 1 ≥ 2x − 4
14. x − 12x + 3 + 2 < 4x − 1
15. xx + 2 − 2x − 1 ≤ 1