Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Penerapan Diskriminan Persamaan Kuadrat
A. Pengertian Diskriminan
Diskriminan adalah bagian dari rumus kuadrat (rumus abc) yang menentukan jenis dan banyaknya akar dari suatu persamaan kuadrat. Untuk persamaan kuadrat berbentuk:
Diskriminan dilambangkan dengan D dan dirumuskan sebagai:
Nilai diskriminan menentukan sifat akar-akar persamaan kuadrat sebagai berikut:
| Nilai D | Jenis Akar | Keterangan |
|---|---|---|
| D > 0 | Dua akar real berbeda | Grafik memotong sumbu-x di 2 titik |
| D = 0 | Dua akar real sama (kembar) | Grafik menyinggung sumbu-x di 1 titik |
| D < 0 | Tidak memiliki akar real | Grafik tidak memotong sumbu-x |
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan tiga persamaan kuadrat berikut beserta grafik parabolanya:
x² − 5x + 6 = 0
D = 25 − 24 = 1 > 0
2 titik potong sumbu-x
x² − 4x + 4 = 0
D = 16 − 16 = 0
1 titik singgung
x² + x + 1 = 0
D = 1 − 4 = −3 < 0
Tidak memotong sumbu-x
Amati hubungan antara nilai D dengan posisi parabola terhadap sumbu-x.
❓ Kegiatan: Menanya
- Mengapa nilai D bisa menentukan jumlah akar tanpa kita harus mencari akarnya?
- Bagaimana cara menggunakan diskriminan untuk menyelesaikan masalah nyata?
- Apa hubungan antara diskriminan dengan rumus kuadrat x = (−b ± √D) / 2a?
B. Penerapan Diskriminan
1. Menentukan Jenis Akar
Diskriminan digunakan untuk menentukan jenis akar persamaan kuadrat tanpa harus menyelesaikan persamaan.
2. Menentukan Syarat agar Persamaan Kuadrat Memiliki Akar Tertentu
Dalam banyak soal, kita diminta mencari nilai parameter (misalnya k, m, atau p) agar persamaan kuadrat memiliki jenis akar tertentu.
Syarat-syarat yang umum digunakan:
- • Memiliki dua akar real berbeda: D > 0 → b² − 4ac > 0
- • Memiliki dua akar real sama (menyinggung): D = 0 → b² − 4ac = 0
- • Tidak memiliki akar real: D < 0 → b² − 4ac < 0
- • Memiliki akar real (setidaknya satu): D ≥ 0 → b² − 4ac ≥ 0
3. Menentukan Hubungan Garis dengan Parabola
Diskriminan digunakan untuk menentukan apakah sebuah garis memotong, menyinggung, atau tidak memotong parabola. Caranya: substitusikan persamaan garis ke parabola, lalu analisis diskriminan persamaan yang terbentuk.
- • D > 0: Garis memotong parabola di 2 titik
- • D = 0: Garis menyinggung parabola
- • D < 0: Garis tidak memotong parabola
💡 Kegiatan: Menalar
Perhatikan persamaan x² + kx + 9 = 0. Tentukan nilai k agar persamaan tersebut:
- Memiliki dua akar real berbeda: D > 0 → k² − 36 > 0 → k < −6 atau k > 6
- Memiliki akar kembar: D = 0 → k² − 36 = 0 → k = −6 atau k = 6
- Tidak memiliki akar real: D < 0 → k² − 36 < 0 → −6 < k < 6
✏️ Kegiatan: Mencoba
Cobalah tentukan jenis akar dari persamaan-persamaan berikut tanpa menyelesaikannya:
- 2x² + 3x − 5 = 0
- x² − 6x + 9 = 0
- 3x² + 2x + 1 = 0
Petunjuk: Hitung nilai D = b² − 4ac untuk masing-masing.
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman sebangku: Jika sebuah peluru ditembakkan ke atas dengan ketinggian h = −5t² + 20t + 3, bagaimana cara menggunakan diskriminan untuk menentukan apakah peluru bisa mencapai ketinggian 25 meter? Presentasikan hasilnya di depan kelas.
C. Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Contoh Soal Mudah (1–5)
Soal 1:
Tentukan nilai diskriminan dari persamaan x² − 7x + 12 = 0 dan tentukan jenis akarnya.
Pembahasan:
Diketahui: a = 1, b = −7, c = 12
D = b² − 4ac = (−7)² − 4(1)(12) = 49 − 48 = 1
Karena D = 1 > 0, maka persamaan memiliki dua akar real berbeda.
Soal 2:
Tentukan jenis akar dari x² + 4x + 4 = 0.
Pembahasan:
a = 1, b = 4, c = 4
D = 4² − 4(1)(4) = 16 − 16 = 0
Karena D = 0, maka persamaan memiliki dua akar real sama (kembar).
Soal 3:
Tentukan jenis akar dari 2x² + x + 3 = 0.
Pembahasan:
a = 2, b = 1, c = 3
D = 1² − 4(2)(3) = 1 − 24 = −23
Karena D = −23 < 0, maka persamaan tidak memiliki akar real.
Soal 4:
Tentukan nilai diskriminan dari 3x² − 12x + 12 = 0.
Pembahasan:
a = 3, b = −12, c = 12
D = (−12)² − 4(3)(12) = 144 − 144 = 0
Persamaan memiliki akar kembar.
Soal 5:
Apakah persamaan x² + 2x − 15 = 0 memiliki akar real?
Pembahasan:
a = 1, b = 2, c = −15
D = 2² − 4(1)(−15) = 4 + 60 = 64
Karena D = 64 > 0, maka ya, persamaan memiliki dua akar real berbeda.
📙 Contoh Soal Sedang (6–10)
Soal 6:
Tentukan nilai k agar persamaan x² + kx + 16 = 0 memiliki akar kembar.
Pembahasan:
Syarat akar kembar: D = 0
D = k² − 4(1)(16) = 0
k² − 64 = 0
k² = 64
k = 8 atau k = −8
Soal 7:
Tentukan nilai m agar persamaan 2x² − 4x + m = 0 memiliki dua akar real berbeda.
Pembahasan:
Syarat dua akar real berbeda: D > 0
D = (−4)² − 4(2)(m) > 0
16 − 8m > 0
−8m > −16
m < 2
Jadi nilai m < 2 agar persamaan memiliki dua akar real berbeda.
Soal 8:
Tentukan nilai p agar persamaan x² + (p+1)x + p = 0 tidak memiliki akar real.
Pembahasan:
Syarat tidak memiliki akar real: D < 0
D = (p+1)² − 4(1)(p) < 0
p² + 2p + 1 − 4p < 0
p² − 2p + 1 < 0
(p − 1)² < 0
Karena kuadrat bilangan real selalu ≥ 0, maka (p−1)² < 0 tidak mungkin terpenuhi untuk p real manapun.
Kesimpulan: Tidak ada nilai p real yang memenuhi syarat tersebut. Persamaan ini selalu memiliki akar real untuk semua p real.
Soal 9:
Garis y = 2x + k menyinggung parabola y = x². Tentukan nilai k.
Pembahasan:
Substitusi: x² = 2x + k → x² − 2x − k = 0
Syarat menyinggung: D = 0
D = (−2)² − 4(1)(−k) = 0
4 + 4k = 0
k = −1
Soal 10:
Tentukan rentang nilai a agar persamaan x² − 2ax + (a+2) = 0 memiliki akar real.
Pembahasan:
Syarat akar real: D ≥ 0
D = (−2a)² − 4(1)(a+2) ≥ 0
4a² − 4a − 8 ≥ 0
a² − a − 2 ≥ 0
(a − 2)(a + 1) ≥ 0
Dengan garis bilangan: a ≤ −1 atau a ≥ 2
📕 Contoh Soal Sulit (11–15)
Soal 11:
Tentukan nilai k agar persamaan (k−1)x² + 2kx + (k+3) = 0 memiliki akar kembar, dengan k ≠ 1.
Pembahasan:
Syarat akar kembar: D = 0
D = (2k)² − 4(k−1)(k+3) = 0
4k² − 4(k² + 3k − k − 3) = 0
4k² − 4(k² + 2k − 3) = 0
4k² − 4k² − 8k + 12 = 0
−8k + 12 = 0
k = 3/2
Karena k = 3/2 ≠ 1, maka syarat terpenuhi. Jadi k = 3/2.
Soal 12:
Tentukan semua nilai m agar garis y = mx + 2 memotong parabola y = x² + x − 1 di dua titik berbeda.
Pembahasan:
Substitusi: mx + 2 = x² + x − 1
x² + x − mx − 3 = 0
x² + (1−m)x − 3 = 0
Syarat memotong di 2 titik: D > 0
D = (1−m)² − 4(1)(−3) > 0
(1−m)² + 12 > 0
Karena (1−m)² ≥ 0 untuk semua m real, maka (1−m)² + 12 ≥ 12 > 0 selalu benar.
Kesimpulan: Untuk semua nilai m real, garis selalu memotong parabola di dua titik.
Soal 13:
Persamaan x² + 2(k+1)x + (k² + 2k − 3) = 0 memiliki dua akar real. Tentukan rentang nilai k.
Pembahasan:
Syarat: D ≥ 0
D = [2(k+1)]² − 4(1)(k² + 2k − 3) ≥ 0
4(k+1)² − 4(k² + 2k − 3) ≥ 0
4(k² + 2k + 1) − 4k² − 8k + 12 ≥ 0
4k² + 8k + 4 − 4k² − 8k + 12 ≥ 0
16 ≥ 0
Ini selalu benar. Jadi persamaan memiliki akar real untuk semua nilai k real.
Soal 14:
Tentukan nilai p agar persamaan px² − (p+2)x + 1 = 0 memiliki dua akar real positif berbeda (dengan p ≠ 0).
Pembahasan:
Misalkan akar-akar: x₁ dan x₂ (keduanya positif dan berbeda)
Syarat 1: D > 0
(p+2)² − 4p > 0 → p² + 4p + 4 − 4p > 0 → p² + 4 > 0 (selalu benar)
Syarat 2: x₁ + x₂ > 0 → (p+2)/p > 0
Ini berarti p > 0 atau p < −2
Syarat 3: x₁ · x₂ > 0 → 1/p > 0 → p > 0
Irisan: Dari syarat 1, 2, dan 3: p > 0
Namun kita perlu periksa: ketika p > 0, D = p² + 4 > 0 ✓
Kesimpulan: p > 0
Soal 15:
Tentukan semua nilai a agar persamaan ax² + (a−2)x + (a−2) = 0 mempunyai akar-akar real dengan a ≠ 0.
Pembahasan:
Syarat: D ≥ 0
D = (a−2)² − 4(a)(a−2) ≥ 0
(a−2)[(a−2) − 4a] ≥ 0
(a−2)(a − 2 − 4a) ≥ 0
(a−2)(−3a − 2) ≥ 0
Kalikan kedua ruas dengan −1 (tanda berbalik):
(a−2)(3a + 2) ≤ 0
Titik kritis: a = 2 dan a = −2/3
Dengan tabel tanda atau garis bilangan:
| Interval | a−2 | 3a+2 | Hasil |
|---|---|---|---|
| a < −2/3 | − | − | + (tidak memenuhi) |
| −2/3 < a < 2 | − | + | − (memenuhi ≤ 0) |
| a > 2 | + | + | + (tidak memenuhi) |
Termasuk titik kritis: −2/3 ≤ a ≤ 2
Karena a ≠ 0, maka: −2/3 ≤ a ≤ 2, a ≠ 0
D. Latihan Soal
📗 Latihan Soal Mudah (1–5)
- Tentukan nilai diskriminan dan jenis akar dari x² − 5x + 4 = 0.
- Tentukan jenis akar dari x² + 6x + 9 = 0.
- Apakah persamaan x² + 3x + 5 = 0 memiliki akar real? Jelaskan.
- Tentukan diskriminan dari 4x² − 4x + 1 = 0 dan nyatakan jenis akarnya.
- Tentukan jenis akar dari 2x² − 7x + 3 = 0.
📙 Latihan Soal Sedang (6–10)
- Tentukan nilai k agar x² − 6x + k = 0 memiliki akar kembar.
- Tentukan rentang nilai m agar x² + mx + 4 = 0 tidak memiliki akar real.
- Tentukan nilai p agar garis y = 3x + p menyinggung parabola y = x².
- Tentukan nilai a agar persamaan x² − 2ax + (a+6) = 0 memiliki dua akar real berbeda.
- Tentukan semua nilai k agar kx² + 4x + 1 = 0 memiliki akar real (k ≠ 0).
📕 Latihan Soal Sulit (11–15)
- Tentukan nilai m agar persamaan (m+1)x² − 2(m−1)x + (m+1) = 0 memiliki akar kembar, dengan m ≠ −1.
- Tentukan rentang nilai k agar garis y = kx − 3 memotong parabola y = x² + 2x + 1 di dua titik berbeda.
- Persamaan x² + 2(p−1)x + (p² − 3p + 2) = 0 memiliki dua akar real. Tentukan rentang nilai p.
- Tentukan semua nilai a agar persamaan ax² + (2a+1)x + (a+1) = 0 memiliki dua akar real negatif berbeda (a ≠ 0).
- Diketahui persamaan (k²−4)x² + 2(k+2)x + 1 = 0. Tentukan semua nilai k agar persamaan memiliki tepat satu solusi real.