Matematika SMP/MTs
Sifat-Sifat Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Penjumlahan · Pengurangan · Perkalian Bilangan Positif · Perkalian Bilangan Negatif
Daftar Isi
📖 Pendahuluan & Pengertian
👁️ Mengamati
Pertidaksamaan linear satu variabel (PtLSV) adalah kalimat terbuka yang memuat satu variabel berpangkat satu dan dihubungkan oleh tanda ketidaksamaan.
Simbol-Simbol Ketidaksamaan
| Simbol | Arti | Contoh |
|---|---|---|
| < | Kurang dari | x < 5 |
| > | Lebih dari | x > 3 |
| ≤ | Kurang dari atau sama dengan | x ≤ 7 |
| ≥ | Lebih dari atau sama dengan | x ≥ 2 |
| ≠ | Tidak sama dengan | x ≠ 0 |
Garis Bilangan
Garis bilangan digunakan untuk menggambarkan himpunan penyelesaian. Perhatikan contoh berikut:
Lingkaran terbuka (○) = nilai tidak termasuk. Lingkaran tertutup (●) = nilai termasuk.
❓ Menanya
Pertanyaan kunci:
- Apa yang terjadi pada tanda pertidaksamaan jika kedua ruas ditambah bilangan yang sama?
- Apa yang terjadi jika kedua ruas dikurangi bilangan yang sama?
- Apa yang terjadi jika kedua ruas dikalikan bilangan positif?
- Apa yang terjadi jika kedua ruas dikalikan bilangan negatif?
➕ Sifat 1: Penjumlahan
👁️ Mengamati 🧠 Menalar
📌 Sifat Penjumlahan
Jika kedua ruas pertidaksamaan ditambah dengan bilangan yang sama, maka tanda pertidaksamaan tidak berubah.
Jika a < b, maka a + c < b + c
Jika a > b, maka a + c > b + c
Berlaku juga untuk tanda ≤ dan ≥
👁️ Mengamati
Ilustrasi pada Garis Bilangan
Kita tahu bahwa 3 < 7. Jika kedua ruas ditambah 2:
Tanda pertidaksamaan tetap ” < ” setelah ditambah bilangan yang sama.
🔬 Mencoba 💬 Mengkomunikasikan
📝 Contoh Soal — Penjumlahan
🟢 Mudah (10 Soal)
1. Diketahui x < 8. Tentukan pertidaksamaan baru jika kedua ruas ditambah 3.
Pembahasan:
x < 8
Tambah 3 di kedua ruas:
x + 3 < 8 + 3
x + 3 < 11
Tanda ” < ” tidak berubah.
x < 8
Tambah 3 di kedua ruas:
x + 3 < 8 + 3
x + 3 < 11
Tanda ” < ” tidak berubah.
2. Diketahui x > 2. Kedua ruas ditambah 5. Tentukan hasilnya.
Pembahasan:
x > 2
x + 5 > 2 + 5
x + 5 > 7
x > 2
x + 5 > 2 + 5
x + 5 > 7
3. Diketahui x ≤ 10. Kedua ruas ditambah 4.
Pembahasan:
x + 4 ≤ 10 + 4
x + 4 ≤ 14
x + 4 ≤ 10 + 4
x + 4 ≤ 14
4. Diketahui x ≥ 1. Kedua ruas ditambah 6.
Pembahasan:
x + 6 ≥ 1 + 6
x + 6 ≥ 7
x + 6 ≥ 1 + 6
x + 6 ≥ 7
5. Tentukan penyelesaian x − 3 < 7.
Pembahasan:
Tambah 3 di kedua ruas:
x − 3 + 3 < 7 + 3
x < 10
Tambah 3 di kedua ruas:
x − 3 + 3 < 7 + 3
x < 10
6. Tentukan penyelesaian x − 5 > 2.
Pembahasan:
x − 5 + 5 > 2 + 5
x > 7
x − 5 + 5 > 2 + 5
x > 7
7. Tentukan penyelesaian x − 1 ≤ 9.
Pembahasan:
x − 1 + 1 ≤ 9 + 1
x ≤ 10
x − 1 + 1 ≤ 9 + 1
x ≤ 10
8. Tentukan penyelesaian x − 4 ≥ 0.
Pembahasan:
x − 4 + 4 ≥ 0 + 4
x ≥ 4
x − 4 + 4 ≥ 0 + 4
x ≥ 4
9. Jika 5 < 9, apakah 5 + 10 < 9 + 10?
Pembahasan:
5 + 10 = 15 dan 9 + 10 = 19
15 < 19 ✓ Benar, tanda tetap.
5 + 10 = 15 dan 9 + 10 = 19
15 < 19 ✓ Benar, tanda tetap.
10. Jika −2 < 4, tentukan apakah −2 + 3 < 4 + 3.
Pembahasan:
−2 + 3 = 1 dan 4 + 3 = 7
1 < 7 ✓ Benar.
−2 + 3 = 1 dan 4 + 3 = 7
1 < 7 ✓ Benar.
🟡 Sedang (5 Soal)
11. Tentukan penyelesaian 2x − 4 < 10 menggunakan sifat penjumlahan.
Pembahasan:
Tambah 4 di kedua ruas:
2x − 4 + 4 < 10 + 4
2x < 14
Bagi kedua ruas dengan 2:
x < 7
HP = {x | x < 7, x ∈ R}
Tambah 4 di kedua ruas:
2x − 4 + 4 < 10 + 4
2x < 14
Bagi kedua ruas dengan 2:
x < 7
HP = {x | x < 7, x ∈ R}
12. Tentukan penyelesaian 3x − 7 ≥ 8.
Pembahasan:
3x − 7 + 7 ≥ 8 + 7
3x ≥ 15
x ≥ 5
3x − 7 + 7 ≥ 8 + 7
3x ≥ 15
x ≥ 5
13. Tentukan penyelesaian x − 2,5 < 3,5.
Pembahasan:
x − 2,5 + 2,5 < 3,5 + 2,5
x < 6
x − 2,5 + 2,5 < 3,5 + 2,5
x < 6
14. Jika a < b dan c = 5, buktikan a + c < b + c dengan contoh a = 3, b = 8.
Pembahasan:
a = 3, b = 8, c = 5
Ruas kiri: 3 + 5 = 8
Ruas kanan: 8 + 5 = 13
8 < 13 ✓ Terbukti.
a = 3, b = 8, c = 5
Ruas kiri: 3 + 5 = 8
Ruas kanan: 8 + 5 = 13
8 < 13 ✓ Terbukti.
15. Tentukan penyelesaian 4x − 9 > 2x + 1 menggunakan sifat penjumlahan.
Pembahasan:
Tambah 9 di kedua ruas:
4x > 2x + 10
Kurangi 2x di kedua ruas (sifat pengurangan):
2x > 10
x > 5
Tambah 9 di kedua ruas:
4x > 2x + 10
Kurangi 2x di kedua ruas (sifat pengurangan):
2x > 10
x > 5
🔴 Sulit (5 Soal)
16. Tentukan penyelesaian 5(x − 2) + 3 < 2(x + 4).
Pembahasan:
Jabarkan: 5x − 10 + 3 < 2x + 8
5x − 7 < 2x + 8
Tambah 7: 5x < 2x + 15
Kurangi 2x: 3x < 15
x < 5
Jabarkan: 5x − 10 + 3 < 2x + 8
5x − 7 < 2x + 8
Tambah 7: 5x < 2x + 15
Kurangi 2x: 3x < 15
x < 5
17. Umur Andi 3 tahun lebih tua dari Budi. Jumlah umur mereka kurang dari 35 tahun. Tentukan umur maksimal Budi.
Pembahasan:
Misal umur Budi = x, maka umur Andi = x + 3
x + (x + 3) < 35
2x + 3 < 35
Tambah (−3) atau kurangi 3: 2x < 32
x < 16
Umur maksimal Budi adalah 15 tahun (bilangan bulat).
Misal umur Budi = x, maka umur Andi = x + 3
x + (x + 3) < 35
2x + 3 < 35
Tambah (−3) atau kurangi 3: 2x < 32
x < 16
Umur maksimal Budi adalah 15 tahun (bilangan bulat).
18. Tentukan penyelesaian 3(2x − 1) + 4 ≤ 5(x + 2) − 3.
Pembahasan:
6x − 3 + 4 ≤ 5x + 10 − 3
6x + 1 ≤ 5x + 7
Kurangi 5x: x + 1 ≤ 7
Kurangi 1: x ≤ 6
6x − 3 + 4 ≤ 5x + 10 − 3
6x + 1 ≤ 5x + 7
Kurangi 5x: x + 1 ≤ 7
Kurangi 1: x ≤ 6
19. Sebuah persegi panjang memiliki panjang (2x + 1) cm dan lebar (x − 2) cm. Jika keliling kurang dari 40 cm, tentukan nilai x.
Pembahasan:
Keliling = 2(p + l)
2[(2x+1) + (x−2)] < 40
2(3x − 1) < 40
6x − 2 < 40
Tambah 2: 6x < 42
x < 7
Syarat lebar positif: x − 2 > 0 → x > 2
Jadi 2 < x < 7
Keliling = 2(p + l)
2[(2x+1) + (x−2)] < 40
2(3x − 1) < 40
6x − 2 < 40
Tambah 2: 6x < 42
x < 7
Syarat lebar positif: x − 2 > 0 → x > 2
Jadi 2 < x < 7
20. Tentukan penyelesaian ½x − 3 < ¼x + 1.
Pembahasan:
Kalikan semua dengan 4 (KPK penyebut):
2x − 12 < x + 4
Kurangi x: x − 12 < 4
Tambah 12: x < 16
Kalikan semua dengan 4 (KPK penyebut):
2x − 12 < x + 4
Kurangi x: x − 12 < 4
Tambah 12: x < 16
📝 Latihan Soal — Penjumlahan
🟢 Mudah
1. Diketahui x < 5. Kedua ruas ditambah 7. Tentukan hasilnya.
2. Diketahui x > 3. Kedua ruas ditambah 4. Tentukan hasilnya.
3. Tentukan penyelesaian x − 6 < 4.
4. Tentukan penyelesaian x − 2 ≥ 8.
5. Tentukan penyelesaian x − 10 > 5.
6. Jika −3 < 2, apakah −3 + 4 < 2 + 4?
7. Tentukan penyelesaian x − 8 ≤ 0.
8. Diketahui x ≤ 12. Kedua ruas ditambah 3. Tentukan hasilnya.
9. Tentukan penyelesaian x − 1 < 11.
10. Jika 0 < 6, apakah 0 + 5 < 6 + 5? Jelaskan.
🟡 Sedang
11. Tentukan penyelesaian 3x − 5 < 16.
12. Tentukan penyelesaian 2x − 8 ≥ 4.
13. Tentukan penyelesaian 5x − 3 > 3x + 7.
14. Tentukan penyelesaian x − 1,5 ≤ 4,5.
15. Jika a < b, buktikan a + 7 < b + 7 dengan a = −1, b = 4.
🔴 Sulit
16. Tentukan penyelesaian 4(x − 3) + 5 < 3(x + 1).
17. Jumlah dua bilangan berurutan kurang dari 25. Tentukan bilangan terbesar yang mungkin.
18. Tentukan penyelesaian 2(3x − 4) ≤ 4(x + 1) + 2.
19. Panjang sebuah segitiga adalah (x+1), (x+3), dan (x+5). Jika keliling < 30, tentukan x.
20. Tentukan penyelesaian ⅓x − 2 < ⅙x + 3.
➖ Sifat 2: Pengurangan
👁️ Mengamati 🧠 Menalar
📌 Sifat Pengurangan
Jika kedua ruas pertidaksamaan dikurangi dengan bilangan yang sama, maka tanda pertidaksamaan tidak berubah.
Jika a < b, maka a − c < b − c
Jika a > b, maka a − c > b − c
Ilustrasi
Kita tahu 10 > 6. Kurangi 4 di kedua ruas:
🔬 Mencoba 💬 Mengkomunikasikan
📝 Contoh Soal — Pengurangan
🟢 Mudah (10 Soal)
1. Diketahui x > 9. Kedua ruas dikurangi 4.
Pembahasan:
x − 4 > 9 − 4
x − 4 > 5
x − 4 > 9 − 4
x − 4 > 5
2. Diketahui x < 15. Kedua ruas dikurangi 6.
Pembahasan:
x − 6 < 9
x − 6 < 9
3. Tentukan penyelesaian x + 5 > 12.
Pembahasan:
Kurangi 5: x > 7
Kurangi 5: x > 7
4. Tentukan penyelesaian x + 3 ≤ 10.
Pembahasan:
Kurangi 3: x ≤ 7
Kurangi 3: x ≤ 7
5. Tentukan penyelesaian x + 8 < 20.
Pembahasan:
Kurangi 8: x < 12
Kurangi 8: x < 12
6. Tentukan penyelesaian x + 1 ≥ 6.
Pembahasan:
Kurangi 1: x ≥ 5
Kurangi 1: x ≥ 5
7. Jika 12 > 7, apakah 12 − 5 > 7 − 5?
Pembahasan:
7 > 2 ✓ Benar.
7 > 2 ✓ Benar.
8. Diketahui x ≥ 20. Kedua ruas dikurangi 11.
Pembahasan:
x − 11 ≥ 9
x − 11 ≥ 9
9. Tentukan penyelesaian x + 7 < 7.
Pembahasan:
Kurangi 7: x < 0
Kurangi 7: x < 0
10. Jika −1 < 5, tentukan −1 − 3 … 5 − 3.
Pembahasan:
−4 < 2 ✓ Tanda tetap ” < “.
−4 < 2 ✓ Tanda tetap ” < “.
🟡 Sedang (5 Soal)
11. Tentukan penyelesaian 3x + 6 > 21.
Pembahasan:
Kurangi 6: 3x > 15
Bagi 3: x > 5
Kurangi 6: 3x > 15
Bagi 3: x > 5
12. Tentukan penyelesaian 2x + 9 ≤ 25.
Pembahasan:
Kurangi 9: 2x ≤ 16
Bagi 2: x ≤ 8
Kurangi 9: 2x ≤ 16
Bagi 2: x ≤ 8
13. Tentukan penyelesaian 4x + 3 < 2x + 11.
Pembahasan:
Kurangi 2x: 2x + 3 < 11
Kurangi 3: 2x < 8
x < 4
Kurangi 2x: 2x + 3 < 11
Kurangi 3: 2x < 8
x < 4
14. Tentukan penyelesaian 5x + 2 ≥ 3x + 12.
Pembahasan:
Kurangi 3x: 2x + 2 ≥ 12
Kurangi 2: 2x ≥ 10
x ≥ 5
Kurangi 3x: 2x + 2 ≥ 12
Kurangi 2: 2x ≥ 10
x ≥ 5
15. Tentukan penyelesaian x + 3,5 > 8,5.
Pembahasan:
Kurangi 3,5: x > 5
Kurangi 3,5: x > 5
🔴 Sulit (5 Soal)
16. Tentukan penyelesaian 3(x + 4) − 2 > 2(x + 5) + 1.
Pembahasan:
3x + 12 − 2 > 2x + 10 + 1
3x + 10 > 2x + 11
Kurangi 2x: x + 10 > 11
Kurangi 10: x > 1
3x + 12 − 2 > 2x + 10 + 1
3x + 10 > 2x + 11
Kurangi 2x: x + 10 > 11
Kurangi 10: x > 1
17. Sebuah toko memberi diskon sehingga harga setelah diskon = (harga − 5000). Jika harga setelah diskon harus kurang dari Rp45.000, tentukan harga awal maksimal.
Pembahasan:
Misal harga awal = x
x − 5000 < 45000
Tambah 5000: x < 50000
Harga awal kurang dari Rp50.000.
Misal harga awal = x
x − 5000 < 45000
Tambah 5000: x < 50000
Harga awal kurang dari Rp50.000.
18. Tentukan penyelesaian 2(4x + 1) − 3(x − 2) ≤ 28.
Pembahasan:
8x + 2 − 3x + 6 ≤ 28
5x + 8 ≤ 28
Kurangi 8: 5x ≤ 20
x ≤ 4
8x + 2 − 3x + 6 ≤ 28
5x + 8 ≤ 28
Kurangi 8: 5x ≤ 20
x ≤ 4
19. Tentukan penyelesaian ⅔x + 5 > 9.
Pembahasan:
Kurangi 5: ⅔x > 4
Kalikan ³⁄₂: x > 6
Kurangi 5: ⅔x > 4
Kalikan ³⁄₂: x > 6
20. Tentukan penyelesaian 5(x − 1) − 2(x + 3) > 3(x − 4) + 1.
Pembahasan:
5x − 5 − 2x − 6 > 3x − 12 + 1
3x − 11 > 3x − 11
0 > 0 → Tidak ada penyelesaian (HP = ∅)
5x − 5 − 2x − 6 > 3x − 12 + 1
3x − 11 > 3x − 11
0 > 0 → Tidak ada penyelesaian (HP = ∅)
📝 Latihan Soal — Pengurangan
🟢 Mudah
1. Diketahui x > 11. Kedua ruas dikurangi 5.
2. Tentukan penyelesaian x + 4 < 9.
3. Tentukan penyelesaian x + 6 ≥ 14.
4. Tentukan penyelesaian x + 10 > 10.
5. Jika 8 > 3, tentukan 8 − 2 … 3 − 2.
6. Tentukan penyelesaian x + 2 ≤ 5.
7. Diketahui x ≤ 18. Kedua ruas dikurangi 8.
8. Tentukan penyelesaian x + 9 < 15.
9. Tentukan penyelesaian x + 3 ≥ 3.
10. Jika −2 < 1, tentukan −2 − 4 … 1 − 4.
🟡 Sedang
11. Tentukan penyelesaian 4x + 7 < 23.
12. Tentukan penyelesaian 3x + 5 ≥ x + 13.
13. Tentukan penyelesaian 6x + 2 > 4x + 10.
14. Tentukan penyelesaian x + 2,8 ≤ 7,3.
15. Tentukan penyelesaian 7x − 3 > 5x + 9.
🔴 Sulit
16. Tentukan penyelesaian 2(3x + 1) − (x + 5) > 15.
17. Harga 3 buku dan 2 pensil adalah Rp27.000. Jika harga pensil Rp3.000, berapa harga maksimal satu buku jika total < Rp30.000?
18. Tentukan penyelesaian 4(x − 2) + 3(x + 1) ≤ 5(x + 3).
19. Tentukan penyelesaian ¾x + 2 > 5.
20. Tentukan penyelesaian 3(2x − 5) − 4(x − 1) ≤ 2(x + 3).
✖️ Sifat 3: Perkalian Bilangan Positif
👁️ Mengamati 🧠 Menalar
📌 Sifat Perkalian Bilangan Positif
Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan bilangan positif (c > 0), maka tanda pertidaksamaan tidak berubah.
Jika a < b dan c > 0, maka a × c < b × c
Jika a > b dan c > 0, maka a × c > b × c
Hal ini juga berlaku untuk pembagian bilangan positif (karena membagi = mengalikan kebalikan positif).
Ilustrasi
2 < 5. Kalikan kedua ruas dengan 3:
🔬 Mencoba 💬 Mengkomunikasikan
📝 Contoh Soal — Perkalian Positif
🟢 Mudah (10 Soal)
1. Tentukan penyelesaian 2x < 10.
Pembahasan:
Bagi 2 (positif), tanda tetap:
x < 5
Bagi 2 (positif), tanda tetap:
x < 5
2. Tentukan penyelesaian 3x > 12.
Pembahasan:
Bagi 3: x > 4
Bagi 3: x > 4
3. Tentukan penyelesaian 5x ≤ 25.
Pembahasan:
Bagi 5: x ≤ 5
Bagi 5: x ≤ 5
4. Tentukan penyelesaian 4x ≥ 20.
Pembahasan:
Bagi 4: x ≥ 5
Bagi 4: x ≥ 5
5. Tentukan penyelesaian 6x < 30.
Pembahasan:
Bagi 6: x < 5
Bagi 6: x < 5
6. Tentukan penyelesaian ½x > 3.
Pembahasan:
Kalikan 2 (positif): x > 6
Kalikan 2 (positif): x > 6
7. Jika 3 < 7, apakah 3 × 4 < 7 × 4?
Pembahasan:
12 < 28 ✓ Benar.
12 < 28 ✓ Benar.
8. Tentukan penyelesaian 10x ≤ 50.
Pembahasan:
Bagi 10: x ≤ 5
Bagi 10: x ≤ 5
9. Tentukan penyelesaian 7x > 21.
Pembahasan:
Bagi 7: x > 3
Bagi 7: x > 3
10. Tentukan penyelesaian ¼x < 2.
Pembahasan:
Kalikan 4: x < 8
Kalikan 4: x < 8
🟡 Sedang (5 Soal)
11. Tentukan penyelesaian 3x + 2 < 17.
Pembahasan:
Kurangi 2: 3x < 15
Bagi 3: x < 5
Kurangi 2: 3x < 15
Bagi 3: x < 5
12. Tentukan penyelesaian ⅔x ≥ 8.
Pembahasan:
Kalikan ³⁄₂ (positif): x ≥ 12
Kalikan ³⁄₂ (positif): x ≥ 12
13. Tentukan penyelesaian 2,5x < 10.
Pembahasan:
Bagi 2,5: x < 4
Bagi 2,5: x < 4
14. Tentukan penyelesaian 4x − 8 > 12.
Pembahasan:
Tambah 8: 4x > 20
Bagi 4: x > 5
Tambah 8: 4x > 20
Bagi 4: x > 5
15. Buktikan bahwa jika a < b dan c = 3, maka ac < bc, dengan a = 2, b = 6.
Pembahasan:
2 × 3 = 6 dan 6 × 3 = 18
6 < 18 ✓ Terbukti.
2 × 3 = 6 dan 6 × 3 = 18
6 < 18 ✓ Terbukti.
🔴 Sulit (5 Soal)
16. Tentukan penyelesaian ⅗x − 2 < 4.
Pembahasan:
Tambah 2: ⅗x < 6
Kalikan ⁵⁄₃: x < 10
Tambah 2: ⅗x < 6
Kalikan ⁵⁄₃: x < 10
17. Seorang pedagang menjual x buah barang seharga Rp5.000/buah. Ongkos kirim Rp15.000. Jika total harus kurang dari Rp100.000, berapa barang maksimal?
Pembahasan:
5000x + 15000 < 100000
5000x < 85000
x < 17
Maksimal 16 buah barang.
5000x + 15000 < 100000
5000x < 85000
x < 17
Maksimal 16 buah barang.
18. Tentukan penyelesaian 2(3x + 4) ≤ 5(x + 3) + 1.
Pembahasan:
6x + 8 ≤ 5x + 15 + 1
6x + 8 ≤ 5x + 16
Kurangi 5x: x + 8 ≤ 16
x ≤ 8
6x + 8 ≤ 5x + 15 + 1
6x + 8 ≤ 5x + 16
Kurangi 5x: x + 8 ≤ 16
x ≤ 8
19. Tentukan penyelesaian 0,3x + 1,2 > 0,1x + 2,4.
Pembahasan:
Kalikan 10: 3x + 12 > x + 24
Kurangi x: 2x + 12 > 24
Kurangi 12: 2x > 12
x > 6
Kalikan 10: 3x + 12 > x + 24
Kurangi x: 2x + 12 > 24
Kurangi 12: 2x > 12
x > 6
20. Luas persegi panjang = panjang × lebar. Jika panjang = 3x dan lebar = 4, dan luas ≤ 60, tentukan x.
Pembahasan:
3x × 4 ≤ 60
12x ≤ 60
Bagi 12: x ≤ 5
3x × 4 ≤ 60
12x ≤ 60
Bagi 12: x ≤ 5
📝 Latihan Soal — Perkalian Positif
🟢 Mudah
1. Tentukan penyelesaian 4x < 24.
2. Tentukan penyelesaian 5x > 35.
3. Tentukan penyelesaian 8x ≤ 40.
4. Tentukan penyelesaian ⅓x < 5.
5. Tentukan penyelesaian 2x ≥ 14.
6. Jika 1 < 4, apakah 1 × 5 < 4 × 5?
7. Tentukan penyelesaian 9x > 27.
8. Tentukan penyelesaian ½x ≤ 6.
9. Tentukan penyelesaian 3x < 9.
10. Tentukan penyelesaian ¼x ≥ 3.
🟡 Sedang
11. Tentukan penyelesaian 5x + 3 ≤ 28.
12. Tentukan penyelesaian ¾x > 9.
13. Tentukan penyelesaian 1,5x < 12.
14. Tentukan penyelesaian 6x − 4 ≥ 20.
15. Tentukan penyelesaian 2x + 1 < x + 8.
🔴 Sulit
16. Tentukan penyelesaian ⅖x − 3 > 1.
17. Harga tiket Rp8.000/orang. Jika total untuk x orang dengan tambahan pajak Rp10.000 harus ≤ Rp90.000, tentukan x.
18. Tentukan penyelesaian 3(2x − 1) ≤ 4(x + 2) + 3.
19. Tentukan penyelesaian 0,2x + 0,5 > 0,1x + 1,5.
20. Volume balok = p × l × t. Jika p = 2x, l = 3, t = 4, dan volume < 120, tentukan x.
🔄 Sifat 4: Perkalian Bilangan Negatif
👁️ Mengamati 🧠 Menalar
📌 Sifat Perkalian Bilangan Negatif (PENTING!)
Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan bilangan negatif (c < 0), maka tanda pertidaksamaan BERUBAH (dibalik).
Jika a < b dan c < 0, maka a × c > b × c
Jika a > b dan c < 0, maka a × c < b × c
⚠️ Ingat: Kalikan/bagi bilangan NEGATIF → BALIK tanda!
< menjadi > | > menjadi < | ≤ menjadi ≥ | ≥ menjadi ≤
Ilustrasi Mengapa Tanda Berubah
2 < 5. Kalikan kedua ruas dengan −1:
Perhatikan: posisi bilangan pada garis bilangan menjadi terbalik setelah dikalikan bilangan negatif.
❓ Menanya
Mengapa tanda berubah? Karena mengalikan bilangan negatif membalik urutan bilangan pada garis bilangan. Bilangan yang semula lebih kecil menjadi lebih besar, dan sebaliknya.
🔬 Mencoba 💬 Mengkomunikasikan
📝 Contoh Soal — Perkalian Negatif
🟢 Mudah (10 Soal)
1. Tentukan penyelesaian −x < 5.
Pembahasan:
Kalikan (−1), tanda berubah:
x > −5
Kalikan (−1), tanda berubah:
x > −5
2. Tentukan penyelesaian −2x > 8.
Pembahasan:
Bagi (−2), tanda berubah:
x < −4
Bagi (−2), tanda berubah:
x < −4
3. Tentukan penyelesaian −3x ≤ 12.
Pembahasan:
Bagi (−3), tanda berubah:
x ≥ −4
Bagi (−3), tanda berubah:
x ≥ −4
4. Tentukan penyelesaian −5x ≥ 15.
Pembahasan:
Bagi (−5), tanda berubah:
x ≤ −3
Bagi (−5), tanda berubah:
x ≤ −3
5. Tentukan penyelesaian −x > −7.
Pembahasan:
Kalikan (−1), tanda berubah:
x < 7
Kalikan (−1), tanda berubah:
x < 7
6. Tentukan penyelesaian −4x < 20.
Pembahasan:
Bagi (−4), tanda berubah:
x > −5
Bagi (−4), tanda berubah:
x > −5
7. Jika 3 < 8, tentukan 3 × (−2) … 8 × (−2).
Pembahasan:
−6 … −16
−6 > −16 ✓ Tanda berubah dari < menjadi >.
−6 … −16
−6 > −16 ✓ Tanda berubah dari < menjadi >.
8. Tentukan penyelesaian −6x ≤ 18.
Pembahasan:
Bagi (−6), tanda berubah:
x ≥ −3
Bagi (−6), tanda berubah:
x ≥ −3
9. Tentukan penyelesaian −x ≥ 0.
Pembahasan:
Kalikan (−1):
x ≤ 0
Kalikan (−1):
x ≤ 0
10. Tentukan penyelesaian −10x > −30.
Pembahasan:
Bagi (−10):
x < 3
Bagi (−10):
x < 3
🟡 Sedang (5 Soal)
11. Tentukan penyelesaian −2x + 6 > 12.
Pembahasan:
Kurangi 6: −2x > 6
Bagi (−2), tanda berubah:
x < −3
Kurangi 6: −2x > 6
Bagi (−2), tanda berubah:
x < −3
12. Tentukan penyelesaian 5 − 3x ≤ 14.
Pembahasan:
Kurangi 5: −3x ≤ 9
Bagi (−3), tanda berubah:
x ≥ −3
Kurangi 5: −3x ≤ 9
Bagi (−3), tanda berubah:
x ≥ −3
13. Tentukan penyelesaian 8 − 4x > 0.
Pembahasan:
Kurangi 8: −4x > −8
Bagi (−4):
x < 2
Kurangi 8: −4x > −8
Bagi (−4):
x < 2
14. Tentukan penyelesaian 3 − x ≥ 7.
Pembahasan:
Kurangi 3: −x ≥ 4
Kalikan (−1):
x ≤ −4
Kurangi 3: −x ≥ 4
Kalikan (−1):
x ≤ −4
15. Tentukan penyelesaian 10 − 2x < 4.
Pembahasan:
Kurangi 10: −2x < −6
Bagi (−2):
x > 3
Kurangi 10: −2x < −6
Bagi (−2):
x > 3
🔴 Sulit (5 Soal)
16. Tentukan penyelesaian −2(x + 3) > 4(1 − x).
Pembahasan:
−2x − 6 > 4 − 4x
Tambah 4x: 2x − 6 > 4
Tambah 6: 2x > 10
x > 5
−2x − 6 > 4 − 4x
Tambah 4x: 2x − 6 > 4
Tambah 6: 2x > 10
x > 5
17. Suhu ruangan turun 2°C setiap jam. Suhu awal 30°C. Setelah x jam, suhu harus tetap di atas 18°C. Tentukan x.
Pembahasan:
Suhu setelah x jam: 30 − 2x
30 − 2x > 18
Kurangi 30: −2x > −12
Bagi (−2), tanda berubah:
x < 6
Suhu di atas 18°C selama kurang dari 6 jam.
Suhu setelah x jam: 30 − 2x
30 − 2x > 18
Kurangi 30: −2x > −12
Bagi (−2), tanda berubah:
x < 6
Suhu di atas 18°C selama kurang dari 6 jam.
18. Tentukan penyelesaian −3(2x − 1) + 4 ≤ −2(x + 5).
Pembahasan:
−6x + 3 + 4 ≤ −2x − 10
−6x + 7 ≤ −2x − 10
Tambah 6x: 7 ≤ 4x − 10
Tambah 10: 17 ≤ 4x
x ≥ 4,25
−6x + 3 + 4 ≤ −2x − 10
−6x + 7 ≤ −2x − 10
Tambah 6x: 7 ≤ 4x − 10
Tambah 10: 17 ≤ 4x
x ≥ 4,25
19. Tentukan penyelesaian −½x + 3 > −¼x + 1.
Pembahasan:
Kalikan 4: −2x + 12 > −x + 4
Tambah 2x: 12 > x + 4
Kurangi 4: x < 8
Kalikan 4: −2x + 12 > −x + 4
Tambah 2x: 12 > x + 4
Kurangi 4: x < 8
20. Air dalam tangki berkurang 5 liter/jam. Volume awal 200 liter. Jika volume harus ≥ 50 liter, berapa jam maksimal?
Pembahasan:
200 − 5x ≥ 50
Kurangi 200: −5x ≥ −150
Bagi (−5), tanda berubah:
x ≤ 30
Maksimal 30 jam.
200 − 5x ≥ 50
Kurangi 200: −5x ≥ −150
Bagi (−5), tanda berubah:
x ≤ 30
Maksimal 30 jam.
📝 Latihan Soal — Perkalian Negatif
🟢 Mudah
1. Tentukan penyelesaian −x < 3.
2. Tentukan penyelesaian −2x > 10.
3. Tentukan penyelesaian −4x ≤ 16.
4. Tentukan penyelesaian −3x ≥ 9.
5. Tentukan penyelesaian −x > −4.
6. Jika 2 < 6, tentukan 2 × (−3) … 6 × (−3).
7. Tentukan penyelesaian −7x < 21.
8. Tentukan penyelesaian −5x ≥ −25.
9. Tentukan penyelesaian −x ≤ 10.
10. Tentukan penyelesaian −8x > −24.
🟡 Sedang
11. Tentukan penyelesaian −3x + 9 > 18.
12. Tentukan penyelesaian 7 − 2x ≤ 13.
13. Tentukan penyelesaian 12 − 5x > 2.
14. Tentukan penyelesaian 4 − x ≥ 9.
15. Tentukan penyelesaian 15 − 3x < 6.
🔴 Sulit
16. Tentukan penyelesaian −3(x − 2) > 2(3 − 2x).
17. Tabungan Rani berkurang Rp3.000/hari. Jika tabungan awal Rp90.000 dan harus ≥ Rp30.000, berapa hari maksimal?
18. Tentukan penyelesaian −2(3x + 1) ≤ −4(x − 3).
19. Tentukan penyelesaian −⅓x + 2 > −⅙x + 5.
20. Bak air bocor 3 liter/jam. Volume awal 150 liter. Berapa jam sampai volume < 60 liter?
📝 Rangkuman
| Sifat | Operasi | Tanda |
|---|---|---|
| Penjumlahan | Tambah bilangan sama di kedua ruas | Tetap ✓ |
| Pengurangan | Kurangi bilangan sama di kedua ruas | Tetap ✓ |
| Perkalian Positif | Kalikan bilangan positif di kedua ruas | Tetap ✓ |
| Perkalian Negatif | Kalikan bilangan negatif di kedua ruas | BERUBAH (Dibalik) ⚠️ |
💡 Tips Mengingat:
- Positif (tambah, kurang, kali positif) → tanda TETAP
- Negatif (kali/bagi negatif) → tanda DIBALIK
- Cara mudah: “Negatif = Balik”
Materi Matematika — Sifat-Sifat Pertidaksamaan Linear Satu Variabel