Representasi Garis Bilangan pada Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Fokus: Titik Terbuka, Titik Tertutup, dan Arsiran Interval
1. Titik Terbuka (Open Point)
Perhatikan garis bilangan berikut:
Gambar: Garis bilangan x < 3. Perhatikan lingkaran terbuka (tidak terisi) pada angka 3.
- Mengapa lingkaran pada angka 3 tidak diisi (terbuka)?
- Apa arti titik terbuka pada garis bilangan?
- Kapan kita menggunakan titik terbuka?
Titik terbuka (lingkaran kosong/tidak terisi) digunakan pada garis bilangan ketika nilai batas TIDAK termasuk dalam himpunan penyelesaian.
Titik terbuka digunakan pada pertidaksamaan yang menggunakan tanda:
| Simbol | Dibaca | Contoh | Arti |
|---|---|---|---|
| < | Kurang dari | x < 3 | x kurang dari 3 (3 tidak termasuk) |
| > | Lebih dari | x > 3 | x lebih dari 3 (3 tidak termasuk) |
Gambarlah garis bilangan untuk x > 2:
Angka 2 ditandai titik terbuka karena 2 tidak termasuk penyelesaian. Arsiran ke kanan menunjukkan semua nilai lebih dari 2.
Ringkasan:
- Titik terbuka = lingkaran kosong ○
- Digunakan untuk tanda < dan >
- Artinya: nilai pada titik tersebut TIDAK termasuk penyelesaian
- Notasi interval: menggunakan tanda kurung biasa ( )
2. Titik Tertutup (Closed Point)
Perhatikan garis bilangan berikut:
Gambar: Garis bilangan x ≤ 3. Perhatikan lingkaran tertutup (terisi penuh) pada angka 3.
- Mengapa lingkaran pada angka 3 diisi penuh (tertutup)?
- Apa bedanya titik tertutup dan titik terbuka?
- Kapan kita menggunakan titik tertutup?
Titik tertutup (lingkaran terisi penuh) digunakan pada garis bilangan ketika nilai batas TERMASUK dalam himpunan penyelesaian.
Titik tertutup digunakan pada pertidaksamaan yang menggunakan tanda:
| Simbol | Dibaca | Contoh | Arti |
|---|---|---|---|
| ≤ | Kurang dari atau sama dengan | x ≤ 3 | x kurang dari atau sama dengan 3 (3 termasuk) |
| ≥ | Lebih dari atau sama dengan | x ≥ 3 | x lebih dari atau sama dengan 3 (3 termasuk) |
Gambarlah garis bilangan untuk x ≥ 1:
Angka 1 ditandai titik tertutup karena 1 TERMASUK penyelesaian. Arsiran ke kanan menunjukkan semua nilai ≥ 1.
Ringkasan:
- Titik tertutup = lingkaran terisi ●
- Digunakan untuk tanda ≤ dan ≥
- Artinya: nilai pada titik tersebut TERMASUK penyelesaian
- Notasi interval: menggunakan tanda kurung siku [ ]
3. Arsiran Interval
Perhatikan berbagai bentuk arsiran pada garis bilangan:
a) Arsiran ke kiri: x < 2
b) Arsiran ke kanan: x ≥ 1
c) Arsiran terbatas (interval): 1 < x ≤ 4
- Bagaimana menentukan arah arsiran pada garis bilangan?
- Apa yang dimaksud interval terbatas dan tidak terbatas?
- Bagaimana menuliskan notasi interval dari garis bilangan?
Arsiran pada garis bilangan menunjukkan himpunan semua nilai yang memenuhi pertidaksamaan.
Aturan Arah Arsiran:
| Pertidaksamaan | Arah Arsiran | Titik | Notasi Interval |
|---|---|---|---|
| x < a | ← ke kiri | Terbuka ○ | (-∞, a) |
| x ≤ a | ← ke kiri | Tertutup ● | (-∞, a] |
| x > a | → ke kanan | Terbuka ○ | (a, +∞) |
| x ≥ a | → ke kanan | Tertutup ● | [a, +∞) |
| a < x < b | Antara a dan b | Terbuka ○ ○ | (a, b) |
| a ≤ x ≤ b | Antara a dan b | Tertutup ● ● | [a, b] |
| a < x ≤ b | Antara a dan b | ○ dan ● | (a, b] |
| a ≤ x < b | Antara a dan b | ● dan ○ | [a, b) |
• Tanda kurung biasa ( ) → titik terbuka → nilai batas TIDAK termasuk
• Tanda kurung siku [ ] → titik tertutup → nilai batas TERMASUK
• Simbol ∞ (tak hingga) selalu menggunakan kurung biasa karena tak hingga bukan bilangan nyata
Gambarlah garis bilangan untuk -2 ≤ x < 3:
Titik tertutup pada -2 (termasuk), titik terbuka pada 3 (tidak termasuk). Notasi interval: [-2, 3)
Ringkasan Arsiran Interval:
- Arsiran ke kiri = nilai x lebih kecil dari batas
- Arsiran ke kanan = nilai x lebih besar dari batas
- Arsiran di antara dua titik = interval terbatas
- Selalu perhatikan jenis titik (terbuka/tertutup) pada batas interval
4. Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah (10 Soal)
Soal 1. Gambarkan garis bilangan untuk x > 2
Langkah:
- Tentukan nilai batas: x = 2
- Tanda > berarti 2 TIDAK termasuk → gunakan titik terbuka ○
- Arah arsiran: ke kanan (nilai lebih besar dari 2)
Notasi interval: (2, +∞)
Soal 2. Gambarkan garis bilangan untuk x ≤ 4
Langkah:
- Nilai batas: x = 4
- Tanda ≤ berarti 4 TERMASUK → titik tertutup ●
- Arah arsiran: ke kiri (nilai ≤ 4)
Notasi interval: (-∞, 4]
Soal 3. Gambarkan garis bilangan untuk x < -1
- Nilai batas: x = -1
- Tanda < → titik terbuka ○
- Arsiran ke kiri
Notasi interval: (-∞, -1)
Soal 4. Gambarkan garis bilangan untuk x ≥ 0
- Nilai batas: x = 0
- Tanda ≥ → titik tertutup ●
- Arsiran ke kanan
Notasi interval: [0, +∞)
Soal 5. Gambarkan garis bilangan untuk x > -3
- Nilai batas: x = -3
- Tanda > → titik terbuka ○
- Arsiran ke kanan
Notasi interval: (-3, +∞)
Soal 6. Gambarkan garis bilangan untuk x ≤ -2
- Nilai batas: x = -2, tanda ≤ → titik tertutup ●, arsiran ke kiri
Notasi interval: (-∞, -2]
Soal 7. Gambarkan garis bilangan untuk x < 5
Tanda < → titik terbuka pada 5, arsiran ke kiri. Notasi: (-∞, 5)
Soal 8. Gambarkan garis bilangan untuk x ≥ -5
Tanda ≥ → titik tertutup pada -5, arsiran ke kanan. Notasi: [-5, +∞)
Soal 9. Tentukan notasi interval dari pertidaksamaan x > 7
x > 7 → 7 tidak termasuk → kurung biasa. Notasi: (7, +∞)
Soal 10. Tentukan notasi interval dari pertidaksamaan x ≤ 10
x ≤ 10 → 10 termasuk → kurung siku. Notasi: (-∞, 10]
Sedang (5 Soal)
Soal 11. Selesaikan 2x + 3 < 9, lalu gambarkan garis bilangannya.
- 2x + 3 < 9
- 2x < 9 – 3
- 2x < 6
- x < 3
Titik terbuka pada 3, arsiran ke kiri. Notasi: (-∞, 3)
Soal 12. Selesaikan -3x + 6 ≥ 0, lalu gambarkan garis bilangannya.
- -3x + 6 ≥ 0
- -3x ≥ -6
- x ≤ 2 (tanda balik karena dibagi bilangan negatif!)
Penting: Saat membagi/mengali dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan DIBALIK!
Notasi: (-∞, 2]
Soal 13. Selesaikan 1 ≤ 2x – 3 < 7, lalu gambarkan garis bilangannya.
- 1 ≤ 2x – 3 < 7
- 1 + 3 ≤ 2x < 7 + 3 (tambah 3 di semua ruas)
- 4 ≤ 2x < 10
- 2 ≤ x < 5 (bagi 2 di semua ruas)
Titik tertutup pada 2, titik terbuka pada 5. Notasi: [2, 5)
Soal 14. Selesaikan 4 – x > 1, lalu gambarkan garis bilangannya.
- 4 – x > 1
- -x > 1 – 4
- -x > -3
- x < 3 (tanda balik!)
Titik terbuka pada 3, arsiran ke kiri. Notasi: (-∞, 3)
Soal 15. Selesaikan 3(x – 2) ≥ x + 4, lalu gambarkan garis bilangannya.
- 3x – 6 ≥ x + 4
- 3x – x ≥ 4 + 6
- 2x ≥ 10
- x ≥ 5
Titik tertutup pada 5, arsiran ke kanan. Notasi: [5, +∞)
Sulit (5 Soal)
Soal 16. Selesaikan -2 < (3x + 1)/2 ≤ 5, gambarkan garis bilangannya dan tuliskan notasi intervalnya.
- -2 < (3x + 1)/2 ≤ 5
- -4 < 3x + 1 ≤ 10 (kali 2)
- -5 < 3x ≤ 9 (kurangi 1)
- -5/3 < x ≤ 3 (bagi 3)
Notasi interval: (-5/3, 3]
Soal 17. Selesaikan |x – 2| < 4 dan gambarkan garis bilangannya.
- |x – 2| < 4 berarti -4 < x – 2 < 4
- -4 + 2 < x < 4 + 2
- -2 < x < 6
Kedua titik terbuka. Notasi: (-2, 6)
Soal 18. Selesaikan (2x – 1)/3 + 1 ≥ (x + 2)/2 dan gambarkan garis bilangannya.
- KPK penyebut = 6. Kalikan semua ruas dengan 6:
- 2(2x – 1) + 6 ≥ 3(x + 2)
- 4x – 2 + 6 ≥ 3x + 6
- 4x + 4 ≥ 3x + 6
- 4x – 3x ≥ 6 – 4
- x ≥ 2
Titik tertutup pada 2, arsiran ke kanan. Notasi: [2, +∞)
Soal 19. Selesaikan -1 ≤ (4 – 2x)/3 < 2 dan gambarkan garis bilangannya.
- Kali 3: -3 ≤ 4 – 2x < 6
- Kurangi 4: -7 ≤ -2x < 2
- Bagi -2 (tanda BALIK): -1 < x ≤ 7/2
Titik terbuka pada -1, titik tertutup pada 7/2. Notasi: (-1, 7/2]
Soal 20. Selesaikan 2(3 – x) < 5x – (x + 1) dan gambarkan garis bilangannya.
- 6 – 2x < 5x – x – 1
- 6 – 2x < 4x – 1
- 6 + 1 < 4x + 2x
- 7 < 6x
- x > 7/6
Titik terbuka pada 7/6, arsiran ke kanan. Notasi: (7/6, +∞)
5. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut. Gambarkan garis bilangan dan tuliskan notasi intervalnya.
Mudah (10 Soal)
1. Gambarkan garis bilangan untuk x > 4
2. Gambarkan garis bilangan untuk x ≤ 1
3. Gambarkan garis bilangan untuk x < -3
4. Gambarkan garis bilangan untuk x ≥ -1
5. Gambarkan garis bilangan untuk x > 0
6. Tuliskan notasi interval dari x ≤ 6
7. Tuliskan notasi interval dari x > -2
8. Tentukan jenis titik (terbuka/tertutup) untuk x ≥ 5
9. Tentukan arah arsiran untuk x < 8
10. Gambarkan garis bilangan untuk x ≥ 3
Sedang (5 Soal)
11. Selesaikan 3x – 5 > 7 dan gambarkan garis bilangannya
12. Selesaikan -2x + 4 ≤ 10 dan gambarkan garis bilangannya
13. Selesaikan 2 < x + 3 ≤ 8 dan tuliskan notasi intervalnya
14. Selesaikan 5 – 2x < 3 dan gambarkan garis bilangannya
15. Selesaikan 2(x + 1) ≥ x + 5 dan gambarkan garis bilangannya
Sulit (5 Soal)
16. Selesaikan -3 < (2x – 4)/3 ≤ 2 dan gambarkan garis bilangannya
17. Selesaikan |x + 3| ≤ 5 dan gambarkan garis bilangannya
18. Selesaikan (x – 1)/2 + (x + 3)/4 < 3 dan gambarkan garis bilangannya
19. Selesaikan -1 ≤ (5 – 3x)/2 < 4 dan gambarkan garis bilangannya
20. Selesaikan 3(2x – 1) – 2(x + 4) > x + 1 dan gambarkan garis bilangannya