📖 Pendahuluan

🔍 Mengamati

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai situasi yang melibatkan ketidaksamaan. Misalnya:

  • Usia minimum untuk membuat SIM adalah 17 tahun → usia ≥ 17
  • Kecepatan maksimum di jalan tol adalah 100 km/jam → kecepatan ≤ 100
  • Harga barang kurang dari Rp50.000 → harga < 50.000

Situasi-situasi tersebut dapat dimodelkan secara matematika menggunakan pertidaksamaan linear satu variabel (PtLSV).

Pengertian

Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV) adalah kalimat terbuka yang memuat satu variabel berpangkat satu dan dihubungkan oleh tanda ketidaksamaan: > , < , ≥ , atau ≤.

Bentuk Umum PtLSV

Bentuk Dibaca Arti
ax + b > c lebih dari Ruas kiri lebih besar dari ruas kanan
ax + b < c kurang dari Ruas kiri lebih kecil dari ruas kanan
ax + b ≥ c lebih dari atau sama dengan Ruas kiri lebih besar atau sama dengan ruas kanan
ax + b ≤ c kurang dari atau sama dengan Ruas kiri lebih kecil atau sama dengan ruas kanan

Keterangan: a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0; x adalah variabel.

❓ Menanya

Pertanyaan Kunci:

  1. Apa perbedaan antara persamaan linear dan pertidaksamaan linear?
  2. Bagaimana cara menyelesaikan setiap bentuk pertidaksamaan?
  3. Apa yang terjadi jika kedua ruas dikalikan/dibagi bilangan negatif?
🧠 Menalar

Sifat-Sifat Pertidaksamaan

Sifat 1: Penjumlahan/Pengurangan

Kedua ruas boleh ditambah atau dikurangi bilangan yang sama tanpa mengubah arah tanda.

Jika a > b, maka a + c > b + c dan a − c > b − c

Sifat 2: Perkalian/Pembagian Bilangan Positif

Kedua ruas boleh dikalikan atau dibagi bilangan positif tanpa mengubah arah tanda.

Jika a > b dan c > 0, maka ac > bc

⚠️ Sifat 3: Perkalian/Pembagian Bilangan Negatif

Kedua ruas dikalikan atau dibagi bilangan negatif, maka arah tanda BERBALIK.

Jika a > b dan c < 0, maka ac < bc

Ini adalah aturan paling penting yang sering dilupakan!

Notasi dan Garis Bilangan

Pertidaksamaan Notasi Himpunan Notasi Interval Garis Bilangan
x > a {x | x > a} (a, ∞) Lingkaran terbuka di a, arsir ke kanan →
x < a {x | x < a} (−∞, a) ← Arsir ke kiri, lingkaran terbuka di a
x ≥ a {x | x ≥ a} [a, ∞) Lingkaran tertutup di a, arsir ke kanan →
x ≤ a {x | x ≤ a} (−∞, a] ← Arsir ke kiri, lingkaran tertutup di a

Keterangan simbol:

  • ( ) = kurung biasa → titik ujung tidak termasuk (terbuka)
  • [ ] = kurung siku → titik ujung termasuk (tertutup)
  • ○ = lingkaran terbuka (tidak termasuk)
  • ● = lingkaran tertutup (termasuk)

Ilustrasi Garis Bilangan

x > 2 → Notasi interval: (2, ∞)

2

x < 2 → Notasi interval: (−∞, 2)

2

x ≥ 2 → Notasi interval: [2, ∞)

2

x ≤ 2 → Notasi interval: (−∞, 2]

2
🔧 Mencoba

Kegiatan:

Coba tentukan apakah kalimat berikut termasuk PtLSV atau bukan:

  1. 3x + 2 > 8 → PtLSV ✓
  2. x² + 1 < 5 → Bukan (pangkat 2)
  3. 2x − 4 = 10 → Bukan (persamaan, bukan pertidaksamaan)
  4. 5 − x ≥ 0 → PtLSV ✓

Langkah-Langkah Menyelesaikan PtLSV

  1. Sederhanakan kedua ruas jika perlu (hilangkan kurung, gabungkan suku sejenis)
  2. Pindahkan suku yang mengandung variabel ke ruas kiri dan konstanta ke ruas kanan
  3. Bagi kedua ruas dengan koefisien variabel
    ⚠️ Jika dibagi bilangan negatif, BALIK arah tanda!
  4. Tuliskan himpunan penyelesaian dalam notasi himpunan atau interval
  5. Gambarkan pada garis bilangan (opsional)

1. Bentuk ax + b > c

Pertidaksamaan “lebih dari”

🔍 Mengamati

Bentuk ax + b > c berarti kita mencari semua nilai x sehingga ruas kiri lebih besar (tidak termasuk sama dengan) dari ruas kanan.

Prosedur Penyelesaian:
ax + b > c
ax > c − b   (kurangi b di kedua ruas)
x > (c − b)/a   (bagi kedua ruas dengan a; jika a < 0 tanda berbalik!)
❓ Menanya

Kapan tanda pertidaksamaan berubah saat menyelesaikan ax + b > c?

Jawab: Ketika koefisien a bernilai negatif dan kita membagi kedua ruas dengan a, tanda > berubah menjadi <.

🧠 Menalar

Contoh Konsep:

Diketahui 2x + 3 > 7. Kita ilustrasikan langkah demi langkah:

Langkah 1: 2x + 3 > 7
Langkah 2: 2x > 7 − 3 → 2x > 4
Langkah 3: x > 4/2 → x > 2
HP = {x | x > 2} = (2, ∞)

Garis bilangan:

2

📝 Contoh Soal: ax + b > c

🟢 Tingkat Mudah (10 Soal)

1. Selesaikan x + 3 > 5

2. Selesaikan x + 1 > 4

3. Selesaikan 2x + 1 > 5

4. Selesaikan 3x + 2 > 8

5. Selesaikan x − 2 > 1

6. Selesaikan 4x + 3 > 11

7. Selesaikan x + 7 > 10

8. Selesaikan 5x + 4 > 9

9. Selesaikan 2x − 1 > 3

10. Selesaikan x + 5 > 6

🟡 Tingkat Sedang (5 Soal)

1. Selesaikan 3x − 5 > 2x + 4

2. Selesaikan 2(x + 3) > 10

3. Selesaikan 4x + 7 > 3(x + 5)

4. Selesaikan (x + 1)/2 > 3

5. Selesaikan 5(x − 2) > 3(x + 4)

🔴 Tingkat Sulit (5 Soal)

1. Selesaikan −2x + 5 > 11

2. Selesaikan −3(x − 4) > 2(x + 1)

3. Selesaikan (2x − 3)/4 > (x + 1)/3

4. Selesaikan −(4x + 2)/3 > (x − 5)/2

5. Selesaikan 3(2x − 1) − 4(x + 2) > 2x − 15

✏️ Latihan Soal: ax + b > c

🟢 Mudah

1. x + 4 > 7
2. 2x + 3 > 9
3. x − 1 > 5
4. 3x + 1 > 10
5. x + 8 > 12
6. 4x + 2 > 14
7. x − 3 > 0
8. 2x + 5 > 11
9. 5x + 1 > 16
10. x + 2 > 8

🟡 Sedang

1. 4x − 3 > 2x + 7
2. 3(x + 2) > 15
3. 5x + 1 > 3(x + 5)
4. (x + 3)/2 > 4
5. 2(3x − 1) > 4(x + 3)

🔴 Sulit

1. −3x + 7 > 16
2. −2(x + 5) > 3(x − 2)
3. (3x − 2)/5 > (x + 4)/3
4. −(2x + 1)/4 > (3x − 7)/6
5. 2(x − 3) − 5(x + 1) > −3x + 4
📢 Mengkomunikasikan

Kegiatan Diskusi:

Diskusikan dengan teman sebangku: Mengapa pada soal sulit nomor 1 (−2x + 5 > 11), hasilnya menjadi x < −3 (tanda berbalik)? Jelaskan dengan kata-katamu sendiri.

2. Bentuk ax + b < c

Pertidaksamaan “kurang dari”

🔍 Mengamati

Bentuk ax + b < c berarti kita mencari semua nilai x sehingga ruas kiri lebih kecil dari ruas kanan.

Prosedur Penyelesaian:
ax + b < c
ax < c − b
x < (c − b)/a   (jika a > 0)
x > (c − b)/a   (jika a < 0, tanda berbalik!)
❓ Menanya

Apa perbedaan solusi x + 2 > 5 dan x + 2 < 5?

Jawab: Yang pertama menghasilkan x > 3 (ke kanan), sedangkan yang kedua menghasilkan x < 3 (ke kiri). Keduanya saling komplemen.

🧠 Menalar

Contoh Konsep:

3x + 4 < 13
3x < 9
x < 3
HP = {x | x < 3} = (−∞, 3)
3

📝 Contoh Soal: ax + b < c

🟢 Tingkat Mudah (10 Soal)

1. x + 2 < 6

2. x + 5 < 9

3. 2x + 3 < 7

4. 3x + 1 < 10

5. x − 1 < 4

6. 4x + 2 < 18

7. x + 6 < 10

8. 5x + 3 < 18

9. 2x − 3 < 5

10. x + 3 < 8

🟡 Tingkat Sedang (5 Soal)

1. 4x − 2 < 3x + 5

2. 2(x + 4) < 14

3. 5x + 3 < 2(x + 9)

4. (x − 1)/3 < 2

5. 3(x − 1) < 2(x + 4)

🔴 Tingkat Sulit (5 Soal)

1. −4x + 3 < 15

2. −2(3x + 1) < 4(2 − x)

3. (3x + 1)/2 < (5x − 3)/4

4. (x − 2)/3 − (2x + 1)/6 < 1

5. 4(x − 1) − 3(2x + 5) < −x + 2

✏️ Latihan Soal: ax + b < c

🟢 Mudah

1. x + 3 < 7
2. 2x + 1 < 9
3. x − 2 < 6
4. 3x + 4 < 13
5. x + 7 < 11
6. 4x + 1 < 17
7. x − 5 < 2
8. 2x + 4 < 10
9. 5x + 2 < 22
10. x + 1 < 9

🟡 Sedang

1. 3x − 5 < 2x + 3
2. 4(x + 1) < 20
3. 6x + 2 < 4(x + 3)
4. (x + 5)/2 < 6
5. 2(x − 3) < 3(x − 5)

🔴 Sulit

1. −5x + 2 < 17
2. −3(x − 2) < 2(4 − x)
3. (2x − 1)/3 < (4x + 5)/6
4. (x + 3)/4 − (2x − 1)/8 < 2
5. 5(x − 2) − 3(2x + 1) < 2x − 7
📢 Mengkomunikasikan

Buatlah satu contoh soal cerita dari kehidupan sehari-hari yang menggunakan pertidaksamaan ax + b < c, kemudian selesaikan!

3. Bentuk ax + b ≥ c

Pertidaksamaan “lebih dari atau sama dengan”

🔍 Mengamati

Tanda ≥ berarti ruas kiri bisa sama dengan atau lebih besar dari ruas kanan. Ini berbeda dari > yang tidak termasuk titik batas.

Perbedaan Penting:
x > 3 → titik 3 tidak termasuk (lingkaran terbuka ○)
x ≥ 3 → titik 3 termasuk (lingkaran tertutup ●)
❓ Menanya

Apa contoh kehidupan sehari-hari yang menggunakan tanda ≥?

Jawab: “Usia minimal 17 tahun untuk membuat SIM” → usia ≥ 17. Angka 17 termasuk karena tepat 17 tahun boleh.

🧠 Menalar
Prosedur:
ax + b ≥ c
ax ≥ c − b
x ≥ (c − b)/a  (jika a > 0)
x ≤ (c − b)/a  (jika a < 0, tanda berbalik!)
🔧 Mencoba

Contoh: 2x − 4 ≥ 6

2x ≥ 10
x ≥ 5
HP = {x | x ≥ 5} = [5, ∞)
5

Perhatikan: lingkaran di angka 5 tertutup (●) karena 5 termasuk penyelesaian.

📝 Contoh Soal: ax + b ≥ c

🟢 Tingkat Mudah (10 Soal)

1. x + 1 ≥ 4

2. x + 5 ≥ 8

3. 2x + 2 ≥ 8

4. 3x + 3 ≥ 12

5. x − 2 ≥ 5

6. 4x + 1 ≥ 13

7. x + 4 ≥ 9

8. 5x + 5 ≥ 20

9. 2x − 1 ≥ 7

10. x + 6 ≥ 10

🟡 Tingkat Sedang (5 Soal)

1. 3x − 4 ≥ 2x + 1

2. 2(x + 3) ≥ 14

3. 4x + 5 ≥ 3(x + 4)

4. (x + 2)/3 ≥ 4

5. 5(x − 1) ≥ 3(x + 3)

🔴 Tingkat Sulit (5 Soal)

1. −3x + 8 ≥ 14

2. −2(x + 3) ≥ 3(4 − x)

3. (4x − 1)/3 ≥ (2x + 5)/2

4. −(3x + 2)/4 ≥ (x − 6)/2

5. 2(3x − 4) − 5(x + 1) ≥ 3x − 17

✏️ Latihan Soal: ax + b ≥ c

🟢 Mudah

1. x + 2 ≥ 6
2. 2x + 3 ≥ 11
3. x − 4 ≥ 1
4. 3x + 2 ≥ 14
5. x + 9 ≥ 12
6. 4x + 3 ≥ 15
7. x − 1 ≥ 7
8. 2x + 6 ≥ 14
9. 5x + 2 ≥ 17
10. x + 3 ≥ 10

🟡 Sedang

1. 4x − 1 ≥ 3x + 6
2. 3(x + 5) ≥ 21
3. 5x + 2 ≥ 2(x + 7)
4. (x − 1)/4 ≥ 2
5. 3(2x − 1) ≥ 4(x + 2)

🔴 Sulit

1. −4x + 5 ≥ 17
2. −3(x + 1) ≥ 2(5 − x)
3. (5x − 2)/3 ≥ (3x + 4)/2
4. (2x + 1)/6 − (x − 3)/3 ≥ 1
5. 4(x − 2) − 3(2x + 3) ≥ −2x + 1
📢 Mengkomunikasikan

Jelaskan perbedaan antara garis bilangan untuk x > 5 dan x ≥ 5. Apa yang membedakan keduanya?

4. Bentuk ax + b ≤ c

Pertidaksamaan “kurang dari atau sama dengan”

🔍 Mengamati

Tanda ≤ berarti ruas kiri bisa sama dengan atau lebih kecil dari ruas kanan.

Contoh dalam kehidupan:
“Berat maksimum koper di pesawat adalah 20 kg” → berat ≤ 20
“Kecepatan di area sekolah tidak boleh lebih dari 30 km/jam” → kecepatan ≤ 30
❓ Menanya

Apa perbedaan x < 5 dan x ≤ 5?

Jawab: Pada x < 5, angka 5 tidak termasuk. Pada x ≤ 5, angka 5 termasuk penyelesaian.

🧠 Menalar
Prosedur:
ax + b ≤ c
ax ≤ c − b
x ≤ (c − b)/a  (jika a > 0)
x ≥ (c − b)/a  (jika a < 0, tanda berbalik!)
🔧 Mencoba

Contoh: 3x + 6 ≤ 15

3x ≤ 9
x ≤ 3
HP = {x | x ≤ 3} = (−∞, 3]
3

📝 Contoh Soal: ax + b ≤ c

🟢 Tingkat Mudah (10 Soal)

1. x + 2 ≤ 5

2. x + 4 ≤ 9

3. 2x + 1 ≤ 7

4. 3x + 5 ≤ 14

5. x − 3 ≤ 2

6. 4x + 2 ≤ 18

7. x + 8 ≤ 12

8. 5x + 3 ≤ 23

9. 2x − 4 ≤ 6

10. x + 1 ≤ 6

🟡 Tingkat Sedang (5 Soal)

1. 3x − 2 ≤ 2x + 6

2. 2(x + 5) ≤ 16

3. 5x + 3 ≤ 4(x + 2)

4. (x + 3)/2 ≤ 5

5. 4(x − 2) ≤ 3(x + 1)

🔴 Tingkat Sulit (5 Soal)

1. −2x + 7 ≤ 13

2. −3(x − 2) ≤ 4(1 − x)

3. (3x + 2)/4 ≤ (x + 5)/2

4. −(x + 4)/3 ≤ (2x − 1)/6

5. 3(2x − 1) − 4(x + 3) ≤ 2x + 5

✏️ Latihan Soal: ax + b ≤ c

🟢 Mudah

1. x + 3 ≤ 8
2. 2x + 2 ≤ 10
3. x − 1 ≤ 4
4. 3x + 4 ≤ 16
5. x + 7 ≤ 13
6. 4x + 3 ≤ 19
7. x − 6 ≤ 0
8. 2x + 5 ≤ 15
9. 5x + 1 ≤ 21
10. x + 2 ≤ 9

🟡 Sedang

1. 5x − 3 ≤ 4x + 2
2. 3(x + 2) ≤ 18
3. 4x + 1 ≤ 2(x + 5)
4. (x + 4)/3 ≤ 3
5. 2(3x − 2) ≤ 5(x + 1)

🔴 Sulit

1. −3x + 4 ≤ 19
2. −2(x + 4) ≤ 3(2 − x)
3. (4x − 3)/5 ≤ (2x + 1)/3
4. (3x + 1)/4 − (x − 2)/2 ≤ 3
5. 5(x − 1) − 2(3x + 4) ≤ x − 10
📢 Mengkomunikasikan

Tuliskan rangkuman perbedaan keempat tanda pertidaksamaan (>, <, ≥, ≤) dalam bentuk tabel sederhana. Presentasikan hasilmu di depan kelas!

📋 Rangkuman

Bentuk Tanda Titik Batas Notasi Interval Garis Bilangan
ax + b > c Lebih dari Tidak termasuk (p, ∞) ○ → kanan
ax + b < c Kurang dari Tidak termasuk (−∞, p) kiri ← ○
ax + b ≥ c Lebih dari atau sama dengan Termasuk [p, ∞) ● → kanan
ax + b ≤ c Kurang dari atau sama dengan Termasuk (−∞, p] kiri ← ●

*p = nilai batas penyelesaian

⚠️ Ingat Selalu!

Jika kedua ruas dikalikan atau dibagi bilangan negatif, maka tanda pertidaksamaan BERBALIK:

> menjadi <   |   < menjadi >   |   ≥ menjadi ≤   |   ≤ menjadi ≥

— Selamat Belajar! 📚 —