Aplikasi Kontekstual Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Batas Usia • Nilai Minimum • Kapasitas Maksimum
Matematika
1. Pendahuluan
Pengertian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV)
Pertidaksamaan linear satu variabel adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan ketidaksamaan (lebih dari, kurang dari, lebih dari atau sama dengan, kurang dari atau sama dengan) dengan satu variabel berpangkat satu.
Simbol-Simbol Pertidaksamaan
| Simbol | Dibaca | Contoh | Arti |
|---|---|---|---|
| < | Kurang dari | x < 5 | x kurang dari 5 |
| > | Lebih dari | x > 3 | x lebih dari 3 |
| ≤ | Kurang dari atau sama dengan | x ≤ 10 | x paling banyak 10 |
| ≥ | Lebih dari atau sama dengan | x ≥ 17 | x paling sedikit 17 |
Notasi dan Garis Bilangan
Himpunan penyelesaian dapat dinyatakan dengan:
- Notasi himpunan: {x | x ≥ 17, x ∈ R}
- Notasi interval: [17, ∞)
- Garis bilangan: menggunakan titik bulat (●) untuk ≤ dan ≥, titik kosong (○) untuk < dan >
Contoh Garis Bilangan: x ≥ 17
● (titik penuh) berarti 17 termasuk penyelesaian
Contoh Garis Bilangan: x < 50
○ (titik kosong) berarti 50 TIDAK termasuk penyelesaian
Sifat-Sifat Pertidaksamaan
| Sifat | Penjelasan | Contoh |
|---|---|---|
| Penjumlahan / Pengurangan | Kedua ruas ditambah/dikurangi bilangan yang sama, tanda TIDAK BERUBAH | x − 3 < 5 → x < 8 |
| Perkalian / Pembagian bilangan positif | Kedua ruas dikali/dibagi bilangan positif, tanda TIDAK BERUBAH | 2x ≥ 10 → x ≥ 5 |
| Perkalian / Pembagian bilangan negatif | Kedua ruas dikali/dibagi bilangan negatif, tanda BERUBAH (BERBALIK) | −x > 3 → x < −3 |
⚠️ PENTING!
Jika kedua ruas dikali atau dibagi bilangan negatif, maka tanda pertidaksamaan BERBALIK ARAH.
Contoh: −2x ≥ 6 → x ≤ −3 (tanda ≥ berubah menjadi ≤)
1 Materi: Batas Usia
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak aturan yang menggunakan batas usia sebagai syarat. Batas usia ini dapat dimodelkan menggunakan pertidaksamaan linear satu variabel.
Kegiatan: Mengamati
Amatilah situasi berikut dalam kehidupan sehari-hari:
- Untuk membuat SIM C, seseorang harus berusia minimal 17 tahun.
- Anak-anak yang boleh masuk wahana tertentu harus berusia di bawah 12 tahun.
- Untuk mendaftar CPNS, usia pelamar maksimal 35 tahun.
- Untuk masuk bioskop film dewasa, penonton harus berusia minimal 21 tahun.
- Vaksin tertentu diberikan untuk anak usia antara 6 sampai 12 tahun.
Kegiatan: Menanya
Dari pengamatan di atas, timbul pertanyaan:
- Bagaimana cara menulis batasan usia dalam bentuk pertidaksamaan?
- Simbol apa yang digunakan untuk “minimal” dan “maksimal”?
- Bagaimana menentukan himpunan penyelesaian dari masalah batas usia?
Kegiatan: Menalar
Mari kita pahami konversi bahasa sehari-hari ke simbol matematika:
| Bahasa Sehari-hari | Simbol | Model Matematika |
|---|---|---|
| Minimal 17 tahun | ≥ | x ≥ 17 |
| Paling sedikit 17 tahun | ≥ | x ≥ 17 |
| Tidak kurang dari 17 tahun | ≥ | x ≥ 17 |
| Maksimal 35 tahun | ≤ | x ≤ 35 |
| Paling banyak 35 tahun | ≤ | x ≤ 35 |
| Tidak lebih dari 35 tahun | ≤ | x ≤ 35 |
| Di bawah 12 tahun | < | x < 12 |
| Lebih dari 18 tahun | > | x > 18 |
| Antara 6 sampai 12 tahun | ≤ … ≤ | 6 ≤ x ≤ 12 |
Kegiatan: Mencoba
Masalah: Untuk membuat KTP, seseorang harus berusia minimal 17 tahun. Jika Budi saat ini berusia (x + 3) tahun dan sudah bisa membuat KTP, tentukan nilai x yang memenuhi!
Langkah 1: Buat model matematika
x + 3 ≥ 17
Langkah 2: Selesaikan pertidaksamaan
x + 3 ≥ 17
x ≥ 17 − 3
x ≥ 14
Langkah 3: Tulis himpunan penyelesaian
HP = {x | x ≥ 14, x ∈ R}
Langkah 4: Gambar garis bilangan
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Nilai x minimal 14. Artinya, agar Budi bisa membuat KTP, nilai x harus 14 atau lebih. Jika x = 14, maka usia Budi = 14 + 3 = 17 tahun (tepat memenuhi syarat minimal).
Model matematika untuk masalah batas usia menggunakan simbol ≥ untuk “minimal/paling sedikit” dan ≤ untuk “maksimal/paling banyak”.
Contoh Soal: Batas Usia
MUDAH Contoh Soal 1–10
1. Untuk membuat SIM C, seseorang harus berusia minimal 17 tahun. Tuliskan pertidaksamaannya jika usia dinyatakan dengan x!
Lihat Pembahasan
“Minimal 17 tahun” artinya usia paling sedikit 17.
Model: x ≥ 17
HP = {x | x ≥ 17, x ∈ bilangan bulat positif}
2. Anak-anak yang boleh masuk taman bermain gratis adalah yang berusia di bawah 5 tahun. Tuliskan pertidaksamaannya!
Lihat Pembahasan
“Di bawah 5 tahun” artinya kurang dari 5 (tidak termasuk 5).
Model: x < 5
HP = {x | 0 < x < 5, x ∈ bilangan bulat positif} = {1, 2, 3, 4}
3. Untuk mendaftar kerja di sebuah perusahaan, usia pelamar maksimal 30 tahun. Tuliskan pertidaksamaannya!
Lihat Pembahasan
“Maksimal 30 tahun” artinya paling banyak 30.
Model: x ≤ 30
HP = {x | x ≤ 30, x ∈ bilangan bulat positif}
4. Seseorang harus berusia lebih dari 18 tahun untuk dapat mengikuti pemilu. Jika usia Ani dinyatakan x, tuliskan model matematikanya!
Lihat Pembahasan
“Lebih dari 18 tahun” = di atas 18, tidak termasuk 18.
Model: x > 18
HP = {x | x > 18, x ∈ bilangan bulat positif} = {19, 20, 21, …}
5. Diskon khusus lansia berlaku untuk pengunjung berusia minimal 60 tahun. Buatlah model pertidaksamaannya!
Lihat Pembahasan
“Minimal 60 tahun” = paling sedikit 60.
Model: x ≥ 60
HP = {x | x ≥ 60, x ∈ bilangan bulat positif}
6. Rina berusia (x + 5) tahun. Ia sudah boleh membuat KTP (minimal 17 tahun). Tentukan nilai x!
Lihat Pembahasan
x + 5 ≥ 17
x ≥ 17 − 5
x ≥ 12
Jadi nilai x paling sedikit 12.
7. Usia Doni adalah 2x tahun. Ia belum boleh membuat SIM karena belum berusia 17 tahun. Tentukan nilai x!
Lihat Pembahasan
“Belum berusia 17 tahun” artinya kurang dari 17.
2x < 17
x < 8,5
Karena x bilangan bulat positif: x ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
8. Tiket masuk museum gratis untuk pengunjung berusia tidak lebih dari 10 tahun. Tuliskan pertidaksamaannya!
Lihat Pembahasan
“Tidak lebih dari 10” = paling banyak 10 = maksimal 10.
Model: x ≤ 10
HP = {x | x ≤ 10, x ∈ bilangan bulat positif} = {1, 2, 3, …, 10}
9. Untuk ikut lomba mewarnai kategori anak, peserta harus berusia antara 5 sampai 12 tahun (termasuk 5 dan 12). Tuliskan model matematikanya!
Lihat Pembahasan
“Antara 5 sampai 12 tahun (termasuk)” = gabungan dua pertidaksamaan.
Model: 5 ≤ x ≤ 12
HP = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
10. Sebuah wahana permainan mensyaratkan pengunjung berusia tidak kurang dari 8 tahun. Tuliskan pertidaksamaannya!
Lihat Pembahasan
“Tidak kurang dari 8” = paling sedikit 8 = minimal 8.
Model: x ≥ 8
HP = {x | x ≥ 8, x ∈ bilangan bulat positif}
SEDANG Contoh Soal 11–15
11. Usia Sari 3 tahun lebih tua dari Dina. Jika usia Dina adalah x tahun dan Sari sudah boleh mendaftar CPNS (minimal 18 tahun dan maksimal 35 tahun), tentukan batas nilai x!
Lihat Pembahasan
Usia Sari = x + 3
Syarat: 18 ≤ x + 3 ≤ 35
18 − 3 ≤ x ≤ 35 − 3
15 ≤ x ≤ 32
Jadi usia Dina antara 15 sampai 32 tahun.
HP = {x | 15 ≤ x ≤ 32}
12. Tahun ini usia Pak Budi adalah (2x + 1) tahun. Untuk mendapatkan pensiun dini, usia minimal 50 tahun. Tentukan nilai minimum x agar Pak Budi bisa pensiun dini!
Lihat Pembahasan
2x + 1 ≥ 50
2x ≥ 49
x ≥ 24,5
Karena x bilangan bulat: x ≥ 25
Nilai minimum x = 25 (usia Pak Budi = 2(25)+1 = 51 tahun)
13. Lima tahun yang lalu, usia Andi adalah x tahun. Sekarang ia sudah boleh menonton film dengan rating 21+. Tentukan nilai x minimal!
Lihat Pembahasan
Usia 5 tahun lalu = x, maka usia sekarang = x + 5
Syarat: x + 5 ≥ 21
x ≥ 16
Jadi 5 tahun lalu usia Andi minimal 16 tahun (sekarang minimal 21 tahun).
14. Usia ayah 4 kali usia anaknya. Jika usia anak x tahun dan ayah belum bisa mengikuti program lansia (usia minimal 60 tahun), tentukan rentang usia anak!
Lihat Pembahasan
Usia ayah = 4x
“Belum bisa” = belum memenuhi syarat = kurang dari 60
4x < 60
x < 15
Jadi usia anak kurang dari 15 tahun.
Dengan syarat x > 0: HP = {x | 0 < x < 15}
15. Sebuah kursus menerima peserta dengan usia minimal 2 kali lipat dari 8 tahun dikurangi 3. Jika usia peserta dinyatakan x, tentukan model matematika dan HP-nya!
Lihat Pembahasan
Minimal = 2 × 8 − 3 = 16 − 3 = 13 tahun
Model: x ≥ 13
HP = {x | x ≥ 13, x ∈ bilangan bulat positif}
SULIT Contoh Soal 16–20
16. Usia kakak 5 tahun lebih tua dari adik. Jumlah usia mereka tidak lebih dari 45 tahun. Jika usia adik x tahun, tentukan usia maksimal adik!
Lihat Pembahasan
Usia adik = x, usia kakak = x + 5
Jumlah usia: x + (x + 5) ≤ 45
2x + 5 ≤ 45
2x ≤ 40
x ≤ 20
Usia maksimal adik = 20 tahun (kakak = 25 tahun, jumlah = 45).
17. Sebuah perkemahan mensyaratkan peserta berusia antara 10 sampai 15 tahun. Jika usia peserta dinyatakan (3x − 2) tahun, tentukan batas nilai x!
Lihat Pembahasan
10 ≤ 3x − 2 ≤ 15
Tambah 2 ke semua ruas:
12 ≤ 3x ≤ 17
Bagi 3 ke semua ruas:
4 ≤ x ≤ 5⅔
Jika x bilangan bulat: x ∈ {4, 5}
Verifikasi: x=4 → usia=10✓, x=5 → usia=13✓
18. Selisih usia ibu dan anak adalah 25 tahun. Tiga tahun lagi, usia ibu kurang dari 2 kali usia anak saat itu. Jika usia anak sekarang x tahun, tentukan batas bawah usia anak!
Lihat Pembahasan
Usia anak sekarang = x, usia ibu sekarang = x + 25
3 tahun lagi: anak = x + 3, ibu = x + 28
Syarat: x + 28 < 2(x + 3)
x + 28 < 2x + 6
28 − 6 < 2x − x
22 < x
x > 22
Usia anak sekarang harus lebih dari 22 tahun.
19. Di sebuah keluarga, usia ayah, ibu, dan anak berturut-turut adalah (3x+5), (3x−2), dan x tahun. Total usia keluarga tersebut tidak lebih dari 100 tahun. Tentukan usia maksimal anak!
Lihat Pembahasan
(3x+5) + (3x−2) + x ≤ 100
7x + 3 ≤ 100
7x ≤ 97
x ≤ 13,86…
Karena usia bilangan bulat: x ≤ 13
Usia maksimal anak = 13 tahun
Verifikasi: ayah=44, ibu=37, anak=13, total=94 ≤ 100 ✓
20. Usia minimum untuk bekerja di negara tertentu adalah 2 tahun lebih muda dari sepertiga usia pensiun. Jika usia pensiun 60 tahun dan usia pekerja dinyatakan (4x − 3) tahun, tentukan batas nilai x!
Lihat Pembahasan
Usia minimum = ⅓ × 60 − 2 = 20 − 2 = 18 tahun
Syarat bekerja: minimal 18 dan maksimal 60 (sebelum pensiun)
18 ≤ 4x − 3 ≤ 60
21 ≤ 4x ≤ 63
5,25 ≤ x ≤ 15,75
Jika x bilangan bulat: 6 ≤ x ≤ 15
HP = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
Latihan Soal: Batas Usia
MUDAH
- Untuk naik roller coaster, pengunjung harus berusia minimal 12 tahun. Tuliskan pertidaksamaannya!
- Anak yang berusia di bawah 6 tahun masuk gratis ke kebun binatang. Tuliskan model matematikanya!
- Seseorang harus berusia minimal 21 tahun untuk membeli minuman beralkohol. Nyatakan dalam pertidaksamaan!
- Batas usia maksimal untuk menjadi tentara adalah 25 tahun. Tuliskan pertidaksamaannya!
- Program vaksinasi berlaku untuk anak usia 6 sampai 11 tahun (termasuk keduanya). Nyatakan dalam model matematika!
- Usia Toni dinyatakan (x + 2) tahun. Ia sudah boleh masuk SMA (minimal 15 tahun). Tentukan nilai x!
- Seseorang berusia 3x tahun belum boleh memilih dalam pemilu (minimal 17 tahun). Tentukan nilai x!
- Untuk mengikuti les mengemudi, peserta harus berusia tidak kurang dari 16 tahun. Tuliskan pertidaksamaannya!
- Diskon pelajar berlaku untuk usia tidak lebih dari 18 tahun. Buatlah model matematikanya!
- Seorang anak berusia (x − 1) tahun. Ia masih boleh masuk wahana anak (maksimal 10 tahun). Tentukan nilai x!
SEDANG
- Usia Riko 4 tahun lebih muda dari kakaknya. Jika kakaknya sudah bisa membuat SIM (minimal 17 tahun) dan usia kakak dinyatakan (2x + 1), tentukan nilai x!
- Dua tahun lagi usia Sinta adalah (3x − 1) tahun. Ia akan bisa mendaftar kuliah (minimal 18 tahun). Tentukan batas nilai x!
- Sebuah kompetisi menerima peserta usia 13 sampai 19 tahun. Jika usia peserta (2x + 3) tahun, tentukan rentang nilai x!
- Usia ayah 3 kali usia anak. Selisih usia mereka tidak lebih dari 40 tahun. Jika usia anak x, tentukan batas usia anak!
- Empat tahun yang lalu, usia Beni adalah (2x − 5) tahun. Sekarang ia minimal 17 tahun. Tentukan nilai x!
SULIT
- Jumlah usia 3 bersaudara adalah (5x + 10) tahun. Rata-rata usia mereka tidak lebih dari 20 tahun. Tentukan batas nilai x!
- Usia kakak dan adik berselisih 6 tahun. Lima tahun lagi, usia kakak kurang dari dua kali usia adik saat itu. Jika usia adik sekarang x, tentukan batas bawah x!
- Sebuah asuransi mensyaratkan total usia suami dan istri minimal 50 tahun. Jika usia istri (x + 2) dan usia suami (2x − 3), tentukan nilai minimum x!
- Usia ibu saat melahirkan anak pertama adalah 3 kali usia anak sekarang dikurangi 10. Jika usia ibu saat melahirkan minimal 18 tahun dan usia anak sekarang x tahun, tentukan batas x!
- Di sebuah lomba keluarga, usia ayah + ibu harus minimal 3 kali usia anak. Jika usia anak x, usia ayah (3x + 2), dan usia ibu (2x + 8), tentukan usia minimal anak!
2 Materi: Nilai Minimum
Dalam konteks pendidikan dan pekerjaan, sering dijumpai syarat nilai minimum yang harus dicapai. Contohnya: KKM (Kriteria Ketuntasan Minimal), nilai passing grade, skor TOEFL minimum, dan sebagainya.
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan situasi berikut:
- KKM mata pelajaran Matematika adalah 75. Siswa dinyatakan tuntas jika nilainya ≥ 75.
- Untuk lulus ujian masuk, peserta harus mendapat skor minimal 60 dari 100.
- Rata-rata nilai rapor harus minimal 80 untuk mendapat beasiswa.
- Nilai TOEFL minimal 500 untuk mendaftar S2 di luar negeri.
- Seorang siswa membutuhkan minimal 3 nilai di atas 85 dari 5 ujian.
Kegiatan: Menanya
- Bagaimana menentukan nilai yang harus dicapai siswa agar memenuhi syarat tertentu?
- Jika sebagian nilai sudah diketahui, bagaimana menghitung nilai minimum pada ujian berikutnya?
- Bagaimana model matematika untuk masalah rata-rata nilai?
Kegiatan: Menalar
Konsep Kunci:
Rata-rata = Jumlah semua nilai ÷ Banyak data
x̄ = (x₁ + x₂ + x₃ + … + xₙ) ÷ n
Jika rata-rata harus memenuhi syarat minimum:
(x₁ + x₂ + … + xₙ) ÷ n ≥ nilai minimum
x₁ + x₂ + … + xₙ ≥ n × nilai minimum
Dengan kata lain, jika kita tahu beberapa nilai dan ingin mencari nilai terakhir yang diperlukan:
x (nilai yang dicari) ≥ n × rata-rata minimum − jumlah nilai yang sudah diketahui
Kegiatan: Mencoba
Masalah: Ani telah mengikuti 4 ulangan dengan nilai 70, 80, 75, dan 85. Berapa nilai minimal ulangan ke-5 agar rata-rata nilainya minimal 78?
Langkah 1: Identifikasi informasi
Nilai yang diketahui: 70, 80, 75, 85
Nilai ke-5 = x (yang dicari)
Rata-rata minimal = 78, banyak data = 5
Langkah 2: Buat model matematika
(70 + 80 + 75 + 85 + x) ÷ 5 ≥ 78
Langkah 3: Selesaikan
(310 + x) ÷ 5 ≥ 78
310 + x ≥ 390
x ≥ 80
Langkah 4: Kesimpulan
Nilai minimal ulangan ke-5 adalah 80.
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Untuk menentukan nilai minimum yang harus dicapai:
- Tentukan syarat yang harus dipenuhi (KKM, rata-rata minimum, dll).
- Buat model pertidaksamaan berdasarkan syarat tersebut.
- Selesaikan pertidaksamaan untuk menemukan nilai variabel.
- Perhatikan bahwa nilai biasanya memiliki batas 0 ≤ x ≤ 100.
Contoh Soal: Nilai Minimum
MUDAH Contoh Soal 1–10
1. KKM Matematika adalah 75. Jika nilai Budi dinyatakan x, tuliskan pertidaksamaan agar Budi dinyatakan tuntas!
Lihat Pembahasan
“Tuntas” artinya nilai mencapai KKM (minimal 75).
Model: x ≥ 75
HP = {x | 75 ≤ x ≤ 100}
2. Untuk lulus ujian, siswa harus mendapat nilai lebih dari 60. Tuliskan pertidaksamaannya!
Lihat Pembahasan
“Lebih dari 60” (tidak termasuk 60).
Model: x > 60
HP = {x | 60 < x ≤ 100}
3. Nilai rapor Siti adalah (2x + 5). Agar tuntas (KKM = 75), tentukan nilai minimum x!
Lihat Pembahasan
2x + 5 ≥ 75
2x ≥ 70
x ≥ 35
4. Rudi mendapat nilai 80 dan 70 pada dua ulangan. Berapa nilai minimum ulangan ke-3 agar rata-ratanya minimal 75?
Lihat Pembahasan
(80 + 70 + x) ÷ 3 ≥ 75
150 + x ≥ 225
x ≥ 75
Nilai minimum ulangan ke-3 = 75.
5. Skor TOEFL Andi harus minimal 500. Jika skornya (10x + 50), tentukan nilai minimum x!
Lihat Pembahasan
10x + 50 ≥ 500
10x ≥ 450
x ≥ 45
6. Agar naik kelas, nilai Dina tidak boleh kurang dari 70. Nyatakan dalam pertidaksamaan!
Lihat Pembahasan
“Tidak boleh kurang dari 70” = minimal 70.
Model: x ≥ 70
7. Tina mendapat 85, 90, dan 78 pada tiga ujian. Berapa nilai minimum ujian ke-4 agar rata-rata minimal 85?
Lihat Pembahasan
(85 + 90 + 78 + x) ÷ 4 ≥ 85
253 + x ≥ 340
x ≥ 87
Nilai minimum ujian ke-4 = 87.
8. Untuk mendapat predikat “Baik”, nilai siswa harus lebih dari 80 dan tidak lebih dari 90. Tuliskan pertidaksamaannya!
Lihat Pembahasan
Model: 80 < x ≤ 90
HP = {x | 80 < x ≤ 90}
9. Passing grade sebuah universitas adalah 550. Nilai Beni saat ini (x + 100). Tentukan nilai minimum x!
Lihat Pembahasan
x + 100 ≥ 550
x ≥ 450
10. Seorang siswa harus mengumpulkan poin minimal 200 dari 5 tugas. Ia sudah mendapat 35, 40, 45, dan 38 poin. Berapa poin minimum tugas ke-5?
Lihat Pembahasan
35 + 40 + 45 + 38 + x ≥ 200
158 + x ≥ 200
x ≥ 42
Poin minimum tugas ke-5 = 42.
SEDANG Contoh Soal 11–15
11. Dalam sebuah kelas, nilai ulangan terdiri dari UH1, UH2, UTS, dan UAS dengan bobot masing-masing 1:1:2:2. Nilai Rina: UH1=70, UH2=80, UTS=75. Berapa nilai minimum UAS agar rata-rata berbobot minimal 77?
Lihat Pembahasan
Rata-rata berbobot = (1×70 + 1×80 + 2×75 + 2×x) ÷ (1+1+2+2)
(70 + 80 + 150 + 2x) ÷ 6 ≥ 77
300 + 2x ≥ 462
2x ≥ 162
x ≥ 81
Nilai minimum UAS = 81.
12. Untuk mendapat beasiswa, siswa harus memiliki rata-rata 6 mata pelajaran minimal 85. Lima mata pelajaran Andi nilainya: 88, 82, 90, 80, 87. Berapa nilai minimum mata pelajaran ke-6?
Lihat Pembahasan
(88 + 82 + 90 + 80 + 87 + x) ÷ 6 ≥ 85
(427 + x) ÷ 6 ≥ 85
427 + x ≥ 510
x ≥ 83
Nilai minimum mata pelajaran ke-6 = 83.
13. Nilai UAS = 2 × nilai UTS − 10. Jika nilai UTS = x dan agar UAS minimal 70, tentukan batas nilai UTS!
Lihat Pembahasan
UAS = 2x − 10
2x − 10 ≥ 70
2x ≥ 80
x ≥ 40
Nilai UTS minimal 40.
14. Seorang atlet harus mengumpulkan skor minimal 240 dari 4 babak. Di 3 babak pertama ia mendapat 55, 65, dan 58 poin. Berapa skor minimum di babak ke-4?
Lihat Pembahasan
55 + 65 + 58 + x ≥ 240
178 + x ≥ 240
x ≥ 62
Skor minimum babak ke-4 = 62.
15. Untuk lulus seleksi, nilai tes tertulis + 2 × nilai wawancara harus minimal 250. Nilai tes tertulis Sari = 80. Berapa nilai minimum wawancaranya?
Lihat Pembahasan
Misalkan nilai wawancara = x
80 + 2x ≥ 250
2x ≥ 170
x ≥ 85
Nilai minimum wawancara = 85.
SULIT Contoh Soal 16–20
16. Sistem penilaian: NA = 0,3×UH + 0,3×UTS + 0,4×UAS. Rata-rata UH Doni = 72, UTS = 78. Berapa nilai minimum UAS agar NA ≥ 80?
Lihat Pembahasan
0,3(72) + 0,3(78) + 0,4x ≥ 80
21,6 + 23,4 + 0,4x ≥ 80
45 + 0,4x ≥ 80
0,4x ≥ 35
x ≥ 87,5
Karena nilai bilangan bulat: x ≥ 88. Nilai minimum UAS = 88.
17. Seorang siswa mengikuti 7 kuis. Nilai 6 kuis pertama: 75, 82, 68, 90, 77, 85. Guru akan menghapus nilai terendah dan menghitung rata-rata dari 6 nilai tertinggi. Berapa nilai minimum kuis ke-7 agar rata-rata 6 nilai tertinggi minimal 83?
Lihat Pembahasan
6 nilai yang sudah ada: 68, 75, 77, 82, 85, 90 (urut)
Nilai terendah saat ini = 68
Kasus 1: Jika x ≥ 68, maka 68 tetap yang dihapus.
6 tertinggi: 75 + 77 + 82 + 85 + 90 + x = 409 + x
(409 + x) ÷ 6 ≥ 83
409 + x ≥ 498
x ≥ 89
Kasus 2: Jika x < 68, maka x yang dihapus.
6 tertinggi: 68 + 75 + 77 + 82 + 85 + 90 = 477
477 ÷ 6 = 79,5 < 83 (tidak memenuhi)
Jawaban: x ≥ 89
18. Penilaian akhir semester menggunakan rumus: 25% tugas + 25% UTS + 50% UAS. Seorang siswa mendapat tugas=76. Ia ingin nilai akhir minimal 80. Jika nilai UTS dan UAS sama (keduanya = x), tentukan nilai minimum x!
Lihat Pembahasan
0,25(76) + 0,25x + 0,5x ≥ 80
19 + 0,75x ≥ 80
0,75x ≥ 61
x ≥ 81,33…
Nilai minimum x = 82 (bilangan bulat).
19. Dalam sebuah kompetisi, peserta mengerjakan 30 soal. Setiap jawaban benar +4, salah −1, tidak dijawab 0. Seorang peserta menjawab benar x soal, salah 5 soal, dan sisanya tidak dijawab. Berapa minimal soal yang harus dijawab benar agar skor minimal 80?
Lihat Pembahasan
Skor = 4x − 1(5) + 0(30 − x − 5)
4x − 5 ≥ 80
4x ≥ 85
x ≥ 21,25
Karena soal bulat: x ≥ 22
Minimal harus menjawab benar 22 soal.
Cek: soal dijawab = 22 + 5 = 27 ≤ 30 ✓
20. Nilai akhir = (2 × nilai praktek + 3 × nilai teori) ÷ 5. Seorang siswa mendapat nilai praktek 85. Berapa nilai minimum teori agar nilai akhir minimal 78, dengan syarat nilai teori minimal 60?
Lihat Pembahasan
(2×85 + 3x) ÷ 5 ≥ 78
(170 + 3x) ÷ 5 ≥ 78
170 + 3x ≥ 390
3x ≥ 220
x ≥ 73,33…
Nilai minimum teori = 74 (dan 74 ≥ 60, syarat terpenuhi ✓)
Latihan Soal: Nilai Minimum
MUDAH
- KKM IPA adalah 70. Jika nilai siswa dinyatakan x, tuliskan pertidaksamaan agar dinyatakan tuntas!
- Untuk lulus, nilai ujian harus lebih dari 65. Nyatakan dalam pertidaksamaan!
- Nilai Matematika Budi = (3x − 5). Agar tuntas (KKM = 73), tentukan nilai minimum x!
- Anto mendapat 60 dan 80 pada dua ulangan. Berapa nilai minimum ulangan ke-3 agar rata-rata minimal 70?
- Skor tes Bahasa Inggris harus minimal 450. Jika skor = (5x + 100), tentukan nilai minimum x!
- Untuk mendapat predikat “A”, nilai harus minimal 90. Tuliskan pertidaksamaannya!
- Maya mendapat 75, 80, 85 pada tiga kuis. Berapa nilai minimum kuis ke-4 agar rata-rata minimal 80?
- Nilai siswa (x + 15) harus tidak kurang dari 68. Tentukan nilai minimum x!
- Untuk ikut olimpiade, rata-rata 4 ulangan harus minimal 88. Tiga ulangan pertama: 90, 85, 92. Berapa nilai minimum ulangan ke-4?
- Total poin dari 3 tugas harus minimal 150. Dua tugas pertama: 48 dan 52 poin. Berapa poin minimum tugas ke-3?
SEDANG
- Penilaian: 40% UTS + 60% UAS. Nilai UTS = 70. Berapa nilai minimum UAS agar nilai akhir minimal 78?
- Rata-rata 5 mata pelajaran harus minimal 80 untuk beasiswa. Empat nilai: 78, 85, 76, 82. Berapa nilai minimum mata pelajaran ke-5?
- Skor akhir = 2 × skor teori + skor praktek. Skor teori = x, skor praktek = 75. Agar skor akhir minimal 200, tentukan nilai minimum x!
- Dalam 8 pertandingan, seorang pemain mencetak gol: 2, 0, 3, 1, 2, 0, 1, x. Agar rata-rata gol minimal 1,5 per pertandingan, tentukan x!
- Nilai rapor = (UH + 2×UTS + 3×UAS) ÷ 6. UH=80, UTS=75. Berapa nilai minimum UAS agar rapor minimal 78?
SULIT
- Penilaian: 20% kehadiran + 30% tugas + 50% ujian. Kehadiran=90, tugas=75. Berapa nilai minimum ujian agar total minimal 80?
- Lomba cerdas cermat: benar +5, salah −2, tidak jawab 0. Dari 40 soal, peserta menjawab salah 8 soal dan tidak menjawab 7 soal. Berapa minimal soal benar agar skor minimal 100?
- Rata-rata 8 ulangan harian harus minimal 82. Jika guru menghapus 2 nilai terendah (60 dan 65), rata-rata 6 sisanya harus memenuhi syarat. Lima nilai: 80, 88, 75, 90, 85. Berapa nilai minimum ulangan ke-8?
- IP semester = (SKS₁×Nilai₁ + SKS₂×Nilai₂ + …) ÷ Total SKS. Mata kuliah: A(3 SKS, nilai 3,5), B(2 SKS, nilai 3,0), C(4 SKS, nilai x). Berapa nilai minimum C agar IP minimal 3,3?
- Seleksi masuk: 30% tes akademik + 30% tes psikologi + 40% wawancara. Tes akademik=72, tes psikologi=80. Berapa nilai minimum wawancara agar skor akhir minimal 78? Apakah mungkin jika nilai wawancara maksimal 100?
3 Materi: Kapasitas Maksimum
Kapasitas maksimum adalah batas paling banyak yang dapat ditampung, diangkut, atau dimuat oleh suatu tempat atau alat. Dalam kehidupan nyata, masalah ini berkaitan dengan keamanan, efisiensi, dan aturan.
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan situasi berikut:
- Lift memiliki kapasitas maksimal 800 kg atau 10 orang.
- Truk pengangkut memiliki daya angkut maksimal 5 ton.
- Stadion sepak bola berkapasitas 40.000 penonton.
- Ruang kelas menampung maksimal 36 siswa.
- Tas ransel dapat memuat barang dengan berat maksimal 15 kg.
Kegiatan: Menanya
- Bagaimana menentukan jumlah barang/orang yang bisa dimuat tanpa melebihi kapasitas?
- Bagaimana membuat model matematika dari masalah kapasitas?
- Apa yang terjadi jika berat total melebihi kapasitas?
Kegiatan: Menalar
Pola Umum Masalah Kapasitas Maksimum:
Berat/jumlah yang sudah ada + Berat/jumlah tambahan ≤ Kapasitas maksimum
Atau dalam variabel:
a + bx ≤ K
a = yang sudah ada, b = berat per unit tambahan, x = jumlah tambahan, K = kapasitas
Kata kunci dan simbol:
| Kata Kunci | Simbol |
|---|---|
| Kapasitas maksimal / paling banyak / tidak boleh melebihi | ≤ |
| Muatan minimal / paling sedikit harus memuat | ≥ |
| Tidak boleh kurang dari | ≥ |
| Melebihi batas / lebih dari kapasitas | > (kondisi bahaya!) |
Kegiatan: Mencoba
Masalah: Sebuah lift memiliki kapasitas maksimal 600 kg. Dalam lift sudah ada 3 orang dengan berat total 210 kg. Jika rata-rata berat setiap orang yang masuk berikutnya adalah 70 kg, berapa orang lagi yang boleh masuk?
Langkah 1: Identifikasi
Kapasitas = 600 kg
Berat sudah ada = 210 kg
Berat per orang tambahan = 70 kg
Jumlah orang tambahan = x
Langkah 2: Model matematika
210 + 70x ≤ 600
Langkah 3: Selesaikan
70x ≤ 600 − 210
70x ≤ 390
x ≤ 5,57…
Langkah 4: Kesimpulan
Karena jumlah orang harus bilangan bulat: x ≤ 5
Maksimal 5 orang lagi boleh masuk lift.
Cek: 210 + 70(5) = 210 + 350 = 560 ≤ 600 ✓
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Kesimpulan:
- Masalah kapasitas menggunakan simbol ≤ karena total tidak boleh melebihi batas.
- Hasil perhitungan harus disesuaikan dengan konteks (bilangan bulat, dibulatkan ke bawah).
- Selalu verifikasi jawaban dengan memasukkan kembali ke pertidaksamaan awal.
Contoh Soal: Kapasitas Maksimum
MUDAH Contoh Soal 1–10
1. Sebuah lift berkapasitas maksimal 500 kg. Jika sudah ada barang seberat 200 kg, berapa berat maksimal barang tambahan yang boleh dimasukkan?
Lihat Pembahasan
200 + x ≤ 500
x ≤ 300
Berat maksimal tambahan = 300 kg.
2. Ruang kelas menampung maksimal 40 siswa. Sudah ada 28 siswa. Berapa siswa lagi yang bisa masuk?
Lihat Pembahasan
28 + x ≤ 40
x ≤ 12
Maksimal 12 siswa lagi.
3. Truk memiliki daya angkut maksimal 3.000 kg. Setiap karung beras beratnya 50 kg. Berapa karung maksimal yang bisa diangkut?
Lihat Pembahasan
50x ≤ 3000
x ≤ 60
Maksimal 60 karung beras.
4. Tas ransel hanya mampu menampung berat maksimal 10 kg. Buku-buku yang sudah ada beratnya 6 kg. Berapa kg lagi yang boleh ditambahkan?
Lihat Pembahasan
6 + x ≤ 10
x ≤ 4
Maksimal 4 kg lagi.
5. Perahu berkapasitas 8 orang. Sudah ada 5 orang. Berapa orang lagi yang boleh naik?
Lihat Pembahasan
5 + x ≤ 8
x ≤ 3
Maksimal 3 orang lagi.
6. Parkiran motor menampung maksimal 200 motor. Pagi ini sudah ada 135 motor. Berapa motor lagi yang bisa masuk?
Lihat Pembahasan
135 + x ≤ 200
x ≤ 65
Maksimal 65 motor lagi.
7. Sebuah bus menampung maksimal 50 penumpang. Jika setiap halte naik x penumpang dan bus melewati 5 halte (bus awalnya kosong), tentukan jumlah maksimal penumpang per halte!
Lihat Pembahasan
5x ≤ 50
x ≤ 10
Maksimal 10 penumpang per halte.
8. Akuarium menampung air maksimal 120 liter. Sudah terisi 80 liter. Berapa liter lagi yang bisa ditambahkan?
Lihat Pembahasan
80 + x ≤ 120
x ≤ 40
Maksimal 40 liter.
9. Gudang menyimpan maksimal 1.000 dus. Setiap hari masuk 50 dus. Berapa hari gudang bisa menampung jika awalnya kosong?
Lihat Pembahasan
50x ≤ 1000
x ≤ 20
Gudang bisa menampung selama 20 hari.
10. Ember berkapasitas 15 liter. Keran mengisi 2 liter per menit. Sudah terisi 3 liter. Berapa menit lagi sampai penuh (tidak boleh tumpah)?
Lihat Pembahasan
3 + 2x ≤ 15
2x ≤ 12
x ≤ 6
Maksimal 6 menit lagi.
SEDANG Contoh Soal 11–15
11. Lift berkapasitas 750 kg. Sudah ada 4 orang dewasa (rata-rata 65 kg) dan 2 anak (rata-rata 30 kg). Berapa orang dewasa lagi yang boleh masuk?
Lihat Pembahasan
Berat sudah ada = 4(65) + 2(30) = 260 + 60 = 320 kg
320 + 65x ≤ 750
65x ≤ 430
x ≤ 6,6…
Maksimal 6 orang dewasa lagi.
12. Mobil pick-up berkapasitas 1.500 kg. Akan mengangkut 2 jenis barang: kotak A (berat 25 kg, sudah dimuat 20 kotak) dan kotak B (berat 15 kg). Berapa kotak B maksimal yang bisa ditambahkan?
Lihat Pembahasan
Berat kotak A = 20 × 25 = 500 kg
500 + 15x ≤ 1500
15x ≤ 1000
x ≤ 66,67
Maksimal 66 kotak B.
13. Stadion berkapasitas 30.000 penonton. Tribun A sudah terisi 12.000, Tribun B terisi 8.500. Berapa penonton lagi yang bisa masuk di Tribun C?
Lihat Pembahasan
12.000 + 8.500 + x ≤ 30.000
20.500 + x ≤ 30.000
x ≤ 9.500
Tribun C bisa menampung maksimal 9.500 penonton.
14. Tangki air berkapasitas 2.000 liter. Air masuk 5 liter/menit dan keluar 2 liter/menit. Jika awalnya ada 500 liter, berapa menit hingga tangki penuh?
Lihat Pembahasan
Pertambahan bersih = 5 − 2 = 3 liter/menit
500 + 3x ≤ 2000
3x ≤ 1500
x ≤ 500
Tangki penuh setelah 500 menit.
15. Sebuah kapal feri berkapasitas 20 ton (20.000 kg). Sudah mengangkut 8 mobil (rata-rata 1.200 kg) dan 5 motor (rata-rata 150 kg). Berapa mobil lagi yang bisa masuk?
Lihat Pembahasan
Berat sudah ada = 8(1200) + 5(150) = 9600 + 750 = 10.350 kg
10.350 + 1200x ≤ 20.000
1200x ≤ 9.650
x ≤ 8,04
Maksimal 8 mobil lagi.
SULIT Contoh Soal 16–20
16. Truk berkapasitas 8 ton. Akan mengangkut x kotak besar (80 kg) dan 2x kotak kecil (25 kg). Tentukan jumlah maksimal kotak besar!
Lihat Pembahasan
Berat kotak besar = 80x kg
Berat kotak kecil = 25(2x) = 50x kg
80x + 50x ≤ 8000
130x ≤ 8000
x ≤ 61,5
Maksimal 61 kotak besar (dan 122 kotak kecil).
Cek: 80(61) + 50(61) = 4880 + 3050 = 7930 ≤ 8000 ✓
17. Sebuah gedung pertunjukan memiliki 3 lantai. Lantai 1 menampung 2x orang, lantai 2 menampung (x + 100) orang, lantai 3 menampung x orang. Total kapasitas gedung maksimal 1.000 orang. Tentukan kapasitas maksimal masing-masing lantai!
Lihat Pembahasan
2x + (x + 100) + x ≤ 1000
4x + 100 ≤ 1000
4x ≤ 900
x ≤ 225
Kapasitas maksimal: Lantai 1 = 2(225) = 450, Lantai 2 = 325, Lantai 3 = 225
Total = 450 + 325 + 225 = 1000 ✓
18. Seorang pengusaha mengirim barang menggunakan kontainer. Kontainer berkapasitas 15 m³. Barang jenis A bervolume 0,5 m³ dan barang jenis B bervolume 0,3 m³. Jika jumlah barang A = 2 kali barang B, dan barang B sebanyak x buah, tentukan nilai maksimal x!
Lihat Pembahasan
Barang B = x, Barang A = 2x
Volume A = 0,5(2x) = x m³
Volume B = 0,3x m³
x + 0,3x ≤ 15
1,3x ≤ 15
x ≤ 11,5
Maksimal x = 11 (barang B = 11, barang A = 22).
Volume total = 11 + 3,3 = 14,3 ≤ 15 ✓
19. Sebuah jembatan memiliki kapasitas maksimal 10 ton. Sebuah truk kosong beratnya 3 ton. Truk mengangkut x kontainer yang masing-masing berisi barang 500 kg, ditambah berat kontainer kosong 100 kg. Berapa kontainer maksimal?
Lihat Pembahasan
Berat truk = 3000 kg
Berat per kontainer (isi + kosong) = 500 + 100 = 600 kg
3000 + 600x ≤ 10.000
600x ≤ 7000
x ≤ 11,67
Maksimal 11 kontainer.
Cek: 3000 + 600(11) = 3000 + 6600 = 9600 ≤ 10.000 ✓
20. Sebuah kapal memiliki ruang muat 50 m³ dan daya angkut 30 ton. Barang P memiliki volume 2 m³ dan berat 1,5 ton per unit. Barang Q memiliki volume 1 m³ dan berat 2 ton per unit. Jika mengangkut x unit barang P dan 5 unit barang Q, tentukan jumlah maksimal barang P!
Lihat Pembahasan
Syarat volume:
2x + 1(5) ≤ 50 → 2x ≤ 45 → x ≤ 22,5
Syarat berat:
1,5x + 2(5) ≤ 30 → 1,5x ≤ 20 → x ≤ 13,3
Kedua syarat harus dipenuhi:
x ≤ 22,5 DAN x ≤ 13,3
Ambil yang lebih ketat: x ≤ 13
Maksimal 13 unit barang P.
Cek volume: 2(13)+5 = 31 ≤ 50 ✓
Cek berat: 1,5(13)+10 = 29,5 ≤ 30 ✓
Latihan Soal: Kapasitas Maksimum
MUDAH
- Lift berkapasitas 400 kg. Sudah ada barang 150 kg. Berapa kg lagi yang boleh dimasukkan?
- Bus menampung 45 penumpang. Sudah ada 32 penumpang. Berapa orang lagi yang bisa naik?
- Kotak muat maksimal 20 buku. Setiap buku tebalnya sama. Sudah ada 13 buku. Berapa buku lagi?
- Mobil membawa maksimal 5 orang termasuk sopir. Sudah ada sopir dan 2 penumpang. Berapa orang lagi?
- Rak buku menampung 100 buku. Setiap hari ditambah x buku. Dalam 5 hari, rak penuh dari kosong. Tentukan x!
- Kolam renang berkapasitas 50.000 liter. Pompa mengisi 200 liter/menit. Berapa menit hingga penuh dari kosong?
- Gudang menampung 500 kardus. Sudah ada 320 kardus. Setiap hari masuk 30 kardus. Berapa hari lagi sampai penuh?
- Kapal kecil memuat maksimal 6 orang. Sudah ada 2 nelayan. Berapa penumpang lagi?
- Tas memuat maksimal 8 kg. Laptop beratnya 2 kg dan buku 0,5 kg. Sudah ada laptop. Berapa buku maksimal?
- Keranjang memuat 30 buah jeruk. Sudah ada 18 jeruk. Berapa jeruk lagi yang muat?
SEDANG
- Lift berkapasitas 1.000 kg. Sudah ada 5 orang dewasa (rata-rata 70 kg) dan 3 anak (rata-rata 35 kg). Setiap orang dewasa yang masuk membawa koper 15 kg. Berapa orang dewasa (dengan koper) lagi yang bisa masuk?
- Truk berkapasitas 5 ton. Mengangkut x dus besar (30 kg) dan (x+10) dus kecil (15 kg). Tentukan jumlah maksimal dus besar!
- Kolam ikan berkapasitas 800 liter. Terisi 500 liter. Air masuk 10 liter/menit dan menguap 2 liter/menit. Berapa menit hingga penuh?
- Pesawat berkapasitas bagasi 2.000 kg untuk 100 penumpang. Jika rata-rata bagasi per penumpang x kg, tentukan batas x!
- Sebuah kapal feri mengangkut mobil (1.500 kg) dan truk (5.000 kg). Kapasitas 50 ton. Jika ada 10 truk, berapa mobil maksimal?
SULIT
- Kontainer berkapasitas 20 m³ dan daya angkut 12 ton. Barang A: 0,4 m³, 500 kg. Barang B: 0,8 m³, 300 kg. Jika jumlah A = 3 kali jumlah B, dan B = x unit, tentukan x maksimal!
- Gedung parkir 3 lantai. Lantai 1 muat 2x mobil, lantai 2 muat (x+20) mobil, lantai 3 muat x mobil. Total maksimal 300 mobil. Jika lantai 1 sudah penuh, berapa mobil lagi yang bisa masuk ke lantai 2 dan 3?
- Crane mengangkat beban maksimal 8 ton. Mengangkat x batang besi (200 kg) dan tali pengikat serta wadah besi total 500 kg. Jika setiap 5 batang besi perlu tambahan tali pengikat 50 kg, tentukan jumlah maksimal batang besi!
- Sebuah bus tingkat memiliki kapasitas lantai 1 = 40 orang (berdiri + duduk) dan lantai 2 = 30 orang (hanya duduk). Berat maksimal total 5.500 kg. Rata-rata dewasa 70 kg, anak 35 kg. Jika lantai 1 terisi 25 dewasa dan 10 anak, lantai 2 terisi x dewasa, tentukan x maksimal!
- Sebuah helikopter memiliki daya angkut 1.200 kg dan volume kargo 4 m³. Mengangkut peralatan medis (30 kg, 0,1 m³ per unit) dan bahan makanan (20 kg, 0,15 m³ per unit). Jika jumlah peralatan medis = x dan bahan makanan = 2x, tentukan x maksimal!