Konsep PLDV

Konsep Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)

Bentuk Umum ax + by = c dan Makna Dua Variabel

A. Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel

🔍 Mengamati

Perhatikan situasi berikut:

Ani membeli 2 buku dan 3 pensil dengan total harga Rp15.000.
Jika harga satu buku = x dan harga satu pensil = y, maka: 2x + 3y = 15000

Persamaan di atas memiliki dua variabel (x dan y) dan masing-masing variabel berpangkat satu (linear).

Definisi

Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) adalah kalimat terbuka yang memuat dua variabel, masing-masing berderajat satu, dan dihubungkan oleh tanda sama dengan (=).

Bentuk Umum

ax + by = c

Keterangan:

Simbol	Keterangan	Contoh
a	Koefisien variabel x (a ≠ 0)	2, −3, ½
b	Koefisien variabel y (b ≠ 0)	5, −1, 0.4
c	Konstanta (bilangan tetap)	7, 0, −10
x, y	Variabel (nilai yang dicari)	—

❓ Menanya

Mengapa disebut “dua variabel”? Karena persamaan memuat tepat dua huruf/simbol yang nilainya belum diketahui. Variabel pertama biasa disimbolkan x dan variabel kedua disimbolkan y, tetapi boleh menggunakan huruf lain seperti p dan q.

B. Makna Dua Variabel

“Dua variabel” berarti terdapat dua besaran yang belum diketahui dalam persamaan. Kedua variabel tersebut saling berhubungan melalui persamaan.

💡 Menalar

Pada persamaan x + y = 10:

Jika x = 3, maka y = 7
Jika x = 5, maka y = 5
Jika x = 0, maka y = 10

Setiap pasangan (x, y) yang memenuhi persamaan disebut penyelesaian persamaan tersebut. Satu PLDV memiliki tak hingga banyak penyelesaian.

C. Ciri-Ciri PLDV

Memuat dua variabel berbeda.
Pangkat setiap variabel adalah 1 (linear).
Dihubungkan tanda = (sama dengan).
Koefisien variabel ≠ 0.

D. Membedakan PLDV dan Bukan PLDV

Persamaan	PLDV?	Alasan
3x + 2y = 12	✅ Ya	Dua variabel, derajat 1
x² + y = 5	❌ Tidak	x berpangkat 2
4x = 8	❌ Tidak	Hanya satu variabel
xy = 6	❌ Tidak	x dan y dikalikan (derajat 2)
−x + 5y = 0	✅ Ya	Dua variabel, derajat 1

🧪 Mencoba

Tentukan apakah persamaan berikut termasuk PLDV atau bukan:

5a − 2b = 7
m + n² = 4
2p + 3q = −1

Jawaban: (1) Ya, (2) Tidak karena n², (3) Ya

E. Penyelesaian PLDV

Penyelesaian PLDV adalah pasangan nilai (x, y) yang membuat persamaan menjadi kalimat benar.

Contoh: 2x + y = 8
Substitusi x = 1 → 2(1) + y = 8 → y = 6 → penyelesaian (1, 6) ✓
Substitusi x = 3 → 2(3) + y = 8 → y = 2 → penyelesaian (3, 2) ✓

F. Representasi Grafik

Setiap PLDV jika digambar pada bidang koordinat Kartesius akan membentuk garis lurus.

Grafik persamaan x + y = 4 pada bidang Kartesius

📢 Mengkomunikasikan

Kesimpulan: Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) berbentuk ax + by = c memuat dua variabel berderajat satu. Setiap PLDV memiliki tak hingga banyak penyelesaian yang jika digambar membentuk garis lurus. “Dua variabel” bermakna ada dua besaran yang saling terkait dalam satu persamaan.

Contoh Soal dan Pembahasan

Mudah Contoh Soal 1–10

1. Tentukan koefisien a, b, dan konstanta c dari persamaan 3x + 2y = 12.

Pembahasan: Bandingkan 3x + 2y = 12 dengan ax + by = c. Maka a = 3, b = 2, c = 12.

2. Apakah persamaan 5x − y = 7 termasuk PLDV? Jelaskan!

Pembahasan: Ya, karena memuat dua variabel (x dan y), masing-masing berderajat 1, dan dihubungkan tanda =. Bentuk: 5x + (−1)y = 7, jadi a=5, b=−1, c=7.

3. Sebutkan dua penyelesaian dari persamaan x + y = 6.

Pembahasan: Substitusi x=1 → y=5, diperoleh (1,5). Substitusi x=4 → y=2, diperoleh (4,2). Kedua pasangan memenuhi persamaan.

4. Apakah pasangan (2, 3) merupakan penyelesaian dari 4x + y = 11?

Pembahasan: Substitusi x=2, y=3 → 4(2)+3 = 8+3 = 11 ✓. Ya, (2,3) adalah penyelesaian.

5. Tentukan nilai y jika x = 0 pada persamaan 2x + 5y = 20.

Pembahasan: 2(0) + 5y = 20 → 5y = 20 → y = 4.

6. Tentukan nilai x jika y = 0 pada persamaan 3x + 4y = 15.

Pembahasan: 3x + 4(0) = 15 → 3x = 15 → x = 5.

7. Tuliskan persamaan PLDV jika diketahui a = 1, b = 1, c = 9.

Pembahasan: Substitusi ke ax + by = c → x + y = 9.

8. Manakah yang BUKAN PLDV: (a) 2x + 3y = 5, (b) x² + y = 1?

Pembahasan: (b) bukan PLDV karena variabel x berpangkat 2 (tidak linear).

9. Tentukan tiga penyelesaian dari x + 2y = 8.

Pembahasan: y=1→x=6 → (6,1); y=2→x=4 → (4,2); y=3→x=2 → (2,3).

10. Nyatakan kalimat “Jumlah dua bilangan adalah 14” ke bentuk PLDV.

Pembahasan: Misalkan bilangan pertama = x, kedua = y. Maka x + y = 14. Ini PLDV dengan a=1, b=1, c=14.

Sedang Contoh Soal 11–15

11. Harga 3 buku dan 2 pensil adalah Rp21.000. Nyatakan dalam bentuk PLDV dan tentukan 2 kemungkinan harga.

Pembahasan: Misalkan harga buku = x, pensil = y. PLDV: 3x + 2y = 21000.
Jika x = 5000 → 15000 + 2y = 21000 → y = 3000. Penyelesaian (5000, 3000).
Jika x = 3000 → 9000 + 2y = 21000 → y = 6000. Penyelesaian (3000, 6000).

12. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan (2, 0) dalam bentuk ax + by = c.

Pembahasan: Gradien m = (0−4)/(2−0) = −2. Persamaan: y = −2x + 4 → 2x + y = 4. Jadi a=2, b=1, c=4.

13. Apakah (−1, 5) penyelesaian dari 2x − 3y = −17?

Pembahasan: 2(−1) − 3(5) = −2 − 15 = −17 ✓. Ya, (−1, 5) adalah penyelesaian.

14. Persamaan 4x − 2y = 10. Tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y.

Pembahasan: Potong sumbu-x (y=0): 4x=10 → x=2,5 → titik (2,5; 0).
Potong sumbu-y (x=0): −2y=10 → y=−5 → titik (0, −5).

15. Umur ayah dan anak berjumlah 50 tahun. Selisih umur mereka 30 tahun. Nyatakan kedua persamaan dalam bentuk PLDV.

Pembahasan: Misalkan umur ayah = x, anak = y.
Persamaan 1: x + y = 50 (jumlah).
Persamaan 2: x − y = 30 (selisih).
Keduanya merupakan PLDV dengan dua variabel x dan y.

Sulit Contoh Soal 16–20

16. Diketahui persamaan (k−2)x + 3y = 7 merupakan PLDV. Tentukan syarat nilai k.

Pembahasan: Agar termasuk PLDV, koefisien x ≠ 0 dan derajat variabel = 1. Koefisien x = (k−2). Syarat: k−2 ≠ 0, maka k ≠ 2. Selain itu persamaan sudah linear, jadi syaratnya k ∈ ℝ, k ≠ 2.

17. Tentukan semua pasangan bilangan bulat positif (x, y) yang memenuhi 5x + 3y = 26.

Pembahasan: y = (26 − 5x)/3. Agar y bulat positif, (26−5x) harus habis dibagi 3 dan positif.
x=1: y=(26−5)/3 = 7 ✓
x=2: y=(26−10)/3 = 16/3 ✗
x=3: y=(26−15)/3 = 11/3 ✗
x=4: y=(26−20)/3 = 2 ✓
x=5: y=(26−25)/3 = 1/3 ✗
Penyelesaian: (1, 7) dan (4, 2).

18. Persamaan ax + by = 12 melalui titik (2, 3) dan (−1, 6). Tentukan nilai a dan b.

Pembahasan: Substitusi (2,3): 2a + 3b = 12 … (i)
Substitusi (−1,6): −a + 6b = 12 … (ii)
Dari (ii): a = 6b − 12. Substitusi ke (i): 2(6b−12) + 3b = 12 → 12b − 24 + 3b = 12 → 15b = 36 → b = 12/5.
a = 6(12/5) − 12 = 72/5 − 60/5 = 12/5.
Jadi a = 12/5 dan b = 12/5.

19. Buktikan bahwa persamaan 2x + 4y = 10 dan x + 2y = 5 merepresentasikan garis yang sama.

Pembahasan: Bagi persamaan pertama dengan 2: (2x+4y)/2 = 10/2 → x + 2y = 5. Ini identik dengan persamaan kedua. Karena keduanya ekuivalen, mereka merepresentasikan garis yang sama (tak hingga titik potong). Kedua PLDV memiliki himpunan penyelesaian yang sama.

20. Tentukan persamaan PLDV yang melalui titik (3, −2) dengan gradien −⅔. Nyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a, b, c bilangan bulat.

Pembahasan: Rumus titik-gradien: y − y₁ = m(x − x₁) → y − (−2) = −⅔(x − 3) → y + 2 = −⅔x + 2 → y = −⅔x.
Kalikan semua dengan 3: 3y = −2x → 2x + 3y = 0. Jadi a=2, b=3, c=0.

Latihan Soal (Tanpa Pembahasan)

Mudah Soal 1–10

1. Tentukan koefisien a, b, dan konstanta c dari 7x + 4y = 28.

2. Apakah 6x − 3y = 9 termasuk PLDV? Jelaskan!

3. Tentukan nilai y jika x = 2 pada persamaan x + 3y = 11.

4. Tentukan nilai x jika y = 1 pada persamaan 4x − y = 7.

5. Sebutkan tiga penyelesaian dari 2x + y = 10.

6. Apakah (3, 1) penyelesaian dari x + 5y = 8?

7. Nyatakan “Dua kali suatu bilangan ditambah tiga kali bilangan lain sama dengan 18” dalam bentuk PLDV.

8. Manakah yang BUKAN PLDV: (a) p + q = 5, (b) 3mn = 6, (c) 2a − b = 0?

9. Tentukan titik potong sumbu-x dari persamaan 2x + y = 6.

10. Tentukan titik potong sumbu-y dari persamaan x − 2y = 4.

Sedang Soal 11–15

11. Harga 4 roti dan 5 kue adalah Rp35.000. Nyatakan dalam PLDV dan tentukan 2 penyelesaian dalam bilangan bulat positif.

12. Tentukan persamaan garis melalui (0, 6) dan (3, 0) dalam bentuk ax + by = c.

13. Jika 3x − 2y = 1, tentukan semua pasangan bilangan bulat positif (x, y) dengan x ≤ 5.

14. Persamaan 2x + ky = 8 melalui titik (1, 2). Tentukan nilai k.

15. Gambarkan grafik persamaan x + 2y = 6 pada bidang Kartesius (tentukan minimal 3 titik).

Sulit Soal 16–20

16. Diketahui persamaan (2k+1)x + (k−3)y = 5 merupakan PLDV. Tentukan semua nilai k yang memenuhi.

17. Tentukan semua pasangan bilangan bulat non-negatif (x, y) yang memenuhi 7x + 4y = 32.

18. Persamaan ax + by = 20 melalui (4, 2) dan (−2, 8). Tentukan a dan b.

19. Buktikan bahwa 3x − 6y = 9 dan −x + 2y = −3 merepresentasikan garis yang sama.

20. Tentukan persamaan PLDV yang melalui titik (−1, 4) dengan gradien ¾. Nyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a, b, c bilangan bulat.

Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) – Konsep PLDV

Konsep Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)

A. Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel

Definisi

Bentuk Umum

B. Makna Dua Variabel

C. Ciri-Ciri PLDV

D. Membedakan PLDV dan Bukan PLDV

E. Penyelesaian PLDV

F. Representasi Grafik

Contoh Soal dan Pembahasan

Mudah Contoh Soal 1–10

Sedang Contoh Soal 11–15

Sulit Contoh Soal 16–20

Latihan Soal (Tanpa Pembahasan)

Mudah Soal 1–10

Sedang Soal 11–15

Sulit Soal 16–20

By admin

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed

Perangkat Pertama OpenAI Berupa Speaker AI Tanpa Layar

Terungkap! Begini Wujud Gadget AI Pertama OpenAI yang Disebut Bakal Saingi Apple

Lingkungan Belajar Aman, Nyaman, dan Menggembirakan (LBANM)

Eksplorasi Diri : Mengenali Potensi yang Ada (Analisis SWOT)

A. Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel

Definisi

Bentuk Umum

B. Makna Dua Variabel

C. Ciri-Ciri PLDV

D. Membedakan PLDV dan Bukan PLDV

E. Penyelesaian PLDV

F. Representasi Grafik

Contoh Soal dan Pembahasan

Mudah Contoh Soal 1–10

Sedang Contoh Soal 11–15

Sulit Contoh Soal 16–20

Latihan Soal (Tanpa Pembahasan)

Mudah Soal 1–10

Sedang Soal 11–15

Sulit Soal 16–20

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed