Menentukan Titik Uji pada Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Pemilihan Titik Uji & Pengujian Daerah Solusi
1. Pemilihan Titik Uji
Mengamati
Perhatikan pertidaksamaan linear dua variabel berikut:
Garis batas pertidaksamaan ini adalah: 2x + 3y = 12
Garis ini membagi bidang koordinat menjadi dua daerah (setengah bidang). Salah satu daerah merupakan himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut.
Gambar: Garis 2x + 3y = 12 membagi bidang menjadi Daerah I dan Daerah II
Menanya
- Bagaimana cara menentukan daerah mana yang menjadi himpunan penyelesaian?
- Titik mana yang sebaiknya dipilih sebagai titik uji?
- Mengapa titik (0,0) sering digunakan sebagai titik uji?
Menalar
Pengertian Titik Uji
Titik uji adalah sembarang titik yang tidak terletak pada garis batas pertidaksamaan, yang digunakan untuk menentukan daerah penyelesaian (daerah solusi) dari pertidaksamaan linear dua variabel.
Syarat Pemilihan Titik Uji
- Tidak terletak pada garis batas. Titik uji harus berada di salah satu daerah (Daerah I atau Daerah II), bukan tepat di garis.
- Mudah dihitung. Pilih titik dengan koordinat sederhana agar perhitungan mudah.
- Titik (0, 0) adalah pilihan utama jika garis batas tidak melalui titik asal (origin).
- Jika garis batas melalui titik asal, pilih titik lain seperti (1, 0), (0, 1), atau (1, 1).
Mengapa Titik (0, 0)?
Titik (0, 0) dipilih karena substitusinya paling sederhana. Semua suku yang mengandung variabel akan bernilai nol, sehingga perhitungan menjadi sangat cepat.
Substitusi (0, 0): 2(0) + 3(0) < 12 → 0 < 12 → BENAR
Kapan Tidak Boleh Menggunakan (0, 0)?
Ketika garis batas melalui titik (0, 0), yaitu jika persamaan garis berbentuk:
Contoh: x + 2y = 0 melalui (0,0), maka pilih titik uji lain.
Langkah-Langkah Memilih Titik Uji
| Langkah | Kegiatan |
|---|---|
| 1 | Gambar garis batas (ubah tanda pertidaksamaan menjadi “=”) |
| 2 | Periksa apakah garis melalui (0,0). Jika tidak, gunakan (0,0). |
| 3 | Jika garis melalui (0,0), pilih titik lain misal (1,0) atau (0,1). |
| 4 | Substitusikan titik uji ke pertidaksamaan. |
| 5 | Tentukan hasilnya BENAR atau SALAH. |
Mencoba
Cobalah tentukan titik uji yang tepat untuk pertidaksamaan berikut:
- x + y ≤ 5 → Garis: x + y = 5. Melalui (0,0)? Tidak. Titik uji: (0,0)
- 3x − y = 0 → Melalui (0,0)? Ya. Titik uji: (1,0) atau (0,1)
- 2x − 4y ≥ 8 → Garis: 2x − 4y = 8. Melalui (0,0)? Tidak. Titik uji: (0,0)
Mengkomunikasikan
Kesimpulan:
- Titik uji dipilih dari titik yang tidak terletak pada garis batas.
- Titik (0, 0) adalah pilihan paling praktis jika garis tidak melalui origin.
- Jika garis melalui (0, 0), gunakan titik alternatif seperti (1, 0) atau (0, 1).
- Titik uji berfungsi untuk menentukan daerah mana yang merupakan himpunan penyelesaian.
📝 Contoh Soal: Pemilihan Titik Uji
Mudah (10 Soal)
1. Tentukan titik uji untuk pertidaksamaan x + y < 6
2. Tentukan titik uji untuk pertidaksamaan 3x − 2y ≥ 10
3. Tentukan titik uji untuk pertidaksamaan x − y ≤ 4
4. Tentukan titik uji untuk pertidaksamaan 2x + y > 8
5. Tentukan titik uji untuk pertidaksamaan x + 4y < 20
6. Tentukan titik uji untuk pertidaksamaan 5x + 2y ≥ 15
7. Tentukan titik uji untuk pertidaksamaan x − 3y > 9
8. Tentukan titik uji untuk pertidaksamaan 4x − y ≤ 16
9. Tentukan titik uji untuk pertidaksamaan 2x + 5y < 30
10. Tentukan titik uji untuk pertidaksamaan x + 2y ≥ 7
Sedang (5 Soal)
1. Tentukan titik uji yang tepat untuk pertidaksamaan 2x − 3y > 0
2. Tentukan titik uji yang tepat untuk pertidaksamaan x + y ≤ 0
3. Untuk pertidaksamaan 4x + 2y < 0, tentukan titik uji dan jelaskan alasannya.
4. Pertidaksamaan: −x + 5y ≥ 0. Tentukan dua titik uji yang mungkin digunakan.
5. Diketahui pertidaksamaan x − y + 3 > 0. Seorang siswa memilih titik (−3, 0) sebagai titik uji. Apakah pilihan itu tepat? Jelaskan!
Sulit (5 Soal)
1. Pertidaksamaan: 3x − 6y ≤ 0. Garis ini melalui (0,0) dan (2,1). Tentukan titik uji dan tentukan daerah penyelesaiannya.
2. Diberikan pertidaksamaan ½x + ⅓y > 1. Tentukan titik uji yang tepat, lalu tentukan apakah titik (4, 3) termasuk daerah penyelesaian.
3. Pertidaksamaan: −2x + 4y − 8 ≥ 0. Seorang siswa menggunakan titik uji (4, 0). Apakah benar? Jika benar, tentukan hasilnya.
4. Sistem pertidaksamaan: x + y ≤ 10 dan 2x − y ≥ 0. Tentukan titik uji untuk masing-masing pertidaksamaan dan tentukan apakah titik (3, 2) memenuhi keduanya.
5. Pertidaksamaan: |x| + y < 4. Bisa dipisah menjadi dua pertidaksamaan linear. Tentukan titik uji untuk menguji daerah penyelesaiannya.
✏️ Latihan Soal: Pemilihan Titik Uji
Mudah (10 Soal)
1. Tentukan titik uji untuk pertidaksamaan x + y > 3
2. Tentukan titik uji untuk pertidaksamaan 2x − y < 6
3. Tentukan titik uji untuk pertidaksamaan x + 3y ≤ 9
4. Tentukan titik uji untuk pertidaksamaan 4x + y ≥ 12
5. Tentukan titik uji untuk pertidaksamaan x − 2y > 5
6. Tentukan titik uji untuk pertidaksamaan 3x + 4y < 24
7. Tentukan titik uji untuk pertidaksamaan 5x − 3y ≥ 15
8. Tentukan titik uji untuk pertidaksamaan x + 6y ≤ 18
9. Tentukan titik uji untuk pertidaksamaan 2x + 3y > 12
10. Tentukan titik uji untuk pertidaksamaan 6x − y < 18
Sedang (5 Soal)
1. Tentukan titik uji untuk pertidaksamaan 5x + 2y ≤ 0. Jelaskan alasanmu.
2. Pertidaksamaan: −x + 3y = 0 adalah garis batas. Sebutkan 2 titik uji yang boleh digunakan.
3. Seorang siswa memilih titik (2, −1) sebagai titik uji untuk x − y − 3 > 0. Apakah pilihan itu tepat?
4. Pertidaksamaan: 3x − y + 6 ≥ 0. Tentukan titik uji dan uji apakah hasilnya benar atau salah.
5. Jelaskan mengapa titik (0, 5) tidak boleh digunakan sebagai titik uji untuk pertidaksamaan x + 2y < 10 jika garis melalui titik tersebut.
Sulit (5 Soal)
1. Pertidaksamaan: ⅔x − ¼y > 0. Tentukan titik uji yang tepat dan tentukan daerah penyelesaiannya.
2. Diberikan sistem: x + y ≤ 8, x − y ≥ 0, dan x ≥ 0. Tentukan titik uji masing-masing dan tentukan apakah (5, 2) memenuhi semua.
3. Garis batas melalui titik (2, 1) dan (−2, −1). Tuliskan persamaan garisnya, lalu tentukan titik uji yang sesuai.
4. Pertidaksamaan: 0,5x + 0,25y − 2 < 0. Tentukan 3 titik uji yang valid dan tentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan.
5. Diberikan pertidaksamaan ax + by ≤ c dengan c = 0. Jelaskan secara umum bagaimana strategi pemilihan titik uji.
2. Pengujian Daerah Solusi
Mengamati
Setelah memilih titik uji, langkah selanjutnya adalah menguji daerah solusi. Perhatikan proses berikut:
Titik uji: (0, 0)
Substitusi: 0 + 2(0) = 0 ≤ 8 → BENAR
Kesimpulan: Daerah yang memuat (0, 0) adalah daerah penyelesaian.
Menanya
- Bagaimana jika hasil substitusi titik uji SALAH?
- Apa perbedaan arsiran untuk tanda ≤ dan < ?
- Bagaimana mengarsir daerah solusi dengan benar?
Menalar
Prosedur Pengujian Daerah Solusi
| Langkah | Kegiatan | Keterangan |
|---|---|---|
| 1 | Gambar garis batas | Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan |
| 2 | Tentukan jenis garis | ≤ atau ≥ → garis utuh; < atau > → garis putus-putus |
| 3 | Pilih titik uji | Gunakan (0,0) jika memungkinkan |
| 4 | Substitusi titik uji | Masukkan ke pertidaksamaan |
| 5 | Tentukan hasil | BENAR atau SALAH |
| 6 | Arsir daerah solusi | Lihat aturan di bawah |
Aturan Menentukan Daerah Solusi
→ Daerah yang memuat titik uji = Daerah Penyelesaian
Jika hasil substitusi SALAH:
→ Daerah yang tidak memuat titik uji = Daerah Penyelesaian
Jenis Garis Batas
| Tanda | Jenis Garis | Titik pada garis |
|---|---|---|
| ≤ atau ≥ | Garis utuh (solid) | Termasuk solusi |
| < atau > | Garis putus-putus (dashed) | Tidak termasuk solusi |
Contoh Lengkap Pengujian
Langkah 1: Garis batas: 3x − y = 6
Langkah 2: Tanda “>” → garis putus-putus
Langkah 3: Titik uji: (0, 0) → 3(0) − 0 = 0 ≠ 6. Boleh. ✓
Langkah 4: Substitusi: 0 > 6?
Langkah 5: Hasil: SALAH
Langkah 6: Daerah penyelesaian = daerah yang TIDAK memuat (0, 0)
Mencoba
Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:
Jawab:
- Garis batas: x − y + 2 = 0
- Tanda “≥” → garis utuh
- Titik uji: (0, 0). Substitusi: 0 − 0 + 2 = 2 ≥ 0 → BENAR
- Daerah penyelesaian: daerah yang memuat (0, 0)
Mengkomunikasikan
Rangkuman Pengujian Daerah Solusi:
- Substitusikan titik uji ke pertidaksamaan.
- Jika hasilnya BENAR → arsir daerah yang memuat titik uji.
- Jika hasilnya SALAH → arsir daerah yang tidak memuat titik uji.
- Garis utuh (≤, ≥) berarti titik pada garis termasuk solusi.
- Garis putus-putus (<, >) berarti titik pada garis tidak termasuk solusi.
📝 Contoh Soal: Pengujian Daerah Solusi
Mudah (10 Soal)
1. Tentukan daerah penyelesaian dari x + y ≤ 5
2. Tentukan daerah penyelesaian dari 2x + y > 4
3. Tentukan daerah penyelesaian dari x − y ≥ 2
4. Tentukan daerah penyelesaian dari 3x + 2y < 12
5. Tentukan daerah penyelesaian dari x + 4y ≤ 16
6. Tentukan daerah penyelesaian dari 4x − y > 8
7. Tentukan daerah penyelesaian dari 2x + 5y ≥ 20
8. Tentukan daerah penyelesaian dari x − 3y < 9
9. Tentukan daerah penyelesaian dari 5x + y ≤ 10
10. Tentukan daerah penyelesaian dari x + y > 7
Sedang (5 Soal)
1. Tentukan daerah penyelesaian dari 2x − 3y ≤ 0. Gunakan titik uji yang tepat.
2. Apakah titik (2, 3) termasuk daerah penyelesaian dari x + 2y < 10?
3. Pertidaksamaan: 3x + y ≥ 9. Tentukan daerah solusi dan periksa apakah titik (1, 2) termasuk solusi.
4. Pertidaksamaan: −x + 2y > 4. Gunakan titik uji (0, 0) untuk menentukan daerah solusi, lalu periksa titik (0, 3).
5. Pertidaksamaan: x − 2y + 6 ≤ 0. Tentukan jenis garis, titik uji, dan daerah solusi.
Sulit (5 Soal)
1. Tentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan: x + y ≤ 6, 2x + y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0.
2. Pertidaksamaan: ½x + ⅓y ≤ 2. Tentukan daerah solusi dan uji titik (3, 3) dan (6, 0).
3. Tentukan daerah solusi: x + y < 8, x − y > 0, y > 1. Periksa titik (5, 2).
4. Tentukan semua titik berikut yang termasuk daerah penyelesaian 2x − y + 3 > 0: (−2, 0), (0, 4), (1, 6), (−1, 0), (3, 10).
5. Daerah yang dibatasi oleh: x + 2y ≤ 12, 3x + y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0. Tentukan titik-titik pojok daerah penyelesaian.
✏️ Latihan Soal: Pengujian Daerah Solusi
Mudah (10 Soal)
1. Tentukan daerah penyelesaian dari x + y ≤ 10
2. Tentukan daerah penyelesaian dari 2x + y > 6
3. Tentukan daerah penyelesaian dari x − y < 3
4. Tentukan daerah penyelesaian dari 4x + 3y ≥ 24
5. Tentukan daerah penyelesaian dari x + 5y ≤ 15
6. Tentukan daerah penyelesaian dari 3x − 2y > 12
7. Apakah titik (1, 1) termasuk daerah penyelesaian 2x + 3y ≤ 12?
8. Apakah titik (4, 2) termasuk daerah penyelesaian x + y > 5?
9. Tentukan daerah penyelesaian dari x + 2y < 14
10. Tentukan daerah penyelesaian dari 5x − y ≥ 10
Sedang (5 Soal)
1. Tentukan daerah penyelesaian dari x + y ≤ 0 dan periksa titik (1, −2).
2. Pertidaksamaan: 2x − 4y + 8 > 0. Tentukan jenis garis, titik uji, dan daerah solusi.
3. Periksa apakah titik-titik berikut termasuk daerah penyelesaian x + 3y ≤ 9: (0,0), (3,3), (6,1), (0,3).
4. Pertidaksamaan: −x + y ≥ 0. Tentukan daerah penyelesaian (perhatikan garis melalui origin).
5. Tentukan daerah penyelesaian: x + y < 5 dan x − y < 3. Periksa titik (2, 1).
Sulit (5 Soal)
1. Tentukan daerah penyelesaian sistem: 2x + y ≤ 10, x + 3y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0. Tentukan titik-titik pojok.
2. Sistem: x + y ≤ 8, x − 2y ≥ −4, 2x + y ≥ 4. Tentukan apakah (3, 4) termasuk daerah penyelesaian.
3. Pertidaksamaan: ⅓x + ½y > 1. Tentukan 4 titik yang memenuhi dan 4 titik yang tidak memenuhi.
4. Daerah penyelesaian dibatasi: x + y ≤ 10, 2x + y ≤ 14, x + 2y ≤ 14, x ≥ 0, y ≥ 0. Tentukan semua titik pojok.
5. Buktikan bahwa titik (a, b) termasuk daerah penyelesaian x + y ≤ k jika dan hanya jika a + b ≤ k. Berikan 3 contoh numerik.