Menentukan Daerah Penyelesaian
Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Fokus: Arsiran Daerah & Interpretasi Daerah Solusi
1. Pengertian Daerah Penyelesaian
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan pertidaksamaan berikut:
Pertidaksamaan di atas memiliki banyak sekali pasangan (x, y) yang memenuhi. Kumpulan semua pasangan (x, y) yang memenuhi pertidaksamaan tersebut membentuk suatu daerah pada bidang koordinat Kartesius. Daerah inilah yang disebut Daerah Penyelesaian (DP).
Definisi
Bentuk umum pertidaksamaan linear dua variabel:
ax + by > c
ax + by ≤ c
ax + by ≥ c
dengan a, b, c ∈ bilangan real dan a, b tidak keduanya nol.
Konsep Penting
- Garis ax + by = c membagi bidang koordinat menjadi dua daerah (setengah bidang).
- Satu daerah memenuhi ax + by < c dan daerah lainnya memenuhi ax + by > c.
- Garis batas bisa termasuk DP (jika ≤ atau ≥, digambar garis utuh) atau tidak termasuk DP (jika < atau >, digambar garis putus-putus).
Kegiatan: Menanya
- Bagaimana cara mengetahui daerah mana yang merupakan penyelesaian?
- Apa bedanya garis utuh dan garis putus-putus pada grafik?
- Bagaimana jika terdapat lebih dari satu pertidaksamaan?
2. Langkah Menentukan Daerah Penyelesaian
Kegiatan: Menalar
Ikuti langkah-langkah berikut untuk menentukan daerah penyelesaian:
Langkah 1: Gambar garis batas
Ubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda “=” untuk mendapatkan persamaan garis batas. Gambar garisnya:
- Garis utuh (solid) → jika pertidaksamaan menggunakan ≤ atau ≥
- Garis putus-putus (dashed) → jika pertidaksamaan menggunakan < atau >
Cara mudah menggambar garis: cari titik potong sumbu-x (y=0) dan sumbu-y (x=0).
Langkah 2: Tentukan titik uji
Pilih satu titik yang tidak terletak pada garis batas. Titik yang paling mudah digunakan adalah (0, 0) (titik asal), kecuali jika garis melewati titik asal.
Langkah 3: Substitusikan titik uji
Masukkan koordinat titik uji ke dalam pertidaksamaan:
- Jika pertidaksamaan terpenuhi (BENAR) → daerah yang memuat titik uji adalah DP.
- Jika pertidaksamaan tidak terpenuhi (SALAH) → daerah yang tidak memuat titik uji adalah DP.
Langkah 4: Arsir daerah penyelesaian
Berikan arsiran (shading) pada daerah yang merupakan himpunan penyelesaian.
Tabel Ringkasan Jenis Garis
| Pertidaksamaan | Jenis Garis | Garis Termasuk DP? |
|---|---|---|
| ax + by < c | Putus-putus (—) | Tidak |
| ax + by > c | Putus-putus (—) | Tidak |
| ax + by ≤ c | Utuh (───) | Ya |
| ax + by ≥ c | Utuh (───) | Ya |
3. Arsiran Daerah (Shading)
Kegiatan: Mencoba
Mari kita praktikkan menentukan arsiran daerah untuk pertidaksamaan x + 2y ≤ 6.
Prinsip Arsiran Daerah
Arsiran menunjukkan kumpulan titik-titik yang memenuhi pertidaksamaan. Ada dua konvensi yang umum digunakan:
Konvensi 1 (yang digunakan di buku ajar Indonesia):
Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian (DP).
Konvensi 2 (konvensi internasional):
Daerah yang diarsir adalah daerah yang bukan penyelesaian. Daerah bersih (putih) adalah DP.
Catatan: Dalam materi ini, kita menggunakan Konvensi 1 — daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian.
Contoh Ilustrasi
Tentukan daerah penyelesaian dari x + 2y ≤ 6
Langkah 1: Gambar garis x + 2y = 6
- Titik potong sumbu-x: y = 0 → x = 6, titik (6, 0)
- Titik potong sumbu-y: x = 0 → 2y = 6 → y = 3, titik (0, 3)
- Garis digambar utuh (karena ≤)
Langkah 2: Titik uji = (0, 0)
Langkah 3: Substitusi: 0 + 2(0) = 0 ≤ 6 → BENAR
Maka daerah yang memuat (0, 0) adalah DP → arsir daerah di bawah/kiri garis.
Aturan Cepat Menentukan Arah Arsiran
| Pertidaksamaan | Posisi DP terhadap garis |
|---|---|
| ax + by ≤ c atau ax + by < c | Di bawah garis (jika b > 0) Di atas garis (jika b < 0) |
| ax + by ≥ c atau ax + by > c | Di atas garis (jika b > 0) Di bawah garis (jika b < 0) |
| y ≤ mx + n | Di bawah garis |
| y ≥ mx + n | Di atas garis |
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Jelaskan dengan kata-katamu sendiri:
- Mengapa kita perlu menguji titik uji?
- Apa yang terjadi jika garis melewati titik (0,0)? Titik uji apa yang bisa kita gunakan?
- Bagaimana perbedaan visual antara DP untuk ≤ dan <?
4. Interpretasi Daerah Solusi
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan bahwa setiap titik di dalam daerah penyelesaian merepresentasikan pasangan nilai (x, y) yang memenuhi pertidaksamaan. Dalam konteks masalah nyata, nilai-nilai ini memiliki makna.
Makna Daerah Solusi
- Titik di dalam daerah arsiran: memenuhi pertidaksamaan (solusi).
- Titik di luar daerah arsiran: tidak memenuhi pertidaksamaan (bukan solusi).
- Titik pada garis batas:
- Termasuk solusi jika tanda ≤ atau ≥
- Tidak termasuk solusi jika tanda < atau >
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)
Jika terdapat lebih dari satu pertidaksamaan, maka:
Artinya, DP adalah daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan secara bersamaan.
Interpretasi dalam Konteks Nyata
Contoh Konteks: Sebuah toko roti membuat kue A dan kue B. Setiap kue A membutuhkan 2 kg tepung dan setiap kue B membutuhkan 3 kg tepung. Stok tepung hanya 12 kg.
Model Matematika: 2x + 3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
Interpretasi DP:
- Setiap titik (x, y) di DP berarti kombinasi jumlah kue A dan kue B yang bisa dibuat tanpa melebihi stok.
- Misalnya titik (3, 2): membuat 3 kue A dan 2 kue B → butuh 2(3)+3(2) = 12 kg ✓
- Titik (4, 3): butuh 2(4)+3(3) = 17 kg > 12 → tidak memenuhi ✗
Titik-Titik Khusus pada DP
| Jenis Titik | Lokasi | Keterangan |
|---|---|---|
| Titik Pojok (Vertex) | Perpotongan dua garis batas | Penting dalam optimasi (Program Linear) |
| Titik Interior | Di dalam DP, tidak di garis batas | Selalu memenuhi semua pertidaksamaan |
| Titik Batas | Pada garis batas | Memenuhi jika ≤ atau ≥ |
Kegiatan: Menalar
Jika daerah penyelesaian dari suatu SPtLDV berbentuk segitiga, berapa banyak titik pojok yang dimiliki? Bagaimana cara menentukan koordinat titik-titik pojok tersebut?
Contoh Soal & Pembahasan
Mudah Contoh Soal Tingkat Mudah
Contoh 1.
Tentukan daerah penyelesaian dari x + y ≤ 4
Pembahasan:
1. Gambar garis x + y = 4 (garis utuh karena ≤)
• Titik potong sumbu-x: (4, 0)
• Titik potong sumbu-y: (0, 4)
2. Titik uji (0, 0): 0 + 0 = 0 ≤ 4 → BENAR
3. DP: daerah yang memuat (0, 0), yaitu di bawah/kiri garis.
Kesimpulan: Arsir daerah di bawah garis x + y = 4 termasuk garisnya.
Contoh 2.
Tentukan daerah penyelesaian dari 2x + y ≥ 6
Pembahasan:
1. Gambar garis 2x + y = 6 (garis utuh karena ≥)
• Titik potong sumbu-x: (3, 0)
• Titik potong sumbu-y: (0, 6)
2. Titik uji (0, 0): 2(0) + 0 = 0 ≥ 6 → SALAH
3. DP: daerah yang tidak memuat (0, 0), yaitu di atas/kanan garis.
Kesimpulan: Arsir daerah di atas garis 2x + y = 6 termasuk garisnya.
Contoh 3.
Tentukan daerah penyelesaian dari y < 3
Pembahasan:
1. Gambar garis y = 3 (garis horizontal putus-putus karena <)
2. Titik uji (0, 0): 0 < 3 → BENAR
3. DP: daerah di bawah garis y = 3, tidak termasuk garisnya.
Contoh 4.
Tentukan daerah penyelesaian dari x ≥ 2
Pembahasan:
1. Gambar garis x = 2 (garis vertikal utuh karena ≥)
2. Titik uji (0, 0): 0 ≥ 2 → SALAH
3. DP: daerah di kanan garis x = 2, termasuk garisnya.
Contoh 5.
Tentukan daerah penyelesaian dari x − y ≤ 2
Pembahasan:
1. Gambar garis x − y = 2 (utuh)
• Titik potong sumbu-x: (2, 0)
• Titik potong sumbu-y: (0, −2)
2. Titik uji (0, 0): 0 − 0 = 0 ≤ 2 → BENAR
3. DP: daerah yang memuat (0, 0), yaitu di atas garis.
Contoh 6.
Tentukan daerah penyelesaian dari 3x + 2y ≤ 12
Pembahasan:
1. Garis 3x + 2y = 12 (utuh)
• x = 0 → y = 6, titik (0, 6)
• y = 0 → x = 4, titik (4, 0)
2. Uji (0,0): 0 + 0 = 0 ≤ 12 → BENAR
3. DP: daerah memuat (0,0), di bawah garis.
Contoh 7.
Tentukan daerah penyelesaian dari y > x
Pembahasan:
1. Garis y = x (putus-putus karena >), melewati (0,0) dan (1,1)
2. Karena garis melewati (0,0), gunakan titik uji lain, misal (0, 2)
3. Uji (0, 2): 2 > 0 → BENAR
4. DP: daerah memuat (0,2), yaitu di atas garis y = x, tidak termasuk garis.
Contoh 8.
Tentukan daerah penyelesaian dari x + 3y ≥ 9
Pembahasan:
1. Garis x + 3y = 9 (utuh)
• (9, 0) dan (0, 3)
2. Uji (0,0): 0 + 0 = 0 ≥ 9 → SALAH
3. DP: daerah yang tidak memuat (0,0), yaitu di atas garis.
Contoh 9.
Tentukan daerah penyelesaian dari −x + y ≤ 3
Pembahasan:
1. Garis −x + y = 3 atau y = x + 3 (utuh)
• (0, 3) dan (−3, 0)
2. Uji (0,0): 0 + 0 = 0 ≤ 3 → BENAR
3. DP: daerah memuat (0,0), di bawah garis y = x + 3.
Contoh 10.
Tentukan daerah penyelesaian dari 4x + y < 8
Pembahasan:
1. Garis 4x + y = 8 (putus-putus)
• (2, 0) dan (0, 8)
2. Uji (0,0): 0 + 0 = 0 < 8 → BENAR
3. DP: daerah memuat (0,0), di bawah garis, tidak termasuk garis.
Sedang Contoh Soal Tingkat Sedang
Contoh 11.
Tentukan daerah penyelesaian dari sistem:
x + y ≤ 5
x ≥ 0
y ≥ 0
Pembahasan:
1. Garis x + y = 5: titik (5,0) dan (0,5), garis utuh.
2. x ≥ 0: daerah di kanan sumbu-y (termasuk sumbu-y).
3. y ≥ 0: daerah di atas sumbu-x (termasuk sumbu-x).
4. Uji (0,0) pada x+y ≤ 5: 0 ≤ 5 → BENAR.
5. DP: segitiga dengan titik pojok (0,0), (5,0), dan (0,5).
Contoh 12.
Tentukan daerah penyelesaian dari sistem:
2x + y ≤ 8
x + 2y ≤ 8
x ≥ 0, y ≥ 0
Pembahasan:
1. Garis 2x + y = 8: (4, 0) dan (0, 8)
2. Garis x + 2y = 8: (8, 0) dan (0, 4)
3. Kedua garis utuh (karena ≤). Uji (0,0) pada keduanya: BENAR.
4. Titik potong kedua garis: dari 2x+y=8 dan x+2y=8
Dari persamaan 1: y = 8 − 2x. Substitusi ke persamaan 2:
x + 2(8−2x) = 8 → x + 16 − 4x = 8 → −3x = −8 → x = 8/3
y = 8 − 2(8/3) = 8 − 16/3 = 8/3
Titik potong: (8/3, 8/3) ≈ (2.67, 2.67)
5. DP: segiempat dengan titik pojok (0,0), (4,0), (8/3, 8/3), (0,4).
Contoh 13.
Tentukan apakah titik (2, 3) termasuk daerah penyelesaian dari 3x + 2y ≤ 15
Pembahasan:
Substitusi (2, 3) ke pertidaksamaan:
3(2) + 2(3) = 6 + 6 = 12
Cek: 12 ≤ 15 → BENAR
Kesimpulan: Titik (2, 3) termasuk daerah penyelesaian.
Contoh 14.
Tentukan pertidaksamaan yang daerah penyelesaiannya berupa daerah di bawah garis yang melalui (6, 0) dan (0, 4), termasuk garisnya.
Pembahasan:
1. Persamaan garis melalui (6,0) dan (0,4):
x/6 + y/4 = 1 → 2x + 3y = 12
2. Daerah di bawah garis (memuat titik asal) dan termasuk garis → tanda ≤
3. Uji (0,0): 2(0)+3(0) = 0 ≤ 12 ✓
Jawaban: 2x + 3y ≤ 12
Contoh 15.
Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
x + y ≤ 6, x + 2y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
berbentuk apa? Tentukan titik-titik pojoknya.
Pembahasan:
1. Garis x+y=6: (6,0) dan (0,6)
2. Garis x+2y=4: (4,0) dan (0,2)
3. Uji (0,0):
• 0+0=0 ≤ 6 → BENAR (di bawah garis 1)
• 0+0=0 ≥ 4 → SALAH (di atas garis 2)
4. Titik potong garis 1 dan garis 2:
x+y=6 dan x+2y=4 → kurangi: −y = 2 → y = −2
Karena y = −2 tidak memenuhi y ≥ 0, kedua garis tidak berpotongan di kuadran I.
5. Titik pojok DP: (0, 2), (0, 6), (6, 0), (4, 0)
DP berbentuk segiempat.
Sulit Contoh Soal Tingkat Sulit
Contoh 16.
Tentukan sistem pertidaksamaan yang daerah penyelesaiannya merupakan segitiga dengan titik pojok (0, 0), (4, 0), dan (0, 6).
Pembahasan:
Segitiga dibentuk oleh tiga garis:
1. Sisi dari (4,0) ke (0,6): persamaan garis x/4 + y/6 = 1 → 3x + 2y = 12
DP di bawah garis (memuat O): 3x + 2y ≤ 12
2. Sumbu-x (sisi bawah): y ≥ 0
3. Sumbu-y (sisi kiri): x ≥ 0
Jawaban: 3x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
Contoh 17.
Tentukan daerah penyelesaian dari sistem:
x + y ≤ 8
2x + y ≥ 6
x + 3y ≥ 6
x ≥ 0, y ≥ 0
Pembahasan:
1. Garis-garis batas:
• x+y=8: (8,0) dan (0,8) — utuh
• 2x+y=6: (3,0) dan (0,6) — utuh
• x+3y=6: (6,0) dan (0,2) — utuh
2. Uji (0,0):
• 0 ≤ 8 ✓ | 0 ≥ 6 ✗ | 0 ≥ 6 ✗
3. Arah arsiran:
• x+y ≤ 8: di bawah (memuat O)
• 2x+y ≥ 6: di atas (tidak memuat O)
• x+3y ≥ 6: di atas (tidak memuat O)
4. Cari titik potong:
• 2x+y=6 dan x+3y=6: x=12/5, y=6/5 → (2.4, 1.2)
• x+y=8 dan 2x+y=6: x=−2 (tidak di kuadran I)
• x+y=8 dan x+3y=6: x=9, y=−1 (tidak di kuadran I)
• Garis 2x+y=6 potong sumbu: (3,0), (0,6) ∩ batas x+y=8: cek batasan.
5. Titik pojok DP ditentukan dengan mempertimbangkan semua kendala. DP adalah segi lima.
Titik pojok: (3, 0), (8, 0), (0, 8), (0, 2), (2.4, 1.2)
Contoh 18.
Sebuah pabrik memproduksi dua jenis barang. Barang A membutuhkan 3 jam mesin dan 2 jam pekerja. Barang B membutuhkan 2 jam mesin dan 4 jam pekerja. Tersedia 120 jam mesin dan 160 jam pekerja. Tentukan model matematika dan gambarkan daerah penyelesaiannya.
Pembahasan:
Misalkan x = jumlah barang A, y = jumlah barang B.
Kendala:
• Jam mesin: 3x + 2y ≤ 120
• Jam pekerja: 2x + 4y ≤ 160 → x + 2y ≤ 80
• Non-negatif: x ≥ 0, y ≥ 0
Garis batas:
• 3x+2y=120: (40, 0) dan (0, 60)
• x+2y=80: (80, 0) dan (0, 40)
Titik potong: 3x+2y=120 dan x+2y=80
Kurangi: 2x = 40 → x = 20, y = 30
Titik pojok DP: (0, 0), (40, 0), (20, 30), (0, 40)
Contoh 19.
Tentukan luas daerah penyelesaian dari sistem:
x + y ≤ 6, 2x + y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0
Pembahasan:
1. Garis x+y=6: (6,0), (0,6)
2. Garis 2x+y=8: (4,0), (0,8)
3. Titik potong: x+y=6 dan 2x+y=8
Kurangi: x = 2 → y = 4. Titik (2, 4).
4. Uji (0,0): BENAR untuk keduanya.
5. Titik pojok DP: (0,0), (4,0), (2,4), (0,6)
6. Luas segiempat (Rumus Shoelace):
L = ½|x₁(y₂−y₄) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₄−y₂) + x₄(y₁−y₃)|
= ½|0(0−6) + 4(4−0) + 2(6−0) + 0(0−4)|
= ½|0 + 16 + 12 + 0| = ½ × 28 = 14
Luas DP = 14 satuan luas.
Contoh 20.
Dari grafik daerah penyelesaian yang dibatasi oleh garis-garis x + 2y = 10, 3x + y = 12, sumbu-x, dan sumbu-y, tentukan nilai maksimum dari f(x,y) = 5x + 4y.
Pembahasan:
1. Titik pojok DP:
• (0, 0)
• (4, 0) → potong 3x+y=12 dengan sumbu-x
• (0, 5) → potong x+2y=10 dengan sumbu-y
• Titik potong kedua garis: x+2y=10 dan 3x+y=12
Dari pers.1: x = 10−2y. Substitusi: 3(10−2y)+y=12 → 30−6y+y=12 → −5y=−18 → y=18/5=3.6
x = 10−2(3.6) = 2.8. Titik (2.8, 3.6)
2. Evaluasi f di titik pojok:
| Titik | f = 5x + 4y |
|---|---|
| (0, 0) | 0 |
| (4, 0) | 5(4)+4(0) = 20 |
| (2.8, 3.6) | 5(2.8)+4(3.6) = 14+14.4 = 28.4 |
| (0, 5) | 5(0)+4(5) = 20 |
Nilai maksimum f = 28.4 di titik (2.8, 3.6) atau (14/5, 18/5).
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Selamat berlatih!
Mudah Latihan Tingkat Mudah
1. Tentukan daerah penyelesaian dari x + y ≤ 7
2. Tentukan daerah penyelesaian dari 2x + y < 10
3. Tentukan daerah penyelesaian dari x − y ≥ 4
4. Tentukan daerah penyelesaian dari y ≤ 5
5. Tentukan daerah penyelesaian dari x > 1
6. Gambarkan daerah penyelesaian dari 3x + y ≥ 9
7. Tentukan daerah penyelesaian dari x + 4y ≤ 8
8. Apakah titik (1, 2) termasuk DP dari x + y ≤ 4? Jelaskan!
9. Tentukan daerah penyelesaian dari y > 2x
10. Tentukan daerah penyelesaian dari 5x + 2y ≤ 20
Sedang Latihan Tingkat Sedang
11. Tentukan daerah penyelesaian dari sistem: x + y ≤ 6, x ≥ 1, y ≥ 0. Sebutkan titik pojoknya.
12. Gambarkan daerah penyelesaian dari: 2x + 3y ≤ 12, x + y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0
13. Tentukan pertidaksamaan linear yang daerah penyelesaiannya berupa daerah di atas garis melalui (0, 3) dan (4, 0), tidak termasuk garisnya.
14. Dari sistem: x + 2y ≤ 10, 3x + y ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0, tentukan apakah titik (2, 3) termasuk DP.
15. Tentukan titik-titik pojok DP dari sistem: x + y ≤ 8, x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
Sulit Latihan Tingkat Sulit
16. Tentukan sistem pertidaksamaan yang memiliki DP berupa segiempat dengan titik pojok (0,0), (6,0), (4,3), (0,5).
17. Sebuah perusahaan memproduksi kursi dan meja. Setiap kursi membutuhkan 2 jam pemotongan dan 3 jam perakitan. Setiap meja membutuhkan 4 jam pemotongan dan 2 jam perakitan. Tersedia 80 jam pemotongan dan 60 jam perakitan. Tentukan model matematika, gambar DP, dan hitung luasnya.
18. Tentukan daerah penyelesaian dan semua titik pojok dari: x + y ≤ 10, 2x + y ≥ 8, x + 3y ≥ 9, x ≥ 0, y ≥ 0
19. Dari DP yang dibatasi oleh x + y ≤ 8, 2x + y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0, tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x,y) = 3x + 5y.
20. Seorang petani memiliki lahan 10 hektar. Ia ingin menanam padi dan jagung. Biaya per hektar padi Rp2 juta dan jagung Rp3 juta dengan modal Rp24 juta. Kebutuhan pekerja: padi 3 orang/hektar, jagung 2 orang/hektar, tersedia 24 pekerja. Tentukan model matematika, daerah penyelesaian, dan kombinasi yang memaksimumkan keuntungan jika keuntungan padi Rp4 juta/hektar dan jagung Rp5 juta/hektar.