Matematika Kelas X
Bentuk Umum Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Fokus: ax + by > c dan ax + by < c
1. Pengertian dan Bentuk Umum
Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV) adalah kalimat terbuka yang memuat dua variabel (biasanya x dan y) dengan pangkat tertinggi 1, dan dihubungkan oleh tanda pertidaksamaan.
Tanda Pertidaksamaan
| Simbol | Dibaca | Contoh |
|---|---|---|
| > | lebih dari | x + y > 5 |
| < | kurang dari | 2x + 3y < 12 |
| ≥ | lebih dari atau sama dengan | x + y ≥ 5 |
| ≤ | kurang dari atau sama dengan | 2x + 3y ≤ 12 |
Bentuk Umum
ax + by > c atau ax + by < c
dengan:
- a = koefisien variabel x (bilangan real, a ≠ 0)
- b = koefisien variabel y (bilangan real, b ≠ 0)
- c = konstanta (bilangan real)
- x, y = variabel
🔑 Perbedaan dengan Persamaan:
Persamaan: ax + by = c → penyelesaian berupa garis.
Pertidaksamaan: ax + by > c atau ax + by < c → penyelesaian berupa daerah (area).
Persamaan: ax + by = c → penyelesaian berupa garis.
Pertidaksamaan: ax + by > c atau ax + by < c → penyelesaian berupa daerah (area).
2. Bentuk ax + by > c (Lebih Dari)
Pertidaksamaan ax + by > c berarti kita mencari semua pasangan (x, y) yang bila disubstitusikan menghasilkan nilai lebih besar dari c.
Contoh: 2x + 3y > 12
Titik (3, 4): 2(3) + 3(4) = 6 + 12 = 18 > 12 ✅ memenuhi
Titik (1, 1): 2(1) + 3(1) = 2 + 3 = 5 > 12 ❌ tidak memenuhi
Titik (3, 4): 2(3) + 3(4) = 6 + 12 = 18 > 12 ✅ memenuhi
Titik (1, 1): 2(1) + 3(1) = 2 + 3 = 5 > 12 ❌ tidak memenuhi
Sifat-sifat ax + by > c
- Daerah penyelesaian berada di atas garis ax + by = c (jika b > 0)
- Garis batas ax + by = c digambar putus-putus (karena tanda > tanpa sama dengan)
- Himpunan penyelesaian: {(x, y) | ax + by > c, x, y ∈ ℝ}
⚠️ Perhatian: Tanda > (tanpa sama dengan) berarti titik-titik pada garis ax + by = c TIDAK termasuk penyelesaian. Garisnya putus-putus!
3. Bentuk ax + by < c (Kurang Dari)
Pertidaksamaan ax + by < c berarti kita mencari semua pasangan (x, y) yang bila disubstitusikan menghasilkan nilai kurang dari c.
Contoh: x + 2y < 8
Titik (1, 2): 1 + 2(2) = 1 + 4 = 5 < 8 ✅ memenuhi
Titik (4, 3): 4 + 2(3) = 4 + 6 = 10 < 8 ❌ tidak memenuhi
Titik (1, 2): 1 + 2(2) = 1 + 4 = 5 < 8 ✅ memenuhi
Titik (4, 3): 4 + 2(3) = 4 + 6 = 10 < 8 ❌ tidak memenuhi
Sifat-sifat ax + by < c
- Daerah penyelesaian berada di bawah garis ax + by = c (jika b > 0)
- Garis batas ax + by = c digambar putus-putus (karena tanda < tanpa sama dengan)
- Himpunan penyelesaian: {(x, y) | ax + by < c, x, y ∈ ℝ}
Perbandingan > dan <
| Aspek | ax + by > c | ax + by < c |
|---|---|---|
| Daerah (jika b > 0) | Di atas garis | Di bawah garis |
| Garis batas | Putus-putus | Putus-putus |
| Titik pada garis | Tidak termasuk | Tidak termasuk |
| Uji titik (0,0) | Jika 0 > c salah → arsir sisi lain | Jika 0 < c benar → arsir sisi (0,0) |
4. Grafik dan Daerah Penyelesaian
Untuk menggambar grafik pertidaksamaan, kita perlu memahami langkah-langkahnya:
Langkah Menggambar Grafik
- Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan: ax + by = c
- Tentukan titik potong sumbu-x (syarat y = 0) dan sumbu-y (syarat x = 0)
- Gambar garis: putus-putus untuk > atau <, tegas untuk ≥ atau ≤
- Uji titik (biasanya titik O(0,0)) untuk menentukan daerah penyelesaian
- Arsir daerah yang memenuhi pertidaksamaan
📊 Ilustrasi: Grafik 2x + 3y > 12
Langkah:
1. Persamaan garis: 2x + 3y = 12
2. Titik potong sumbu-x: y = 0 → x = 6 → (6, 0)
3. Titik potong sumbu-y: x = 0 → y = 4 → (0, 4)
4. Uji titik (0, 0): 2(0)+3(0) = 0 > 12? → Tidak
5. Daerah penyelesaian: sisi berlawanan dari (0,0) → daerah biru
1. Persamaan garis: 2x + 3y = 12
2. Titik potong sumbu-x: y = 0 → x = 6 → (6, 0)
3. Titik potong sumbu-y: x = 0 → y = 4 → (0, 4)
4. Uji titik (0, 0): 2(0)+3(0) = 0 > 12? → Tidak
5. Daerah penyelesaian: sisi berlawanan dari (0,0) → daerah biru
📊 Ilustrasi: Grafik x + 2y < 8
Langkah:
1. Persamaan garis: x + 2y = 8
2. Titik potong sumbu-x: y = 0 → x = 8 → (8, 0)
3. Titik potong sumbu-y: x = 0 → y = 4 → (0, 4)
4. Uji titik (0, 0): 0+2(0) = 0 < 8? → Ya
5. Daerah penyelesaian: sisi yang sama dengan (0,0) → daerah merah
1. Persamaan garis: x + 2y = 8
2. Titik potong sumbu-x: y = 0 → x = 8 → (8, 0)
3. Titik potong sumbu-y: x = 0 → y = 4 → (0, 4)
4. Uji titik (0, 0): 0+2(0) = 0 < 8? → Ya
5. Daerah penyelesaian: sisi yang sama dengan (0,0) → daerah merah
5. Langkah Sistematis Menyelesaikan PtLDV
1
Identifikasi — Tentukan nilai a, b, c dan tanda pertidaksamaan (> atau <)
2
Gambar Garis Batas — Ubah menjadi persamaan ax + by = c, cari titik potong sumbu
3
Tentukan Jenis Garis — Putus-putus untuk > atau <; tegas untuk ≥ atau ≤
4
Uji Titik — Substitusi titik uji (biasanya (0,0)) ke pertidaksamaan
5
Arsir Daerah — Arsir daerah yang memenuhi pertidaksamaan
💡 Tips Cepat:
- Jika titik (0,0) memenuhi → arsir sisi yang mengandung (0,0)
- Jika titik (0,0) tidak memenuhi → arsir sisi yang tidak mengandung (0,0)
- Jika garis melewati (0,0), gunakan titik uji lain seperti (1,0) atau (0,1)
6. Contoh Soal dan Pembahasan
Klik soal untuk melihat pembahasan lengkap.
Mudah — 10 Soal
Sedang — 5 Soal
Sulit — 5 Soal
7. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Selamat mengerjakan!