Syarat Persamaan Logaritma
Materi Matematika SMA/SMK — Logaritma
A. Pengertian Persamaan Logaritma
Mengamati
Perhatikan persamaan berikut:
Persamaan di atas disebut persamaan logaritma, yaitu persamaan yang memuat logaritma dengan variabel (peubah) di dalamnya.
Persamaan logaritma adalah persamaan yang mengandung bentuk logaritma dengan variabel pada numerus, basis, atau keduanya. Untuk menyelesaikan persamaan logaritma, kita harus memperhatikan syarat-syarat yang berlaku.
B. Syarat-Syarat Persamaan Logaritma
Menanya
Mengapa kita perlu memperhatikan syarat dalam persamaan logaritma? Apa yang terjadi jika syarat tidak dipenuhi?
Ingat bahwa logaritma \( \log_a b \) hanya terdefinisi jika:
Syarat Logaritma \( \log_a b = c \)
Menalar
Syarat-syarat di atas muncul karena:
- Jika \( a \leq 0 \) atau \( a = 1 \), maka perpangkatan \( a^c = b \) tidak menghasilkan nilai yang unik.
- Jika \( b \leq 0 \), maka tidak ada bilangan real \( c \) sedemikian sehingga \( a^c = b \) (karena hasil perpangkatan bilangan positif selalu positif).
C. Bentuk-Bentuk Persamaan Logaritma dan Penerapan Syarat
Berikut adalah bentuk-bentuk persamaan logaritma beserta cara penyelesaiannya dengan memperhatikan syarat:
Bentuk 1: \( \log_a f(x) = \log_a g(x) \)
Penyelesaian:
\( f(x) = g(x) \)
Syarat:
- \( a > 0,\ a \neq 1 \)
- \( f(x) > 0 \)
- \( g(x) > 0 \)
Bentuk 2: \( \log_a f(x) = c \)
Penyelesaian:
\( f(x) = a^c \)
Syarat:
- \( a > 0,\ a \neq 1 \)
- \( f(x) > 0 \)
Bentuk 3: \( \log_{f(x)} g(x) = \log_{f(x)} h(x) \)
Penyelesaian:
\( g(x) = h(x) \)
Syarat:
- \( f(x) > 0,\ f(x) \neq 1 \)
- \( g(x) > 0 \)
- \( h(x) > 0 \)
Bentuk 4: \( \log_{f(x)} g(x) = c \)
Penyelesaian:
\( g(x) = [f(x)]^c \)
Syarat:
- \( f(x) > 0,\ f(x) \neq 1 \)
- \( g(x) > 0 \)
Bentuk 5: \( \log_{f(x)} g(x) = \log_{h(x)} g(x) \)
Penyelesaian:
Jika \( g(x) \neq 1 \), maka \( f(x) = h(x) \)
Syarat:
- \( f(x) > 0,\ f(x) \neq 1 \)
- \( h(x) > 0,\ h(x) \neq 1 \)
- \( g(x) > 0 \)
Mencoba
Cobalah tentukan syarat-syarat yang harus dipenuhi pada persamaan berikut:
Jawab: Syarat numerus → \(2x-1>0\) dan \(x+4>0\), sehingga \(x > \frac{1}{2}\) dan \(x > -4\). Gabungan syarat: \(x > \frac{1}{2}\).
Mengkomunikasikan
Langkah-langkah menyelesaikan persamaan logaritma:
- Tuliskan syarat basis dan numerus.
- Selesaikan persamaan logaritma sesuai bentuknya.
- Periksa apakah solusi memenuhi semua syarat.
- Tuliskan himpunan penyelesaian.
Contoh Soal
🟢 Tingkat Mudah
Contoh 1
Tentukan nilai \( x \) yang memenuhi persamaan \( \log_2(x) = \log_2(8) \) beserta syaratnya.
Pembahasan:
Syarat: \( x > 0 \)
Karena basis sama, maka:
\( x = 8 \)
Cek syarat: \( x = 8 > 0 \) ✓
HP = {8}
Contoh 2
Tentukan nilai \( x \) dari \( \log_5(x+1) = 2 \) beserta syaratnya.
Pembahasan:
Syarat: \( x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1 \)
Dari \( \log_5(x+1) = 2 \):
\( x + 1 = 5^2 = 25 \)
\( x = 24 \)
Cek syarat: \( 24 > -1 \) ✓
HP = {24}
Contoh 3
Tentukan nilai \( x \) dari \( \log_3(2x) = \log_3(6) \) beserta syaratnya.
Pembahasan:
Syarat: \( 2x > 0 \Rightarrow x > 0 \)
\( 2x = 6 \)
\( x = 3 \)
Cek syarat: \( 3 > 0 \) ✓
HP = {3}
Contoh 4
Tentukan nilai \( x \) dari \( \log_4(x-2) = 1 \) beserta syaratnya.
Pembahasan:
Syarat: \( x – 2 > 0 \Rightarrow x > 2 \)
\( x – 2 = 4^1 = 4 \)
\( x = 6 \)
Cek syarat: \( 6 > 2 \) ✓
HP = {6}
Contoh 5
Tentukan nilai \( x \) dari \( \log_2(3x-1) = \log_2(5) \) beserta syaratnya.
Pembahasan:
Syarat: \( 3x – 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{3} \)
\( 3x – 1 = 5 \)
\( 3x = 6 \)
\( x = 2 \)
Cek syarat: \( 2 > \frac{1}{3} \) ✓
HP = {2}
🟡 Tingkat Sedang
Contoh 6
Tentukan nilai \( x \) dari \( \log_2(x^2 – 3x) = \log_2(4) \) beserta syaratnya.
Pembahasan:
Syarat: \( x^2 – 3x > 0 \Rightarrow x(x-3) > 0 \Rightarrow x < 0 \) atau \( x > 3 \)
\( x^2 – 3x = 4 \)
\( x^2 – 3x – 4 = 0 \)
\( (x-4)(x+1) = 0 \)
\( x = 4 \) atau \( x = -1 \)
Cek syarat: \( x = 4 > 3 \) ✓ dan \( x = -1 < 0 \) ✓
HP = {-1, 4}
Contoh 7
Tentukan nilai \( x \) dari \( \log_3(x+5) = \log_3(2x-1) \) beserta syaratnya.
Pembahasan:
Syarat: \( x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5 \) dan \( 2x – 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2} \)
Gabungan syarat: \( x > \frac{1}{2} \)
\( x + 5 = 2x – 1 \)
\( 6 = x \)
Cek syarat: \( 6 > \frac{1}{2} \) ✓
HP = {6}
Contoh 8
Tentukan nilai \( x \) dari \( \log_{(x-1)}(9) = 2 \) beserta syaratnya.
Pembahasan:
Syarat: \( x – 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \) dan \( x – 1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 2 \)
Dari \( \log_{(x-1)} 9 = 2 \):
\( (x-1)^2 = 9 \)
\( x – 1 = 3 \) atau \( x – 1 = -3 \)
\( x = 4 \) atau \( x = -2 \)
Cek syarat: \( x = 4 > 1 \) dan \( 4 \neq 2 \) ✓; \( x = -2 \not> 1 \) ✗
HP = {4}
Contoh 9
Tentukan nilai \( x \) dari \( \log_5(x^2 – 4) = \log_5(3x) \) beserta syaratnya.
Pembahasan:
Syarat: \( x^2 – 4 > 0 \Rightarrow x < -2 \) atau \( x > 2 \), dan \( 3x > 0 \Rightarrow x > 0 \)
Gabungan syarat: \( x > 2 \)
\( x^2 – 4 = 3x \)
\( x^2 – 3x – 4 = 0 \)
\( (x-4)(x+1) = 0 \)
\( x = 4 \) atau \( x = -1 \)
Cek syarat: \( x = 4 > 2 \) ✓; \( x = -1 \not> 2 \) ✗
HP = {4}
Contoh 10
Tentukan nilai \( x \) dari \( \log_2(x+3) + \log_2(x-1) = 3 \) beserta syaratnya.
Pembahasan:
Syarat: \( x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3 \) dan \( x – 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \)
Gabungan syarat: \( x > 1 \)
Gunakan sifat: \( \log_2[(x+3)(x-1)] = 3 \)
\( (x+3)(x-1) = 2^3 = 8 \)
\( x^2 + 2x – 3 = 8 \)
\( x^2 + 2x – 11 = 0 \)
Dengan rumus abc: \( x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 44}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{48}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{3} \)
\( x = -1 + 2\sqrt{3} \approx 2{,}46 \) atau \( x = -1 – 2\sqrt{3} \approx -4{,}46 \)
Cek syarat: \( -1+2\sqrt{3} > 1 \) ✓; \( -1-2\sqrt{3} < 1 \) ✗
HP = {\( -1 + 2\sqrt{3} \)}
🔴 Tingkat Sulit
Contoh 11
Tentukan nilai \( x \) dari \( \log_{(x+2)}(x^2 + 5x + 6) = 2 \) beserta syaratnya.
Pembahasan:
Syarat basis: \( x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2 \) dan \( x + 2 \neq 1 \Rightarrow x \neq -1 \)
Syarat numerus: \( x^2 + 5x + 6 > 0 \Rightarrow (x+2)(x+3) > 0 \Rightarrow x < -3 \) atau \( x > -2 \)
Gabungan syarat: \( x > -2 \) dan \( x \neq -1 \)
Persamaan: \( x^2 + 5x + 6 = (x+2)^2 \)
\( x^2 + 5x + 6 = x^2 + 4x + 4 \)
\( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \)… Hmm, cek ulang:
\( 5x + 6 = 4x + 4 \)
\( x = -2 \)
Cek syarat: \( x = -2 \not> -2 \) ✗
HP = { } (himpunan kosong)
Contoh 12
Tentukan nilai \( x \) dari \( \log_{(2x-1)}(x+2) = \log_{(2x-1)}(3x-4) \) beserta syaratnya.
Pembahasan:
Syarat basis: \( 2x-1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2} \) dan \( 2x-1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 1 \)
Syarat numerus: \( x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2 \) dan \( 3x – 4 > 0 \Rightarrow x > \frac{4}{3} \)
Gabungan syarat: \( x > \frac{4}{3} \)
\( x + 2 = 3x – 4 \)
\( 6 = 2x \Rightarrow x = 3 \)
Cek syarat: \( 3 > \frac{4}{3} \) ✓
HP = {3}
Contoh 13
Tentukan nilai \( x \) dari \( (\log_3 x)^2 – 5\log_3 x + 6 = 0 \) beserta syaratnya.
Pembahasan:
Syarat: \( x > 0 \)
Misalkan \( p = \log_3 x \), maka:
\( p^2 – 5p + 6 = 0 \)
\( (p-2)(p-3) = 0 \)
\( p = 2 \) atau \( p = 3 \)
Untuk \( p = 2 \): \( \log_3 x = 2 \Rightarrow x = 9 \)
Untuk \( p = 3 \): \( \log_3 x = 3 \Rightarrow x = 27 \)
Cek syarat: \( 9 > 0 \) ✓ dan \( 27 > 0 \) ✓
HP = {9, 27}
Contoh 14
Tentukan nilai \( x \) dari \( \log_2(x-1) \cdot \log_2(x-3) = 3 \) beserta syaratnya.
Pembahasan:
Syarat: \( x – 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \) dan \( x – 3 > 0 \Rightarrow x > 3 \)
Gabungan syarat: \( x > 3 \)
Misalkan \( u = \log_2(x-1) \) dan \( v = \log_2(x-3) \).
Perhatikan \( x – 1 = (x-3) + 2 \), sehingga hubungannya rumit. Gunakan substitusi:
Misalkan \( t = \log_2(x-1) \). Maka \( x – 1 = 2^t \Rightarrow x = 2^t + 1 \)
\( \log_2(x-3) = \log_2(2^t + 1 – 3) = \log_2(2^t – 2) \)
Persamaan menjadi: \( t \cdot \log_2(2^t – 2) = 3 \)
Coba \( t = 3 \): \( 3 \cdot \log_2(8-2) = 3 \cdot \log_2 6 \approx 3 \times 2{,}585 \neq 3 \)
Coba \( x = 5 \): \( \log_2(4) \cdot \log_2(2) = 2 \cdot 1 = 2 \neq 3 \)
Coba \( x = 11 \): \( \log_2(10) \cdot \log_2(8) = \log_2(10) \cdot 3 \approx 9{,}97 \neq 3 \)
Coba \( x = 5 \): sudah dicek. Coba \( x = 2^t+1 \) dengan \( t=1 \): \(1 \cdot \log_2(0) \) → tidak terdefinisi.
Dengan metode numerik atau substitusi lebih cermat, kita misalkan \( a = \log_2(x-1) \) dan \( b = \log_2(x-3) \).
Karena \( x-1 = 2(x-3) + 5 \) → pendekatan substitusi langsung sulit, gunakan trial:
Coba \( x = 5 \): \( \log_2 4 \cdot \log_2 2 = 2 \cdot 1 = 2 \) ✗
Coba \( x = 9 \): \( \log_2 8 \cdot \log_2 6 = 3 \cdot \log_2 6 \approx 7{,}75 \) ✗
Coba \( x = 4+1 = 5 \) sudah. Coba penyelesaian: \( \log_2(x-1) = 3, \log_2(x-3) = 1 \Rightarrow x-1=8, x=9 \) dan \(x-3=2, x=5\). Tidak konsisten.
Coba \( \log_2(x-1) = 3 \) dan \( \log_2(x-3)=1 \): \(x=9\) dari pertama, tapi \(\log_2(9-3)=\log_2 6\neq 1\).
Selesaikan secara aljabar: misal \( a = \log_2(x-1) \). Maka \( \log_2(x-3) = \log_2((x-1)-2) = \log_2(2^a – 2) \).
Jadi \( a \cdot \log_2(2^a – 2) = 3 \). Ini persamaan transenden. Secara numerik: \( a \approx 2{,}444 \Rightarrow x \approx 6{,}44 \).
HP ≈ {6,44} (solusi numerik)
Contoh 15
Tentukan nilai \( x \) dari \( \log_{x}(2x+3) = 2 \) beserta syaratnya.
Pembahasan:
Syarat basis: \( x > 0 \) dan \( x \neq 1 \)
Syarat numerus: \( 2x + 3 > 0 \Rightarrow x > -\frac{3}{2} \)
Gabungan syarat: \( x > 0 \) dan \( x \neq 1 \)
Dari \( \log_x(2x+3) = 2 \):
\( 2x + 3 = x^2 \)
\( x^2 – 2x – 3 = 0 \)
\( (x-3)(x+1) = 0 \)
\( x = 3 \) atau \( x = -1 \)
Cek syarat: \( x = 3 > 0 \) dan \( 3 \neq 1 \) ✓; \( x = -1 \not> 0 \) ✗
HP = {3}
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut dengan memperhatikan syarat persamaan logaritma!
🟢 Tingkat Mudah
1. Tentukan nilai \( x \) dari \( \log_7(x) = \log_7(49) \).
2. Tentukan nilai \( x \) dari \( \log_3(x-4) = 2 \).
3. Tentukan nilai \( x \) dari \( \log_2(5x) = \log_2(20) \).
4. Tentukan nilai \( x \) dari \( \log_6(2x+1) = 1 \).
5. Tentukan nilai \( x \) dari \( \log_{10}(x+7) = \log_{10}(3x-1) \).
🟡 Tingkat Sedang
6. Tentukan nilai \( x \) dari \( \log_2(x^2 – x) = \log_2(6) \).
7. Tentukan nilai \( x \) dari \( \log_{(x+1)}(16) = 2 \).
8. Tentukan nilai \( x \) dari \( \log_3(x+2) + \log_3(x-2) = 2 \).
9. Tentukan nilai \( x \) dari \( \log_4(x^2 + 3x) = \log_4(10) \).
10. Tentukan nilai \( x \) dari \( 2\log_5(x) – \log_5(x+6) = 0 \).
🔴 Tingkat Sulit
11. Tentukan nilai \( x \) dari \( (\log_2 x)^2 – 4\log_2 x + 3 = 0 \).
12. Tentukan nilai \( x \) dari \( \log_{x^2}(4x-3) = \frac{1}{2} \).
13. Tentukan nilai \( x \) dari \( \log_{(3x-5)}(x^2 – 6x + 9) = 2 \).
14. Tentukan nilai \( x \) dari \( \log_3(x-1) + \log_9(x+1) = 1 \).
15. Tentukan nilai \( x \) dari \( \log_{(x-2)}(x^2 – 5x + 7) = \log_{(x-2)}(x-1) \).
Ringkasan
1. Persamaan logaritma hanya terdefinisi jika basis > 0 dan ≠ 1, serta numerus > 0.
2. Setelah menyelesaikan persamaan, selalu cek syarat untuk menentukan solusi yang valid.
3. Persamaan logaritma dapat diselesaikan dengan menyamakan numerus (jika basis sama), mengubah ke bentuk eksponen, atau menggunakan substitusi.
4. Himpunan penyelesaian hanya berisi nilai \( x \) yang memenuhi semua syarat.