Bentuk Dasar Persamaan Logaritma
Bentuk: \(\log_a f(x) = \log_a p\)
dengan \(a > 0\) dan \(a \neq 1\)
Materi
1. Pengertian
Persamaan logaritma bentuk \(\log_a f(x) = \log_a p\) adalah persamaan di mana kedua ruas memiliki logaritma dengan basis yang sama. Penyelesaian diperoleh dengan menyamakan argumen (numerus) kedua logaritma tersebut.
Rumus Dasar
\[\log_a f(x) = \log_a p \implies f(x) = p\]
Syarat: \(a > 0,\; a \neq 1,\; f(x) > 0\)
Penjelasan: Jika dua logaritma dengan basis yang sama bernilai sama, maka argumen (numerus) keduanya harus sama. Namun, kita juga harus memperhatikan syarat logaritma, yaitu argumen harus bernilai positif.
2. Syarat-Syarat yang Harus Dipenuhi
Sebelum menyelesaikan persamaan, pastikan syarat berikut terpenuhi:
| No | Syarat | Keterangan |
|---|---|---|
| 1 | \(a > 0\) | Basis harus positif |
| 2 | \(a \neq 1\) | Basis tidak boleh 1 |
| 3 | \(f(x) > 0\) | Argumen (numerus) harus positif |
| 4 | \(p > 0\) | Argumen ruas kanan harus positif |
3. Langkah-Langkah Penyelesaian
- Pastikan kedua ruas berbentuk logaritma dengan basis yang sama.
- Samakan argumen: \(f(x) = p\).
- Selesaikan persamaan \(f(x) = p\) untuk mendapatkan nilai \(x\).
- Substitusikan nilai \(x\) ke syarat \(f(x) > 0\) untuk memverifikasi.
- Tulis himpunan penyelesaian.
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan persamaan berikut:
- \(\log_2 (x+3) = \log_2 7\)
- \(\log_5 (2x-1) = \log_5 9\)
- \(\log_3 (x^2 – 4) = \log_3 5\)
Amati bahwa setiap persamaan memiliki basis yang sama di kedua ruas. Apa yang dapat kamu simpulkan tentang hubungan argumen di ruas kiri dan kanan?
Kegiatan: Menanya
Pertanyaan yang perlu diajukan:
- Mengapa basis harus sama agar kita bisa menyamakan argumen?
- Apa yang terjadi jika hasil \(x\) membuat argumen bernilai negatif atau nol?
- Bagaimana jika \(f(x)\) berupa fungsi kuadrat — apakah bisa menghasilkan lebih dari satu jawaban?
Kegiatan: Menalar
Dari sifat logaritma kita tahu:
\(\log_a M = \log_a N \iff M = N\) (dengan \(M > 0, N > 0\))
Ini karena fungsi logaritma \(y = \log_a x\) merupakan fungsi satu-satu (injektif). Artinya, setiap nilai \(y\) hanya dipetakan dari tepat satu nilai \(x\). Sehingga jika hasil logaritmanya sama, argumennya pasti sama.
Penalaran ini menjadi dasar utama penyelesaian bentuk \(\log_a f(x) = \log_a p\).
Kegiatan: Mencoba
Cobalah selesaikan persamaan berikut secara mandiri:
\(\log_3 (2x + 1) = \log_3 7\)
Langkah:
- Samakan argumen: \(2x + 1 = 7\)
- Selesaikan: \(2x = 6 \implies x = 3\)
- Cek syarat: \(f(3) = 2(3)+1 = 7 > 0\) ✓
- HP = \(\{3\}\)
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Tuliskan penyelesaianmu dengan format berikut:
- Tuliskan persamaan awal.
- Nyatakan langkah menyamakan argumen.
- Tunjukkan proses aljabar secara runtut.
- Verifikasi syarat numerus positif.
- Nyatakan himpunan penyelesaian dengan jelas.
Presentasikan hasilmu kepada teman dan bandingkan cara penyelesaiannya.
Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah Contoh Soal Tingkat Mudah
Contoh 1:
Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_2 (x + 1) = \log_2 5\)
Penyelesaian:
Karena basis sama (basis 2), samakan argumen:
\(x + 1 = 5\)
\(x = 4\)
Cek syarat: \(f(4) = 4 + 1 = 5 > 0\) ✓
HP = \(\{4\}\)
Contoh 2:
Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_3 (2x) = \log_3 10\)
Penyelesaian:
\(2x = 10\)
\(x = 5\)
Cek syarat: \(f(5) = 2(5) = 10 > 0\) ✓
HP = \(\{5\}\)
Contoh 3:
Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_5 (x – 2) = \log_5 8\)
Penyelesaian:
\(x – 2 = 8\)
\(x = 10\)
Cek syarat: \(f(10) = 10 – 2 = 8 > 0\) ✓
HP = \(\{10\}\)
Contoh 4:
Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_4 (3x – 1) = \log_4 11\)
Penyelesaian:
\(3x – 1 = 11\)
\(3x = 12\)
\(x = 4\)
Cek syarat: \(f(4) = 3(4) – 1 = 11 > 0\) ✓
HP = \(\{4\}\)
Contoh 5:
Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_7 (x + 5) = \log_7 12\)
Penyelesaian:
\(x + 5 = 12\)
\(x = 7\)
Cek syarat: \(f(7) = 7 + 5 = 12 > 0\) ✓
HP = \(\{7\}\)
Sedang Contoh Soal Tingkat Sedang
Contoh 6:
Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_2 (x^2 – 3) = \log_2 6\)
Penyelesaian:
\(x^2 – 3 = 6\)
\(x^2 = 9\)
\(x = 3\) atau \(x = -3\)
Cek syarat:
• \(x = 3\): \(f(3) = 9 – 3 = 6 > 0\) ✓
• \(x = -3\): \(f(-3) = 9 – 3 = 6 > 0\) ✓
HP = \(\{-3, 3\}\)
Contoh 7:
Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_3 (x^2 + 2x) = \log_3 8\)
Penyelesaian:
\(x^2 + 2x = 8\)
\(x^2 + 2x – 8 = 0\)
\((x + 4)(x – 2) = 0\)
\(x = -4\) atau \(x = 2\)
Cek syarat:
• \(x = -4\): \(f(-4) = 16 – 8 = 8 > 0\) ✓
• \(x = 2\): \(f(2) = 4 + 4 = 8 > 0\) ✓
HP = \(\{-4, 2\}\)
Contoh 8:
Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_5 (x^2 – x – 2) = \log_5 4\)
Penyelesaian:
\(x^2 – x – 2 = 4\)
\(x^2 – x – 6 = 0\)
\((x – 3)(x + 2) = 0\)
\(x = 3\) atau \(x = -2\)
Cek syarat:
• \(x = 3\): \(f(3) = 9 – 3 – 2 = 4 > 0\) ✓
• \(x = -2\): \(f(-2) = 4 + 2 – 2 = 4 > 0\) ✓
HP = \(\{-2, 3\}\)
Contoh 9:
Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_2 (3x – 2) = \log_2 (x + 6)\)
Penyelesaian:
Samakan argumen: \(3x – 2 = x + 6\)
\(2x = 8\)
\(x = 4\)
Cek syarat:
• Ruas kiri: \(3(4) – 2 = 10 > 0\) ✓
• Ruas kanan: \(4 + 6 = 10 > 0\) ✓
HP = \(\{4\}\)
Contoh 10:
Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_4 (x^2 – 5x) = \log_4 6\)
Penyelesaian:
\(x^2 – 5x = 6\)
\(x^2 – 5x – 6 = 0\)
\((x – 6)(x + 1) = 0\)
\(x = 6\) atau \(x = -1\)
Cek syarat:
• \(x = 6\): \(f(6) = 36 – 30 = 6 > 0\) ✓
• \(x = -1\): \(f(-1) = 1 + 5 = 6 > 0\) ✓
HP = \(\{-1, 6\}\)
Sulit Contoh Soal Tingkat Sulit
Contoh 11:
Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_3 (x^2 – 4x + 3) = \log_3 (2x – 1)\)
Penyelesaian:
Samakan argumen: \(x^2 – 4x + 3 = 2x – 1\)
\(x^2 – 6x + 4 = 0\)
Gunakan rumus ABC: \(x = \frac{6 \pm \sqrt{36 – 16}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}\)
Cek syarat (ruas kanan \(2x – 1 > 0 \implies x > \frac{1}{2}\)):
• \(x = 3 + \sqrt{5} \approx 5{,}24\): \(2(5{,}24) – 1 = 9{,}47 > 0\) ✓
• \(x = 3 – \sqrt{5} \approx 0{,}76\): \(2(0{,}76) – 1 = 0{,}53 > 0\) ✓
Cek syarat (ruas kiri \(x^2 – 4x + 3 > 0\)):
• \(x = 3 + \sqrt{5}\): \((5{,}24)^2 – 4(5{,}24) + 3 = 27{,}5 – 20{,}9 + 3 = 9{,}5 > 0\) ✓
• \(x = 3 – \sqrt{5}\): sama dengan ruas kanan = \(0{,}53 > 0\) ✓
HP = \(\{3 – \sqrt{5},\; 3 + \sqrt{5}\}\)
Contoh 12:
Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_2 (x^2 + x – 2) = \log_2 (3x + 4)\)
Penyelesaian:
\(x^2 + x – 2 = 3x + 4\)
\(x^2 – 2x – 6 = 0\)
\(x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}\)
Cek syarat (\(3x + 4 > 0 \implies x > -\frac{4}{3}\)):
• \(x = 1 + \sqrt{7} \approx 3{,}65 > -\frac{4}{3}\) ✓
• \(x = 1 – \sqrt{7} \approx -1{,}65 < -\frac{4}{3}\) ✗
HP = \(\{1 + \sqrt{7}\}\)
Contoh 13:
Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_5 (x^2 – 2x – 3) = \log_5 (x + 5)\)
Penyelesaian:
\(x^2 – 2x – 3 = x + 5\)
\(x^2 – 3x – 8 = 0\)
\(x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 32}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{2}\)
Cek syarat (\(x + 5 > 0 \implies x > -5\)):
• \(x = \frac{3 + \sqrt{41}}{2} \approx 4{,}7 > -5\) ✓
• \(x = \frac{3 – \sqrt{41}}{2} \approx -1{,}7 > -5\) → cek ruas kiri:
\((-1{,}7)^2 – 2(-1{,}7) – 3 = 2{,}89 + 3{,}4 – 3 = 3{,}29 > 0\) ✓
HP = \(\left\{\frac{3 – \sqrt{41}}{2},\; \frac{3 + \sqrt{41}}{2}\right\}\)
Contoh 14:
Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_2 (x^2 – 1) = \log_2 (5 – x)\)
Penyelesaian:
\(x^2 – 1 = 5 – x\)
\(x^2 + x – 6 = 0\)
\((x + 3)(x – 2) = 0\)
\(x = -3\) atau \(x = 2\)
Cek syarat ruas kanan (\(5 – x > 0 \implies x < 5\)):
• \(x = -3 < 5\) ✓ dan \(x = 2 < 5\) ✓
Cek syarat ruas kiri (\(x^2 – 1 > 0 \implies x < -1\) atau \(x > 1\)):
• \(x = -3 < -1\) ✓
• \(x = 2 > 1\) ✓
HP = \(\{-3, 2\}\)
Contoh 15:
Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_3 (2x^2 – x – 1) = \log_3 (x^2 + 3x – 2)\)
Penyelesaian:
\(2x^2 – x – 1 = x^2 + 3x – 2\)
\(x^2 – 4x + 1 = 0\)
\(x = \frac{4 \pm \sqrt{16 – 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}\)
Cek syarat ruas kiri (\(2x^2 – x – 1 > 0\)):
• \(x = 2 + \sqrt{3} \approx 3{,}73\): \(2(13{,}9) – 3{,}73 – 1 = 27{,}8 – 4{,}73 = 23{,}1 > 0\) ✓
• \(x = 2 – \sqrt{3} \approx 0{,}27\): \(2(0{,}07) – 0{,}27 – 1 = 0{,}14 – 1{,}27 = -1{,}13 < 0\) ✗
HP = \(\{2 + \sqrt{3}\}\)
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Pastikan untuk selalu memeriksa syarat numerus!
Mudah
- Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_2 (x + 4) = \log_2 9\)
- Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_5 (3x) = \log_5 15\)
- Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_3 (x – 7) = \log_3 2\)
- Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_6 (4x + 3) = \log_6 19\)
- Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_{10} (2x – 5) = \log_{10} 7\)
Sedang
- Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_2 (x^2 – 4) = \log_2 12\)
- Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_3 (x^2 + 3x) = \log_3 10\)
- Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_4 (2x + 1) = \log_4 (x + 5)\)
- Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_5 (x^2 – 6x) = \log_5 7\)
- Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_2 (x^2 – 2x – 3) = \log_2 5\)
Sulit
- Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_2 (x^2 – 3x + 1) = \log_2 (2x – 3)\)
- Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_3 (x^2 + x – 5) = \log_3 (3x + 1)\)
- Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_5 (2x^2 – 3x) = \log_5 (x^2 + 2x – 4)\)
- Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_2 (x^2 – 4x + 2) = \log_2 (6 – 3x)\)
- Tentukan nilai \(x\) dari \(\log_4 (x^2 + 2x – 1) = \log_4 (3x^2 – 4x + 1)\)