Persamaan Logaritma – Hubungan Eksponen dan Logaritma

Matematika — Materi Lengkap dengan Contoh dan Latihan

1. Pendahuluan: Pengertian Eksponen dan Logaritma

Kegiatan: Mengamati

Perhatikan dua pernyataan berikut:

Bentuk Eksponen: 23 = 8 Bentuk Logaritma: 2 log 8 = 3

Kedua pernyataan di atas menyatakan hal yang sama, hanya ditulis dalam bentuk yang berbeda. Inilah inti dari hubungan eksponen dan logaritma.

A. Pengertian Eksponen (Bilangan Berpangkat)

Eksponen atau bilangan berpangkat adalah perkalian berulang dari suatu bilangan yang sama. Secara umum:

a n = a \times a \times a \times \dots \times a (sebanyak n faktor) dengan: a = basis (bilangan pokok), n = eksponen (pangkat)

B. Pengertian Logaritma

Logaritma adalah kebalikan (invers) dari eksponen. Logaritma menjawab pertanyaan: “Berapa kali bilangan pokok harus dipangkatkan agar menghasilkan bilangan tertentu?”

Jika a n = b, maka a log b = n dengan: a = basis logaritma (a > 0, a \neq 1), b = numerus (b > 0), n = hasil logaritma

Kegiatan: Menanya

Dari pengamatan di atas, muncul pertanyaan:

Mengapa logaritma disebut sebagai invers dari eksponen?
Bagaimana cara mengubah bentuk eksponen menjadi logaritma dan sebaliknya?
Apa syarat-syarat agar logaritma terdefinisi?

2. Hubungan Fundamental Eksponen dan Logaritma

Kegiatan: Menalar

Mari kita pahami hubungan mendasar antara eksponen dan logaritma melalui analogi:

Eksponen menjawab: “Berapa hasilnya jika a dipangkatkan n?”
Logaritma menjawab: “Berapa pangkatnya agar a menghasilkan b?”

Hubungan Dasar (Definisi)

a n = b ⟺ a log b = n (dibaca: “a pangkat n sama dengan b” setara dengan “logaritma basis a dari b sama dengan n”)

Hubungan ini berlaku dengan syarat:

a > 0 dan a ≠ 1 (basis harus positif dan bukan 1)
b > 0 (numerus harus positif)

Tabel Perbandingan

Bentuk Eksponen	Bentuk Logaritma	Keterangan
2³ = 8	²log 8 = 3	Basis = 2, pangkat = 3, hasil = 8
5² = 25	⁵log 25 = 2	Basis = 5, pangkat = 2, hasil = 25
10³ = 1000	¹⁰log 1000 = 3	Basis = 10, pangkat = 3, hasil = 1000
3⁴ = 81	³log 81 = 4	Basis = 3, pangkat = 4, hasil = 81
4⁻¹ = ¼	⁴log ¼ = −1	Pangkat bisa negatif
9^½ = 3	⁹log 3 = ½	Pangkat bisa pecahan

Identitas Penting

Dari hubungan dasar di atas, diperoleh dua identitas penting:

Identitas 1: a a log b = b Artinya: jika kita pangkatkan basis a dengan logaritmanya, hasilnya kembali ke numerus b. Identitas 2: a log a n = n Artinya: logaritma dari bilangan berpangkat dengan basis yang sama menghasilkan pangkatnya.

Kegiatan: Mencoba

Buktikan identitas di atas dengan contoh berikut:

Hitung 2^{²log 8}. Apakah hasilnya 8?
Hitung ³log 3⁵. Apakah hasilnya 5?
Hitung 10^{¹⁰log 100}. Apakah hasilnya 100?

Jawaban:

1. ²log 8 = 3, maka 2³ = 8 ✓

2. ³log 3⁵ = 5 ✓ (langsung dari identitas)

3. ¹⁰log 100 = 2, maka 10² = 100 ✓

3. Konversi Bentuk Eksponen ke Logaritma dan Sebaliknya

A. Dari Eksponen ke Logaritma

Langkah-langkah mengubah bentuk eksponen aⁿ = b menjadi logaritma:

Identifikasi basis (bilangan yang dipangkatkan) → menjadi basis logaritma
Identifikasi hasil (ruas kanan) → menjadi numerus
Identifikasi pangkat → menjadi hasil logaritma
Tulis: ^basislog numerus = pangkat

Contoh: 53 = 125 \to 5 log 125 = 3 72 = 49 \to 7 log 49 = 2 2 -4 = 1/16 \to 2 log (1/16) = -4

B. Dari Logaritma ke Eksponen

Langkah-langkah mengubah bentuk logaritma ^alog b = n menjadi eksponen:

Identifikasi basis logaritma → menjadi basis eksponen
Identifikasi hasil logaritma → menjadi pangkat
Identifikasi numerus → menjadi hasil pemangkatan
Tulis: basis^pangkat = numerus

Contoh: 4 log 64 = 3 \to 4 3 = 64 6 log 36 = 2 \to 6 2 = 36 2 log (1/8) = -3 \to 2 -3 = 1/8

Kegiatan: Mengkomunikasikan

Jelaskan kepada teman sekelompokmu:

Mengapa ¹log b tidak terdefinisi untuk semua b?
Mengapa numerus logaritma harus positif?

Penjelasan:

• ¹log b: Karena 1ⁿ = 1 untuk semua n. Tidak ada pangkat yang membuat 1 menghasilkan bilangan lain selain 1.

• Numerus harus positif: Karena aⁿ selalu positif untuk a > 0 (basis positif dipangkatkan bilangan real apapun selalu menghasilkan bilangan positif).

4. Sifat-Sifat yang Menghubungkan Eksponen dan Logaritma

Kegiatan: Menalar

Sifat-sifat eksponen memiliki “pasangan” dalam sifat logaritma. Perhatikan bagaimana perkalian dalam eksponen berkorespondensi dengan penjumlahan dalam logaritma.

Korespondensi Sifat Eksponen dan Logaritma

Sifat Eksponen	Sifat Logaritma	Hubungan
a^m × aⁿ = a^m+n	^alog(x·y) = ^alog x + ^alog y	Perkalian ↔ Penjumlahan
a^m ÷ aⁿ = a^m−n	^alog(x/y) = ^alog x − ^alog y	Pembagian ↔ Pengurangan
(a^m)ⁿ = a^mn	^alog xⁿ = n · ^alog x	Pemangkatan ↔ Perkalian skalar
a⁰ = 1	^alog 1 = 0	Pangkat nol ↔ Log dari 1
a¹ = a	^alog a = 1	Pangkat satu ↔ Log basis sendiri

Penjelasan Detail Setiap Sifat

Sifat 1: Logaritma Perkalian

a log(x \cdot y) = a log x + a log y Bukti dari eksponen: Misalkan a log x = m dan a log y = n Maka: a m = x dan a n = y Sehingga: x \cdot y = a m \cdot a n = a m+n Maka: a log(x \cdot y) = m + n = a log x + a log y ∎

Sifat 2: Logaritma Pembagian

a log(x / y) = a log x - a log y Bukti: Analog dengan Sifat 1, menggunakan a m \div a n = a m-n

Sifat 3: Logaritma Pemangkatan

a log x n = n \cdot a log x Bukti: Misalkan a log x = m, maka a m = x x n = (a m) n = a mn Maka: a log x n = mn = n \cdot a log x ∎

Sifat 4: Perubahan Basis (Rantai Logaritma)

a log b = c log b / c log a Atau equivalen: a log b \times b log c = a log c

Sifat 5: Hubungan Invers

a log b = 1 / b log a Bukti: Dari sifat rantai: a log b \times b log a = a log a = 1 Maka: a log b = 1 / b log a ∎

Kegiatan: Mencoba

Verifikasi sifat-sifat di atas dengan angka:

²log(4 × 8) = ²log 4 + ²log 8 → ²log 32 = 2 + 3 = 5 ✓
³log(81/9) = ³log 81 − ³log 9 → ³log 9 = 4 − 2 = 2 ✓
²log 8² = 2 × ²log 8 → ²log 64 = 2 × 3 = 6 ✓

5. Penerapan Hubungan Eksponen dan Logaritma

A. Menyelesaikan Persamaan Eksponen dengan Logaritma

Ketika variabel berada di posisi pangkat, gunakan logaritma untuk menyelesaikannya.

Contoh: Selesaikan 2 x = 32 Cara 1 (Eksponen): 2 x = 2 5 \to x = 5 Cara 2 (Logaritma): x = 2 log 32 = 2 log 2 5 = 5

B. Menyelesaikan Persamaan Logaritma dengan Eksponen

Ketika logaritma diketahui, ubah ke bentuk eksponen untuk mencari nilai yang tidak diketahui.

Contoh: Tentukan x jika 3 log x = 4 Ubah ke eksponen: 3 4 = x \to x = 81

C. Menyederhanakan Ekspresi

Contoh: Sederhanakan 2 log 4 + 2 log 16 = 2 log(4 \times 16) = 2 log 64 = 2 log 2 6 = 6

D. Grafik Fungsi Eksponen dan Logaritma

Fungsi eksponen f(x) = a^x dan fungsi logaritma g(x) = ^alog x adalah fungsi invers satu sama lain. Grafiknya saling mencerminkan terhadap garis y = x.

x	f(x) = 2^x	g(x) = ²log x
¼	—	−2
½	—	−1
1	2	0
2	4	1
3	8	—
4	16	2
8	256	3

Grafik y = 2^x (merah) dan y = ²log x (biru) saling mencerminkan terhadap y = x

Kegiatan: Mengkomunikasikan

Diskusikan dengan temanmu:

Mengapa grafik fungsi eksponen selalu di atas sumbu-x?
Mengapa domain fungsi logaritma hanya x > 0?
Titik mana yang selalu dilalui kedua grafik?

6. Contoh Soal dan Pembahasan

Tingkat Mudah

Soal 1:

Ubah bentuk eksponen 3⁴ = 81 ke bentuk logaritma.

Pembahasan:

Dari aⁿ = b → ^alog b = n

Basis = 3, pangkat = 4, hasil = 81

Jawaban: ³log 81 = 4

Soal 2:

Ubah bentuk logaritma ⁵log 125 = 3 ke bentuk eksponen.

Pembahasan:

Dari ^alog b = n → aⁿ = b

Basis = 5, hasil log = 3, numerus = 125

Jawaban: 5³ = 125

Soal 3:

Hitunglah nilai ²log 16.

Pembahasan:

Kita cari n sehingga 2ⁿ = 16

2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16

Jawaban: ²log 16 = 4

Soal 4:

Tentukan nilai x jika ⁴log x = 2.

Pembahasan:

Ubah ke eksponen: 4² = x

x = 16

Jawaban: x = 16

Soal 5:

Buktikan bahwa ¹⁰log 10⁵ = 5 menggunakan hubungan eksponen-logaritma.

Pembahasan:

Menggunakan identitas ^alog aⁿ = n

Di sini a = 10, n = 5

Jawaban: ¹⁰log 10⁵ = 5 ✓ (terbukti)

Tingkat Sedang

Soal 6:

Tentukan nilai ²log 32 + ²log (1/4).

Pembahasan:

²log 32 = ²log 2⁵ = 5

²log (1/4) = ²log 2⁻² = −2

Hasil = 5 + (−2) = 3

Alternatif: ²log(32 × 1/4) = ²log 8 = 3

Jawaban: 3

Soal 7:

Selesaikan persamaan 3^x = 27².

Pembahasan:

27 = 3³, maka 27² = (3³)² = 3⁶

3^x = 3⁶ → x = 6

Verifikasi dengan logaritma: x = ³log(27²) = ³log 729 = ³log 3⁶ = 6 ✓

Jawaban: x = 6

Soal 8:

Sederhanakan: ³log 27 × ²⁷log 81

Pembahasan:

Gunakan sifat rantai: ^alog b × ^blog c = ^alog c

³log 27 × ²⁷log 81 = ³log 81 = ³log 3⁴ = 4

Jawaban: 4

Soal 9:

Jika ²log 3 = a, nyatakan ²log 72 dalam a.

Pembahasan:

72 = 8 × 9 = 2³ × 3²

²log 72 = ²log(2³ × 3²)

= ²log 2³ + ²log 3²

= 3 + 2 · ²log 3

= 3 + 2a

Jawaban: ²log 72 = 3 + 2a

Soal 10:

Hitunglah nilai 5^{⁵log 3 + ⁵log 2}

Pembahasan:

5^{⁵log 3 + ⁵log 2} = 5^⁵log(3×2) = 5^{⁵log 6}

Menggunakan identitas a^{^alog b} = b:

= 6

Jawaban: 6

Tingkat Sulit

Soal 11:

Jika ²log 3 = p dan ³log 5 = q, nyatakan ⁸log 45 dalam p dan q.

Pembahasan:

Langkah 1: Ubah basis 8 ke basis 2

⁸log 45 = ²log 45 / ²log 8 = ²log 45 / 3

Langkah 2: Uraikan 45 = 9 × 5 = 3² × 5

²log 45 = ²log 3² + ²log 5 = 2p + ²log 5

Langkah 3: Cari ²log 5

³log 5 = q → ²log 5 / ²log 3 = q → ²log 5 = pq

Langkah 4: Substitusi

⁸log 45 = (2p + pq) / 3 = p(2 + q) / 3

Jawaban: p(2 + q) / 3

Soal 12:

Tentukan nilai x yang memenuhi: 4^x − 6 · 2^x + 8 = 0

Pembahasan:

4^x = (2²)^x = (2^x)²

Misalkan t = 2^x (t > 0)

t² − 6t + 8 = 0

(t − 2)(t − 4) = 0

t = 2 atau t = 4

Untuk t = 2: 2^x = 2 → x = 1

Untuk t = 4: 2^x = 4 = 2² → x = 2

Jawaban: x = 1 atau x = 2

Soal 13:

Buktikan bahwa ^alog b · ^blog c · ^clog a = 1

Pembahasan:

Misalkan ^alog b = x, ^blog c = y, ^clog a = z

Maka: a^x = b … (1), b^y = c … (2), c^z = a … (3)

Dari (1): b = a^x

Substitusi ke (2): (a^x)^y = c → a^xy = c

Substitusi ke (3): (a^xy)^z = a → a^xyz = a¹

Maka: xyz = 1

Terbukti: ^alog b · ^blog c · ^clog a = 1 ∎

Soal 14:

Selesaikan: ²log(x + 3) + ²log(x − 1) = ²log(2x + 6)

Pembahasan:

Syarat: x + 3 > 0, x − 1 > 0, 2x + 6 > 0 → x > 1

Ruas kiri: ²log[(x + 3)(x − 1)]

(x + 3)(x − 1) = 2x + 6

x² + 2x − 3 = 2x + 6

x² − 9 = 0

(x − 3)(x + 3) = 0

x = 3 atau x = −3

Karena x > 1, maka x = −3 tidak memenuhi.

Jawaban: x = 3

Soal 15:

Jika 2^a = 3^b = 6^c, tunjukkan bahwa c = ab/(a + b).

Pembahasan:

Misalkan 2^a = 3^b = 6^c = k

Maka: 2 = k^1/a, 3 = k^1/b, 6 = k^1/c

Karena 6 = 2 × 3:

k^1/c = k^1/a × k^1/b = k^{1/a + 1/b}

1/c = 1/a + 1/b = (a + b)/(ab)

Jawaban: c = ab/(a + b) ∎ (terbukti)

7. Latihan Soal

Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan hubungan eksponen dan logaritma yang telah dipelajari.

Tingkat Mudah

Ubah 7² = 49 ke bentuk logaritma.
Ubah ⁶log 216 = 3 ke bentuk eksponen.
Hitunglah ⁵log 625.
Tentukan nilai x jika ²log x = 6.
Hitunglah 3^{³log 7}.

Tingkat Sedang

Sederhanakan ³log 9 + ³log 27 − ³log 3.
Selesaikan persamaan 5^x = 125³.
Hitunglah ⁴log 8 × ⁸log 16.
Jika ³log 2 = m, nyatakan ³log 48 dalam m.
Tentukan nilai 2^{²log 5 + ²log 4}.

Tingkat Sulit

Jika ²log 5 = a dan ⁵log 7 = b, nyatakan ⁴log 35 dalam a dan b.
Selesaikan: 9^x − 4 · 3^x + 3 = 0.
Buktikan bahwa ^a²log b³ = (3/2) · ^alog b.
Selesaikan: ³log(x² − 2x) = ³log(x + 4).
Jika 3^p = 5^q = 15^r, tunjukkan bahwa 1/r = 1/p + 1/q.

1. Pendahuluan: Pengertian Eksponen dan Logaritma

Kegiatan: Mengamati

A. Pengertian Eksponen (Bilangan Berpangkat)

B. Pengertian Logaritma

Kegiatan: Menanya

2. Hubungan Fundamental Eksponen dan Logaritma

Kegiatan: Menalar

Hubungan Dasar (Definisi)

Tabel Perbandingan

Identitas Penting

Kegiatan: Mencoba

3. Konversi Bentuk Eksponen ke Logaritma dan Sebaliknya

A. Dari Eksponen ke Logaritma

B. Dari Logaritma ke Eksponen

Kegiatan: Mengkomunikasikan

4. Sifat-Sifat yang Menghubungkan Eksponen dan Logaritma

Kegiatan: Menalar

Korespondensi Sifat Eksponen dan Logaritma

Penjelasan Detail Setiap Sifat

Sifat 1: Logaritma Perkalian

Sifat 2: Logaritma Pembagian

Sifat 3: Logaritma Pemangkatan

Sifat 4: Perubahan Basis (Rantai Logaritma)

Sifat 5: Hubungan Invers

Kegiatan: Mencoba

5. Penerapan Hubungan Eksponen dan Logaritma

A. Menyelesaikan Persamaan Eksponen dengan Logaritma

B. Menyelesaikan Persamaan Logaritma dengan Eksponen

C. Menyederhanakan Ekspresi

D. Grafik Fungsi Eksponen dan Logaritma

Kegiatan: Mengkomunikasikan

6. Contoh Soal dan Pembahasan

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

7. Latihan Soal

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed